15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
กฎของไซน์ (law of sine) หรือกฎไซน์ (sine rule) กล่าวว่าสาหรับรูปสามเหลี่ยม ABC ใด
ๆ อัตราส่วนความยาวของด้าน a ที่สมนัยกับมุม A (มุมตรงข้าม) จะเท่ากับ อัตราส่วนความยาว
ของด้าน b ที่สมนัยกับมุม B (มุมตรงข้าม) และจะเท่ากับ อัตราส่วนความยาวของด้าน c ที่สมนัย
กับมุม C (มุมตรงข้าม) กฎของไซน์แสดงความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนของความยาวด้าน กับ
a b c
มุมที่ตรงกันข้ามกับด้าน ดังนี้
sin A sin B sin C
1.2 การพิสูจน์กฎของไซน์
ส่วนแรก
ส่วนที่สอง
ส่วนที่สาม
ส่วนที่สี่
รูปที่ 8 การพิสูจน์กฎของไซน์
หน้าจอนี้จะประกอบด้วยสี่ส่วนหลัก ดังนี้
ส่วนแรก คือส่วนที่แสดงรูปภาพสามเหลี่ยม ABC ที่มีมุม A, B, C เป็นมุมตรงข้ามกับด้าน
a, b, c ตามลาดับ ในที่นี้แสดงความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อให้ BC เป็นฐาน โดยลากเส้นตรง
จากมุม A ไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุม A คือด้าน BC ที่จุด HA
ส่วนที่สอง คือส่วนที่แสดงการพิสูจน์ โดยบรรทัดแรกจะแสดงข้อความ “ส่วนสูงจากจุด
ยอด A B C” หมายถึงการพิสูจน์ กฎของไซน์ โดยใช้ความสูงของสามเหลี่ยมซึ่งวัดจากจุดยอด
ของมุม A หรือมุม B หรือมุม C ซึ่งจะเห็นว่ามีสัญลักษณ์แถบ อยู่บนอักษร A หมายความว่า
15
16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ขณะนี้ ส่วนแรกได้แสดงความสูงจากจุดยอด A โดยลากเส้นไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุม A ที่จุด
HA พร้อมแสดงบทพิสูจน์ของสมการหนึ่งในกฎของไซน์
ส่วนที่สาม คือส่วนการแสดงค่าของมุม A, B, C และ ความยาวด้าน a, b, c ซึ่งได้มาจาก
การคานวณค่าของมุมในส่วนแรก
ส่วนที่สี่ คือส่วนการแสดงค่าอัตราส่วนตามกฎของไซน์ ของรูปในส่วนแรก
คาอธิบาย ส่วนแรก
ในหน้าจอการพิสูจน์กฎของไซน์นี้ ผู้เรียนสามารถปรับเปลี่ยนรูปร่างลักษณะของสามเหลี่ยม
ABC ในส่วนแรกได้โดยใช้เมาส์เลื่อนไปที่จุดสีแดง ซึ่งคือมุมของสามเหลี่ยม เมื่อเลื่อนเมาส์เข้ามา
ใกล้ๆ เมาส์จะปรากฏเป็นรูปลูกศร ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของมุมต่างๆ ถ้ามี
การเปลี่ยนขนาดของมุม จะทาไห้ค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ในส่วนที่สาม
a b c
เปลี่ยนไปด้วย มีผลทาให้ค่าอัตราส่วน ในส่วนที่สี่เปลี่ยนไปด้วย รูปที่ 9
sin A sin B sin C
เป็นตัวอย่างแสดงการเปลี่ยนลักษณะของรูปสามเหลี่ยม โดยที่ส่วนสูงของสามเหลี่ยมยังคงเป็นระยะจาก
มุม A ไปยังด้าน BC
รูปที่ 9 (ก) การพิสูจน์กฎของไซน์ รูปที่ 9 (ข) การพิสูจน์กฎของไซน์
คาอธิบาย ส่วนที่สอง
