Downloaded 201 times
More Related Content
Similar to 06 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนำ
06 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนำ
- 1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ โดย อาจารย์ ดร.จิณดิษฐ์ ละออปักษิณ อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ
- 2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สื่อการสอน เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ สื่อการสอน เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 9 ตอน ซึ่ง ประกอบด้วย 1. บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ 2. เนื้อหาตอนที่ 1 การให้เหตุผล - การให้เหตุผลแบบอุปนัย - การให้เหตุผลแบบนิรนัย 3. เนื้อหาตอนที่ 2 ประพจน์และการสมมูล - ประพจน์และค่าความจริง - ตัวเชื่อมประพจน์ - การสมมูล 4. เนื้อหาตอนที่ 3 สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล - เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ - สัจนิรันดร์ 5. เนื้อหาตอนที่ 4 ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ - การอ้างเหตุผล - ประโยคเปิด - วลีบ่งปริมาณ 6. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน) 7. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง) 8. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง หอคอยฮานอย 9. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ตารางค่าความจริง คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง การให้เหตุผลและ ตรรกศาสตร์ นอกจากนี้ ห ากท่ า นสนใจสื่ อ การสอนวิ ช าคณิ ต ศาสตร์ ใ นเรื่ อ งอื่ น ๆที่ ค ณะผู้ จั ด ท าได้ ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดใน ตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้ 1
- 3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ (การให้เหตุผล) หมวด บทนา ตอนที่ 1 (1/4) หัวข้อย่อย 1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย 2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย จุดประสงค์การเรียนรู้ เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจที่มา เกิดความซาบซึ้ง เห็นคุณค่าของคณิตศาสตร์เรื่อง การให้เหตุผลและ ตรรกศาสตร์ ตระหนักถึงความสาคัญและประโยชน์ ตลอดจนบทประยุกต์ของการให้เหตุผลและ ตรรกศาสตร์ วัตถุประสงค์หลักของการจัดทาบทนา คือเพื่อให้ผู้เรียนได้เกิดแรงบันดาลใจในการเรียน เห็นถึงที่มาและประโยชน์ของเนื้อหาที่จะได้เรียนต่อไป โดยมิได้มุ่งเน้นที่การท่องจา เนื้อหาหรือเรื่องราวตามที่ปรากฏในสื่อบทนา การใช้สื่อบทนาจึงควรใช้เพียงประกอบ ในขั้นการนาเข้าสู่บทเรียน หรือนาเสนอผู้เรียนก่อนการจัดการเรียนรู้ในเนื้อหานั้นๆ และ ไม่ควรนาเนื้อหาในบทนาไปใช้วัดผลการศึกษาหรือใช้ในการสอบ เพราะอาจทาให้การ ใช้สื่อไม่บรรลุวัตถุประสงค์ที่แท้จริงตามที่มาดหมายไว้ 2
