10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนให้ผู้เรียนศึกษาตัวอย่างการหา ห.ร.ม. โดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดในสื่อการสอนต่อไปนี้
ผู้สอนอาจให้ผู้เรียนทาแบบฝึกหัดต่อไปนี้เพื่อให้เข้าใจขั้นตอนวิธีของยุคลิดมากยิ่งขึ้น
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ขั้นตอนวิธีของยุคลิด ชุดที่ 1
จงหา ห.ร.ม. ของ a และ b โดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด เมื่อกาหนด a และ b ดังต่อไปนี้
1. a 26 และ b 118
2. a 364 และ b 9035
3. a 500 และ b 2301
4. a 234 และ b 1770 [ข้อแนะ (234, 1770) (234,1770) ]
9
11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในสื่อการสอนต่อไปนี้ ผู้สอนให้ผู้เรียนสังเกตว่าหากเราแทนค่าย้อนกลับจาก (a, b) rk ขึ้นไป
เรื่อย ๆ จะได้ว่า เราสามารถเขียน ห.ร.ม. ของ a และ b ในรูปการรวมเชิงเส้นของ a และ b
ซึ่งเราสรุปเป็นทฤษฎีบทได้ ดังนี้
10
12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจให้ตัวอย่างเพิ่มเติมแก่ผู้เรียน ดังนี้
ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 91 และ 259 โดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด และ
หาจานวนเต็ม x และ y ซึ่ง (91, 259) 91x 259 y
วิธีทา โดยขั้นตอนวิธีของยุคลิด เราได้ว่า
259 2 91 77
91 1 77 14
77 5 14 7
14 2 7
ดังนั้น (91, 259) 7
โดยการแทนค่าย้อนกลับ เราได้ว่า
7 77 5 (91 1 77)
6 (259 2 91) 5 91
6 259 ( 17) 91
เพราะฉะนั้น x 17 และ y6 ทาให้ (91, 259) 7 91x 259 y #
หากผู้เรียนมีความสามารถสูง ผู้สอนอาจแสดงบทพิสูจน์ขั้นตอนวิธีของยุคลิด โดยเริ่มจาก
ทฤษฎีบทประกอบ ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวก
ถ้า a qb r เมื่อ q และ r เป็นจานวนเต็มโดยที่ 0 b r จะได้ว่า (a, b) (b, r ) (b, a qb)
พิสูจน์ ให้ d (a, b) ดังนั้น d | a และ d | b
เราจะแสดงว่า d (b, r ) นั่นคือ d เป็นจานวนเต็มค่ามากสุดที่ d | b และ d | r
จาก d | a และ d | b เพราะฉะนั้น d | (a qb) ทาให้ได้ว่า d | r
ให้ c เป็นจานวนเต็มซึ่ง c | b และ c | r
ดังนั้น c | ( qb r ) ส่งผลให้ c | a
เพราะฉะนั้น c เป็นตัวหารร่วมของ a และ b ดังนั้น c d
ทาให้สรุปได้ว่า d (b, r ) #
11
14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ขั้นตอนวิธีของยุคลิด ชุดที่ 2
1. จงหาจานวนเต็ม x และ y ที่ให้
ก) (26,118) 26 x 118 y
ข) (234, 1770) 234 x ( 1770) y
ค) ( 110, 273) ( 110) x ( 273) y
2. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็ม ถ้ามีจานวนเต็ม x และ y ซึ่ง ax by 1 จงแสดงว่า (a, b) 1
3. จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิดพร้อมบอกเหตุผลประกอบ
ก) ถ้า a | c และ b | c แล้ว ab | c
ข) (ca, cb) c (a, b) เมื่อ c 0
4. ให้ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า
ก) ถ้า a | c และ b | c และ (a, b) 1 แล้ว ab | c
ข) ถ้า a | bc และ (a, b) 1 แล้ว a | c
5. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
ถ้า c เป็นจานวนเต็มโดยที่ (a, b) | c จงแสดงว่า มีจานวนเต็ม x และ y ซึ่ง c ax by
13
22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. ตัวคูณร่วมน้อย
ผู้เรียนได้ศึกษาเรื่องตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ตลอดจนการประยุกต์ต่าง ๆ เช่น ใช้ในการบวกลบ
เศษส่วนมาบ้างแล้ว เช่นเดียวกับ ห.ร.ม. การนิยาม ค.ร.น. ในระดับประถมศึกษาตอนปลายและมัธยมศึกษา
ตอนต้น นิยามสาหรับจานวนเต็มบวกใด ๆ เท่านั้น ในสื่อการสอนนี้ เราให้นิยาม ค.ร.น. สาหรับจานวนเต็ม a
และ b ที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ ดังนี้
สังเกตว่า ค.ร.น. ต้องเป็นจานวนเต็มบวก และ เป็นพหุคูณร่วมค่าน้อยสุดของ a และ b โดยผู้สอน
อาจย้าเกี่ยวกับสัญลักษณ์ [a, b] ซึ่งแทน ค.ร.น. ของ a และ b ที่มีลักษณะเหมือนกับช่วงปิดที่ผู้เรียนเคยพบใน
เรื่องจานวนจริง และเช่นเดียวกับ ห.ร.ม. ว่า สาหรับจานวนเต็ม a และ b ใด ๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เราได้ว่า
1. [a , b] [b, a ] 2. [a , b] [ a , b] [a , b] [a , b]
21
23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในเรื่องต่อมาจะกล่าวถึงทฤษฎีบทที่จะช่วยในการหา ค.ร.น. ของจานวนเต็มบวกสองจานวนใด ๆ
จากทฤษฎีบทนี้ ในการหา ค.ร.น. ของจานวนเต็มบวก a และ b เราเริ่มหา ห.ร.ม. ของ a และ b
โดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดก่อนแล้วจะได้ ค.ร.น. ของ a และ b มีค่าเป็นผลคูณของ a และ b หารด้วย ห.ร.ม.
ของ a และ b ซึ่งทาให้เราสามารถหา ค.ร.น. ของจานวนเต็มบวกสองจานวนได้อย่างมีประสิทธิภาพ
ยิ่งกว่านั้น หากเราทราบว่าจานวนเต็มบวก a และ b เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะได้ว่า ค.ร.น.
ของ a และ b มีค่าเท่ากับผลคูณของ a และ b
ผู้สอนให้ผู้เรียนศึกษาตัวอย่างต่อไปนี้จากสื่อการสอน
22
24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจแสดงบทพิสูจน์ของทฤษฎีบทให้ผู้เรียนที่มีความสามารถสูง ดังนี้
ทฤษฎีบท ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็มบวก แล้ว [a, b](a, b) ab
พิสูจน์ ให้ d (a, b) ดังนั้น m ab เป็นจานวนเต็ม
d
เราจะแสดงว่า m [a, b]
a b
เนื่องจาก d |a และ d | b ดังนั้น และ เป็นจานวนเต็ม
d d
จาก a b m และ b a m ทาให้ได้ว่า a | m และ b | m
d d
ให้ c เป็นจานวนเต็มบวกซึ่ง a | c และ b | c
ดังนั้น c au และ c bv เมื่อ u และ v เป็นจานวนเต็ม
เนื่องจาก d (a, b) จะได้ว่า มีจานวนเต็ม x และ y ซึ่ง d ax by
c cd cax cby (bv )ax (au )by
เพราะฉะนั้น vx uy เป็นจานวนเต็ม
m md ab ab
ดังนั้น m | c ส่งผลให้ m c
เราจึงสรุปได้ว่า m [a, b] #
เนื่องจาก a, b a , b และ a, b a , b ทฤษฎีบทข้างต้นสามารถขยายสู่กรณีทั่วไป
พร้อมทั้งบทแทรกได้ดังนี้
ทฤษฎีบท ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ จะได้ว่า [a, b](a, b) ab
บทแทรก ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ โดยที่ b | a จะได้ว่า [a, b] a
23
