15. 59
A
B
O
C
D
พิจารณา วงกลม O และวงกลม R ที่เทากันทุกประการ
1. ACB
∧
= EDF
∧
(กําหนดให)
2. AOB
∧
= 2(ACB
∧
) และ ERF
∧
= 2(EDF
∧
)
(มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม จะมีขนาดเปนสองเทาของ
ขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคง
เดียวกัน)
3. AOB
∧
= ERF
∧
(สมบัติของการเทากัน)
4. m(AB) = m(EF)
(ในวงกลมที่เทากันทุกประการ ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาด
เทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่จุดศูนยกลางนั้นจะยาว
เทากัน)
2) แนวคิดในการพิสูจน
ลาก AO, BO และ DO
1. ACB
∧
= ACD
∧
(กําหนดให)
2. AOB
∧
= 2(ACB
∧
) และ AOD
∧
= 2(ACD
∧
)
(มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม จะมีขนาดเปนสองเทาของ
ขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคง
เดียวกัน)
3. AOB
∧
= AOD
∧
(สมบัติของการเทากัน)
4. m(AB) = m(AD) (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่
จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่
จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน)
คําตอบกิจกรรม “มุมและสวนโคงที่รองรับมุม (ตอ)”
1.
2) ทับกันไดสนิท
3) เทากัน
4) ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงนั้นจะมีขนาด
เทากัน
A
B
O
C
E
F
R
D
16. 60
5) ใช
2.
2) ทับกันไดสนิท
3) เทากัน
4) ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงนั้นจะมีขนาด
เทากัน
5) ใช
3.
1) แนวคิดในการพิสูจน
พิจารณาวงกลม O และวงกลม R ที่เทากันทุกประการ
ลาก AO, BO, DR และ FR
1. m(AB) = m(DF) (กําหนดให)
2. AOB
∧
= DRF
∧
(ในวงกลมที่เทากันทุกประการ
ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางที่รองรับดวย
สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน)
3. 2(ACB
∧
) = 2(DEF
∧
) (มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม
จะมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของมุมในสวนโคงของ
วงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน)
4. ACB
∧
= DEF
∧
(สมบัติของการเทากัน)
2) แนวคิดในการพิสูจน
ลาก AO, BO และ CO
1. m(AB) = m(AC) (กําหนดให)
2. AOB
∧
= AOC
∧
(ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคง
ยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางที่รองรับดวยสวนโคงนั้น
จะมีขนาดเทากัน)
3. 2(ACB
∧
) = 2(ABC
∧
) (มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม
จะมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของมุมในสวนโคงของ
วงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน)
4. ACB
∧
= ABC
∧
(สมบัติของการเทากัน)
A
B O
C
A
B
O
C
D
F
R
E
17. 61
คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ง
1. ABC
∧
= 95o
และ BCD
∧
= 82o
แนวคิดในการใหเหตุผล
1. ADC
∧
+ ABC
∧
= 180o
(ผลบวกของขนาดของ
มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเทากับ
180 องศา)
2. ABC
∧
= 180 – 85 = 95o
3. BAD
∧
+ BCD
∧
= 180o
(ผลบวกของขนาดของ
มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเทากับ
180 องศา)
4. BCD
∧
= 180 – 98 = 82o
2. ADB
∧
= 25o
และ AEB
∧
= 25o
แนวคิดในการใหเหตุผล
1. ADB
∧
= ACB
∧
= 25o
(ในวงกลมวงเดียวกัน มุมใน
สวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมี
ขนาดเทากัน)
2. AEB
∧
= ACB
∧
= 25o
(ในวงกลมวงเดียวกัน มุมใน
สวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมี
ขนาดเทากัน)
3. m(DE)
แนวคิดในการใหเหตุผล
1. BAC
∧
= EAD
∧
(กําหนดให)
2. m(BC) = m(DE) (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมใน
สวนโคงของวงกลมมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับ
มุมทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน)
B
C
A
D 98o
85o
A
D B
E
25o
C
D
B
E
C
A
18. 62
4. BDC
∧
= 60o
และ CAD
∧
= 50o
5. ADC
∧
= 43o
และ BCD
∧
= 43o
6. AOC
∧
= 70o
และ BOD
∧
= 70o
7. แนวคิดในการพิสูจน
1. m(AD) = m(BC) (กําหนดให)
2. ABD
∧
= CDB
∧
(ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคงยาว
เทากัน แลวมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวย
สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน)
3. AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน)
8. แนวคิดในการพิสูจน
1. m(BD) = m(BC) (กําหนดให)
2. m(ADB) = m(ACB) (สวนโคงครึ่งวงกลมของวงกลม
วงเดียวกัน ยาวเทากัน)
3. m(ADB) – m(BD) = m(ACB) – m(BC) หรือ
m(AD) = m(AC) (สมบัติของการเทากัน)
4. ACD
∧
= ADC
∧
(ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคง
ยาวเทากัน แลวมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวย
สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน)
5. AD = AC (ถามุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง
มีขนาดเทากัน แลวดานที่อยูตรงขามมุมทั้งสองนั้นจะยาว
เทากัน)
6. ∆ ADC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
9. แนวคิดในการพิสูจน
1. m(AX) = m(DX) (กําหนดให)
2. AOX
∧
= DOX
∧
(ในวงกลมวงเดียวกน ถาสวนโคง
ยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางที่รองรับดวยสวนโคงนั้น
จะมีขนาดเทากัน)
C
A
B
D
B
C
A
D
BC
A D
O
X
19. 63
3. AOC
∧
= BOD
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลว
มุมตรงขามมีขนาดเทากัน)
4. AOC
∧
+ AOX
∧
= BOD
∧
+ DOX
∧
(สมบัติของการเทากัน)
5. ∆ COX ≅ ∆ BOX (ด.ม.ด.)
10. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก AO, BO, CO, DO และ EO
1. AOB
∧
+ BOC
∧
+ COD
∧
+ DOE
∧
+ EOA
∧
= 360o
(มุมรอบจุดจุดหนึ่งมีขนาดเทากับ 360 องศา)
2. 2(ADB
∧
) + 2(BEC
∧
) + 2(CAD
∧
) + 2(DBE
∧
) + 2(
∧
ECA)
= 360o
(สมบัติของการเทากัน)
3. ADB
∧
+ BEC
∧
+ CAD
∧
+ DBE
∧
+ ACE
∧
= 180o
(สมบัติของการเทากัน)
4. A
∧
+ B
∧
+C
∧
+D
∧
+E
∧
= 180o
คําตอบกิจกรรม “คอรดและสวนโคงของวงกลม”
1.
1) เทากันทุกประการ เพราะ AO = CO, BO = DO และ AB = CD
ดังนั้น ∆ AOB ≅ ∆ COD (ด.ด.ด.)
2) เทากัน เพราะ มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน
3) เทากัน เพราะ ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่
รองรับมุมที่จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน
4) เทากัน เพราะ ความยาวของแตละสวนโคงเกิดจากความยาวของเสนรอบวงของวงกลม
ลบดวยความยาวที่เทากันของสวนโคงของวงกลม
5) ใช
6) ใช
B
C
A
D
E
O
20. 64
7) แนวคิดในการพิสูจน
กําหนดให วงกลม O และวงกลม R เทากันทุกประการ
คอรด AB และคอรด DE ยาวเทากัน
ลาก AO, BO, DR และ ER
1. ∆ AOB ≅ ∆ DRE (ด.ด.ด.)
2. AOB
∧
= DRE
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม
ที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
3. m(AB) = m(DE) (ในวงกลมที่เทากันทุกประการ
ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับ
มุมที่จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน)
4. m(AB)+ m(ACB) = m(DE)+ m(DFE)
(ตางก็มีความยาวเทากับความยาวของเสนรอบวงของวงกลม
ที่เทากันทุกประการ)
5. m(ACB) = m(DFE) (สมบัติของการเทากัน)
2.
1) เทากัน เพราะ ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางที่
รองรับดวยสวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน
2) เทากันทุกประการ เพราะ AO = CO, BO = DO และ AOB
∧
= COD
∧
(ด.ม.ด.)
