1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ตรีโกณมิติ
ตอน สื่อปฏิสัมพันธ์
เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
โดย
รองศาสตราจารย์ ยุวรีย์ พันธ์กล้า
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 15 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
2. เนื้อหาตอนที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- อัตราส่วนตรีโกณมิติ
  
- อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
3. เนื้อหาตอนที่ 2 เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและวงกลมหนึ่งหน่วย
- เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
- วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุม และหน่วยของมุม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
  
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
- ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่างๆ
6. เนื้อหาตอนที่ 5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างของมุม
- สูตรผลคูณ ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
7. เนื้อหาตอนที่ 6 กฎของไซน์และโคไซน์
- กฎของไซน์
- กฎของโคไซน์
8. เนื้อหาตอนที่ 7 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
9. เนื้อหาตอนที่ 8 ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- สมบัติและความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
12.แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
13.แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
14. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
17. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน
สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง
ตรีโกณมิติ นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตรีโกณมิติ (สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย)
หมวด สื่อปฏิสัมพันธ์
ตอนที่ 1 (1/3)
หัวข้อย่อย 1. หน่วยในการวัดมุมและวงกลมหนึ่งหน่วย
2. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
3. เอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วย
4. การประมาณค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
5. แบบฝึกหัด
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียนได้ใช้สื่อปฏิสัมพันธ์ในการศึกษา เรื่อง ตรีโกณมิติ เกี่ยวกับ
1. หน่วยในการวัดมุมโดยพิจารณาบนวงกลมหนึ่งหน่วย พร้อมทั้งดูความสัมพันธ์ของหน่วย
ในการวัดมุม คือ “องศา” และ “เรเดียน”
2. ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยพิจารณาจากสามเหลี่ยมมุมฉาก และวงกลมหนึ่งหน่วย
3. เอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วย
4. การประมาณค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ โดยอาศัยอนุกรมเทย์เลอร์
ผลการเรียนรู้
ผู้เรียนสามารถใช้สื่อปฏิสัมพันธ์เพื่อ
1. ทาความเข้าใจเกี่ยวกับหน่วยในการวัดมุมโดยพิจารณาบนวงกลมหนึ่งหน่วย และ
เปรียบเทียบขนาดของมุมในหน่วยองศา และหน่วยเรเดียน
2. หาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ จากสามเหลี่ยมมุมฉากและวงกลมหนึ่งหน่วย
3. หาค่าของฟังก์ชันไซน์, โคไซน์ และแทนเจนต์ ในจตุภาคต่างๆบนวงกลมหนึ่งหน่วย พร้อม
ทั้งเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันให้เห็นว่าสอดคล้องกับเอกลักษณ์
4. หาค่าประมาณของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ จากอนุกรมเทย์เลอร์

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
 การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
 หน่วยในการวัดมุมและวงกลมหนึ่งหน่วย
 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
 เอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วย
 การประมาณค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
 แบบฝึกหัด

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
สื่อการสอนชุดนี้พัฒนาด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คือซอฟต์แวร์สารวจเชิง
คณิตศาสตร์ เรขาคณิตพลวัต รุ่น 4.06 ภาษาไทย
ผู้ใช้โปรแกรมจะเรียกใช้โปรแกรมได้จากเมนูคาสั่ง
เมื่อคลิกเลือกโปรแกรม หรือ ดับเบิ้ลคลิก บนเดสก์ทอป
จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 1
รูปที่ 1. หน้าต่างแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
ให้คลิกที่ปุ่ม เพื่อเข้าสู่การใช้งาน โปรแกรมจะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 2
จากรูปที่ 2 จะกล่าวถึงเครื่องมือที่ใช้สาหรับการทางานกับโปรแกรมนี้ คือเมนูแฟ้ม และ
กล่องเครื่องมือ
 เมนูแฟ้ม ใช้ทางานเกี่ยวกับแฟ้มข้อมูล ในการใช้งานสื่อชุดนี้ใช้เพียงการเปิด/ปิด
แฟ้มข้อมูล
 กล่องเครื่องมือ แบ่งเครื่องมือออกเป็นหกประเภท ใน
ที่นี้จะใช้เฉพาะเครื่องมือลูกศร สาหรับเลือกหรือเคลื่อนย้าย (หรือลาก) อ็อบเจกต์
ในโปรแกรม ผู้ใช้โปรแกรมนี้จะต้องเลือกเครื่องมือลูกศร นี้ในการทางานตลอด
ทั้งโปรแกรม

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายการเมนู
กล่องเครื่องมือ
รูปที่ 2. หน้าต่างหลักของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
o การเปิด/ปิด แฟ้มข้อมูล
ถ้าต้องการเรียกโปรแกรมแฟ้มข้อมูลขึ้นมาใช้งาน ให้คลิกที่เมนู เลือกคาสั่ง
จะ
ปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 3 ให้
เลือกแฟ้มข้อมูลที่ต้องการ โดย
แฟ้มข้อมูลที่พัฒนาจากโปรแกรม
The Geometer’s Sketchpad
จะมีนามสกุลเป็น gsp เลือก
แฟ้มข้อมูลที่ต้องการ แล้วคลิกที่
แล้วจะปรากฏ
หน้าต่างของโปรแกรมแฟ้มข้อมูล รูปที่ 3. หน้าต่างเลือกแฟ้มข้อมูลที่ต้องการ
ที่ได้เลือกไว้ดังรูปที่ 5
 ถ้าต้องการปิดแฟ้มข้อมูล ให้คลิกที่เมนู เลือกคาสั่ง จะ
ปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 4 คือโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามว่า