ในหน้าจอการพิสูจน์กฎของไซน์นี้ ส่วนนี้ผู้เรียนสามารถเลือกการวัดส่วนสูงของสามเหลี่ยมได้
โดยเลื่อนเมาส์ไปที่แถบสัญลักษณ์ปรากฏอยู่ เมาส์จะปรากฏเป็นรูปลูกศร ให้ผู้เรียนกดและลาก
เมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของแถบไปที่สัญลักษณ์ A หรือ B หรือ C ตามต้องการ ดังรูปที่ 10 แสดง
ตัวอย่างของสามเหลี่ยมรูปเดียวกันแต่เปลี่ยนลักษณะการวัดความสูง จะสังเกตได้ว่าค่าของมุม A, B, C
16
17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ความยาวด้าน a, b, c และอัตราส่วนตามกฎของไซน์ ก็ยังคงมีค่าคงเดิมเช่นกัน เพราะเป็นสามเหลี่ยม
เดียวกัน ดังนี้
(ก) ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อให้ BC เป็นฐาน คือ AHA
(ข) ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อให้ AC เป็นฐาน คือ BHB
(ค) ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อให้ AB เป็นฐาน คือ CHC
c b
รูปที่ 10 (ก) การพิสูจน์
sin C sin B
a c b a
รูปที่ 10 (ข) การพิสูจน์ รูปที่ 10 (ค) การพิสูจน์
sin A sin C sin B sin A
จากรูปที่ 10 (ก) การวัดความสูงจากจุดยอด A แสดงการพิสูจน์กฎของไซน์ โดยการพิจารณา
จาก
A
(1) ABHA จะได้ว่า AH A c sin B
c b
(2) ACHA จะได้ว่า AH A b sin C
B C
17 a HA
18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื่องจาก (1) และ (2) ต่างก็มีค่าเท่ากับ AH A
จะได้ว่า c sin B b sin C
c b
เพราะฉะนั้น (i)
sin C sin B
จากรูปที่ 10 (ข) การวัดความสูงจากจุดยอด B แสดงการพิสูจน์กฎของไซน์ โดยการพิจารณา
จาก
A
(1) BCHB จะได้ว่า BH B a sin C
b
(2) BAHB จะได้ว่า BH B c sin A c HB
เนื่องจาก (1) และ (2) ต่างก็มีค่าเท่ากับ BH B C
B a
จะได้ว่า a sin C c sin A
a c
เพราะฉะนั้น (ii)
sin A sin C
จากรูปที่ 10 (ค) การวัดความสูงจากจุดยอด C แสดงการพิสูจน์กฎของไซน์ โดยการพิจารณา
จาก
(1) CAHC จะได้ว่า CH C b sin A A
(2) CBHC จะได้ว่า CH C a sin B HC
b
c
เนื่องจาก (1) และ (2) ต่างก็มีค่าเท่ากับ CH C
B C
จะได้ว่า b sin A a sin B a
b a
เพราะฉะนั้น (iii)
sin B sin A
จาก (i), (ii) และ (iii) สรุปได้ว่า a
b
c
sin A sin B sin C
สาหรับการพิสูจน์กฎของไซน์นี้ ผู้เรียนอาจพิสูจน์เพียงสองกรณีก็เพียงพอที่จะสรุปกฎของไซน์
c b a c
ได้แล้ว เช่น ถ้าพิสูจน์ (i) และ (ii) ก็จะสรุปได้ว่า
sin C sin B sin A sin C
a b c
sin A sin B sin C
18
20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
2.2 การพิสูจน์กฎของโคไซน์
ส่วนแรก
ส่วนที่สอง
ส่วนที่สาม
ส่วนที่สี่
รูปที่ 12 การพิสูจน์กฎของโคไซน์
หน้าจอนี้จะประกอบด้วยสี่ส่วนหลัก ดังนี้
ส่วนแรก คือส่วนที่แสดงรูปภาพสามเหลี่ยม ABC ที่มีมุม A, B, C เป็นมุมตรงข้ามกับด้าน
