Analisa Vektor

1. VEKTOR
Pengertian Vektor
Besaran Vektor dapat disajikan dengan menggunakan suatu bilangan real,
kemudian diikuti dengan sistem suatu yang sesuai. Secara geometri, besaran vektor
dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis menyatakan panjang
atau besar vaktor, sedangkan arah anak panah menunjukan arah vaktor.
Kesamaan Vektor
Dua vektor a dan b dikatakan sama (ekuivalent), jika dan hanya jika kedua vektor itu
mempunyai panjang dan arah yang sama. Dua vektor yang sama, ditulis a = b
(perhatikan gambar a). Sebagai contoh, perhatikan kubus ABCD.EFGH pada
gambar b. Misalnya AH
uuur
wakil dari vektor a dan BG
uuur
wakil dari vektor b, maka a = b
(a sama dengan atau ekivalen b) sebab AH
uuur
dan BG
uuur
mempunyai arah dan panjang
yang sama.
Penjumlahan Vektor
Misalkan jumlah dari vektor u dengan v adalah w, maka penjumlahan vektor u
dengan vektor v itu dituliskan sebagai w = u + v. Vektor w disebut vektor resultan
dari vektor u dengan vektor v. Secara geometri, vektor w = u + v dapat ditentukan
dengan dua cara, yaitu aturan segitiga dan aturan jajargenjang.
1. Aturan Segitiga
Definisi:
Jumlah vektor u dengan vektor v atau w = u + v dapat ditentukan dengan cara
memindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal
vektor v berimpit dengan titik ujung dari vektor u. Vektor w = u + v yang dimaksud
diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor u dengan titik ujung atau titik
terminal vektor v yang telah dipindahkan tadi. (lihat gambar di bawah ini).
Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan segitiga.
2. Aturan Jajargenjang
Cara lain untuk menentukan jumlah vektor u dan vektor v adalah dengan
memindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal
vektor v berimpit dengan titk pangkal vektor u. Vektor w = u + v yang dimaksud
adalah vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor u dan v serta
vektor itu berimpit dengan diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh vektor u dan
vektor v tadi. Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan
jajargenjang (paralelogram).
Sifat-Sifat Penjumlahan Vektor
a. Komutatif : u + v = v + u
b. Asosiatif : (u + v) + w = u + (v + w)
c. Terdapat unsur identitas atau unsur satuan (yaitu vektor 0) sehingga berlaku
hubungan : 0 + v = v + 0 = v
a
b
A
E
D
F
G
H
C
B(a)
(b)
A

2. d. Setiap vektor mempunyai sebuah unsur invers tambah. Jika vektor -v merupakan
invers tambah dari vektor v, maka berlaku hubungan v + (-v) = 0.
Pengurangan Vektor
Definisi:
Jika u dan v sebarang dua vektor, pengurangan v dari u didefinisikan oleh
u - v = u + (-v)
Perkalian Vektor dengan Skalar
Definisi:
Jika v adalah vektor taknol dan k bilangan real taknol (skalar), maka hasil kali kv
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v dan arahnya sama
seperti arah v jika k > 0. dan berlawanan arah v jika k < 0.
Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0.
Sifat-Sifat Perkalian Vektor dengan Skalar
a. ||m v|| = |m| ||v||
b. m (-v) = -m v
c. m v = v m
d. (m +n) v = m v + n v
e. m(u + v) = m u + m v
Panjang Vektor
Misalkan R adalah sebuah titik pada bidang dengan koordinat (x, y) dan r, maka r
dapat disajikan dalam bentuk vektor kolom sebagai r =
x
y
 
 ÷
 
. Panjang atau besar dari
ruas garis berarah OR
uuur
dilambangkan dengan
Dari gambar di samping, didapat hubungan:
OR2
= OA2
+ OB2
⇔ OR2
= x2
+ y2
⇔ OR = 2 2
x y+
Dengan demikian, panjang OR
uuur
adalah:
||OR|| = 2 2
x + y
Jadi, besar atau panjang vektor r =
x
y
 