3) AB = CD เพราะ ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน
4) ใช
5) ใช
6) แนวคิดในการพิสูจน
กําหนดใหวงกลม O และวงกลม R เทากันทุกประการ
และ m(AB) = m(DE)
ลาก AO, BO, DR และ ER
1. m(AB) = m(DE) (กําหนดให)
2. AOB
∧
= DRE
∧
(ในวงกลมที่เทากันทุกประการ
ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางที่รองรับดวย
สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน)
3. ∆ AOB ≅ ∆ DRE (ด.ม.ด.)
BA
C
O
ED
F
R
BA
C
O
ED
FR
21. 65
4. AB = DE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
คําตอบกิจกรรม “รูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทาแนบในวงกลม”
คําตอบแบบฝกหัด
1.
1) ยาวเทากัน
2) ตั้งฉากกันและแบงครึ่งซึ่งกันและกัน
3) แนวการสราง
1. สรางวงกลม O ใหมีรัศมียาวเทากับ 10
2 = 5 เซนติเมตร
2. ลาก AB เปนเสนผานศูนยกลาง
3. สราง XY ตั้งฉากกับ AB ที่จุด O ตัดวงกลมที่จุด C และจุด D
4. ลาก AC, BC, BD และ AD
จะได ADBC เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเสนทแยงมุม AB ยาว 10 เซนติเมตร
A B
C
D
O 5 ซม.
Y
X
23. 67
คําตอบแบบฝกหัด 3.3 ก
1. แนวคิดในการพิสูจน
1. m(AB) = m(AC) (กําหนดให)
2. AB = AC (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัด
วงกลม ทําใหไดสวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสอง
นั้นจะยาวเทากัน)
3. ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
(มีดานประกอบมุมยอดยาวเทากัน)
2. แนวคิดในการพิสูจน
1. m(AB) = m(BC) (กําหนดให)
2. AB = BC (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัด
วงกลม ทําใหไดสวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้น
จะยาวเทากัน)
3. ADB
∧
=
∧
CEB (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคงยาว
เทากัน แลวมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวย
สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน)
4. ∆ ABD ≅ ∆ CBE (ม.ม.ด.)
5. BD = BE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
3. แนวการสราง
1. สรางวงกลม O โดยใชรัศมียาวพอสมควร
2. สราง AOB
∧
และ BOC
∧
ใหแตละมุมมีขนาด 120o
3. ลาก AB, BC และ AC
จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา
C
A
B
A C
D E
O
B
O A
B
C
24. 68
แนวคิดในการพิสูจน
1. AOB
∧
= BOC
∧
= 120o
(จากการสราง)
2. จะได AOC
∧
= 120o
(ขนาดของมุมรอบจุดจุดหนึ่งเทากับ 360 องศา)
3. m(AB) = m(BC) = m(CA) (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาด
เทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่จุดศูนยกลางนั้นจะ
ยาวเทากัน)
4. AB = BC = CA (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัดวงกลมทําใหได
สวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน)
5. ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา
4. แนวการสราง
1. สรางวงกลม O โดยใชรัศมียาวพอสมควร
2. ลากเสนผานศูนยกลาง AE
3. สราง PQ แบงครึ่ง AOE
∧
ตัดวงกลมที่จุด C และจุด G
จะได AOC
∧
= 90o
4. สราง XY แบงครึ่ง AOC
∧