- 4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย บทสารคดีและข้อมูลเพิ่มเติม โลกจะเป็นอย่างไร ถ้าเราไม่มีเหตุผล ถ้าทุกสิ่งทุกอย่างเกิดขึ้นจากการด้นเดาอย่างไร้ระเบียบ การตัดสินใจที่ตั้งอยู่บนความเลื่อนลอย ไร้หลักการ และไม่สามารถอ้างอิงเพื่อสร้างความรู้ใหม่ๆ หรือใช้ในการ ตัดสินใจครั้งต่อๆ ไปได้ หากโลกเป็นเช่นนั้นจริง แม้เวลาจะหมุนเวียนเปลี่ยนผ่านไปนานสักเท่าใดมนุษย์ก็ยังคงจะไม่แตกต่างอะไร ไปกับมนุษย์ในยุคโบราณที่ดารงชีพด้วยสัญชาติญาณและการไล่ล่าหาเก็บ 3
- 5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แม้สภาพทางกายจะอ่อนแอและ อ่อนด้อยกว่าสัตว์ชนิดอื่นๆ แต่ธรรมชาติก็ได้มอบสมบัติเลอค่า ที่ผลักดัน ให้มนุษย์ธรรมดากลายมาเป็นมนุษย์ที่มีความอารยและอุดมด้วยปัญญาความคิด คือ ของขวัญชิ้นนั้นก็คือ สมอง ที่มี คุณภาพเหนือกว่าสัตว์ทั้งหลาย และด้วยสมองนี้เองที่ทาให้ มนุษย์มีคุณสมบัติสาคัญที่ทาให้มนุษย์แตกต่างจากสัตว์ ทั่วไปคือ การให้เหตุผล เพื่อใช้ในการสนับสนุนความเชื่อ เพื่อค้นหาความจริงใหม่ๆ ความสามารถเช่นนี้ได้เกิดมี ขึนแล้วตั้งแต่ยุคแรกๆ เมื่อครั้งมนุษย์ยังเร่รอนรอนแรม ไร้ถิ่นฐาน ซึ่งล้วนมาจากการสังเกตและจดจา จวบจนกาล ้ ต่อมารูปแบบของการให้เหตุผลได้เริ่มเปลี่ยนแปลงไป เมื่อมนุษย์เริ่มสนใจที่จะตอบคาถามว่า “ทาไม” มากกว่า “อย่างไร” และนี่คือจุดเปลี่ยนครั้งสาคัญของมนุษยชาติ ที่ทาให้เราเปลี่ยนผ่านและก้าวข้ามจากโลกยุคเก่า มาสู่โลกยุคใหม่ อย่างในปัจจุบัน 4
- 6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ในทางคณิตศาสตร์ การให้เหตุผลถือเป็นกระบวนการและเป็นหัวใจสาคัญที่สุดของศาสตร์สาขานี้ ข้อสรุปทาง คณิตศาสตร์บางประการ แม้ว่านักคณิตศาสตร์จะรู้อยู่อย่างเต็มอกว่าเป็นจริง แต่หากไร้สิ้นซึ่งเหตุผลที่รัดกุมมา ประกอบแล้ว ข้อสรุปนั้นก็เป็นเพียงความคิดเห็นของปัจเจกบุคคล และถูกมองด้วยสายตาที่เย้ยหยันไยไพ ดังนั้น หัวใจสาคัญของคณิตศาสตร์ดวงนี้ จึงมีลักษณะและความหมายที่แตกต่างจากการให้เหตุผลของคนอื่น ทั่วๆไป สาหรับนักคณิตศาสตร์ และนักการศึกษาคณิตศาสตร์แล้ว การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ อาจแบ่งได้ ออกเป็น 2 แบบ คือ 1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย และ 2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย ซึ่งมีทั้งข้อดีและข้อจากัดที่ แตกต่างกัน หากแต่มีความสัมพันธ์กันอย่างลึกซึ้ง ที่อิงอาศัยซึ่งกันและกันในการสร้างองค์ความรู้ใหม่ๆ ให้เกิดขึ้น นอกจากประเภทของการให้เหตุผลตามข้างต้นแล้ว ยังมีการให้เหตุผลในแบบอื่นอีก เช่น การให้เหตุผล เกี่ยวกับปริภูมิ (spatial reasoning) โดยหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ได้นิยาม การให้เหตุผลที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิ ว่าเป็นการใช้ความรู้ ความเข้าใจเกี่ยวกับสมบัติต่างๆ ของรูปเรขาคณิต