Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์                                      วงกลมหนึ่งหน่วย (Unit circle)      บทนิยาม วงกลมหนึ่งหน่วย หมาย...
การวัดความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย กาหนด   R จุด P(  ) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  โดยวัดจากจุด (1,0) ไปตามส่วนโค้...
แต่ P(x,y) อยู่ในควอดรันต์รันที่ 1 ดังนั้น x และ y มีค่าเป็นบวก                             1                             ...
การหาค่าของ sin (-  ) และ cos (-  ) เมื่อ  > 0                                             Y                           ...
32                    35  ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ sin 3                    , cos (  4 )                 32           ...
32. เมื่อจุดปลายส่วนโค้ง  หน่วยอยู่ในควอดรันต์ที่ 3 (     2 )                             Y                    M (-x...
11                      5            47   ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ sin 6 , cos 3 , sin 4                        11    ...
                                                                                                                       ...
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ1. กราฟของฟังก์ชันไซน์        จากความสัมพันธ์ sine = {(x,y)RR |y = sin x}โดยที่ โดเมนของ sin = ...
ฟังก์ชันที่เป็นคาบซี่งมีค่าสูงสุด และค่าต่่าสุด จะเป็นฟังก์ที่มีแอมพลิจูด ซึ่งมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่าง ระหว่างค่าสู...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