ตัดวงกลมที่จุด B และจุด F
จะได AOB
∧
= 45o
5. สราง MN แบงครึ่ง COE
∧
ตัดวงกลมที่จุด D และจุด H
จะได COD
∧
= 45o
6. ลาก AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH และ HA
จะไดรูป ABCDEFGH เปนรูปแปดเหลี่ยมดานเทามุมเทา
แนวคิดในการพิสูจน
1. AOB
∧
= BOC
∧
= COD
∧
= DOE
∧
= EOF
∧
= FOG
∧
= GOH
∧
= HOA
∧
= 45o
(จากการสราง และถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามจะมีขนาดเทากัน)
2. m(AB) = m(BC) = m(CD) = m(DE) = m(EF) = m(FG) = m(GH) = m(HA)
(ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่
จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน)
C
P
D
E
F
G
H
A
B
X
N
Q
Y
M
O
25. 69
3. AB = BC = CD = DE = EF = FG = GH = HA
(ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัดวงกลมทําใหไดสวนโคงยาวเทากัน แลวคอรด
ทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน)
4. รูป ABCDEFGH เปนรูปแปดเหลี่ยมดานเทา (มีดานยาวเทากันทุกดาน)
5. ∆ AOB, ∆ BOC, ∆ COD, ∆ DOE, ∆ EOF, ∆ FOG, ∆ GOH และ ∆ HOA
แตละรูปเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วที่มีมุมยอดขนาด 45 องศา
6. มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วแตละรูปมีขนาดเทากับ 180 45
2
−
= 67.5 องศา
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา)
7. ABC
∧
= BCD
∧
= CDE
∧
= DEF
∧
= EFG
∧
= FGH
∧
= GHA
∧
= HAB
∧
= 67.5 × 2 = 135o
8. จะไดรูป ABCDEFGH เปนรูปแปดเหลี่ยมดานเทามุมเทา (จากขอ 4 และขอ 7)
5. แนวการสรางและพิสูจนทําไดในทํานองเดียวกับขอ 3 จากรูปการสรางขางลางนี้ จะได
รูป ABCDEFGHIJKL เปนรูปสิบสองเหลี่ยมดานเทามุมเทา
คําตอบกิจกรรม “คอรดกับจุดศูนยกลางของวงกลม”
1. แนวคิดในการพิสูจน
1. ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ฉ.ด.ด.)
2. AX = BX (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
BA
O
X
30o
O
A
B
CD
E
F
G
H
I J
K
L
26. 70
2. แนวคิดในการพิสูจน
1. ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ด.ด.ด.)
2. AXO
∧
= BXO
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่
เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
3. AXB
∧
= AXO
∧
+ BXO
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
4. AXO
∧
= BXO
∧
= 90o
(จากขอ 2 และขอ 3)
คําตอบแบบฝกหัด
1. 16 เซนติเมตร
2. 13 เซนติเมตร
3. 3.9 เซนติเมตร
4.
1) 21 เซนติเมตร
2) มีลักษณะเปนวงกลม
คําตอบกิจกรรม “หาจุดศูนยกลาง”
1. แนวคิด
1. สรางเสนตรง 1 ตั้งฉากและแบงครึ่ง AB
2. สรางเสนตรง 2 ตั้งฉากและแบงครึ่ง BC
3. ใหเสนตรง 1 ตัดกับเสนตรง 2 ที่จุด O
จะไดจุด O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม
BA
O
X
O
1
2
A B
C
27. 71
2.
ถาคอรด AB และคอรด CD ขนานกัน เสนตรง 1
และ 2 ที่เปนเสนตั้งฉากและแบงครึ่งคอรดทั้งสอง
จะทับกันเปนเสนตรงเดียวกัน จึงไมสามารถหาจุดตัด
ที่เปนจุดศูนยกลางของวงกลม
คําตอบกิจกรรม “วงกลมผานจุดที่กําหนด”
1. สรางวงกลมผานจุด A ไดจํานวนวงกลมนับไมถวน และจุดศูนยกลางของวงกลมเหลานั้นเปนจุดตาง ๆ
บนระนาบ
2.