และความสัมพันธ์ระหว่างรูปเรขาคณิตมาให้เหตุผล หรืออธิบายปรากฏการณ์ หรือแก้ปัญหาทางเรขาคณิต นอกจากนี้ยังมีนักการศึกษาอีกหลายท่านที่ได้แบ่งประเภทของการให้เหตุผลไว้ เช่น บารูดี้ (Baroody) ที่ได้ แบ่งการให้เหตุผลเป็น 3 ประเภท คือการให้เหตุผลแบบอุปนัย การให้เหตุผลแบบนิรนัย และการให้เหตุผล แบบสามัญสานึก(intuitive reasoning) ซึ่งเป็นการให้เหตุผลที่เกิดจากการหยั่งรู้(insight) ลางสังหรณ์ ไม่มี ข้อมูลที่จาเป็นประกอบการตัดสินใจ อาจเป็นการตัด สินใจจากสิ่งที่เห็นได้ชัดหรือจากความรู้สึกภายใน สติกกิน (Richard Stiggins) ได้กล่าวถึงการให้ เหตุผลหลักๆ 3 แบบคือ การให้เหตุผลแบบวิเคราะห์ การให้ เหตุผลแบบเปรียบเทียบ การให้เหตุผลแบบประเมิน โดยอธิบายว่าการให้เหตุผลแบบวิเคราะห์(analytical reasoning) เป็นการให้เหตุผล 5
- 7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย โดยพิจารณาส่วนย่อยหรือส่วนประกอบ ซึ่งประกอบกันเป็นสิ่งนั้นๆ เป็นการศึกษาลงลึกในส่วนย่อยๆ เมื่อต้องการศึกษาสิ่งนั้นอย่างลึกซึ้งก็ใช้การวิเคราะห์เพื่อศึกษารายละเอียด หรือในกรณีที่ต้องการแก้ปัญหา นักเรียนจะต้องอาศัยการวิเคราะห์สถานการณ์หรือปัญหา แล้วนาความรู้และการให้เหตุผลมาใช้ในการ แก้ปัญหานั้นๆ การให้เหตุผลแบบเปรียบเทียบ (comparative reasoning) เป็นกระบวนการศึกษาว่าสิ่งนั้นๆ มีอะไรที่เหมือนกัน มีอะไรที่ต่างกัน ในบางโอกาสเราต้องศึกษาส่วนที่ต่างกัน บางโอกาสเราต้องศึกษา ส่วนที่เหมือนกัน การใช้การให้เหตุผลวิธีนี้จะต้องมีความรู้ความเข้าใจสิ่งที่ต้องการเปรียบเทียบอย่างลึกซึ้ง มีข้อตกลงอย่างชัดเจนว่าอย่างไรที่ถือว่าเหมือนกัน อย่างไรที่ถือว่าต่างกันก่อนที่จะทาการเปรียบเทียบ การ ให้เหตุผลในการประเมิน (evaluative reasoning) เป็นการใช้เหตุผลประเมินเมื่อเราตัดสินคุณค่า หรือความ ถูกต้องโดยใช้เหตุผล อาศัยความสมเหตุสมผลเป็นเครื่องตัดสิน นอกจากนี้สติกกินยังกล่าวถึงการให้ เหตุผลในลักษณะอื่นๆ อีกได้แก่ การสังเคราะห์ (synthesizing) ซึ่งเป็นการนาข้อมูลต่างๆ มาหลอมรวม เป็นข้อสรุป หรือเป็นการนาข้อมูลจากหลายๆ แหล่งมาทาความเข้าใจและหาข้อสรุป การจาแนก (classifying) เป็นการจัดแบ่ง ประเภท เช่น การจาแนกประเภทของพืช ประเภทของสัตว์ ซึ่งการจาแนกใน ลักษณะนี้ ผู้จาแนกต้องรู้จักแต่ละประเภทที่ต้องจาแนกเป็นอย่างดี และอาศัยการให้เหตุผลในการจาแนก และการอนุมาน (inferential) เป็นการให้เหตุผลแบบอุปนัย และการให้เหตุผลแบบนิรนัย การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นวิธีการสรุปผลในการค้นหาความจริงที่ได้จากการสังเกตหรือการทดลองหลายๆ ครั้ง จากกรณีย่อยๆ แล้วนามาสรุปเป็นกรณีทั่วๆ ไป จึงเป็นการให้เหตุผลแบบวิทยาศาสตร์และถือว่าเป็นหัวใจสาคัญ ของวิทยาศาสตร์ ซึ่งแม้จะถูกดูแคลนว่าเป็นข้อสรุปที่ไม่จีรัง ด้วยอาจจะไม่เป็นจริงเช่นนั้นเสมอไป แต่ก็ปฏิเสธ ไม่ได้ว่า ด้วยการสังเกตและการให้เหตุผลแบบนี้ มนุษย์ทุกผู้ทุกนามก็สามารถนาไปใช้ได้จริง และก็ยังสามารถ ใช้ได้อยู่ในปัจจุบัน เช่นในสถานการณ์ “คนหลงป่าและแอปเปิ้ล” 6
