Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

เอกสารประกอบการเรียน พหุนาม ม.2

31,417 views

Published on

เอกสารประกอบการเรียน พหุนาม ม.2

  1. 1. 1...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 บทที่ 2 พหุนาม 2.1 เอกนาม นิพจน์ (expression) คือ ข้อความที่เขียนให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ต่าง ๆ แต่ในทางพีชคณิตจะมีการใช้ ตัวอักษร เช่น a, b, c, A, B, C แทนจานวนต่าง ๆ ที่เราต้องการ โดยมีตัวอย่าง เช่น 3, 6x, x+y , 11 , x2 -y2 -xy ,… โดยเรียกตัวอักษรว่า ตัวแปร (variable) และตัวเลขเรียกว่า ค่าคงตัว (constant) ข้อตกลงในการเขียนผลคูณระหว่างค่าคงตัวและตัวแปร 1. ในกรณีที่มีค่าคงตัวมากกว่าหนึ่งตัว ให้หาผลคูณของค่าคงตัวก่อน แล้วจึงเขียนในรูปการคูณระหว่าง ค่าคงตัวกับตัวแปรโดยเขียนค่าคงตัวไว้หน้าตัวแปร เช่น 2x5xaxb เขียนเป็น 10ab 2. ให้เขียนค่าคงตัวไว้หน้าตัวแปร ในกรณีที่ค่าคงตัวเป็น 1 ไม่ต้องเขียน ถ้าค่าคงตัวเป็น -1 เขียนเฉพาะ เครื่องหมายลบหน้าตัวแปรทั้งหมด ส่วนตัวแปรให้เขียนลาดับตัวอักษรและเขียนเรียงชิดติดกัน เช่น (-1)xnxm เขียนเป็น -mn 3. กรณีมีตัวแปรหลายตัว ให้เขียนเรียงตามลาดับอักษร โดยเขียนเรียงชิดกัน ใช้สัญลักษณ์เลขยกกาลัง ในกรณีที่เป็นไปได้ เช่น 3x4xaxbxbxaxa เขียนเป็น 12a3 b2 ตัวอย่างที่ 1 ให้นักเรียนเขียนผลคูณระหว่างค่าคงตัวและตัวแปรต่อไปนี้ให้ถูกต้อง 5x(-2)xaxdxc เขียนเป็น ......................................................... (-4)x(-2)xbxbxaxa เขียนเป็น ......................................................... 3x5xpxpxrxs เขียนเป็น ......................................................... (-1)xqxqxqxp เขียนเป็น .........................................................
  2. 2. 2...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 เอกนาม (monomial) คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัว ขึ้นไป โดยที่ เลขชี้กาลัง(exponent) ของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์ หรือจานวนเต็มบวก ตัวอย่างที่ 2 ตัวอย่างนิพจน์ที่เป็นเอกนาม 7x , 2 3 ab, 8ab3 c ,0 ,5 , 3x – x เหตุผล 7x เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 7กับตัวแปร x เลขชี้กาลังของตัวแปรเป็น 1 2 3 ab เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 2 3 กับตัวแปร a, b เลขชี้กาลังของตัวแปร เป็นทุกตัวเป็นจานวนเต็มบวก 8ab3 c เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 8 กับตัวแปร a, b และ c เลขชี้กาลังของ ตัวแปรเป็นทุกตัวเป็นจานวนเต็มบวก 0 เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูป 0 คูณกับตัวแปรใดๆ ก็ได้ เช่น 0a3 ซึ่งเลขชี้กาลังของตัวแปรนั้น เป็นจานวนเต็มบวก 5 เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูป 5a0 ซึ่งเป็นการคูณกันของค่าคงตัว 5 กับตัวแปรใด (a) ซึ่งเลขชี้ กาลังของตัวแปรนั้นศูนย์ 3x – x เป็นเอกนาม เพราะสามารถเขียนเป็น 2x ซึ่งเป็นการคูณกันของค่าคงตัวกับตัวแปรที่มีเลขชี้กาลัง เป็นจานวนเต็มบวกได้ ตัวอย่างที่ 3 ตัวอย่างนิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม 4x-1 y , 𝑥 𝑦 , 2 – 3x, a+b+c เหตุผล 4x-1 y ไม่เป็นเอกนาม เพราะเลขชี้กาลังของตัวแปร x เป็น -1 𝑥 𝑦 ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณจะได้ xy-1 เลขชี้กาลังของ y เป็น -1 2 – 3x ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณกันไม่ได้ a+b+c ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณกันไม่ได้