วงกลมหนึ่งหน่วย

68,570 views

Published on

  • Be the first to comment

วงกลมหนึ่งหน่วย

  1. 1. ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ วงกลมหนึ่งหน่วย (Unit circle) บทนิยาม วงกลมหนึ่งหน่วย หมายถึง กราฟของความสัมพันธ์ U = {(x,y)  RR | x2+ y2 = 1} คือ วงกลม ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกาเนิด และรัศมียาว 1 หน่วย นั่นเอง ดังรูป Y  (0,1) 2  2 -1,0) O (1,0) X 3 (0,-1) 2 เนื่องจากวงกลมหนึ่งหน่วยมีรัศมียาว 1 หน่วย จากสูตร ความยาวเส้นรอบวง = 2r = 2  (1) = 2  หน่วย หรือ  2(3.1416)  6.2832 หน่วย 2 ดังนั้น เสี้ยววงกลมหนึ่งหน่วยยาว = 4 = 2 หรือประมาณ 1.5708 หน่วย 2 ครึ่งวงกลมหนึงหน่วยยาว = 2 =  หรือประมาณ 3.1416 หน่วย ่ 3 3 3 ใน 4 ของวงกลมหนึ่งหน่วยยาว = 4  2  = 2 หรือประมาณ 4.7124 หน่วย
  2. 2. การวัดความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย กาหนด   R จุด P(  ) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  โดยวัดจากจุด (1,0) ไปตามส่วนโค้งของวงกลม ถ้า   0 หมายถึงการวัดไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ถ้า  < 0 หมายถึงการวัดไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ให้ความยาวส่วนโค้งวงกลมหนึ่งหน่วยยาว  หน่วย มี โคออร์ดิเนทจุดปลายส่วนโค้งเป็น (x,y) นั่นคือ P(  ) = (x,y) จากรูปวงกลมหนึ่งหน่วย จะเห็นว่า (พิจารณารูปหน้าที่ 1 ประกอบ)  3 P(0) = (1,0) , P( 2 ) = (0,1) , P() = (-1,0) , P( 2 ) = (0,-1) , P(2) = (1,0)  3 P(- 2 ) = (0,-1) , P(-) = (-1,0) , P(- 2 ) = (0,1) , P(-2) = (1,0) ทฤษฎีบท 1 ถ้า  เป็นจานวนใดๆ แล้ว P(  ) = P( + 2n) เมื่อ n เป็นจานวนเต็ม   จุดปลายส่วนโค้งที่ยาว P() เมื่อ  เป็นจานวนจริงที่สาคัญที่ควรทราบ ( 3 , 4 , 6 ) ตัวอย่างที่ 1 จงหา P( 4 )  วิธีทา จากรูป เนื่องจาก P( 4 ) เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง AB และส่วนโค้ง AB ยาว 2  B(0,1) ดังนั้น AP = PB = 4   P(x,y) ให้ P(x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว 4 เพราะฉะนั้น AP2 = PB2 O A(1,0) (x-1)2 + (y-0)2 = (x-0)2 + (y-1)2 x2- 2x + 1 + y2 = x2 + y2-2y + 1 x = y แต่เนื่องจาก (x,y) เป็นจุดบนวงกลม x2+ y2 = 1 x2 + x2 = 1  2x2 = 1 1 1 1 x2 = 2  x =  และ y =  2 2
  3. 3. แต่ P(x,y) อยู่ในควอดรันต์รันที่ 1 ดังนั้น x และ y มีค่าเป็นบวก 1 1 เพราะฉะนั้น x = และ y =  0.701 2 2  1 1 2 2ดังนั้น P ( 4 ) = ( , ) = ( 2 , 2 ) 2 2   ตารางต่อไปนี้ สรุป จุด P( ) เมื่อ  = 6 , , 4 3  P( )  3 1 6 ( , ) 2 2  2 2 ( , ) 4 2 2  1 3 ( , ) 3 2 2โดยอาศัยความรู้เรื่องการสมมาตรต่อแกน X ต่อแกน Y หรือต่อจุดกาเนิด สามารถที่จะหาพิกัดของจุด P(  )เมื่อ  เป็นความยาวส่วนโค้งที่อยู่ในควอดรันต์อื่นๆ ดังรูป 2  1 3 P( ) P( 3 ) = ( , ) 3 2 2 3  2 2  P( 4 ) P( )=( , ) P( 6 ) 4 2 2 O O O 7 11 P( 6 ) P( 6 ) 4 5 5 7 P( ) P( 3 ) P( 4 ) P( 4 ) 3
  4. 4. การหาค่าของ sin (-  ) และ cos (-  ) เมื่อ  > 0 Y P( ) = (x,y) O A(1,0) X P(- ) = (x,-y) ให้ P( ) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่วัดจากจุด (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกายาว | | หน่วย P(- ) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่วัดจากจุด (1,0) ไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกายาว | | หน่วย เช่นกัน P( ) และ P(- ) สมมาตรกันโดยมีแกน X เป็นแกนสมมาตร จากนิยาม sin  = y และ sin (- ) = -y cos  = x cos (- ) = x ดังนั้น sin (- ) = - sin (  ) cos (- ) = cos (  ) 2  3ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ sin (  3 ) , cos (  6 ) , sin (  4 ) 2 2 3วิธีทา sin (  3 ) = - sin 3 =  2   3 cos (  6 ) = cos 6 = 2 3 3 2 sin (  4 ) = - sin 4 = - 2  การหาค่าของ sin  และ cos  เมื่อ  > 2 การหา sin  และ cos  ให้นา 2 ไปหาร  สมมติให้ผลหารเท่ากับ n เหลือเศษ  (alpha) โดยที่ 0    2   = 2n +  , nI+ เมื่อ ดังนั้น sin  = sin (2n + ) = sin  cos  = cos (2n + ) = cos 