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต้องการบันทึกการเปลี่ยนแปลงของแฟ้มข้อมูลหรือไม่ ในที่นี้ไม่แนะนาให้บันทึก
แฟ้มข้อมูล เพราะอาจทาให้โปรแกรมที่พัฒนาไว้มีข้อผิดพลาดได้ ให้เลือกคลิกที่ปุ่ม
เพื่อจะได้ไม่มีการเปลี่ยนแปลงโปรแกรมที่พัฒนาไว้
รูปที่ 4. หน้าต่างเมื่อเรียกคาสั่งปิดแฟ้มข้อมูล
เมื่อเรียกโปรแกรม “สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย” จะปรากฏหน้าต่างสองหน้านี้สลับกัน
รูปที่ 5. หน้าต่างแรกของโปรแกรม
จากหน้าต่างนี้จะสังเกตได้ว่าที่ด้านล่างของหน้าต่างมีรายการเมนูคาสั่งสองระดับ ดังรูป
ระดับแรก
ระดับที่สอง
รูปที่ 6. หน้าต่างแรกของโปรแกรม

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ระดับแรกอยู่ด้านล่างติดกับหน้าต่างที่เลือกไว้ คือรายการเมนู ดังนี้
สาหรับเลือกกาหนดตาแหน่งของหน้าต่างภายในหน้าจอของเรา
การทางานของปุ่มต่างๆ
เลื่อนหน้าต่างไปมุมบนซ้ายของจอภาพ
ดูภาพการเคลื่อนไหวของหน้านั้น
เรียกหน้าสารบัญขึ้นมาแสดงบนหน้าต่างจอภาพ
เรียกหน้าสุดท้ายของหัวข้อขึ้นมาแสดงบนหน้าต่าง
เลื่อนหน้าต่างสื่อไปกลางหน้าต่าง
ระดับที่สองอยู่ด้านล่างติดกับหน้าต่างของโปรแกรม ดังนี้
สาหรับแสดงรายชื่อหน้าต่างในโปรแกรม เพื่อให้ผู้ใช้เลือก/เปลี่ยนการทางานไปยัง
หน้าต่างนั้นๆ ได้เลย เปรียบเสมือนเป็นเมนูลัดสาหรับเลือกดูหัวข้อ/หน้าต่างที่ต้องการ
การทางานของปุ่มต่างๆ
เลื่อนไปหน้าแรกของหัวข้อนั้น
เรียกหน้าสารบัญขึ้นมาแสดงบนจอภาพ
แถบต่อมาเป็นรายการหัวข้อย่อยในหัวข้อ “หน่วยในการวัดมุมและวงกลมหนึ่งหน่วย” เช่น
ผู้ใช้สามารถคลิกที่แถบนี้เพื่อเลื่อนไปที่หน้านั้นๆ ได้ทันที
แถบเลื่อนหน้าต่าง ใช้สาหรับเลื่อนเพื่อเลือกดูรายการหัวข้อย่อยด้านล่าง
แถบเลื่อน ใช้สาหรับเลื่อนดูข้อมูลในหน้าต่างไปทางด้านซ้าย/ขวา หรือ
ถ้าอยู่ในแนวตั้งก็ใช้สาหรับเลื่อนข้อมูลในหน้าต่างขึ้น/ลง

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การเริ่มต้นใช้งานสื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย ผู้ใช้ต้องคลิกที่ เพื่อ
เปลี่ยนการทางานไปที่หน้าสารบัญ หน้าต่างสารบัญจะแสดงดังนี้
ผู้ใช้สามารถเลือกโปรแกรมสื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย จากหน้าต่างสารบัญที่
แสดงรายการบทเรียน ซึ่งแบ่งออกเป็น 5 หัวข้อ คือ
1. หน่วยในการวัดมุมและวงกลมหนึ่งหน่วย
2. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
3. เอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วย
4. การประมาณค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
5. แบบฝึกหัด
ข้อสังเกต ผู้ใช้จะต้องคลิกเลือกหัวข้อที่ ล้อมรอบด้วยกรอบสี่เหลี่ยม เพื่อเข้าดูรายละเอียดของหัวข้อนั้นได้
ในกรณีที่ผู้ใช้ต้องการเปลี่ยนหัวข้อใหม่ ผู้ใช้ต้องออกจากหัวข้อเดิมก่อน แล้วเลือกแฟ้มข้อมูลที่ต้องการใหม่
จากนั้นให้เข้าสู่หน้าต่างสารบัญของแฟ้มข้อมูลที่เลือกใหม่

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. หน่วยในการวัดมุมและวงกลมหนึ่งหน่วย

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. หน่วยในการวัดมุมและวงกลมหนึ่งหน่วย
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ใช้วงกลมหนึ่งหน่วย เพื่อศึกษาเนื้อหาต่อไปนี้
1.1 หน่วยในการวัดมุม
1.2 มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
การเข้าศึกษาในหัวข้อนี้ ผู้เรียนต้องเลือกแฟ้มข้อมูลเรื่อง หน่วยในการวัดมุมและวงกลมหนึ่งหน่วย
แล้วจึงเข้าสู่หน้าต่างสารบัญของแฟ้มข้อมูลนี้ ซึ่งหน้าจอจะแสดงดังนี้
เมื่ อ คลิ ก ที่ จะปรากฏบนหน้ า จอจ านวน 5
หน้าต่างต่อเนื่องกัน ซึ่งเราจะพิจารณาการใช้งานวงกลมหนึ่งหน่วยทั้ง 5 หน้าต่าง แยกตามเรื่องทั้ง 2 ใน
หัวข้อ 1.1 และ 1.2 ดังต่อไปนี้