 ÷
 
dapat ditentukan dengan rumus:
||r|| = 2 2
x y+
Misalkan titik R mempunyai koordinat (x, y, z) dan OR
uuur
mewakili vektor r, maka
vektor r dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kolom sebagai r =
x
y
z
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
.
Panjang atau besar ruas garis berarah OR
uuur
ditulis sebagai ||OR
uuur
|| atau OR.
Berdasarkan gambar di samping
diperoleh hubungan:
OR2
= OD2
+ DR2
...................... (1)
Sedangkan OD2
= OA2
+ OB2
OD2
= x2
+ y2
dan DR2
= z2
Substitusi OD2
dan DR2
ke persamaan
(1) diperoleh
OR2
= x2
+ y2
+ z2
Dengan demikian
||OR
uuur
|| = OR = 2 2 2
x y z+ +
X
x
y r
R(x,y)

3. Jadi, besar atau panjang vektor r =
x
y
z
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
dapat ditentukan dengan rumus
||r|| = 2 2 2
x + y + z
Contoh:
Diketahui vektor-vektor a =
1
2
-2
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
, b =
3
-2
1
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
dan c =
2
5
4
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
. Hitunglah||2a - b + c||
Jawab:
2a – b + c = 2
1
2
-2
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
-
3
-2
1
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
+
2
5
4
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
=
1
11
-1
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
||2a - b + c|| = 2 2 2
(1) + (11) + (-1) =
123 . Jadi, panjang vektor a + b + c adalah ||2a - b + c|| = 123 satuan panjang
Rumus Jarak
Misalkan dua titik di R-3, yaitu titik P dengan koordinat (x1,y1,z1) dan titik Q dengan
koordinat (x2,y2,z2). Ruas garis berarah PQ
uuur
mewakili suatu vektor dengan
komponen-komponen (x2 – x1), (y2 – y1), dan (z2 – z1). Oleh karena itu, panjang ruas
garis berarah PQ
uuur
dapat ditentukan dengan rumus berikut.
||PQ
uuur
|| = 2 2 2
2 1 2 1 2 1(x - x ) + (y - y ) + (z - z )
Vektor Satuan
Dalam bentuk vektor kolom, vektor-vektor satuan di R-2 dapat dinyatakan sebagai
berikut.
ˆi =
1
0
 
 ÷
 
dan ˆj =
0
1
 
 ÷
 
Untuk satuan vektor a yang bukan vektor nol, kita dapat menentukan vektor satuan
dari vektor a. Vektor satuan dari a (dilambangkan dengan ˆe , dibaca: e topi) searah
dengan vektor a dan panjangnya sama dengan satu satuan.
B
A
C
R
O
X
D
Y
r
Z

4. Jika, vektor a =
x
y
 
 ÷
 
, maka vektor satuan dari a ditentukan dengan rumus:
ˆe =
a
a
= 2 2
x1
yx y
 
 ÷
+  
Dengan sifat yang sama untuk vektor-vektor di R-3, vektor satuan dari vektor a(x,y,z)
ditentukan dengan rumus:
ˆe =
a
a
=
2 2 2
x
1
y
x y z
z
 