  3. 3. 3...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 สัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนาม เอกนามประกอบด้วย 2 ส่วน คือส่วนที่เป็นค่าคงตัวและส่วนที่อยู่ในรูปการคูณกันของตัวแปร โดยส่วนที่เป็นค่าคงตัว เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของเอกนาม และ ผลบวกของเลขชี้กาลังของตัวแปรทุกตัวในเอกนามจะ เรียกว่า ดีกรีของเอกนาม ตัวอย่างที่ 4 สัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนาม 2xy เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = 2 ดีกรี = 1 + 1 = 2 -xy2 เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = -1 ดีกรี = 1 + 2 = 3 23 a3 b4 เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = 23 ดีกรี = 3 + 4 = 7 -8 เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = -8 ดีกรี = 0 x เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = 1 ดีกรี = 1 -a เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = -1 ดีกรี = 1 𝑥𝑦 𝑧2 3 เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = 1 3 ดีกรี = 1+1+2 = 4 ข้อสังเกต สาหรับเอกนาม 0 ไม่สามารถบอกดีกรีที่แน่นอนได้เพราะ 0 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณกันของ ค่าคงตัว 0 กับตัวแปรใดๆ ก็ได้ เช่น 0x3 หรือ 0y4 ดังนั้นดีกรีของเอกนาม 0 จึงกาหนดไม่ได้ และเอกนามที่เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ จะมีดีกรีเป็น 0 ทั้งหมด เพราะจัดให้อยู่ในรูปการคูณกับตัวแปร ใดๆ ก็ได้ที่มีเลขชี้กาลังเป็น 0 หรือตัวแปรกี่ตัวก็ได้ที่มีเลขชี้กาลังของตัวแปรทุกตัวเป็น 0 เช่น 3x0 , 3a0 b0 ,3y0 มีค่าเท่ากับ 3 ทั้งหมด ก่อนนอนนักเรียนอย่าลืมทบทวนเอกนาม อีกรอบนะค่ะ ... หรือไม่เรามาเริ่มทา แบบฝึกหัดที่ 1 กันดีกว่านะค่ะ
  4. 4. 4...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 แบบฝึกหัดที่ 1 เรื่อง เอกนาม 1. จงใส่เครื่องหมาย  หน้านิพจน์ที่เป็นเอกนามและเครื่องหมาย  หน้านิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม .............. 1.1 5-2 a ……………… 1.2 15xy-2 ……………… 1.3 4(x+y) .............. 1.4 -5.5 a3 b0 ……………… 1.5 32 xy2 z3 ……………… 1.6 13m-3 n .............. 1.7 11p2 qr ……………… 1.8 𝑥2 3 ……………… 1.9 0.5 (𝑎𝑏𝑐 )−4 .............. 1.10 5 𝑎𝑏 ∙ 𝑎3 𝑏3 ……………… 1.11 2.7 ……………… 1.12 1 4 pq .............. 1.13 3x + 2y ……………… 1.14 15x0 y-1 z2 ……………… 1.15 7xy 2. จงบอกสัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนามต่อไปนี้ ข้อ เอกนาม สัมประสิทธิ์ ดีกรีเอกนาม 1 -2p2 q 2 7 13 x2 y5 3 -9ab2 c3 4 -16x0 yz4 5 1 2−3 m2 n5 6 −𝑎3 𝑏 8 7 3.6p5 q7 8 3 𝑥2 𝑦0 𝑧3 9 9𝑎3 𝑏2 3𝑎𝑏 10 𝑚3 𝑛 𝑚−1
  5. 5. 5...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2.2 การบวกและการลบเอกนาม เอกนามที่คล้ายกัน คือ เอกนามที่มีตัวแปรชุดเดียวกัน และเลขชี้กาลังของตัวแปรตัวเดียวกันในแต่ละ เอกนามเท่ากัน ตัวอย่าง 1 เอกนามที่คล้ายกัน ตัวอย่าง 2 เอกนามที่ไม่คล้ายกัน 3x คล้ายกันกับ - 7x - 6x ไม่คล้ายกันกับ - 5y - 5xy2 คล้ายกันกับ 𝑥𝑦2 3 3x2 y ไม่คล้ายกันกับ 2xy2 5 คล้ายกันกับ 2 4x ไม่คล้ายกันกับ 3x2 3m2 n ไม่คล้ายกันกับ 5m2 nt การบวกเอกนาม การหาผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน สามารถหาผลบวกได้โดยใช้สมบัติการแจกแจงได้ ดังนี้ ผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน = (ผลบวกของสัมประสิทธิ์)x(ส่วนที่อยู่ในรูปตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร) ข้อสังเกต สาหรับเอกนามที่ไม่คล้ายกัน เช่น -7x กับ -7y สามารถเขียนผลบวกในรูปเอกนามได้ คือ (-7)x + (-7)y ตัวอย่าง 3 จงหาผลบวกของเอกนามที่กาหนดให้ต่อไปนี้ 1. 11a + 7a = (11+7)a = 18a 2. -6x2 y + 9x2 y = [(-6) + 9] x2 y = 3x2 y 3. 10a2 bc + 3a2 bc = (10+3)a2 bc = 13a2 bc 4. 7xy2 z + (-5xy2 z) = [7+(-5)]xy2 z = 2xy2 z 5. -2pqr + (-4pqr) = [(-2)+(-4)]pqr = -6pqr
  6. 6. 6...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 เนื่องจากว่าเอกนามแทนจานวน ดังนั้น จึงใช้สมบัติการสลับที่สาหรับการบวก สมบัติการเปลี่ยนหมู่สาหรับ การบวก สมบัติการบวกด้วยศูนย์ และสมบัติการคูณด้วยศูนย์ มาใช้ในการหาผลบวกของเอกนามได้ การลบเอกนาม อาศัยหลักการเช่นเดียวกับการลบจานวนสองจานวนที่กล่าวว่า “การลบ คือ การบวกด้วย จานวนตรงข้ามของตัวลบ” ตามข้อตกลงดังนี้ a – b = a + (-b) เมื่อ a , b เป็นจานวนใด ๆ และ -b เป็นจานวนตรงข้ามของ b การลบเอกนามสองเอกนามที่คล้ายกัน เราจึงเขียนการลบให้อยู่ในรูปการบวกของเอกนาม เช่น 4a5 – 3a5 = 4a5 + (–3a5 ) แล้วจึงใช้หลักเกณฑ์ที่ได้จากการบวกเอกนามที่คล้ายกัน ตัวอย่าง 4 จงหาผลลบของเอกนามที่กาหนดให้ต่อไปนี้ 1. 