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1.1 หน่วยในการวัดมุม
ในการวัดมุมจะมีการวัด 2 แบบ คือ วัดแบบหน่วยองศา และ วัดแบบหน่วยเรเดียน
หน่วยในการวัดมุมที่รู้จักกันดีคือ องศา เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  โดยถือว่ามุมที่เกิดจากการหมุน
ส่วนของเส้นตรงไปครบหนึ่งรอบมีขนาด 360 องศา นั่นคือ
1
1 องศา เท่ากับ ของมุมในการหมุนเต็มหนึ่งรอบ
360
หน่วยในการวัดมุมแบบ เรเดียน จะนิยามจากวงกลมดังนี้
มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี r หน่วย ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมที่ยาว a หน่วย จะมี
a
ขนาด เรเดียน และถ้าให้ขนาดของมุมดังกล่าวเป็น  เรเดียน จะได้
r
a
 
r
นั่นคือ มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมที่ยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมนั้น ถือ
ว่าเป็นมุมที่มีขนาด 1 เรเดียน
ในที่นี้ เราจะพิจารณามุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี 1 หน่วย ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดซึ่ง
เรียกว่า วงกลมหนึ่งหน่วย โดยกาหนดให้ด้านเริ่มต้นของมุมนั้นทาบไปตามแกน x ทางบวก และจะกล่าว
ว่ามุมนั้นอยู่ในตาแหน่งมาตรฐาน ผู้เรียนสามารถหมุนด้านสิ้นสุดของมุมไปได้รอบวงกลม ทั้งในทิศทาง
ตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกาโดยที่ ถ้าหมุนทวนเข็มนาฬิกา จะแสดงขนาดของมุมเป็นจานวนบวก
และถ้าหมุนตามเข็มนาฬิกา จะแสดงขนาดของมุมเป็นจานวนลบ แต่ทั้งนี้มุมที่เกิดขึ้นในหน้าต่างที่ 1, 2 และ
3 ต่อไปนี้จะแรเงาและบอกขนาดของมุมเฉพาะมุมที่วัดจากด้านเริ่มต้นไปหาด้านสิ้นสุดของมุมในทิศทาง
ทวนเข็มนาฬิกาเท่านั้น และแสดงขนาดของมุมด้วยจานวนบวก

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในหน้าต่างที่ 1 (1) ผู้เรียนจะได้ฝึกการวัดขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม โดยมีหน่วยในการ
วัดเป็นองศา ทั้งนี้ผู้เรียนสามารถหมุนด้านสิ้นสุดของมุมไปได้ตามต้องการโดยการลากจุดสีดาที่อยู่บนเส้น
รอบวง หรือคลิกที่ขนาดของมุมทางด้านขวาของหน้าต่าง ซึ่งบนหน้าต่างจะปรากฏขนาดของมุมที่เลือกแสดง
ให้เห็น โดยมีค่าตังแต่ 0 ถึง 360 องศา ดังนี้
้
หน้าต่างที่ 1 (1)
ในหน้าต่างที่ 2 (1) จะแสดงหน่วยในการวัดมุมเป็นเรเดียน ซึ่งผู้เรียนสามารถหมุนด้านสิ้นสุดของ
มุม หรือคลิกเลือกขนาดของมุมได้เช่นเดียวกับหน้าต่างที่ 1 (1) ทั้งนี้ขนาดของมุมที่แสดงบนหน้าต่างจะมีค่า
ตั้งแต่ 0 ถึง 2  6.28 เรเดียน และจะแสดงตัวเลขเป็น 2 ลักษณะ คือ ค่าที่เป็นจานวนจริงที่ไม่มี  กับ
ค่าที่อยู่ในรูปผลคูณของจานวนจริงและ  ดังนี้
หน้าต่างที่ 2 (1)
หมายเหตุ หน้าต่างที่ i ( j ) หมายถึง หน้าต่างที่ i ของหัวข้อ j

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในหน้า ต่า งที่ 3 (1) จะพิ จารณาความสัมพั นธ์ระหว่าง “องศา” กั บ “เรเดีย น” กล่าวคือ มุมที่จุด
ศูนย์กลางของวงกลมที่ได้จากการหมุนรัศมีไปครบ 1 รอบมีขนาด 2 เรเดียน แต่มุมดังกล่าวเมื่อวัดเป็น
องศาวัดได้ 360 องศา ดังนั้น
360 องศา  2 เรเดียน
หรือ 180 องศา   เรเดียน

ดังนั้น 1 องศา   0.01745 เรเดียน
180
180
และ 1 เรเดียน   57.3 องศา

ซึ่งผู้เรียนสามารถหมุนด้านสิ้นสุดของมุม หรือคลิกเลือกขนาดของมุมได้เช่นเดียวกับหน้าต่างที่ 1 (1) ทั้งนี้
ขนาดของมุมที่แสดงบนหน้าต่างจะปรากฏค่าทั้งในหน่วยองศาและหน่วยเรเดียน ดังนี้
หน้าต่างที่ 3 (1)
จากความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมในหน่วยองศาและหน่วยเรเดียนในหน้าต่างที่ 3 (1) จะได้ว่า
เมื่อทราบขนาดของมุมในหน่วยใดหน่วยหนึ่งแล้วจะสามารถบอกขนาดของมุมนั้นในอีกหน่วยได้เสมอ