สรางวงกลมผานจุด A และจุด B ไดจํานวนวงกลม
นับไมถวน และจุดศูนยกลางของวงกลมเหลานั้นจะเรียง
อยูบนเสนตรงที่ตั้งฉากและแบงครึ่ง AB
3. ตัวอยางการสราง
สรางวงกลมผานจุด A, B และ C ไดวงเดียวและ
จุดศูนยกลางของวงกลมอยูที่จุดตัดของเสนตรงสองเสน
ซึ่งเปนเสนตรงที่ตั้งฉากและแบงครึ่งสวนของเสนตรง
สองเสนที่เชื่อมสองจุดใด ๆ ของจุด A, B และ C
A B
O1
O2
O3
A B
C
BA
D C
1
2
28. 72
4. สรางไมได
5. สรางไมได
คําตอบกิจกรรม “รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม”
1. 180o
เพราะ กําหนดให
2. 180o
เพราะ ผลบวกของขนาดของมุมภายในทั้งสี่มุมของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เทากับ 360 องศา
3. 180o
เพราะ ผลบวกของขนาดของมุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเทากับ
180 องศา
4. เทากัน เพราะ สมบัติของการเทากัน
5. ได เพราะ สมบัติของการเทากัน
คําตอบแบบฝกหัด 3.3 ข
1. แนวการสรางและแนวการพิสูจน ทําไดในทํานอง
เดียวกันกับกิจกรรม “จุดศูนยกลางวงลอม”
ในหนังสือเรียนหนา 121 – 122
2. ใหจุด A, B และ C เปนตําแหนงของโรงเรียน
โรงพยาบาล และทารถประจําทาง ตามลําดับ
เมื่อใชแนวการสราง และแนวการพิสูจนในทํานอง
เดียวกันกับกิจกรรม “จุดศูนยกลางวงลอม” ใน
หนังสือเรียน หนา 121 – 122
จะไดตําแหนงที่สรางตลาดสดอยูที่จุดศูนยกลางของ
วงกลม ที่ผานจุด A, B และ C
A
B
C
O
F
E
1
2
A
B
C
E
F
O
2
1
29. 73
3. กําหนดจุด A, B และ C บนขอบจานที่จุดเหลานี้ไมอยูใน
แนวเสนตรงเดียวกัน
เมื่อใชแนวการสราง และแนวการพิสูจนในทํานองเดียวกันกับ
กิจกรรม “จุดศูนยกลางวงลอม” ในหนังสือเรียนหนา
121 – 122
จะไดจุดศูนยกลางของจานซึ่งทําใหหาความยาวของรัศมีของ
จานได ตอจากนั้นจึงใชความยาวของรัศมีหาความยาวของ
เสนรอบจาน
4. แนวคิดในการพิสูจน
1. ODC
∧
= OEC
∧
= 90o
(กําหนดให)
2. ODC
∧
+ OEC
∧
= 180o
(จากขอ 1)
3. ODCE แนบในวงกลมได (ถารูปสี่เหลี่ยมใด ๆ มี
ผลบวกของขนาดของมุมตรงขามเทากับสองมุมฉาก แลว
รูปสี่เหลี่ยมนั้นแนบในวงกลมวงหนึ่งได)
5. แนวคิดในการพิสูจน
1. ให ABD
∧
มีขนาดเปน xo
2. จะได DBC
∧
= 2xo
(กําหนดให)
3. ABD
∧
= ADB
∧
= xo
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยม
หนาจั่วมีขนาดเทากัน)
4. DBC
∧
= DCB
∧
= 2xo
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยม
หนาจั่วมีขนาดเทากัน)
5. จะได DAB
∧
+ BCD
∧
= (180 – 2x) + 2x = 180o
6. ABCD แนบในวงกลมได (ถารูปสี่เหลี่ยมใด ๆ มี
ผลบวกของขนาดของมุมตรงขามเทากับสองมุมฉาก แลว
รูปสี่เหลี่ยมนั้นแนบในวงกลมวงหนึ่งได)
B
C
D
O
EA
A
(180 – 2x)o
xo 2xo
C
D
B
xo
2xo
A B
C
O
31. 75
D
B
A C
O
F E
P
3. AC = BC (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
4. AC และ BC อยูหางจากจุด O เทากัน
(ในวงกลมวงหนึ่ง ถาคอรดสองเสนยาวเทากัน แลวคอรด
ทั้งสองนั้นจะอยูหางจากจุดศูนยกลางของวงกลมเปนระยะ
เทากัน)
3. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก OP
1. OE = OF (ในวงกลมวงหนึ่ง ถาคอรดสองเสนยาว
เทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะอยูหางจากจุดศูนยกลางของ
วงกลมเปนระยะเทากัน)
2. ∆ OEP ≅ ∆ OFP (ฉ.ด.ด.)
3. EP = FP (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
4. BE = DF (ตางก็ยาวเปนครึ่งหนึ่งของคอรดที่ยาวเทากัน)
5. BE + EP = DF + FP (สมบัติของการเทากัน)
6. BP = DP (สมบัติของการเทากัน)
4. แนวคิดในการพิสูจน
ให O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม ลาก OE และ OF ตั้งฉาก
กับ AB และ CD ที่จุด E และจุด F ตามลําดับ ลาก OP
1. OE = OF (ในวงกลมวงหนึ่ง ถาคอรดสองเสนยาว
เทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะอยูหางจากจุดศูนยกลางของ
วงกลมเปนระยะเทากัน)
2. ∆ OEP ≅ ∆ OFP (ฉ.ด.ด.)