25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ตัวคูณร่วมน้อย
1. จงหา ค.ร.น. ของ a และ b เมื่อกาหนด a และ b ดังต่อไปนี้
ก) a 26 และ b 118
ข) a 364 และ b 9035
ค) a 500 และ b 2301
ง) a 234 และ b 1770
2. จานวนเต็มบวก a และ 48 มี ห.ร.ม. เป็น 4 และ ค.ร.น. เป็น 240 จงหาค่าของ a
3. จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิดพร้อมบอกเหตุผลประกอบ
ก) ถ้า a และ b เป็นจานวนคู่บวก แล้ว [a, b] ab
ข) (a, b) | [a, b] เมื่อ a และ b เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์
ค) ถ้า a เป็นจานวนคู่บวกและ b เป็นจานวนคี่บวก แล้ว [a, b] ab
4. จงหาจานวนเต็มบวกค่าน้อยสุดที่หารด้วย 10 และ 35 แล้วมีเศษเหลือเป็น 4
5. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวก จงแสดงว่า [ab, a b] เป็นจานวนคู่เสมอ
24
31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจแสดงการตรวจสอบว่าจานวนที่กาหนดให้เป็นจานวนเฉพาะหรือไม่ ด้วย Microsoft Excel
ดังได้กล่าวไว้ในสื่อการสอน โดยยกตัวอย่างจานวนเต็มบวกอื่น ๆ เพิ่มเติมได้
หากผู้เรียนมีความสามารถสูง ผู้สอนอาจอธิบายรายละเอียดที่มาของชุดคาสั่งข้างต้นว่าเป็นผลมา
จากทฤษฎีบท C และ หมายเหตุของทฤษฎีบทนี้ ประกอบสื่อการสอนเรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
(เนื้อหาตอนที่ 1) ซึ่งกล่าวว่า
ทฤษฎีบท C ถ้า n เป็นจานวนประกอบ แล้วจะมีจานวนเฉพาะ p n ที่ p | n
หมายเหตุ จากทฤษฎีบท C จะได้ว่า ถ้าจานวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ a ทุกจานวนหาร a ไม่ลงตัว
แล้วจะได้ว่า a เป็นจานวนเฉพาะ
30
32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อมาสื่อการสอนกล่าวถึงการใช้ Microsoft Excel ช่วยในการคานวณหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ
จานวนเต็ม a และ b โดยใช้คาสั่ง GCD a, b และ LCM a, b ดังนี้
ซึ่งผู้สอนสามารถชี้ให้ผู้เรียนเห็นว่า เราอาจใช้คอมพิวเตอร์ช่วยในการคานวณหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ให้
สะดวกขึ้นได้
31
34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. กาหนดให้ a 105 และ b 305
ก) จงหา ( a , b)
ข) จงหาจานวนเต็ม x และ y ที่ทาให้ (a, b) ax by
ค) จงหา [a, b]
2. กาหนดให้ b เป็นจานวนเต็มซึ่ง
216 bq1 104
b 104q2 4
จงหา (216, b)
3. จงแสดงว่า (a, a 2) 1 เมื่อ a เป็นจานวนคี่ และ (a, a 2) 2 เมื่อ a เป็นจานวนคู่
4. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็ม และ p เป็นจานวนเฉพาะ
ถ้า p | ab และ p | a 2 b จงแสดงว่า p 2 | ab
5. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวกโดยที่ [a, b] ab จงแสดงว่า (a, b) 1
6. ให้ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a | c และ b | c จงแสดงว่า [a, b] | c
7. ถ้า (a, a b) 5 และ ab 80 จงหา [a, b]
8. จงหาจานวนเต็มบวกค่ามากสุดที่หาร 130, 312 และ 481 แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน