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1.2 มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
ในหัวข้อ 1.1 ผู้เรียนจะพบการแสดงขนาดของมุมด้วยจานวนบวกเพียงอย่างเดียว สาหรับในหัวข้อ
นี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาการวัดมุมบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่แสดงขนาดของมุมเป็นจานวนบวกและจานวนลบ ตาม
ข้อตกลงต่อไปนี้
 ถ้าหมุนส่วนของเส้นตรงทวนเข็มนาฬิกา จะแสดงขนาดของมุมด้วยจานวนบวก
 ถ้าหมุนส่วนของเส้นตรงตามเข็มนาฬิกา จะแสดงขนาดของมุมด้วยจานวนลบ
ในหน้าต่างที่ 4 (1) ผู้เรียนสามารถเลือกการวัดมุมได้ 2 แบบ คือ แบบทวนเข็มนาฬิกา และแบบตาม
เข็มนาฬิกา ถ้าต้องการวัดมุมแบบทวนเข็มนาฬิกาให้คลิกที่ มุมที่เกิดจากการหมุนจะแรเงา
เป็นสีน้าเงินโดยวัดขนาดของมุมจากด้านเริ่มต้นของมุมไปหาด้านสิ้นสุด ของมุมในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
และแสดงค่าเป็นจานวนบวกทั้งสองหน่วยการวัด ถ้าต้องการเพิ่มรอบการวัดอีกให้คลิกที่
ซ้าอีก 1 ครั้ง ดังนี้
หน้าต่างที่ 4 (1)

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ถ้าต้องการวัดมุมแบบตามเข็มนาฬิกาให้คลิกที่ โดยวงกลมต้องเปลี่ยนเป็นสีแดงจึง
จะวั ด มุ ม แบบตามเข็ ม นาฬิ ก าได้ ถ้ า วงกลมยั ง เป็ น สี น้ าเงิ น อยู่ ใ ห้ ค ลิ ก ที่ ซ้ าจนวงกลม
เปลี่ยนเป็นสีแดง มุมที่เกิดจากการหมุนแบบตามเข็มนาฬิกาจะแรเงาเป็นสีแดงโดยวัดขนาดของมุมจากด้าน
เริ่มต้นไปหาด้านสิ้นสุดของมุมในทิศทางตามเข็มนาฬิกาและแสดงค่าเป็นจานวนลบทั้งสองหน่วยการวัด ถ้า
ต้องการเพิ่มรอบการวัดอีกให้คลิกที่ ซ้าอีก 1 ครั้งดังนี้
หน้าต่างที่ 4 (1)
สาหรับหน้าต่างที่ 5 (1) ซึ่งเป็นหน้าสุดท้ายของหัวข้อนี้ จะปรากฏดังนี้
หน้าต่างที่ 5 (1)

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในหน้าต่างที่ 5 (1) ผู้เรียนไม่สามารถหมุนด้านสิ้นสุดของมุมได้ดังเช่นหน้าต่างก่อนหน้านี้ แต่ผู้เรียน
สามารถเลือกหน่วยในการวัดมุม และกาหนดขนาดของมุมได้เองดังนี้
ถ้า ผู้เ รีย นต้ องการเปลี่ย นหน่ วยจากองศาไปเป็ นเรเดีย น ให้ค ลิก ค้า งที่ แล้ว ลากไปที่
ตาแหน่ง เรเดียน ในทานองเดียวกันถ้าต้องการเปลี่ยนหน่วยจากเรเดียนไปเป็นองศาให้คลิก ค้างที่
แล้วลากไปที่ตาแหน่ง องศา สาหรับการกาหนดขนาดของมุมนั้นให้ผู้เรียนดับเบิ้ลคลิกที่ตัวเลขแสดงขนาด
ของมุมเพื่อแก้ไขค่ามุม หน้าจอจะแสดงดังนี้
หน้าต่างที่ 5 (1)
ให้ผู้เรียนเปลี่ยนค่าของมุมจากค่าเดิมเป็นค่าใหม่ ซึ่งเป็นจานวนบวกหรือลบก็ได้ แล้วคลิกที่ เช่น
จากค่าเดิมคือ - 120 องศา เปลี่ยนเป็น 100 องศา หน้าจอจะปรากฏใหม่เป็นดังนี้
หน้าต่างที่ 5 (1)

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อผู้เรียนได้ทาความเข้าใจเกี่ยวกับหน่วยในการวัดมุมและมุมบนวงกลมหนึ่งหน่วยแล้ว เพื่อให้เห็น
ถึงความสะดวกรวดเร็วในการแปลงหน่วยของมุมพร้อมรูปภาพแสดงมุมที่ต้องการ จึงขอยกตัวอย่างการใช้
สื่อปฏิสัมพันธ์เพื่อหาค่าต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงแปลงหน่วยของมุมต่อไปนี้ จากองศาเป็นเรเดียน หรือจากเรเดียนเป็นองศา พร้อมทั้งแสดงมุม
บนวงกลมหนึ่งหน่วย
1. 85 องศา
2. 140 องศา
3. 1.54 เรเดียน
4. 1.123 เรเดียน
5. 470 องศา
วิธีทา ผู้เรียนสามารถเลือกใช้งานการวัดมุมบนวงกลมหนึ่งหน่วยเพื่อแปลงหน่วยของมุมได้ 3 หน้าต่างคือ
หน้าต่างที่ 3, 4 และ 5 ของหัวข้อที่ 1 แต่เพื่อความสะดวกในการใช้งานและไม่มีข้อจากัดเรื่องขนาดของมุม
จึงขอเลือกใช้หน้าต่างที่ 5 (1) ในการแปลงหน่วยของมุมในตัวอย่างนี้
1. 85 องศา
17 
จะได้ว่า 85   1.48353 เรเดียน
36
#

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. 140 องศา
7 
จะได้ว่า 140    2.44346 เรเดียน
9
#
3. 1.54 เรเดียน
จะได้ว่า 1.54 เรเดียน  88.24
#

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. 1.123 เรเดียน
จะได้ว่า 1.123 เรเดียน   64.34
#
5. 470 องศา
47 
จะได้ว่า 470   8.20305 เรเดียน
18
#

