Dokumen tersebut membahas tentang pengertian vektor sebagai besaran yang memiliki panjang dan arah, penjumlahan vektor, sifat-sifat vektor seperti komutatif dan distributif, hasil kali titik vektor, rumus perbandingan, proyeksi dan perkalian silang vektor, serta contoh soal dan pembahasan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor.
2. Pengertian Vektor
Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah.
Vektor dapat dituliskan dalam huruf kecil dan besar, atau dengan dua huruf
seperti berikut :
Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah anak panah, yaitu panjang panah
menunjukkan nilai atau besarnya vektor dan arah anak panah menunjukkan arah
vektor.
4. Sifat Vektor
a. Komutatif
a + b = b + a
b. Assosiatif
a + ( b + c) = (a + b) + c
c. Memiliki elemen satuan atau elemen identitas
a + 0 = 0 + a = a
d. Memiliki elemen inverse
a + (-a) = (-a) + a = 0
e. Distributive dengan perkalian skalar
K(a + b) = ka + kb , dengan k= skalar
5. Hasil kali titik
Didefinisikan jika vektor a=(a1, a2, a3) dan b=(b1, b2, b3), maka hasil kali titik
dari a dan b adalah bilangan atau skalar a.b yang diberikan oleh:
a.b= a1b1 + a2b2 + a3b3
8. Contoh Soal dan Pembahasan :
1. Diketahui vektor a = 8 i + 6 j dan vektor b = 3 i - 9 j , Tentukan :
a. 1/2 a + b
b. 1/2 a - b
Jawab =
a. 1/2 a + b = 1/2 ( 8 i + 6 j ) + ( 3 i - 9 j )
= ( 4 i + 3 j ) + ( 3 i - 9 j )
= ( 4 i + 3 i ) + ( 3 j - 9 j )
= 7 i - 6 j
b. 1/2 a - b = 1/2 ( 8 i + 6 j ) - ( 3 i - 9 j )
= ( 4 i + 3 j ) - ( 3 i - 9 j )
= ( 4 i - 3 i ) + ( 3 j + 9 j )
= i + 12 j
9. Contoh Soal dan Pembahasan:
2. Diketahui vektor a = 2 i - 3 j dan vektor b = -4 i - j , dan vektor c = - i + 2 j Tentukan vektor-
vektor berikut nyatakan hasilnya dalam vektor - vektor basis i dan j :
a. a - b + c
b. a + 2 b - c
Jawab :
a. a - b + c = ( 2 i - 3 j ) - ( -4 i - j ) + ( - i + 2 j )
= ( 2 i + 4 i - i - 3 j + j + 2 j )
= - i
b. a + 2 b - c = ( 2 i - 3 j ) + 2 ( -4 i - j ) - ( - i + 2 j )
= ( 2 i - 3 j ) + ( - 8 i - 2 j ) - ( - i + 2 j )
= ( 2 i - 8 i + i - 3 j - 2 j - 2 j )
= 9 i - 3 j
10. Contoh Soal dan Pembahasan
3. Diketahui Vektor a = i + 3 j - 2 k dan vektor b = 4 i - 2 j +
4 k. Hitunglah
a. |a|, |b|, dan a.b
b. Tentukan besar sudut antara vektor a dengan vektor b.
Jawab :
a. |a| = √(12 + 32 + (-2)2)
= √(1 + 9 + 4)
= √(14)
|b| = √(42 + (-2)2 + 42)
= √(16 + 4 + 16)
= √(36)
= 6
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
= ( 1 . 4 ) + ( 3 . (-2)) + ( (-2) . 4)
= 4 - 6 - 8
= -10
b. a.b = |a||b| cos α
- 10 = √(14) . 6 . cos α
cos α = - 10 / 6√(14)
α = 63,5