5xy – 2xy = 5xy + (-2xy) = [5+(-2)]xy = 3xy 2. 6a2 b – (-3a2 b) = 6a2 b + 3a2 b = (6+3)a2 b = 9a2 b 3. (-2x2 ) – 4x2 = (-2x2 ) + (-4x2 ) = [(-2)+(-4)]x2 = -6x2 4. 7m2 n – 10m2 n = 7m2 n + (–10m2 n) = [7 +(-10)]m2 n = -3m2 n 5. (-7st2 ) – (-2st2 ) = (-7st2 ) + 2st2 = [(-7)+2]st2 = - 5st2 เอกนามที่ไม่คล้ายกัน เช่น 3x2 y4 กับ x3 y3 ไม่สามารถหาผลลบในรูปเอกนามโดยใช้สมบัติการแจก แจงได้ จึงเขียนผลในรูปการลบ ดังนี้ 3x2 y4 - x3 y3 เป็นต้น
  7. 7. 7...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 แบบฝึกหัดที่ 2 เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม 1. จงพิจารณาเอกนามที่กาหนดให้ต่อไปนี้ว่าคูใดคล้ายกันหรือไม่คล้ายกันโดยเติมเครื่องหมาย ในช่อง  1.1 5w2 กับ 2w2  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.2 -19y5 กับ -5y5  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.3 x3 กับ y3  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.4 -a2 กับ -4a2  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.5 xy2 z3 กับ x3 y2 z  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.6 xyz กับ xzy  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.7 x2 y กับ xy2  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.8 -4u กับ 3u  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.9 -5x3 y2 กับ -5x2 y3  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.10 x กับ –x  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 2. จงหาผลบวกของเอกนามที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 2.1 -12x+13x 2.2 3ab+5ab ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 2.3 17m2 +(-3m2 ) 2.4 (-3ab4 )+(-17ab4 ) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 2.5 25p2 q4 +6p2 q4 2.6 (-5x2 y)+3yx2 ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
  8. 8. 8...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2.7 10a2 b2 c2 + 21a2 b2 c2 2.8 ( 1 8 x2 yz)+ (- 1 8 x2 yz) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 2.9 (-2m2 n5 )+( -18m2 n5 ) 2.10 15yxz + 13xyz ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 3. จงหาผลลบของเอกนามที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 3.1 15mn – 13mn 3.2 27x2 – (-11x2 ) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 3.3 (-8p2 q) -6p2 q 3.4 (9a4 bc) – (- 6a4 bc) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 3.5 (-16m2 n3 ) – (-11m2 n3 ) 3.6 -12st2 – 5st2 ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 3.7 20c2 d2 – 15c2 d2 3.8 8pq – (-10pq) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 3.9 (-10x2 y2 z2 ) - (-9x2 y2 z2 ) 3.10 13xy2 - (-7y2 x) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 4. จงหาผลลัพธ์ของเอกนามต่อไปนี้ ให้อยู่ในรูปผลสาเร็จ 4.1 7m + (-3m) + (-4m) 4.2 (4c2 -3c2 ) + 6c2 ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
  9. 9. 9...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 4.3 9xy3 z - 4xy3 z - xy3 z 4.4 12x2 y + (-8x2 y) - 4x2 y ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 4.5 18abc – 13abc + 2abc 4.6 (-10p2 q3 ) + 2p2 q3 - 6p2 q3 ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 4.7 5a3 b + 4 3 a3 b+ 5 3 a3 b 4.8 1.5xy3 z + 3.3xy3 z – 2.2xy3 z ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 4.9 5x + 3xz + (-7x) – (-3xz) 4.10 (4y2 +7y2 ) – (6y2 – 20y2 ) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………  ข้อสรุปที่ได้ ในการบวกและการลบเอกนามคือ ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................