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ในหัวข้อนี้ ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติใน 2 ลักษณะคือ
2.1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
2.2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมหนึ่งหน่วย
การเข้าศึกษาในหัวข้อนี้ ผู้เรียนต้องเลือกแฟ้มข้อมูลเรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ แล้วจึงเข้าสู่หน้าต่าง
สารบัญของแฟ้มข้อมูลนี้ ซึ่งหน้าจอจะแสดงดังนี้
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏบนหน้าจอจานวน 2 หน้าต่างต่อเนื่องกัน ซึ่งจะใช้
พิจารณาการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติแยกตามเรื่องทั้ง 2 ในหัวข้อ 2.1 และ 2.2 ดังต่อไปนี้

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
B
c a
A b C
ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี C เป็นมุมฉาก
ให้ a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ตามลาดับ
a b
จะได้ว่า sin A  cos A 
c c
a b
tan A  cot A 
b a
c c
sec A  cosec A   csc A 
b a
จากสูตรการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม A ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จะเห็นว่าเป็น
การวัดอัตราส่วนระหว่างด้านต่างๆในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เราจึงเรียกค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติในลักษณะ
นี้ว่า อัตราส่วนตรีโกณมิ ติ ซึ่งผู้เรีย นจะได้ฝึก ฝนการหาอัตราส่วนตรีโกณมิติในหน้าต่างที่ 1 ของหัวข้อ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งแสดงบนหน้าจอดังนี้
หน้าต่างที่ 1 (2)
หมายเหตุ มุม A จะมีขนาดอยู่ระหว่าง 0 ถึง 90 องศา เท่านั้น

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติในหน้าต่างนี้ ผู้เรียนสามารถเลือกฟังก์ชัน ที่ต้องการได้โดยการคลิกค้าง
ที่ตาแหน่งปัจจุบันแล้วลากไปยังฟังก์ชันที่ ต้องการ สาหรับขนาดของมุม A ผู้เรียนสามารถปรับได้โดยการ
ลาก จุด B เพื่อปรับรูปสามเหลี่ยมให้ขนาดของมุม A เปลี่ยนไปตามที่ต้องการ ทั้งนี้ขณะที่เปลี่ยนตาแหน่ง
ของจุด B ขนาดของมุม A ความยาวด้าน AC และ BC รวมทั้งค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม A ก็จะ
เปลี่ยนแปลงตามไปด้วย แต่มุม C ยังคงเป็นมุมฉาก และด้าน AB ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ยังคงยาว 1
หน่วยไม่เปลี่ยนแปลง
ตัวอย่าง จงหาค่าของ sin 75 และ sec 58
sin 75  0.96593
sec 58  1.88708
#

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมหนึ่งหน่วย
 x, y 
θ
θ
0 1
บทนิยาม ให้  x, y  เป็นจุดปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยโดยส่วนโค้งยาว  หน่วย ดังรูป
ฟังก์ชันไซน์  sine  คือ เซตของคู่อันดับ  , y 
ฟังก์ชันโคไซน์  cosine  คือ เซตของคู่อันดับ  , x 
เนื่องจาก  , y   sine จะได้ y  sine  
และ  , x   cosine จะได้ x  cosine  
ซึ่งเราจะเขียนสั้นๆว่า
y  sin 
x  cos 
ดังนั้นเมื่อกาหนดจานวนจริง  ให้ เราจะหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริง  ได้โดยอาศัย
พิกัดของจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย แต่การหาพิกัดของจุดปลายส่วนโค้งสาหรับทุกค่าความยาว  นั้น
ย่อมเป็นไปได้ยาก สื่อปฏิสัมพันธ์ในหัวข้อนี้จึง พัฒนาโปรแกรมมาเพื่อสร้างความสะดวกในการหาค่าของ
พิกัดของจุดปลายส่วนโค้งทุกค่าความยาว  ซึ่งจะเป็นผลต่อเนื่องในการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไป ซึ่ง
ผู้เรียนสามารถใช้งานได้ในหน้าต่างที่ 2 ของหัวข้อฟังก์ชันตรีโกณมิติ

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากนิย ามฟั ง ก์ ชั นไซน์และโคไซน์ที่ก ล่ าวมานี้ ผู้เรีย นจะเห็นว่าเป็นฟั งก์ ชั นของจานวนจริง 
เพื่อให้สอดคล้องกับสื่อปฏิสัมพันธ์ที่พิจารณาในเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม จึงขออธิบายความเกี่ยวข้อง
ของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจานวนจริง กับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมพอสังเขป ดังต่อไปนี้
สมมติว่ามีมุมๆหนึ่งมีขนาด  เรเดียน อยู่ในตาแหน่งมาตรฐานดังรูป
y
θ
θ x
0 1
โดยที่ส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางขนาด 1 เรเดียน จะต้องยาว 1 หน่วย
ดังนั้นส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางขนาด  เรเดียน จึงยาว  หน่วย จะเห็นได้
ว่า จุดที่ด้านสิ้นสุดของมุมขนาด  เรเดียน ตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วยนั้น จะเป็นจุดเดียวกันกับจุดปลายส่วน
โค้งที่ยาว  หน่วย
ดังนั้นเมื่อกาหนดมุมขนาด  เรเดียนให้หนึ่งมุม จะหาจุดที่ด้านสิ้นสุดของมุมนั้นตัดกับวงกลมหนึ่ง
หน่วยได้เพียงจุดเดียว และจุดนั้นจะเป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วยด้วย หรือกล่าวได้ว่า ส่วนโค้งของ
วงกลมหนึ่งหน่วยที่รองรับมุม  เรเดียนจะยาว  หน่วย จะเห็นได้ว่า ไม่ว่าจะใช้วิธีวัดมุมหรือวัดความยาว
ส่วนโค้งของวงกลม จุดที่ด้านสิ้นสุดของมุมตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วยจะเป็นจุดเดียวกับจุดปลายของส่วนโค้ง
จึงสรุปได้ว่า ไม่ว่าจะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ของมุม หรือในแง่ของความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนึ่ง
หน่วยที่รองรับมุม ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจานวนเหล่านั้นจะมีค่าเท่ากัน นั่นคือ sin  อาจหมายถึง
sin ของมุมที่มีขนาด  เรเดียน หรือ sin ของจานวนจริง  ก็ได้
จากที่กล่าวมาจะเห็นว่าเมื่อหน่วยของมุมซึ่งอยู่ในตาแหน่งมาตรฐานมีหน่วยเป็น เรเดียน จานวนที่
แสดงค่าของมุมนั้นจะเป็นจานวนเดียวกับ จานวนจริง ที่แทนความยาวของส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่
รองรับมุมนั้น เราจึงถือว่าหน่วยเรเดียนมีค่าเป็นจานวนจริง