3. EP = FP (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
4. BE = DF (ตางก็ยาวเปนครึ่งหนึ่งของคอรดที่ยาวเทากัน)
5. EP – BE = FP – DF (สมบัติของการเทากัน)
6. BP = DP (สมบัติของการเทากัน)
B
A
C
D
P
E
F
O
32. 76
5. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก OE และ OF ตั้งฉากกับ AB และ CD ที่จุด E และจุด F
ตามลําดับ ลาก OB และ OD
1. จาก ∆ OEB จะได OB2
= OE2
+EB2
(ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
2. จาก ∆ OFD จะ ได OD2
= OF2
+FD2
(ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
3. OB = OD (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเทากัน)
4. OB2
= OD2
(สมบัติของการเทากัน)
5. OE2
+ EB2
= OF2
+ FD2
(สมบัติของการไมเทากัน)
6. AB > CD (กําหนดให)
7. AB
2 > CD
2 (สมบัติของการไมเทากัน)
8. EB = AB
2 และ FD = CD
2 (สวนของเสนตรงซึ่งผาน
จุดศูนยกลางของวงกลมและตั้งฉากกับคอรดที่ไมใช
เสนผานศูนยกลาง จะแบงครึ่งคอรด)
9. EB > FD (จากขอ 7 และขอ 8)
10. EB2
> FD2
(EB และ FD เปนจํานวนบวก)
11. OE2
< OF2
(จากขอ 5 และขอ 10)
12. OE < OF (OE และ OF เปนจํานวนบวก)
13. AB อยูใกลจุดศูนยกลางของวงกลมมากกวา CD
6. แนวคิดในการพิสูจน
สําหรับกรณีวงกลมวงหนึ่ง
ให O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม AB เปนคอรดที่อยูใกล
จุด O มากกวาคอรด CD ลาก OE และ OF ตั้งฉากกับ AB
และ CD ที่จุด E และจุด F ตามลําดับ ลาก OB และ OD
1. จาก ∆ OEB จะได OB2
= OE2
+EB2
(ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
2. จาก ∆ OFD จะ ได OD2
= OF2
+FD2
(ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
3. OB = OD (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเทากัน)
4. OB2
= OD2
(สมบัติของการเทากัน)
5. OE2
+ EB2
= OF2
+ FD2
(สมบัติของการเทากัน)
6. OE < OF (กําหนดให)
7. OE2
< OF2
(OE และ OF เปนจํานวนบวก)
D
B
A
C
O
E
F
D
B
A
C
O
E
F
33. 77
8. EB2
> FD2
(จากขอ 5 และขอ 7)
9. EB > FD (EB และ FD เปนจํานวนบวก)
10. 2(EB) > 2(FD) (สมบัติของการไมเทากัน)
11. AB > CD (สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของ
วงกลมและตั้งฉากกับคอรดที่ไมใชเสนผานศูนยกลาง
จะแบงครึ่งคอรด)
สําหรับกรณีวงกลมที่เทากันทุกประการ จะใชแนวคิดในการพิสูจนทํานองเดียวกัน
คําตอบกิจกรรม “เสนสัมผัสวงกลมและรัศมี”
1. เปน
3. ตั้งฉาก
4. ตั้งฉาก
5. ใช
คําตอบในกิจกรรม
1) PC
2) เปน
คําตอบกิจกรรม “เสนสัมผัสวงกลมและรัศมี (ตอ)”
คําตอบในกิจกรรม
1.
(1) ตั้งฉาก เพราะ ไดสรางให XY ตั้งฉากกับ OB ที่จุด A
(2) เปน เพราะ เสนตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดจุดหนึ่งบนวงกลม
จะเปนเสนสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น
C
B
O
D
X
Y
A
34. 78
2.