- 8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย จากสถานการณ์ “คนหลงป่าและแอปเปิ้ล” เห็นได้ว่า แม้ว่าจะหิวโหยสักเพียงใด อยากทานแอปเปิ้ลสัก เพียงใด แต่ด้วยการสังเกตว่านกกินแล้วนกก็ตาย ลิงกินลิงก็ตาย กวางกินกวางก็ตาย ด้วยการให้เหตุผลแบบ อุปนัยจึงสรุปได้ว่า เออหนอ หากเรากิน ชะรอยเราก็คงจะตาย ส่วนข้อเท็จจริงหรือผลที่เกิดหลังกิน จะออก ผลเป็นว่า ตายจริง เจ็บป่วยเล็กน้อย หรือไม่เป็นอะไรเลย นับว่าเป็นคนละส่วนกับเรื่องนี้ ตัวอย่างนี้เพียง สะท้อนให้เห็นว่าลักษณะการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้น เป็นการให้เหตุผลที่เราใช้กันอยู่อย่างบ่อยครั้ง หรือที่ปรากฏเด่นชัดในกระกวนการสังเกตต้นถั่วในแปลงเพาะ ของหลวงพ่อเมนเดล จนทาให้เกิดแนวคิดและ ข้อสรุปเกี่ยวกับองค์ความรู้ด้านพันธุกรรมในเวลาต่อมา 7
- 9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย หรือตัวอย่างที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ เช่น การสังเกตว่า 12345679 × 9 = 11111111 12345679 × 18 = 22222222 12345679 × 27 = 33333333 12345679 × 36 = 44444444 เพียงการสังเกต ก็ทาให้เราพอจะคาดเดาได้โดยไม่ต้องคานวณว่า 12345679 × 45 = 55555555 ตัวอย่างเพิ่มเติม 1. จากการสังเกตว่า 9 × 9 + 7 = 88 9 8 × 9 + 6 = 888 987 × 9 + 5 = 8888 9876 × 9 + 4 = 88888 ทาให้เราคาดเดาได้โดยไม่ต้องคานวณว่า 98765 × 9 + 3 = 888888 2. จากการสังเกตว่า 2 = 4-2 2+4 = 8-2 2 + 4 + 8 = 16 - 2 2 + 4 + 8 + 16 = 32 - 2 ทาให้เราคาดเดาได้โดยไม่ต้องคานวณว่า 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 64 - 2 8
- 10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย จุดเด่นของการให้เหตุผลแบบนี้ จึงอยู่ที่การใช้งานได้ง่าย และใช้งานได้จริง แต่ถึงกระนั้นก็ตาม แม้การให้เหตุผล แบบอุปนัย อาจนาไปสู่การค้นพบแนวคิดใหม่ๆ จากการสังเกตปรากฏการณ์ต่างๆ ผ่านประสาทสัมผัส ตั้งเป็นข้อ คาดเดาหรือกฎ เพื่อใช้คาดหมาย ทานายอนาคตได้ แต่การให้เหตุผลแบบนี้ก็เต็มไปด้วยจุดด้อยมากมาย ทั้งการได้ ข้อสรุปที่หลากหลาย หรือข้อสรุปที่ได้นั้นก็อาจจะผิดพลาด หากการรวบรวมข้อมูลจากกรณีย่อยๆ ไม่เพียงพอ หรือ ทาไม่ได้ในทุกกรณี ซึ่งกรณีที่ละเว้นไว้นี้เอง อาจเป็นข้อมูลสาคัญที่จะชี้ให้เห็นว่าข้อสรุปนั้นๆ ผิด หรือการได้ ข้อสรุปที่ผิดพลาด เช่น จากการทดลองแทน 2,3,4,5,6,7,8,9,10 ลงในพหุนาม x 2 + x + 41 สังเกตได้ว่า ผลลัพธ์ที่ ได้คือ 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151 ซึ่งล้วนแล้วแต่เป็นจานวนเฉพาะ จึงอาจสรุปได้ว่าพหุนาม x 2 + x + 41 เป็นจานวนเฉพาะเมื่อ x เป็นจานวนนับ การให้เหตุผลแบบนี้เอง จึงเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้ในวิชา คณิตศาสตร์ เพราะอาจเกิดข้อผิดพลาดขึ้นได้ โดยถ้าพิจารณาพหุนาม x 2 + x + 41 อย่างถี่ถ้วนขึ้นแล้ว จะสังเกตได้ ว่า ค่าของพหุนามนี้เท่ากับจานวนเฉพาะเมื่อ x = 0,1,2,…,39 แต่เมื่อค่าของ x = 40 ค่าของพหุนามนี้จะเท่ากับ 412 ซึ่งเป็นจานวนประกอบ จึงอาจกล่าวได้ว่าเป็นตัวอย่างค้านที่ทาให้เห็นว่าข้อสรุปที่ได้ไม่ถูกต้อง หรือตัวอย่างที่ว่า จากการพิจารณาการแยกตัวประกอบของ xn - 1 เมื่อ n เป็นจานวนนับ พบว่า x -1 = x -1 x 2 - 1 = (x - 1)(x + 1) x 3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1) x 4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x2 + 1) x 5 - 1 = (x - 1)(x4 + x3 + x 2 + x + 1) 9
- 11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย และ x 6 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 - x + 1) ซึ่งทาให้คาดเดาได้ว่า จะไม่มีสัมประสิทธิ์ตัวใดในการกระจายมีค่าสัมบูรณ์เกินกว่า 1 แต่ในปี ค.ศ.1941 วี ไอวานอฟ ได้พิสูจน์ให้เห็นว่าข้อความดังกล่าวเป็นจริงสาหรับ n ที่น้อยกว่า 105 เพราะพบว่า ในการกระจาย x105 - 1 จะมีตัวประกอบหนึ่งคือ x48 + x47 + x46 – x43 – x42 – 2x41 – x40 – x39 + x36 + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 – x28 – x26 – x24 – x22 – x20 + x17 + x16 + x15 + x14 + x13 + x12 – x9 – x8 – 2x7 – x6 – x5 + x2 + x + 1 หรืออีกหนึ่งตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงข้อผิดพลาด ที่เกิดขึ้นจากการให้เหตุผลแบบอุปนัย จากการพิจารณาจานวน n นับในรูป 2 2 + 1 เมื่อ n มีค่า = 0, 1, 2, 3 และ 4 พบว่า 0 เมื่อ n = 0 ผลลัพธ์ที่ได้ คือ 2 2 + 1 = 3 10
- 12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1 เมื่อ n = 1 ผลลัพธ์ที่ได้ คือ 2 2 + 1 = 5 2 เมื่อ n = 2 ผลลัพธ์ที่ได้ คือ 2 2 + 1 = 17 3 เมื่อ n = 3 ผลลัพธ์ที่ได้ คือ 2 2 + 1 = 257 4 และเมื่อ n = 4 ผลลัพธ์ที่ได้ก็คือ 2 2 + 1 = 65537 n จากการพิจารณาจานวนนับในรูป 2 2 + 1 ข้างต้น ทาให้ ปีแยร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de Fermat 1601-1665) นัก คณิตศาสตร์นามอุโฆษ ทาการคาดเดาไว้ว่า จานวนนับทุกตัวที่เขียนอยู่ในรูปแบบดังกล่าวเป็นจานวนเฉพาะ 5 ต่อมาเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler 1707-1783) จึงพบว่า 2 2 + 1 = 4294967297 = (641)(6700417) เป็นจานวนประกอบ จากตัวอย่างที่ผ่านมา อาจทาให้เกิดข้อสงสัยขึ้นได้ว่า เราจะต้องทดลองอีกเท่าไรถึงจะเพียงพอ จะมากหรือ จะน้อย และสาหรับความสามารถของมรรตัยชนผู้มีวันตายแล้ว เราจะหาญอาจทดลองไปได้ยาวนานอีกสักเพียงใด เมื่อกาลังทดลองอยู่กับจานวนที่มีมากมายจนเกินหยั่งถึงได้ คาว่ามากของมนุษย์ จึงไม่ใช่คาว่ามากของคณิตศาสตร์ อีกต่อไป การให้เหตุผลที่ช่วยให้เรา “ทาได้” ในบางครั้งแบบนี้จึงดูจะไม่เพียงพอเสียแล้วสาหรับการใช้งานของ มนุษย์ ที่ต้องการการให้เหตุผลที่รัดกุม ที่จีรัง และตอบคาถามได้ว่า “ทาไม” ซึ่งการให้เหตุผลที่ตอบสนองความ ต้องการนี้คือ การให้เหตุผลแบบที่เรียกว่า “การให้เหตุผลแบบนิรนัย” นั่นเอง 11