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หน้าต่างที่ 2 ของหัวข้อฟังก์ชันตรีโกณมิติจะแสดงการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ดังนี้
หน้าต่างที่ 2 (2)
การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติในหน้าต่างนี้ ผู้เรียนสามารถเลือกกาหนดขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลาง
ได้ 2 วิธี ดังนี้
1. เลือกกาหนดขนาดของมุมด้วยวิธีการหมุนด้านสิ้นสุดของมุม (การลากจุด)
วิธีนี้ให้ผู้เรียนเลื่อนกรอบสี่เหลี่ยมไปที่ แล้วเลื่อนจุดสีดาบนเส้นรอบวงเพื่อ
เปลี่ยนขนาดของมุม สาหรับวิธีการหมุนแบบทวนเข็มนาฬิกา หรือตามเข็มนาฬิกา นั้นจะเหมือนกับวิธีการใน
หน้าต่างที่ 4 ของหัวข้อ 1 ที่ได้กล่าวมาแล้ว ทั้งนี้ในขณะที่เลื่อนจุดเพื่ อเปลี่ยนขนาดของมุมนั้นผู้เรียนจะ
พบว่า ค่าพิกัดของจุดปลายของส่วนโค้งและค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะเปลี่ยนค่าตามไปด้วย
ตัวอย่าง จงหาค่าของ tan 126.14 และ sec 126.14
จะได้ว่า tan 126.14  1.36919
sec 126.14  1.69549
#

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. เลือกกาหนดขนาดของมุมด้วยการเติมจานวนที่ต้องการ (การป้อนค่ามุม)
วิธีนี้ให้ผู้เรียนเลื่อนกรอบสี่เหลี่ยมไปที่ ซึ่งผู้เรียนสามารถเลือกหน่วยในการ
วัดมุมและกาหนดขนาดของมุมได้เอง ซึ่งวิธีการจะเหมือนกับวิธีการในหน้าต่างที่ 5 ของหัวข้อ 1 ที่ได้กล่าว
มาแล้ว
ตัวอย่าง จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติเมื่อกาหนดขนาดของมุมดังนี้
1. 1.95 เรเดียน
2. 115 องศา
#

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. เอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วย

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. เอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วย
จากการที่วงกลมหนึ่งหน่วยมีแกน x และแกน y เป็นแกนสมมาตร การหาค่าของฟังก์ชันไซน์และ
โคไซน์ของมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีขนาดตั้งแต่ 0 ถึง 2 จึงหาได้จากค่า ของฟังก์ชันไซน์และ

โคไซน์ของมุมตั้งแต่ 0 ถึง โดยอาศัยเอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วยต่อไปนี้
2

สาหรับมุม  ที่ 0    จะได้ว่า
2
 sin       sin   sin        sin 
1 
  2 

cos        cos 
 cos        cos 

 sin  2      sin 
และ  3 

cos  2    
 cos 
ถ้าเราสามารถหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของมุมที่เป็นจานวนบวกใดๆได้ เราจะอาศัยสมบัติ
การมีสมมาตรเทียบกับแกน x ของวงกลมหนึ่งหน่วยเพื่อหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของมุมที่เป็น
จานวนลบที่เป็นจานวนตรงข้ามของจานวนบวกนั้นๆได้ นอกจากนี้การที่เราหาค่าของฟังก์ชันไซน์และ
โคไซน์ของมุมที่จุดศูนย์กลางในรอบที่หนึ่งได้ เราก็จะสามารถหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของมุมที่
เกินหนึ่งรอบได้ทั้งการหมุนทวนเข็มนาฬิกาและตามเข็มนาฬิกา โดยอาศัยเอกลักษณ์ต่อไปนี้
 sin  2n     sin   sin      sin 
 4 
  5 

cos  2n     cos 
 cos    
 cos 
เมื่อ n เป็นจานวนรอบของการหมุน โดย n เป็นจานวนเต็มบวก ถ้าหมุนทวนเข็มนาฬิกา
และ n เป็นจานวนเต็มลบ ถ้าหมุนตามเข็มนาฬิกา
เพื่อเป็นการยืนยันเอกลักษณ์ที่กล่าวมานี้ สื่อปฏิสัมพันธ์ในหัวข้อนี้จึงพัฒนาโปรแกรมมาเพื่อให้ผู้เรียนได้
ทดสอบเอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วยทั้ง 5 ข้อ ดังต่อไปนี้