a, b, c ตามลาดับ พร้อมทั้งแสดงความสูงของสามเหลี่ยม ABC ที่มีด้าน BC เป็นฐาน โดยลากเส้น
ตรงจากมุม C ไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุม C คือด้าน AB ที่จุด HC
ส่วนที่สอง คือส่วนที่แสดงการหาความยาวด้าน a, b, c โดยบรรทัดแรกจะแสดงข้อความ
“หาความยาวด้าน a, b, c ” ซึ่งจะเห็นว่ามีสัญลักษณ์แถบ อยู่บนอักษร a หมายความว่าขณะนี้ได้
แสดงการหาความยาวด้าน a พร้อมส่วนแสดงบทพิสูจน์สมการหนึ่งตามกฎของโคไซน์
ส่วนที่สาม คือส่วนการแสดงค่าของมุม A, B, C และ ความยาวด้าน a, b, c ซึ่งได้มาจาก
การคานวณค่าของมุมในส่วนแรก
20
21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ส่วนที่สี่ คือส่วนการแสดงความสัมพันธ์ของด้าน กับมุมของสามเหลี่ยมตามกฎของ
โคไซน์ ของรูปในส่วนแรก
คาอธิบาย ส่วนแรก
ในหน้าจอการพิสูจน์กฎของโคไซน์นี้ ผู้เรียนสามารถปรับเปลี่ยนรูปร่างลักษณะของสามเหลี่ยม
ABC ในส่วนแรกได้โดยใช้เมาส์เลื่อนไปที่จุดสีแดง ซึ่งคือมุมของสามเหลี่ยม เมื่อเลื่อนเมาส์เข้ามา
ใกล้ๆ เมาส์จะปรากฏเป็นรูปลูกศร ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของมุมต่างๆ ถ้ามี
การเปลี่ยนขนาดของมุม จะทาให้ค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ในส่วนที่สามเปลี่ยนไป
ด้วย ซึ่งมีผลทาให้ค่า a2 , b2 และ c2 ในส่วนที่สี่เปลี่ยนไปด้วยเช่นกัน
คาอธิบาย ส่วนที่สอง
ในหน้าจอการพิสูจน์กฎของโคไซน์นี้ ส่วนนี้ผู้เรียนสามารถเลือกการหาค่าความยาวด้านของ
สามเหลี่ยมได้โดยเลื่อนเมาส์ไปที่แถบสัญลักษณ์ปรากฏอยู่ เมาส์จะปรากฏเป็นรูปลูกศร ให้ผู้เรียน
กดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของแถบไปที่สัญลักษณ์ a หรือ b หรือ c ตามต้องการ รูปที่ 13
แสดงตัวอย่างของรูปสามเหลี่ยมรูปเดียวกัน แต่เปลี่ยนความต้องการหาค่าความยาวด้าน a , b และ c จะ
สังเกตได้ว่าค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ยังมีค่าคงเดิม และค่า a2 , b2 และ c2 ตามกฎ
ของโคไซน์ ก็ยังคงมีค่าคงเดิมเช่นกัน เพราะเป็นสามเหลี่ยมเดียวกัน ดังนี้
(ก) การหาความยาวด้าน a ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อ AB เป็นฐาน คือ CHC
(ข) การหาความยาวด้าน b ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อ AC เป็นฐาน คือ BHB
(ค) การหาความยาวด้าน c ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อ BC เป็นฐาน คือ AHA
รูปที่ 13 (ก) กฎของโคไซน์
21
22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รูปที่ 13 (ข) การพิสูจน์กฎของโคไซน์ รูปที่ 13 (ค) การพิสูจน์กฎของโคไซน์
จากรูปที่ 13 (ก) การหาความยาวด้าน a ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อ AB เป็นฐาน คือ