- 13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย การให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจนาไปสู่การค้นพบแนวคิดใหม่ๆ จากการสังเกตปรากฏการณ์ต่างๆ ผ่าน ประสาทสัมผัส ตั้งเป็นข้อคาดเดาหรือกฎ เพื่อใช้คาดหมาย ทานาย (predict) อนาคตได้ อย่างไรก็ตาม ข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบอุปนัยนี้ อาจเกิดข้อผิดพลาด ถ้าการรวบรวมข้อมูลจากกรณีย่อยๆ ไม่เพียงพอหรือไม่ได้ทาทุกกรณีที่เป็นไปได้ กรณีที่ละเว้นไว้อาจเป็นข้อมูลซึ่งชี้ให้เห็นว่าข้อสรุปผิด เช่น จากการสังเกตว่า 2, 4, 6, a เราอาจคาดเดาว่า a = 8 เพราะคิดว่าแบบรูปของการเปลี่ยนแปลงคือการ เพิ่มขึ้นทีละสอง แต่ a อาจเป็น 10 ก็ได้ ถ้าคิดว่า a เกิดจากการบวกกันของสองจานวนก่อนหน้า การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นวิธีการสรุปผลในการค้นหาความจริง โดยการนาความรู้พื้นฐานซึ่งอาจเป็น ความเชื่อ ข้อตกลง กฎ โดยจะเรียกรวมว่าเหตุ ซึ่งยอมรับว่าเป็นจริงแล้ว มาอ้างอย่างสมเหตุสมผล เพื่อนาไปสู่ ข้อสรุป 12
- 14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เช่น เหตุข้อที่ 1 คือ จานวนคู่หมายถึงจานวนที่หารด้วย 2 ลงตัว เหตุข้อที่ 2 คือ 18 หารด้วย 2 ลงตัว ผล คือ 18 เป็นจานวนคู่ ไม่มีสิ่งใดที่สมบูรณ์พร้อมไปเสียทุกอย่าง ถึงแม้ว่าการให้เหตุผลแบบนี้จะมีข้อดีอยู่มากมาย แต่ก็มีข้อด้อยปะปนอยู่ ด้วยเช่นกัน กล่าวคือ 13
- 15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย การให้เหตุผลแบบนิรนัย จะเริ่มต้นด้วยการยอมรับว่าเหตุเป็นจริงเป็นสาคัญ ดังนั้นถ้าเหตุที่ยอมรับว่าจริงนั้นขัดแย้ง กับความจริงทางโลก ข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบนิรนัยก็อาจขัดแย้งกับความจริงทางโลกได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น เหตุข้อที่ 1 คือ นักวิทยาศาสตร์ทุกคนบินได้ เหตุข้อที่ 2 คือ ฟรานซิส เบคอนเป็นนักวิทยาศาสตร์คนหนึ่ง ผล คือ ฟรานซิส เบคอนบินได้ การให้เหตุผลแบบนิรนัย จะเริ่มต้นด้วยการยอมรับว่าเหตุเป็นจริงเป็นสาคัญ ดังนั้นถ้าเหตุที่ยอมรับว่าจริง นั้นขัดแย้งกับความจริงทางโลก ข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบนิรนัยอาจขัดแย้งกับความจริงทางโลก ได้เช่นกัน เช่น เหตุ 1. สุนัขทุกตัวบินได้ 2. เจ้าตูบเป็นสุนัขตัวหนึ่ง ผล เจ้าตูบบินได้ ซึ่งผลที่ได้จากการให้เหตุผลแบบนิรนัยนี้ จะขัดแย้งกับความจริงทางโลกที่เราทราบกันดีอยู่ว่า มนุษย์ปุถุชนคน ธรรมดาสามัญไม่สามารถบินได้ ฟรานซิส เบคอน นักวิทยาศาสตร์คนสาคัญ ก็เป็นอีกผู้หนึ่งที่ชี้ข้อบกพร่องของการ ให้เหตุผลแบบนิรนัย โดยกล่าวว่าเราไม่ได้อะไรใหม่ๆ เลยจากการให้เหตุผลแบบนี้ เช่น 14