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การเข้าศึกษาในหัวข้อนี้ ผู้เรียนต้องเลือกแฟ้มข้อมูลเรื่อง เอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วย แล้วจึงเข้า
สู่หน้าต่างสารบัญของแฟ้มข้อมูลนี้ ซึ่งหน้าจอจะแสดงดังนี้
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏบนหน้าจอตามลาดับต่อไปนี้ โดยที่
ในหน้าต่างที่ 1-4 ของหัวข้อนี้จะพิจารณาเฉพาะมุมที่เป็นจานวนบวกเท่านั้น
หน้าต่างที่ 1 (3) ทดสอบเอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วยของมุมในจตุภาคที่ 2
(พิจารณามุมในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา)
sin       sin  

cos        cos   1

tan        tan  
หน้าต่างที่ 1 (3)

ผู้เรียนสามารถเลื่อนจุด สีดา บนเส้นรอบวงเพื่อเปลี่ยนขนาดของมุมตั้งแต่ ถึง  หรือ 90 ถึง
2
180 ซึ่งขณะที่เลื่อนจุดสีดาเพื่อเปลี่ยนขนาดของมุมในจตุภาคที่ 2 นั้น จุด สีแดง ในจตุภาคที่ 1 จะเลื่อน
ตามในลักษณะสะท้อนเมื่อเทียบกับแกนสมมาตร y และค่าของพิกัดจุดปลายของส่วนโค้งที่จุดสีดาและจุ ด
สีแดงจะเปลี่ยนค่าไปตามการเปลี่ยนจุด ซึ่งเป็นผลให้ค่าของฟังก์ชันไซน์, โคไซน์ และแทนเจนต์ จะเปลี่ยน
ค่าตามไปด้วย จากพิกัดของจุดสีดาและจุดสีแดงที่สังเกตจากการเลื่อนจุด ผู้เรียนจะพบว่าสอดคล้องกับ
เอกลักษณ์ (1) ของมุมในจตุภาคที่ 2 กล่าวคือ ถ้ามุมที่วัดในทิศทางทวนเข็มนาฬิกามีจุดสิ้นสุดเป็ นจุดสีแดง
คือ  แล้วมุมที่จุดสิ้นสุดเป็นจุดสีดาก็คือ   

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หน้าต่างที่ 2 (3) ทดสอบเอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วยของมุมในจตุภาคที่ 3
(พิจารณามุมในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา)
sin        sin  

cos        cos    2 

tan       tan  
หน้าต่างที่ 2 (3)
ผู้เรียนสามารถเลื่อนจุดสีดาบนเส้นรอบวงในจตุ ภาคที่ 3 และเนื่องจากวงกลมหนึ่งหน่วยมีสมมาตร
เทียบกับแกน x และ แกน y จึงมีสมมาตรเทียบกับจุดศูนย์กลางของวงกลมด้วย ดังนั้นในขณะที่เลื่อนจุดสี
ดาในจตุภาคที่ 3 จุดสีแดงในจตุภาคที่ 1 จะเลื่อนตามในลักษณะสะท้อนเทียบกับจุดศูนย์กลาง กล่าวคือ ถ้ามุม
ที่วัดในทิศทางทวนเข็ มนาฬิก ามีจุดสิ้นสุดเป็นจุดสีแดงคือ  แล้วมุมที่จุดสิ้นสุดเป็นจุดสีดาก็คือ   
ผู้เรียนจะพบว่าจากการเปลี่ยนค่าของพิกัดจุดสีดาและจุดสีแดงนั้น ทาให้ค่าของฟังก์ชันไซน์, โคไซน์ และ
แทนเจนต์ สอดคล้องกับเอกลักษณ์ (2) เช่นกัน
หน้าต่างที่ 3 (3) ทดสอบเอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วยของมุมในจตุภาคที่ 4
(พิจารณามุมในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา)
sin  2      sin  

cos  2     cos   3

tan  2      tan  
หน้าต่างที่ 3 (3)
เมื่อผู้เรียนเลื่อนจุดสีดาบนเส้นรอบวงในจตุภาคที่ 4 จุดสีแดงในจตุภาคที่1จะเลื่อนตามในลักษณะ
สะท้อนเทียบกับแกนสมมาตร x ผู้เรียนจะพบว่าจากการเปลี่ยนค่าของพิกัดจุดสีดาและจุดสีแดงนั้น ทาให้ค่า
ของฟังก์ชันไซน์, โคไซน์ และแทนเจนต์ สอดคล้องกับเอกลักษณ์ (3) เช่นกัน

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หน้าต่างที่ 4 (3) ทดสอบเอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วยของมุมที่เกินหนึ่งรอบ
(พิจารณามุมในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา)
sin  2     sin  

cos  2     cos    4 

tan  2     tan  
หน้าต่างที่ 4 (3)
เมื่อผู้เรียนเลื่อนจุดสีดาบนเส้นรอบวงเกินหนึ่งรอบ เช่น 2   เมื่อ   0 จะพบว่าจุดสีดาจะทับ
ตาแหน่งที่เลื่อนจุดสีดาในรอบแรกไปขนาด  นั่นเอง ทาให้พิกัดของจุดสีดาบนวงกลมเมื่อเลื่อนจุดสีดาไป
 จะเป็ น พิ กั ด เดี ย วกั บ เมื่ อ เลื่ อ นจุ ด สี ด าไป 2   ท าให้ ค่ า ของฟั ง ก์ ชั น ไซน์ , โคไซน์ และแทนเจนต์
สอดคล้องกับเอกลักษณ์ (4) เช่นกัน
หน้าต่างที่ 5 (3) ทดสอบเอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วยของมุมที่เป็นจานวนลบ
(พิจารณามุมในทิศทางตามเข็มนาฬิกา)
sin      sin  

cos     cos    5 

tan      tan  
หน้าต่างที่ 5 (3)
ในหน้าต่างนี้ผู้เรียนสามารถเลื่อนจุดสีดาไปได้ทุกจุดบนเส้ นรอบวง หน้าจอจะแสดงพิกัดของจุด
ปลายของส่วนโค้งที่รองรับมุมในทิศทางตามเข็มนาฬิกาที่มีค่าของมุมเป็นจานวนลบ โดยอาศัยการมีสมมาตร
เที ย บกั บ แกน x ของวงกลมหนึ่ ง หน่ ว ย ทาให้ ส รุ ป ได้ ว่ า ค่ า ของฟั ง ก์ ชั น ไซน์ , โคไซน์ และแทนเจนต์
สอดคล้องกับเอกลักษณ์ (5) เช่นกัน