CHC แสดงการพิสูจน์กฎของโคไซน์ โดยการพิจารณา จาก
A
(1) CAHc จะได้ว่า CH c b sin A
(2) พิจารณาด้าน AB จะได้วา
่ BH c BA H c A c b
Hc
นั่นคือ BH c c H c A
C
a
BH c c b cos A B
(3) BCHc จะได้ว่า a 2 (CH c ) 2 ( BH c ) 2
แทนค่า (1) (2) ลงใน (3) จะได้ว่า a 2 (b sin A) 2 (c b cos A) 2
เพราะฉะนั้น a 2 b 2 c 2 2bc cos A (i)
จากรูปที่ 13 (ข) การหาความยาวด้าน b ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อ BC เป็นฐาน คือ
AHA แสดงการพิสูจน์กฎของโคไซน์ โดยการพิจารณา จาก
A
(1) BHAA จะได้ว่า AH A c sin B
(2) พิจารณาด้าน BC จะได้ว่า CH A CB H A B c b
นั่นคือ CH A a H A B
C
B HA a
CH A a c cos B
(3) CAHA จะได้ว่า b 2 ( AH A ) 2 (CH c ) 2
แทนค่า (1) (2) ลงใน (3) จะได้ว่า b 2 (c sin B) 2 (a c cos B) 2
เพราะฉะนั้น b 2 a 2 c 2 2ac cos B (ii)
22
23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากรูปที่ 13 (ค) การหาความยาวด้าน c ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อ AC เป็นฐาน คือ
BHB แสดงการพิสูจน์กฎของโคไซน์ โดยการพิจารณา จาก
A
(1) BCHB จะได้ว่า BH B a sin C
b
(2) พิจารณาด้าน AC จะได้ว่า AH B AC H B C
c
HB
นั่นคือ AH B b H B C
C
B a
AH B b a cos C
(3) ABHB จะได้ว่า c 2 ( BH B ) 2 ( AH B ) 2
แทนค่า (1) (2) ลงใน (3) จะได้ว่า c 2 (a sin C )2 (b a cos C )2
เพราะฉะนั้น c 2 a 2 b 2 2ab cos C (iii)
จาก (i), (ii) และ (iii) สรุปได้ว่า a 2 b2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
2.3 การใช้กฎของโคไซน์หามุม
รูปที่ 14 (ข) . การใช้กฎของโคไซน์หามุม
ถ้าเราทราบด้านของรูปสามเหลี่ยม เราสามารถใช้กฎของโคไซน์หามุมของรูปสามเหลี่ยมได้
ดังนี้
จากกฎของโคไซน์ หามุมของรูปสามเหลี่ยม
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b2 c2 a2
cos A
2bc
23
26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.2 รูปแบบและหลักการ
รูปที่ 16 รูปแบบและหลักการ
หน้าต่างนี้จะแสดงรูปแบบในการกาหนดด้าน หรือมุมที่เพียงพอ A
ต่อการหาค่าตัวแปรอื่นๆ และกล่าวถึงหลักการที่ใช้ในการคานวณหา b
ค่าตัวแปรอื่นๆ คือเมื่อกาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ จะมีตัวแปร c
ทั้งหมด 6 ตัวคือมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ซึงเป็นด้านตรง
่
C
ข้ามกับมุม A, B และ C ตามลาดับ B a
ในสื่อนี้จะกล่าวถึงการกาหนดค่าด้านและมุมบางส่วน เพื่อให้
ผู้เรียนใช้กฎของไซน์ และ/หรือกฎของโคไซน์ คานวณหาค่าด้านและมุมที่เหลือจนครบตัวแปรทั้ง 6 ตัว
โดยใช้หลักการดังนี้
การกาหนดด้านหรือมุม หลักการในการคานวณหาด้านหรือมุมอื่นให้ครบ