 ÷
 ÷
+ +  ÷
 
Rumus Pembagian Ruang Garis di R-3 (Bentuk Vektor dan Bentuk Koordinat)
Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan Bagian
Misalkan titik C terletak pada ruas garis AB, sehingga titik C membagi ruas garis AB
dengan perbandingan m : n, maka AC : CB = m : n atau AC : AB = m : (m + n) (lihat
gambar di bawah ini)
Tanda-tanda (positif atau negatifnya) m dan n ditentukan dengan kesepakatan
sebagai berikut.
(1) Jika C terletak di dalam ruas garis AB sehingga
uuur uuur
AC dan CB searah, maka, m
dan n bertanda sama (m dan n keduanya positif atau keduanya negatif).
(2) Jika C terletak di luar ruas garis AB tetapi pada perpanjangan ruas garis AB,
maka
uuur uuur
AC dan CB berlawanan arah. Dalam hal demikian, m dan n berlawanan
tanda (m positif dan n negatif atau m negatif dan n positif).
Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor
Vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah a dan b. Titik C pada ruas garis AB
dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n. Jika vektor posisi titik C adalah c,
maka vektor c ditentukan dengan rumus
c =
m n
m n
+
+
b a
Rumus ini juga berlaku untuk titik C yang terletak pada perpanjangan garis AB.
Contoh:
Vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah a dan b. Pada ruas garis AB,
tandailah titik C sehingga AC : CB = 1 : 3, tentukan vektor posisi titik C,
Jawab :
Misalkan vektor posisi titik C adalah c, maka c = ( )
1 3 1
3
1 3 4
+
= +
+
b a
b a
Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Koordinat.
•••
A BC nm

5. Diketahui koordinat titik A( 1 1 1x ,y ,z ), B( 2 2 2x ,y ,z ), dan C(x,y,z),
Jika titik C membagi ruas garis AB
dengan perbandingan m : n atau AC :
CB = m : n, maka vektor posisi titik C
dapat ditentukan dengan rumus
pembagian ruas garis di R-3 dalam
bentuk vektor sebagai
c =
m n
m n
+
+
b a
Berdasarkan kesamaan vektor yang terakhir ini diperoleh hubungan berikut.
2 1 2 1 2 1mx nx my ny mz nz
x ; y ; z
m n m n m n
+ + +
= = =
+ + +
Persamaan di atas adalah rumus pembagian ruas garis di R-3 yang dinyatakan
dalam bentuk koordinat.
Perkalian Skalar Dua Vektor
Perkalian skalar antara vektor a dan vektor b dilambangkan dengan • dan
didefinisikan:||a•b|| = ||a|| ||b|| cos θ, dengan ||a|| dan ||b|| masing-masing
menyatakan panjang vektor a dan b, sedangkan θ menyatakan sudut lancip yang
dibentuk oleh vektor a dan b
Perkalian Skalar Dua Vektor dalam Bentuk Kolom
Misalkan a =
1
1
x
y
 
 ÷
 
dan b =
2
2
x
y
 
 ÷
 
merupakan vektor-vektor di R-2 yang di nyatakan
daalam bentuk vektor kolom. Perkalian skalar antara vektor a dan b ditentukan
a • b =
1
1
x
y
 
 ÷
 
•
2
2
x
y
 
 ÷
 
= x1x2 + y1y2
perhatikan bahwa nilai atau hasil perkalian skalar vektor a dan b adalah jumlah
perkalian komponen yang seletak pada vektor a dan b.
Misalkan a =
1
1
1
x
y
z
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
dan b =
2
2
2
x
y
z
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
adalah vektor-vektor di R-3 yang dinyatakan dalam
bentuk vektor kolom. Perkalian skalar antara vektor a dan vektor b ditentukan oleh
rumus:
a•b =
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
x x
y y x x y y z z
z z
   
 ÷ ÷
= + + ÷ ÷
 ÷ ÷
   
g
Teorema Ortogonalitas
Dua vektor yang tidak nol dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan
hanya jika perkalian skalar kedua vektor itu sama dengan nol.
C(x,y,z)
m
B(x2
,y2
,z2
)
c
b
n
A(x1
,y1
,z1
)O
a