  5. 5. 32  35  ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ sin 3 , cos (  4 ) 32  2 2 3วิธีทา sin 3 = sin ( 5  2   3 ) = sin 3 = 2 35  35  3 3 2 cos (  4 ) = cos ( 4 ) = cos ( 4  2   4 ) = cos ( 4 ) =  2  การหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงตั้งแต่ 0 ถึง 2 โดยอาศัยค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของ จานวนจริงตั้งแต่ 0 ถึง 2  1. เมื่อจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย อยู่ในควอดรันต์ที่ 2 ( 2     ) Y P’(x’,y’) P(x,y) ให้ P’(x’,y’) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  ส่วนโค้ง AB ยาว =  ส่วนโค้ง P’B ยาว = - B O A(1,0) X และ ส่วนโค้ง AP ยาว =  -  ดังนั้น เมื่อ  ตกอยู่ใน Q2 sin  = sin (  -  )   11 11ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ sin 12  0 . 26 และ cos 12 = 0.96 จงหาค่าของ sin 12 และ cos 12 11 วิธีทา เนื่องจากจุดปลาย 12 อยู่ในควอดรันต์ที่ 2 11 11  ดังนั้น sin 12 = sin (   12 ) = sin 12 = 0.26 11 11  cos 12 = - cos (   12 ) = - cos 12 = - 0.96   20  ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ sin (  3 ) 20  20  2 วิธีทา sin (  3 ) = - sin 3 = - sin [( 3  2  )  3 ] 2 2  3 = - sin 3 = - sin (   3 ) = - sin 3 =  2  
  6. 6. 32. เมื่อจุดปลายส่วนโค้ง  หน่วยอยู่ในควอดรันต์ที่ 3 (     2 ) Y M (-x,y) P(x,y) ให้ P(x’,y’) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย จุด P’(x’,y’) สมมาตรกับจุด M(-x,y) B(-1,0) O A(1,0) X จุด M(-x,y) สมมาตรกับจุด P(x,y) ดังนั้น เมื่อ  อยู่ใน Q3 P’(x’,y’) sin    sin(    ) cos    cos(    ) ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าของ cos 5 และ sin(  16  ) 4 3 วิธีทา เนื่องจาก cos 5 อยู่ใน Q 3 จะได้ 4 5 cos 4 =  cos( 5    ) =  cos  =  2   4 4 2 16  sin(  3 ) =  sin( 16  ) =  sin( 4   4  ) 3 3 4 4 =  sin 3 =  sin( 3   )   3 =  [  sin( 3 )] = sin 3 = 2   3 3. เมื่อจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วยอยู่ในควอดรันต์ที่ 4 ( 2    2  ) Y ให้ P(x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย จุด P(x,y) สมมาตรกับจุด P’(x’,y’) P(x,y) ดังนั้น เมื่อ  อยู่ใน Q4 O A(1,0) X sin    sin( 2   ) cos   cos( 2   ) P’(x’,y’) = (x,-y)
  7. 7. 11 5 47  ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ sin 6 , cos 3 , sin 4 11 5 47 วิธีทา เนื่องจาก sin 6 , cos 3 , sin 4 อยู่ใน Q4 จะได้ 11 11  1 sin 6 =  sin( 2   6 ) =  sin 6 =  2 *** 5 5  1 cos 3 = cos( 2   3 ) = cos 3 = 2 *** 47  7 7 7  2 sin 4 = sin( 10   ) = sin 4 =  sin( 2   4 ) =  sin 4 =  2 *** 4ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ sin  1. tan  = เมื่อ cos   0 cos  cos  2. cot  = เมื่อ sin   0 sin  3. sec  = เมื่อ cos   0 1 cos  4. cosec  = เมื่อ sin   0 1 sin  tan  = เมื่อ cot   0 1หมายเหตุ cot  cot  = เมื่อ tan   0 1 tan ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของ tan  , cot  , sec  , cosec  เมื่อกาหนด  ดังนี้    1.  = 2.  = 3.  = 6 4 3  1  3วิธีทา 1. เนื่องจาก sin = และ cos = 6 2 6 2  1 sin    1 2 1 3 ดังนั้น tan =  6 = 2 = 2  = หรือ 6 3 3 3 3 cos 6 2    1 1 3 cot =  = 1 = 1 = 3 6 1 tan 6 3
  8. 8.    1 1 2 2 sec =  = = 1 = 6 3 3 3 cos 6 2    1 1 2cosec =  = 1 = 1 = 2 6 1 sin 6 2
  9. 9. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ1. กราฟของฟังก์ชันไซน์ จากความสัมพันธ์ sine = {(x,y)RR |y = sin x}โดยที่ โดเมนของ sin = R เรนจ์ของ sin = [-1,1] มีกราฟดังรูป Y 1 X 3   3 -2 - O 2  2 2 2 2 -12. กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ จากความสัมพันธ์ cos = {(x,y)RR |y = cos x}โดยที่ โดเมนของ cos = R เรนจ์ของ cos = [-1,1] มีกราฟดังรูป Y 1 X   - 2 - 3 - - O  3 2 2 2 2 2 -1ฟังก์ชันทีเ่ ป็ นคาบ หมายถึง ฟังก์ชันที่สามารถแบ่งแกน X ออกเป็นช่วงย่อยๆ โดยที่ความยาวแต่ละช่วงเท่ากัน และกราฟของฟังก์ชันในแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุด ซึ่งมีลักษณะ ดังกล่าว เรียกว่า คาบ ของฟังก์ชัน ดังนั้น ฟังก์ชัน y = sin x และ y = cos x เป็ นฟังก์ชันทีเ่ ป็ นคาบและมีคาบเท่ากับ 2 
  10. 10. ฟังก์ชันที่เป็นคาบซี่งมีค่าสูงสุด และค่าต่่าสุด จะเป็นฟังก์ที่มีแอมพลิจูด ซึ่งมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่าง ระหว่างค่าสูงสุด และค่าต่่าสุดของฟังก์ชัน นั่นคือ 1 แอมพลิจูด = 2 (ค่ าสู งสุ ดของฟังก์ ชัน - ค่ าต่าสุ ดของฟังก์ ชัน) ดังนั้น ฟังก์ชั่น y = sin x และ y = cos x มีแอมพลิจูดเป็ น 1 เท่ากัน3. กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ sin x จาก tangent = {(x,y) RR | y = tan x = cos x , cos x  0 } โดเมนของ tangent = {xR | cosx  0} = R - {xR | cosx = 0}  = R - {x R | x = n 2 เมื่อ n เป็นจ่านวนเต็มคี่ } เรนจ์ของ tangent = R มีกราฟดังรูป Y  3   2   O  3 2 X 2 2 2 2

×