กาหนดด้านสามด้าน คานวณหาค่ามุมสามมุมได้จากกฎของโคไซน์ดังนี้
b2 c2 a2
A
cos A
b 2bc
a c2 b2
2
c cos B
2ac
a b2 c2
2
C cos C
B a 2ab
26
27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การกาหนดด้านหรือมุม หลักการในการคานวณหาด้านหรือมุมอื่นให้ครบ 6 ค่า
กาหนดด้านสองด้าน คานวณหาค่าด้านที่สามได้จากกฎของโคไซน์ดังนี้
และมุมระหว่างด้านทั้งสองนั้น a b2 c2 2bc cos A
A คานวณหาค่ามุมอีกสองมุมได้จากกฎของโคไซน์ดังนี้
a2 c2 b2
b
cos B
2ac
c
a b2 c2
2
cos C
C 2ab
B a
กาหนดมุมสองมุม คานวณหาค่ามุมที่สามได้จากคุณสมบัติมุมภายในของ
และด้านระหว่างมุมนั้น สามเหลี่ยม
A A + B + C = 180
b คานวณหาค่าด้านอีกสองด้านได้จากกฎของไซน์ดังนี้
c ac
sin A
sin C
C
B
a bc
sin B
sin C
3.3 กาหนดด้านสามด้าน
ส่วนที่สอง
ส่วนแรก
ส่วนที่สาม
รูปที่ 17 กาหนดด้านสามด้าน
27
28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อกาหนดความยาวด้านสามด้าน ต้องการหาค่ามุมทั้งสามของสามเหลี่ยม โดยใช้กฎของ
โคไซน์ โดยในส่วนนี้ผู้เรียนสามารถปรับเปลี่ยนรูปร่างลักษณะของสามเหลี่ยม ABC ในส่วนแรกได้
โดยใช้เมาส์เลื่อนไปที่จุดสีแดง ซึ่งคือมุมของสามเหลี่ยม เมื่อเลื่อนเมาส์เข้ามาใกล้ๆ เมาส์จะ
ปรากฏเป็นรูปลูกศร ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของมุมต่างๆ ถ้ามีการเปลี่ยน
ขนาดของมุม จะทาให้ค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ในส่วนที่สามเปลี่ยนไปด้วย
สาหรับการคานวณค่ามุม A, B, C ในส่วนที่สองนั้น เป็นการคานวณโดยใช้กฎของโคไซน์
ตามสูตรดังนี้
b2 c2 a2
cos A
2bc
a c2 b2
2
cos B
2ac
a b2 c2
2
cos C
2ab
3.4 กาหนดด้านสองด้าน และมุมระหว่างด้าน
ส่วนที่สอง
ส่วนแรก
ส่วนที่สาม
รูปที่ 18 กาหนดด้านสองด้าน และมุมระหว่างด้าน
เมื่อกาหนดความยาวด้านสองด้าน และมุมระหว่างด้านทั้งสองนั้น ต้องการหาค่ามุมและด้านที่
เหลือ โดยใช้กฎของโคไซน์ ถ้าผู้เรียนเลือกกาหนดค่าของมุม A ค่าความยาวด้านที่เหลือก็ควรเป็น
ความยาวด้านประกอบมุม A คือด้าน b, c ถ้าเลือกกาหนดค่าของมุม B ค่าความยาวด้านที่เหลือก็ควร
เป็นความยาวด้านประกอบมุม B คือด้าน a, c หรือถ้าเลือกกาหนดค่าของมุม C ค่าความยาวด้านที่
เหลือก็ควรเป็นความยาวด้านประกอบมุม C คือด้าน a, b ในที่นี้จึงให้ผู้เรียนเลือกกาหนดมุมใดมุมหนึ่ง
เพียงมุมเดียวเท่านั้น
28
29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ส่วนแรก ผู้เรียนสามารถปรับเปลี่ยนรูปร่างลักษณะของสามเหลี่ยม ABC ในส่วนแรกได้โดย
ใช้เมาส์เลื่อนไปที่จุดสีแดง ซึ่งคือมุมของสามเหลี่ยม เมื่อเลื่อนเมาส์เข้ามาใกล้ๆ เมาส์จะปรากฏ