6. Jadi, vektor a dan b (||a|| ≠ 0 dan ||b|| ≠ 0) dikatakan saling tegak lurus (ortogonal)
jika dan hanya jika a • b = 0
Sifat-Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor
1. Sifat Komulatif a • b dan b • a
2. Sifat Distributif a•(b + c) = a•b + a•c
Sudut Antara Dua Vektor
Misalkan a =
1
1
1
x
y
z
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
dan b =
2
2
2
x
y
z
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
adalah vektor-vektor di R-3 yang dinyatakan dalam
bentuk vektor kolom. Jika sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b adalah θ, maka
besarnya cos θ dapat ditentukan dengan rumus berikut
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
x x y y z z
cos
x y z x y z
+ +
θ =
+ + + +
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor Lain
Dalam geometri bidang, kita telah mempelajari pengertian proyeksi ortogonal dari
suatu ruas garis pada ruas garis yang lain. Proyeksi ortogonal dari ruas garis OA
pada ruas garis OB adalah ruas garis OC, dengan panjang OC ditentukan oleh OC =
OA cos
Perhatikan gambar berikut, ruas-ruas garis berarah OA
uuur
dan OB
uuur
mewakili vektor-
vektor A dan B, sedangkan θ menyatakan sudut antara vektor A dan vektor B.
Proyeksi dari titik A pada ruas garis berarah OB
uuur
adalah titik C, sehingga
OC OA cos a cos= θ = θ
uuur
Besaran OC = ||A|| cos θ dinamakan proyeksi skalar ortogonal (biasanya disingkat
proyeksi skalar saja) vektor A pada arah B.
Nilai proyeksi skalar ortogonal OC = ||A|| cos θ bisa positif, nol, atau negatif,
tergantung dari besar sudut θ.
(1) Untuk 00
≤ θ < 900
, OC bernilai
(2) positif
(3) Untuk θ = 900
, OC bernilai nol
A
0 C B
A
0 C B
a
c b
(a)
(b)

7. (4) Untuk 900
≤ θ < 1800
, OC bernilai negatif
A
0 C B
(a)
a
b
a
b
B0
A
(b)
a
b
B0C
A
(c)
Perhatikan bahwa ruas garis berarah OC
uuur
mewakili vektor c, sehingga vektor c
merupakan proyeksi vektor a pada arah vektor b. Vektor c ini dinamakan proyeksi
vektor ortogonal (biasanya disingkat dengan proyeksi vektor saja). Dengan
menggunakan definisi perkalian skalar, selanjutnya dapat ditentukan bahwa :
(1) Proyeksi skalar orrtogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah l c l, dengan ||
c|| dirumuskan oleh :
a b
c
b
•
=
(2) Proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah c dirumuskan
oleh : 2
a b
c b
b
 • 
=  
  
Proyeksi vektor b pada arah vektor a dapat ditentukan dengan menggunakan
analisis yang sama. Misalkan proyeksi vektor b pada arah vektor a adalah vektor d
(perhatikan Gambar), maka dapat disimpulkan bahwa
(1) Proyeksi skalar ortogonal vektor b
pada arah vektor a adalah
||d|| =
•a b
a
(2) Proyeksi vektor ortogonal vektor b
pada arah vektor a adalah
2
 • 
=  
  
a b
d a
a
D
0 b B
d
a
A
LATIHAN
1. Diketahui titk A(2,1,3), B(-3,2, 5) dan C(4,-1,2). Ruas garis berarah AB
uuur
mewakili vektor u dan ruas garis berarahBC
uuur
mewakili vektor v. Hitunglah
perkalian skalar antara vektor u dan vektor v.

8. 2. Misalkan koordinat titik P(2,3,-1) dan Q(7,-2,9). Titik R membagi ruas garis
PQ dengan perbandingan 1 : 4. Carilah koordinat titik R.
4. Misalkan vektor a dan b membentuk sudut 600
. Jika ||a|| = 4 dan ||b|| = 5,
hitunglah b•(a + b)
5. Diketahui vektor-vektor a =
2
1
2
 
 ÷
− ÷
 ÷
 
, b =
3
2
1
 
 ÷
− ÷
 ÷
 
, dan c =
1
p
0
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Hitunglah nilai p, jika a•(b - c) = a•a dan tentukan besar sudut antara
vektor a dan b
6. Diketahui titik-titik K (3,3,3), L(1,2,-1), M(4,1,1), dan N(6,2,5). Tunjukkan
bahwa bangun KLMN berbentuk jajargenjang