(1) เปน
(2) 90o
เพราะ แตละมุมเปนมุมในครึ่งวงกลม R ซึ่งมุมในครึ่งวงกลม
มีขนาด 90 องศา
(3) ตั้งฉาก เพราะ OAX
∧
= 90o
และ OBX
∧
= 90o
(4) สัมผัสวงกลม O เพราะ เสนตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดจุดหนึ่งบน
วงกลม จะเปนเสนสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น
(5) สองจุด
(6) เทากัน เพราะ
OAX
∧
=
∧
OBX = 90o
(จากขอ (2))
OX = OX (OX เปนดานรวม)
AO = BO (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเทากัน)
จะได ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ฉ.ด.ด.)
ดังนั้น AX = BX (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม
ที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน)
คําตอบแบบฝกหัด (หนา 135)
1. แนวการสราง ทําไดในทํานองเดียวกันกับในขอ 1 ของ
กิจกรรม “เสนสัมผัสวงกลมและรัศมี (ตอ)” ในหนังสือเรียน
หนา 132 – 133
2. แนวการสราง ทําไดในทํานองเดียวกันกับในขอ 2 ของ
กิจกรรม “เสนสัมผัสวงกลมและรัศมี (ตอ)” ในหนังสือเรียน
หนา 132 – 133
P
Q
O R
X
A
B
X
O
A
P
B
A
B
O X
P
Q
R
35. 79
3.
1) 63o
2) 117o
คําตอบแบบฝกหัด 3.4 ก
1. 17 เซนติเมตร
2. 104o
3. 130o
4. 55o
5. 40o
6. 40o
7. แนวคิดในการพิสูจน
1. YAO
∧
= PBO
∧
= 90o
(เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับ
รัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส)
2. XY // PQ (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน)
8. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก CO และ DO
1. EX AB⊥ (เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับรัศมีของ
วงกลมที่จุดสัมผัส)
2. EXB
∧
= 90o
(จากขอ 1)
3. CYX
∧
= EXB
∧
= 90o
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน
และมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
4. ∆ CYO ≅ ∆ DYO (ฉ.ด.ด.)
5. COY
∧
= DOY
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม
ที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
A B
O
P
Y Q
X
A B
O
C DY
E
X
36. 80
6. m(CE) = m(DE) (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่
จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่
จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน)
9. แนวคิดในการพิสูจน
1. BAC
∧
+ CAY
∧
= 90o
(เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับ
รัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส)
2. ACB
∧
= 90o
(มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา)
3. CAY
∧
+ AYB
∧
= 90o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุม
ของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา)
4. BAC
∧
+ CAY
∧
= CAY
∧
+ AYB
∧
= 90o
(สมบัติของการเทากัน)
5. BAC
∧
= AYB
∧
(สมบัติของการเทากัน)
10. แนวคิดในการพิสูจน
1. ABO
∧
= ACO
∧
= 90o
(เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับ
รัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส)
2. OA = OA (OA เปนดานรวม)
3. AB = AC (สวนของเสนตรงที่ลากมาจากจุดจุดหนึ่ง
ภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลมวงเดียวกัน จะยาวเทากัน)
4. ∆ ABO ≅ ∆ ACO (ฉ.ด.ด.)