เป็นรูปลูกศร ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของมุมต่างๆ ถ้ามีการเปลี่ยนขนาดของ
มุม จะทาให้ค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ในส่วนที่สามเปลี่ยนไปด้วย
ส่วนที่สอง ผู้เรียนสามารถเลือกที่จะกาหนดค่ามุมระหว่างด้านหนึ่งมุม เพื่อนามาใช้ในการ
คานวณหาด้าน และมุมที่เหลือ โดยใช้กฎของโคไซน์ ตามสูตรดังนี้
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
รูปที่ 19 แสดงตัวอย่างของรูปสามเหลี่ยมรูปเดียว และเปลี่ยนความต้องการหาค่าความยาวด้าน
จะสังเกตได้ว่าค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ยังมีค่าคงเดิม เพราะเป็นสามเหลี่ยม
เดียวกัน ดังนี้
(ก) การกาหนดมุม A และด้านสองด้านคือ b และ c
ต้องการคานวณหาความยาวด้าน a และมุม B , C
โดยใช้สูตร a b2 c2 2bc cos A
a 2 c2 b2
cos B
2ac
a b2 c2
2
cos C
2ab
รูปที่ 19 (ก) กาหนดด้าน b, c และมุม A
(ข) การกาหนดมุม B และด้านสองด้านคือ a และ c
ต้องการคานวณหาความยาวด้าน b และมุม A , C
โดยใช้สูตร b a2 c2 2ac cos B
b2 c2 a 2
cos A
2bc
a b2 c 2
2
cos C
2ab
รูปที่ 19 (ข) กาหนดด้าน a, c และมุม B
29
ด้านสองด้าน และมุมระหว่างด้าน
30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
(ค) การกาหนดมุม C และด้านสองด้านคือ a และ b
ต้องการคานวณหาความยาวด้าน c และมุม A , B
โดยใช้สูตร c a2 b2 2bc cos C
b2 c2 a 2
cos A
2bc
a c2 b2
2
cos B
2ac
รูปที่ 19 (ค) กาหนดด้าน a, b และมุม C
ด้านสองด้าน และมุมระหว่างด้าน
3.5 กาหนดมุมสองมุม หรือสามมุม และด้านหนึ่งด้าน
ส่วนที่สอง
ส่วนแรก
ส่วนที่สาม
รูปที่ 20 กาหนดมุมสองมุม หรือสามมุม และด้านหนึ่งด้าน
เมื่อกาหนดมุมสองหรือสามมุม และความยาวด้านหนึ่งด้าน เพื่อต้องการหาค่ามุมและด้านที่
เหลือ โดยใช้สูตร A + B + C = 180 และกฎของไซน์
ส่วนแรก ผู้เรียนสามารถปรับเปลี่ยนรูปร่างลักษณะของสามเหลี่ยม ABC ในส่วนแรกได้โดย
ใช้เมาส์เลื่อนไปที่จุดสีแดง ซึ่งคือมุมของสามเหลี่ยม เมื่อเลื่อนเมาส์เข้ามาใกล้ๆ เมาส์จะปรากฏ
เป็นรูปลูกศร ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของมุมต่างๆ ถ้ามีการเปลี่ยนขนาดของ
มุม จะทาไห้ค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ในส่วนที่สามเปลี่ยนไปด้วย
30
31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ส่วนที่สอง ผู้เรียนสามารถเลือกที่จะกาหนดค่าความยาวด้านหนึ่งด้าน เพื่อนามาใช้ในการ
a b c
คานวณหาด้าน และมุมที่เหลือ โดยใช้กฎของไซน์ ตามสูตรดังนี้
sin A sin B sin C
การเปลี่ยนด้านที่กาหนด สามารถทาได้โดยเลื่อนเมาส์ไปที่แถบสัญลักษณ์ปรากฏอยู่ เมาส์จะ
ปรากฏเป็นรูปลูกศร ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของแถบไปที่สัญลักษณ์ a หรือ