- 16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย การที่เราเชื่อว่า โลหะทุกชนิดนาไฟฟ้า และเชื่อว่าเหล็กเป็นโลหะ แล้วปีติที่จะสรุปได้ว่า เหล็กเป็นสื่อไฟฟ้า และ เรียกสิ่งนี้ว่าเป็นความรู้ใหม่ ทั้งๆ ที่ก่อนหน้าที่ ก่อนที่เราจะเชื่อว่าโลหะทุกชนิดนาไฟฟ้าได้นั้น เรามิได้รู้อยู่ก่อน แล้วหรือว่า เหล็กสามารถนาไฟฟ้าได้ ต่อมา ชาล์ล ดาวิน ได้เก็บรักษาจุดเด่นและกาจัดจุดด้อยของการให้เหตุผลทั้ง 2 แบบ ด้วยการรวมวิธีการให้เหตุผล ทั้งสองประเภทเข้าไว้ด้วยกัน และเรียกว่าเป็นการให้เหตุผลแบบวิทยาศาสตร์ 15
- 17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย คาถามอภิปราย ชายคนหนึ่งมีความเชื่อว่า หากเขากินผลไม้สีแดงแล้ว เขาต้องตาย วันหนึ่งเขาได้ไปเที่ยวป่าและโชคร้าย เกิดพลัดหลง ระหว่างที่กาลังหิวโหยเพราะไม่ได้รับประทานอาหารมาหลายวัน เขามองเห็นต้นไม้ต้นหนึ่ง มีผลไม้สีแดงสุกปลั่งอยู่เต็มไปหมด แต่ที่ใต้ร่มไม้กลับมีซากนกและผลไม้สีแดงซึ่งมีร่องรอยของการจิก กินของนกเหลืออยู่ เมื่อรอสักพักเขาพบว่าลิงที่กินผลไม้ชนิดนั้นก็ตาย กวางที่กินผลไม้ชนิดนั้นก็ตาย เขา จึงตัดสินใจที่จะไม่กินผลไม้ชนิดนั้น ถามว่า ชายผู้นั้นใช้เหตุผลแบบใดจึงสรุปได้ว่าเขาจะไม่กินผลไม้นั้น แนวคาตอบ คาถามนี้ยังไม่สามารถตอบได้ นอกจากจะได้ข้อมูลเพิ่มจากชายผู้นั้นว่าเขามีกระบวนการคิดอย่างไร หากเขาไม่กินผลไม้นั้น เพราะเขาเชื่ออย่างสนิทใจว่า “หากเขากินผลไม้สีแดงแล้ว เขาต้องตาย” และเขาก็เห็นว่า “ผลไม้นั้นมีสีแดง” กระบวนการคิดแบบนี้ สรุปได้ว่าเขาใช้การให้เหตุผลแบบ นิรนัย หากเขาไม่กินผลไม้นั้น เพราะเขาเห็นว่า ทั้ง นก ลิง กวาง ต่างกินต่างก็ตาย เขาจึงไม่กินเพราะเกรง ว่าจะเป็นแบบตัวอย่างที่ผ่านมา กระบวนการคิดแบบนี้ สรุปได้ว่าเขาใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย สังเกตว่าแม้คาตอบจะเหมือนกัน คือ ไม่กิน แต่การให้เหตุผลเป็นแบบใดกลับอยู่ที่กระบวนการคิด การพิจารณาว่าการให้เหตุผลเป็นแบบใดจึงคาวามสาคัญจึงไม่อยู่ที่ คาตอบ หากแต่อยู่ที่วิธีคิด วิธีให้เหตุผล คาถามอภิปราย การพิสูจน์โดยใช้ “อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์” เป็นการให้เหตุผลแบบอุปนับหรือนิรนัย แนวคาตอบ อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ เป็นวิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์แบบหนึ่ง และนับว่าเป็นการให้เหตุผลแบบนิรนัย แต่เนื่องจากมีโครงสร้างขั้นอุปนัย ซึ่งมีกระบวนการคิดคล้ายกับรูปแบบของอุปนัย จึงอาจเป็นที่มาของการ ใช้ชื่อระเบียบวิธีพิสูจน์นี้ว่า อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 16
- 18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และคณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 1 แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ของเรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ 17