5. AOB
∧
= AOC
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่
เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
11. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก BO และ CO
1. AOB
∧
= AOC
∧
(จากการพิสูจนในขอ 10)
2. BOD
∧
+ AOB
∧
= COD
∧
+ AOC
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
3. BOD
∧
= COD
∧
(สมบัติของการเทากัน)
A
B
O
C
YX
B
C
O
A
A
B
OD
C
37. 81
4. m(BD) = m(CD) (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่
จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่
จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน)
5. BD = CD (ในวงกลมวงหนึ่ง ถาคอรดสองคอรดตัด
วงกลมทําใหไดสวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้น
จะยาวเทากัน)
12. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก BO และ CO
1. ∆ BOC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
(มีดานประกอบมุมยอดยาวเทากัน)
2. AOB
∧
= AOC
∧
(จากการพิสูจนในขอ 10)
3. OD ที่แบงครึ่งมุมยอดของ ∆ OBC จะตั้งฉากและแบงครึ่ง
BC (สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว)
คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู”
เครื่องหมายกาชาดมีพื้นที่ r2
1
7 2−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ตารางหนวย
แนวคิด ลาก DX ตัด OA ที่จุด E จะได
ODE เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ให DE = a จะได OE = a, DX = QX = 2a
จาก ∆ ODE จะได a2
+ a2
=
2
r
4
2a2
=
2
r
4
A
B
O D
C
A
B
C
O
D
Y
XQP
r a E
r
2 a
38. 82
a = r
2 2
หนวย
ฉะนั้น DX = QX = 2a = r
2
หนวย
พื้นที่ของรูปกาชาด = (PY)(DX) + (PQ + XY)(DX) ตารางหนวย
= (DX)(PY + PQ + XY) ตารางหนวย
และจะไดวา PY = 2 2
2 r a− (สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของวงกลม
และตั้งฉากกับคอรดที่ไมใชเสนผานศูนยกลาง
จะแบงครึ่งคอรดนั้น)
PQ + XY = 2 2
2 r a 2a− −
ดังนั้นพื้นที่ของรูปกาชาด = 2a( )2 2 2 2
+2 r a 2 r a 2a− − −
= 2a( )2 2
4 r a 2a− −
= r
2
2
2 r r4 r 8 2
− −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2 2
7r4r r
8 22
−
⎛ ⎞
⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2
4r r 7 r
22 2 2
−
⎛ ⎞
⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2 2
4 7 r r
4 2−
= r2
1
7 2−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ตารางหนวย
คําตอบกิจกรรม “นารู”
14 องศา
40. 84
จากรูป
ให CE = x หนวย และ BF = y หนวย
y = 6 – x -------- 1
8 – y = 10 – x -------- 2
จะได 8 – (6 – x) = 10 – x
2 + x = 10 – x
2x = 8
x = 4
แทน x ใน 1 จะได
y = 6 – 4
y = 2
เนื่องจากรัศมีของวงกลม O เทากับ y หนวย ( BEOF เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส)
ดังนั้น รัศมีของวงกลม O เทากับ 2 หนวย
คําตอบกิจกรรม “เสนสัมผัสและคอรด”
1.
1) 90o
2) 90o
3) 90o
4) เทากัน
5) เทากัน เพราะ สมบัติของการเทากัน
6) เทากัน เพราะ ADB
∧
= ACB
∧
(ในวงกลมวงเดียวกัน มุมในสวนโคงของวงกลมที่
รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมีขนาดเทากัน)
2. แนวคิดในการพิสูจน
ลากเสนผานศูนยกลาง AD และลาก CD
1. ACD
∧
= 90o
(มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา)
2. ADC
∧
+ CAD
∧
= 90o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุม
ของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา)
B
C
X YA
D
10 – x
B C
A
D
F
E
O x
y
x6 – x
8 – y
41. 85
3. CAD
∧
+ CAY
∧
= 90o
(เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับ
รัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส)
4. ADC
∧
+ CAD
∧
= CAD
∧
+ CAY
∧
(สมบัติของการเทากัน)
5. ADC
∧
= CAY
∧
(สมบัติของการเทากัน)
6. ADC
∧
= ABC
∧
(ในวงกลมวงเดียวกัน มุมในสวนโคง
ของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมีขนาด
เทากัน)
7. CAY
∧
= ABC
∧
(สมบัติของการเทากัน)
8. ในทํานองเดียวกัน เมื่อลาก BD จะพิสูจนไดวา
BAX
∧
= ACB
∧
คําตอบแบบฝกหัด 3.4 ข
1. BAC
∧
= 65o
และ ACB
∧
= 80o
2. 44o
3. ADC
∧
= 55o
, ABC
∧
= 125o
และ DCB
∧
= 38o
4. 6 หนวย (แนวคิดของการหาคําตอบทํานองเดียวกันกับแนวคิดของการหาคําตอบขอ 2 ของกิจกรรม
“วงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม”)
5. 17 เซนติเมตร
แนวคิด
x = 5 – y จะได y = 5 – x
เนื่องจาก BC = 14 – x + 8 – y
จะได BC = 14 – x + 8 – (5 – x)
BC = 17 เซนติเมตร
B O
C
D
Ax
y
y
(14 – x)
(14 – x)
8 – y
8 – y
(5 – y)