b หรือ c ตามต้องการ ดังรูปที่ 21 แสดงตัวอย่างของสามเหลี่ยมรูปเดียว และเปลี่ยนความต้องการหา
ค่าความยาวด้าน จะสังเกตได้ว่าค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ยังมีค่าคงเดิม เพราะเป็น
สามเหลี่ยมเดียวกัน ในการกาหนดมุมสองมุม ผู้เรียนก็จะสามารถหาค่ามุมที่สามได้จากคุณสมบัติมุม
ภายในของสามเหลี่ยม (A+B+C = 180) ดังนั้นในการคานวณหาค่าความยาวด้านต่อไปนี้จะสมมติให้มี
การกาหนดสามมุม ดังนี้
(ก) การกาหนดด้าน a และมุม A, B, C
ต้องการคานวณหาความยาวด้าน b, c
sin B sin C
โดยใช้สูตร ba และ ca
sin A sin A
(ข) การกาหนดด้าน b และมุม A, B, C
ต้องการคานวณหาความยาวด้าน a, c
sin A sin C
โดยใช้สูตร ab และ ca
sin B sin A
(ค) การกาหนดด้าน c และมุม A, B, C
ต้องการคานวณหาความยาวด้าน a, b รูปที่ 21 (ก) กาหนดด้าน a และมุม A, B, C
sin A sin B
โดยใช้สูตร ac และ bc
sin C sin C
รูปที่ 21 (ข) กาหนดด้าน b และมุม A, B, C รูปที่ 21 (ค) กาหนดด้าน c และมุม A, B, C
31
33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ส่วนแรกคือส่วนที่แสดงรูปภาพสามเหลี่ยม ABC ที่มีมุม A, B, C เป็นมุมตรงข้ามกับด้าน
a, b, c ตามลาดับพร้อมทั้งแสดงความสูงของสามเหลี่ยม โดยลากเส้นตรงจากมุม A ไปตั้งฉากกับ
ด้านตรงข้ามมุม A คือด้าน BC ที่จุด HA
ส่วนที่สอง คือส่วนที่แสดงการคานวณหาพื้นที่ โดยใช้ส่วนสูงจากมุมต่างๆ โดยบรรทัด
แรกจะแสดง “ส่วนสูงจากจุดยอด A B C” ซึ่งจะเห็นว่ามีสัญลักษณ์แถบ อยู่บนอักษร A
หมายความว่าขณะนี้ ส่วนแรกได้แสดงความสูงจากจุดยอด A โดยลากเส้นไปตั้งฉากกับด้านตรง
ข้ามมุม A ที่จุด HA พร้อมส่วนแสดงการคานวณหาพื้นที่สามเหลี่ยม ABC
ส่วนที่สาม คือส่วนการแสดงค่าของมุม A, B, C และ ความยาวด้าน a, b, c ซึ่งได้มาจาก
การคานวณค่าของมุมในส่วนแรก
ส่วนที่สี่ คือส่วนการแสดงค่าพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมในส่วนแรก
คาอธิบายส่วนแรก ผู้เรียนสามารถปรับเปลี่ยนรูปร่างลักษณะของสามเหลี่ยม ABC ในส่วน
แรกได้โดยใช้เมาส์เลื่อนไปที่จุดสีแดง ซึ่งคือมุมของสามเหลี่ยม เมื่อเลื่อนเมาส์เข้ามาใกล้ๆ เมาส์
จะปรากฏเป็นรูปลูกศร ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของมุมต่างๆ ถ้ามีการเปลี่ยน
ขนาดของมุม จะทาไห้ค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ในส่วนที่สามเปลี่ยนไปด้วย
คาอธิบายส่วนที่สอง ผู้เรียนสามารถเลือกที่จะกาหนดค่ามุมหนึ่งมุม เพื่อนามาใช้ในการ
คานวณหาค่าพื้นที่สามเหลี่ยม ABC
การเลือกเปลี่ยนมุมที่กาหนด สามารถทาได้โดยเลื่อนเมาส์ไปที่แถบสัญลักษณ์ปรากฏอยู่ เมาส์
จะปรากฏเป็นรูปลูกศร ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของแถบไปที่สัญลักษณ์ A