- 19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และคณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ การให้เหตุผล การให้เหตุผลแบบอุปนัย การให้เหตุผลแบบนิรนัย ตรรกศาสตร์ ประพจน์และค่าความจริง ตัวเชื่อมประพจน์ การสมมูล เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ สัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผล ประโยคเปิด วลีบ่งปริมาณ 18
- 20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และคณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน 19
- 21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน เรื่อง ตอน เซต บทนา เรื่อง เซต ความหมายของเซต เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ การให้เหตุผล ประพจน์และการสมมูล สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง สมบัติของจานวนจริง การแยกตัวประกอบ ทฤษฏีบทตัวประกอบ สมการพหุนาม อสมการ เทคนิคการแก้อสมการ ค่าสัมบูรณ์ การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ กราฟค่าสัมบูรณ์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์ ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ (การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก) ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ 20
- 22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอน ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเบื้องต้น พีชคณิตของฟังก์ชัน อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส ฟังก์ชันประกอบ ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม เลขยกกาลัง ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ ลอการิทึม อสมการเลขชี้กาลัง อสมการลอการิทึม ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ อัตราส่วนตรีโกณมิติ เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3 กฎของไซน์และโคไซน์ กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์ กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ การหาค่าสุดขีด ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม ลาดับ การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต ลิมิตของลาดับ ผลบวกย่อย อนุกรม ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม 21
- 23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอน การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น . การนับเบื้องต้น การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู่ ทฤษฎีบททวินาม การทดลองสุ่ม ความน่าจะเป็น 1 ความน่าจะเป็น 2 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เนื้อหา แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3 การกระจายของข้อมูล การกระจายสัมบูรณ์ 1 การกระจายสัมบูรณ์ 2 การกระจายสัมบูรณ์ 3 การกระจายสัมพัทธ์ คะแนนมาตรฐาน ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2 โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง กระเบื้องที่ยืดหดได้ 22