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สาหรับหน้าต่า งที่ 6 (3) นี้จะเหมือนกับหน้าต่างที่ 2 ของหัวข้อ 2 ฟังก์ ชันตรีโกณมิติ ที่ได้กล่าว
มาแล้ว แต่ใ นที่นี้จะแสดงเฉพาะค่าของฟังก์ชันไซน์ , โคไซน์ และแทนเจนต์ เพื่อทบทวนเอกลักษณ์บน
วงกลมหนึ่งหน่วย รวมทั้งผู้เรียนสามารถทดสอบเอกลักษณ์ (4) ในกรณีที่จานวนรอบของการหมุนมากกว่า 2
รอบ และหมุนได้ทั้งทวนเข็มนาฬิกาและตามเข็มนาฬิกา ดังนี้
หมุนทวนเข็มนาฬิกาโดยการลากจุด
หมุนตามเข็มนาฬิกาโดยการลากจุด
หน้าต่างที่ 6 (3)

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. การประมาณค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. การประมาณค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ในหัวข้อนี้จะอาศัยความรู้ทางแคลคูลัส ในเรื่อง อนุกรมเทย์เลอร์ของไซน์และอนุกรมเทย์เลอร์ของ
โคไซน์ เพื่ อนามาประมาณค่ าของฟัง ก์ ชั นไซน์และโคไซน์ พร้อมทั้ งบอกค่าความคลาดเคลื่อนจากการ
ประมาณค่าด้วย
การเข้าศึกษาในหัวข้อนี้ ผู้เรียนต้องเลือกแฟ้มข้อมูลเรื่อง การประมาณค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ แล้วเข้า
สู่หน้าต่างสารบัญของแฟ้มข้อมูลดังนี้
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏบนหน้าจอตามลาดับดังต่อไปนี้
หน้าต่างที่ 1 (4) แสดงอนุกรมเทย์เลอร์ของไซน์และอนุกรมเทย์เลอร์ของโคไซน์
หน้าต่างที่ 1 (4)
สาหรับการประมาณค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในสูตรของอนุกรมเทย์เลอร์ของไซน์และโคไซน์นั้น ค่าของ
 ที่จะแทนในสูตรต้องมีหน่วยเป็นเรเดียนเท่านั้น

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หน้าต่างที่ 2 (4) แสดงการประมาณค่าฟังก์ชันไซน์จากสูตรอนุกรมเทย์เลอร์ของไซน์
หน้าต่างที่ 2 (4)
หน้าต่างที่ 3 (4) แสดงการประมาณค่าฟังก์ชันโคไซน์จากสูตรอนุกรมเทย์เลอร์ของโคไซน์
หน้าต่างที่ 3 (4)
ในหน้าต่างที่ 2 (4) และ 3 (4) จะเห็นว่า  คือขนาดของมุม A ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่ง มีค่า
อยู่ระหว่าง 0.01745 เรเดียน ถึง 1.55334 เรเดียน (หรือมุม A จะมีขนาดตั้งแต่ 1 ถึง 89 ) ผู้เรียนสามารถ
เปลี่ยนค่าของ  ในสูตรได้โดยการเลื่อนตาแหน่งของจุด B ซึ่งขณะที่เลื่อนจุด B ผู้เรียนจะเห็นค่าประมาณ
ของ sin  และ cos จากหน้าต่างที่ 2 (4) และ 3 (4) ตามลาดับ การประมาณค่าจะใช้สูตรอนุกรมโดย
พิจารณาการแทนค่า  ที่เป็นจานวนจริงในอนุกรมเพียง 1 พจน์ หรือ ผลบวกของ 2 พจน์แรก หรือ ผลบวก
ของ 3 พจน์แรก จากการพิจารณาความคลาดเคลื่อนจะเห็นว่า การประมาณจะมีค่าใกล้กับค่าที่แท้จริงหรือมี
ความคลาดเคลื่อนน้อยๆ ถ้าอนุกรมที่ใช้มีจานวนพจน์มากๆ

40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หน้าต่างที่ 4 (4) สรุปความคลาดเคลื่อนจากการประมาณค่า
หน้าต่างที่ 4 (4)
จากการประมาณค่า sin  และ cos  โดยสูตรต่อไปนี้
3
sin    
3!
2
และ cos  1 
2!

จะพบว่าการประมาณจะมีความคลาดเคลื่อนเล็กน้อยถ้า 0   
4
 
ดังนั้น ถ้าต้องการประมาณ sin  และ cos เมื่อ   
4 2

เราสามารถใช้เอกลักษณ์ sin   cos (  )
2

cos  sin (  )
2
ช่วยในการประมาณดังตัวอย่างต่อไปนี้

41. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงประมาณค่าไซน์และโคไซน์ต่อไปนี้
1. sin 75
  75  1.30900 เรเดียน
จากตารางจะพบว่า sin   sin 75  sin 1.30900  0.96593
3
sin      0.93518
3!
จะได้ว่า sin 75  0.93518
แต่ถ้าพิจารณาจากการประมาณค่าโคไซน์จะได้ดังนี้
sin 75  cos 15
จากตารางจะพบว่า cos   cos 15  cos 0.26180  0.96593
2
cos   1 
 0.96573
2!
จะได้ว่า sin 75  cos 15  0.96573
#