หรือ B หรือ C ตามต้องการ ดังรูปที่ 22 แสดงตัวอย่างของสามเหลี่ยมรูปเดียว และเปลี่ยนความ
ต้องการ จะสังเกตได้ว่าค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ยังมีค่าคงเดิม และค่าพื้นที่
1 1 1
สามเหลี่ยมคือ bc sin A ac sin B ab sin C ก็ยังคงมีค่าคงเดิมเช่นกัน เพราะเป็นค่าของ
2 2 2
พื้นที่สามเหลี่ยมเดียวกัน ดังนี้
(ก) การกาหนดให้ลากเส้นตรงจากมุม A ไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุม A ที่จุด HA
โดยการพิจารณา
(1) จาก ABHA จะได้ว่า AH A c sin B
1 1
(2) พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = ฐานสูง = BC AH A
2 2
33
34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1
เพราะฉะนั้นพื้นที่สามเหลี่ยม ABC = ac sin B
2
(ข) การกาหนดให้ลากเส้นความสูงของสามเหลี่ยมจากมุม B ไปตั้งฉากกับด้าน AC ที่จุด HB
โดยการพิจารณา
(1) จาก BCHB จะได้ว่า BH B a sin C
1 1
(2) พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = ฐานสูง = CA BH B
2 2
1
เพราะฉะนั้นพื้นที่สามเหลี่ยม ABC = ab sin C
2
(ค) การกาหนดให้ลากเส้นความสูงของสามเหลี่ยมจากมุม C ไปตั้งฉากกับด้าน AB ที่จุด HC
โดยการพิจารณา
(1) จาก CAHc จะได้ว่า CH c b sin A
(2) พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = 1
ฐาน สูง = 1
AB CH C
2 2
1
เพราะฉะนั้นพื้นที่สามเหลี่ยม ABC = bc sin A
2
รูปที่ 22 (ก) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเมื่อกาหนด รูปที่ 22 (ข) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเมื่อกาหนด
ส่วนสูงจากจุดยอด A ส่วนสูงจากจุดยอด B
34
35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รูปที่ 22 (ค) พื้นทีของรูปสามเหลี่ยมเมื่อกาหนด
่
ส่วนสูงจากจุดยอด C
4.2 ไซน์ของครึ่งมุมสามเหลี่ยม
กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ มีมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c A
ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามกับมุม A, B และ C ตามลาดับ ถ้าเราทราบความยาวของด้าน b
ทั้งสามของสามเหลี่ยม (a, b, c) ก็จะสามารถหาค่าไซน์ของครึ่งมุมของ c
สามเหลี่ยมได้ดังรูปที่ 23 (ก) แสดงบทพิสูจน์ของการหาค่า ไซน์ของครึ่งมุมของ
C
สามเหลี่ยม จากกฎของโคไซน์ ซึ่งจะได้สูตร sin A (s a)(s c)
a
และ B
2 bc
ผู้เรียนอาจจะหาค่าไซน์ของครึ่งมุมของสามเหลี่ยม sin และ sin C
B
จากกฎของโคไซน์ ในทานองเดียวกัน
2 2
ซึ่งผู้เรียนสามารถที่จะใช้สื่อปฏิสัมพันธ์คานวณหาค่าไซน์ของครึ่งมุมของสามเหลี่ยมได้ดังรูปที่ 23 (ข)
รูปที่ 23 (ก) บทพิสูจน์ของไซน์ของครึ่งมุมของสามเหลี่ยม
35