9. จงหาจานวนเต็มบวกค่าน้อยสุดที่หารด้วย 4, 6 และ 11 แล้วมีเศษเหลือเป็น 3
10. นาฬิกาสองเรือนตั้งเวลาปลุกไว้ทุก 25 และ 40 ตามลาดับ
ถ้านาฬิกาทั้งสองเรือนปลุกพร้อมกันเวลา 6.00 น. อยากทราบว่านาฬิกาทั้งสอง
จะปลุกพร้อมกันครั้งต่อไปเวลาเท่าใด
11. กาหนดให้ S {n | n เป็นจานวนเต็มบวก โดยที่ n 500 และ (n,100) 1}
จงหาจานวนสมาชิกของเซต S
12. กาหนดให้ A {1, 2,3, , 200} และ S {a A | (a, 40) 5}
จงหาจานวนสมาชิกของเซต S
33
36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ขั้นตอนวิธีของยุคลิด ชุดที่ 1
1. ( a , b) 2 2. ( a, b) 13 3. ( a , b) 1 4. ( a , b) 6
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ขั้นตอนวิธีของยุคลิด ชุดที่ 2
1. ก) x 9, y 2 ข) x 121, y 16 ค) x 67, y 27
2. ให้ d (a, b) ดังนั้น d | a และ d | b
ทาให้ได้ว่า d | (ax by ) นั่นคือ d |1
เพราะว่า d 0 ดังนั้น d 1
3. ก) ผิด เช่น 6 | 24 และ 8 | 24 แต่ 48 | 24
ข) ถูก ให้ d (a, b) ดังนั้น d | a และ d | b
จาก c c เพราะฉะนั้น cd หาร ca และ cb ลงตัว
ให้ z เป็นจานวนเต็มซึ่ง z | ca และ z | cb
เพราะว่า d (a, b) ดังนั้น มีจานวนเต็ม x และ y ซึ่ง d ax by
เพราะฉะนั้น dc acx bcy ส่งผลให้ z | dc
ดังนั้น zd c ทาให้สรุปได้ว่า (ca, cb) c d
35
37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. ก) สมมติว่า a | c และ b | c และ (a, b) 1
ดังนั้น จะมีจานวนเต็ม x และ y ที่ทาให้ ax by 1
เพราะฉะนั้น acx bcy c
เนื่องจาก a | c และ b | c ส่งผลให้ ab | cbx และ ab | acy ตามลาดับ
ดังนั้น ab | (acx bcy ) นั่นคือ ab | c
ข a | bc และ (a, b) 1
ดังนั้น จะมีจานวนเต็ม x และ y ที่ทาให้ ax by 1
เพราะฉะนั้น acx bcy c
เพราะว่า a | bc และ a | ac ดังนั้น a | c
5. ให้ c เป็นจานวนเต็มโดยที่ (a, b) | c
ให้ d (a, b) ดังนั้น จะมีจานวนเต็ม x และ y ที่ทาให้ ax by d
เพราะว่า d | c จะได้ c dq เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
ดังนั้น c dq a(qx) b(qy)
เนื่องจาก qx และ qy เป็นจานวนเต็ม ทาให้ได้ข้อสรุปตามต้องการ
36
38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง จานวนเฉพาะสัมพัทธ์
1. ก) เป็น ข) ไม่เป็น เพราะว่า ( 170, 221) 17 ค) เป็น
2. ก) ผิด เช่น (9,12) 3 ดังนั้น 9 และ 12 ไม่เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์
ข) ถูก ให้ d (a, a 2 1) ดังนั้น d | a และ d | (a 2 1)
เพราะฉะนั้น d | a a (a 2 1) ส่งผลให้ d |1 นั่นคือ d 1
ค) ถูก ให้ a เป็นจานวนเต็มใด ๆ และ d (2a 1, 2a 1)
เห็นชัดว่า d เป็นจานวนคี่
เนื่องจาก d | (2a 1) และ d | (2a 1) ดังนั้น d | ((2a 1) (2a 1))
เพราะฉะนั้น d | 2
เพราะว่า d เป็นจานวนคี่ ทาให้ได้ว่า d 1
3. สมมติว่า (a, b) 1 และ (a, c) 1
ดังนั้น ax by 1 และ ax cy 1 เมื่อ x, x, y, y เป็นจานวนเต็ม
เพราะฉะนั้น 1 (ax by )(ax cy) a(axx bxy cxy) bc( yy)
ทาให้สรุปได้ว่า (a, bc) 1 โดยแบบฝึกหัดเรื่องขั้นตอนวิธีของยุคลิด ชุดที่ 2 ข้อ 2
4. เป็นผลจากข้อ 3 เมื่อ b c
5.
37
39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ตัวคูณร่วมน้อย
1. ก) 1534 ข) 252980 ค) 1150500 ง) 69030
240 4
2. a 20
48
ab ab
3. ก) ถูก เพราะว่า 2 | (a, b) ดังนั้น 2 ( a , b) ส่งผลให้ [ a , b] ab
( a , b) 2
ข) ถูก ให้ d ( a , b) และ m [a, b]
ดังนั้น d | a และ d | b และ a | m และ b | m
ทาให้สรุปได้ว่า d | m
ค) ผิด เช่น a 6 และ b 15 จะได้ [a, b] 30 แต่ ab 90
4. 74
5. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็ม และ m [ab, a b]
กรณี ab เป็นจานวนคู่ เพราะว่า ab | m ดังนั้น m เป็นจานวนคู่
กรณี ab เป็นจานวนคี่ ดังนั้น a และ b ต้องเป็นจานวนคี่
ทาให้ได้ว่า a b เป็นจานวนคู่
เพราะว่า (a b) | m ดังนั้น m เป็นจานวนคู่
38
40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. ก) ( a , b) 5 ข) x 29, y 10 ค) [a, b] 6405
2. (216, b) (b,104) (104, 4) 4
3. ให้ d (a, a 2) ดังนั้น d | a และ d | (a 2) ทาให้ได้ว่า d | 2
ดังนั้น d 1 หรือ d 2
กรณี a เป็นจานวนคี่ เพราะว่า d | a ดังนั้น d 1
กรณี a เป็นจานวนคู่ เพราะว่า 2 | a และ 2 | (a 2) ดังนั้น 2 d นั่นคือ d 2
4. สมมติว่า p | ab และ p | ( a 2 b) ดังนั้น p |a หรือ p |b
กรณี p |a เพราะว่า p | ( a 2 b) ดังนั้น p |b ทาให้ได้ว่า p 2 | ab
กรณี p |b เพราะว่า p | ( a 2 b) ดังนั้น p | a2 ทาให้ได้ว่า p |a เพราะฉะนั้น p 2 | ab
ab
5. เนื่องจาก ab [a, b] ดังนั้น (a, b) 1
( a , b)
6. ให้ m [a, b] สมมติว่า a | c และ b | c
โดยขั้นตอนวิธีการหาร จะได้ c mq r เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม และ 0 r m
ดังนั้น r c mq
เพราะว่า a | m, b | m, a | c และ b | c เพราะฉะนั้น a | r และ b | r
ถ้า r 0 จะได้ว่า mr ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง ดังนั้น r 0 นั่นคือ m|c
ab 80
7. เพราะว่า (a, b) (a, a b) 5 และ ab 80 ดังนั้น [a, b] 16
( a , b) 5
8. d 13 และ เศษเหลือที่เท่ากันมีค่าเท่ากับศูนย์
9. 135
10. [25, 40] 200 นาที ดังนั้น นาฬิกาทั้งสองจะปลุกพร้อมกันครั้งต่อไปเวลา 9.20 .
11. 200
12. 20
39