  10. 10. 10...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2.3 พหุนาม พหุนาม (polynomial) หมายถึง นิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือสามารถเขียนในรูปการบวก ของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป พหุนาม คือ เอกนาม หรือผลบวกของเอกนาม ตัวอย่าง 1 ตัวอย่างของพหุนาม 7 เป็นเอกนาม และเป็นพหุนาม -3x เป็นเอกนาม และเป็นพหุนาม 4x3 +7 เป็นพหุนามที่อยู่ในรูปการบวกกันของเอกนามสองเอกนาม คือ 4x3 และ 7 5x3 +3xy+(-2x) เป็นพหุนามที่อยู่ในรูปการบวกกันของเอกนามสามเอกนาม คือ 5x3 , 3xyและ -2x หรือเขียนใหม่ได้ 5x3 +3xy -2x เพื่อความสะดวกสาหรับพหุนามใด ๆ ที่จะกล่าวต่อไปนี้ จะเรียกแต่ละเอกนามที่อยู่ในพหุนามนั้นว่า พจน์ ของพหุนาม ในกรณีที่พหุนามนั้นมีเอกนามที่คล้ายกัน จะเรียกเอกนามที่คล้ายกันว่า พจน์ที่คล้ายกัน เช่น พหุนาม 7 มี 1 พจน์ คือ 7 พหุนาม 2x + 7 มี 2 พจน์ คือ 2x กับ 7 พหุนาม x2 – 2x +7 มี 3 พจน์ คือ x2 , 2x กับ 7 พหุนาม x2 – 2x + 4x +7 มี 4 พจน์ คือ x2 ,2x,4x กับ7และ -2x กับ 4x เป็นพจน์คล้ายกัน ในกรณีพหุนามบางพจน์เป็นพจน์ที่คล้ายกัน สามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกันเพื่อทาให้เป็นพหุนาม ในรูปที่ไม่มีพจน์คล้ายกันเลย เรียกพหุนามที่ไม่มีพจน์คล้ายกันเลยว่า พหุนามในรูปผลสาเร็จ (polynomial in the simplest form)
  11. 11. 11...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 ตัวอย่าง 2 การทาพหุนามให้อยู่ในรูปผลสาเร็จ 1. 7x2 +5x+2x2 -3x = (7x2 +2x2 )+(5x-3x) = (7+2)x2 +(5-3)x = 9x2 +2x 2. 4z2 +18 – z2 = (4z2 -z2 ) + 18 = (4-1)z2 + 18 = 3z2 + 18 3. 2x2 y + y2 – 3 + x2 y + 9 = (2x2 y + x2 y) + [(-3) + 9] + y2 = (2+1) x2 y + 6 + y2 = 3x2 y + y2 +6 ดีกรีของพหุนาม เมื่อพหุนามอยู่ในรูปผลสาเร็จ โดยถือว่าดีกรีสูงสุดของพจน์ในพหุนามในรูปผลสาเร็จเป็น ดีกรีของพหุนาม (ดีกรีของพหุนามแต่ละพจน์ คือ นาเลขชี้กาลังของตัวแปรแต่ละตัวมารวมกัน) ตัวอย่าง 3 การหาดีกรีของพหุนาม 1. 7x5 – 5x4 + 2xy – 3y2 เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ ดีกรีของพจน์ 7x5 เท่ากับ 5 ดีกรีของพจน์ – 5x4 เท่ากับ 4 ดีกรีของพจน์ 2xy เท่ากับ 2 ดีกรีของพจน์ 3y2 เท่ากับ 2 2. 0 เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จที่เป็นเอกนาม และไม่กล่าวถึงดีกรีของเอกนาม 0 ดังนั้น จึงไม่กล่าวถึงดีกรีของพหุนาม 0 พหุนามในรูปผลสาเร็จ พหุนามในรูปผลสาเร็จ พหุนามในรูปผลสาเร็จ
  12. 12. 12...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 3. 3a3 b2 c – 22 a2 b2 + 7abc3 – 33 a3 b3 เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ ดีกรีของแต่ละพจน์ 6 4 5 6 (ดีกรีสูงสุดของพหุนามซ้ากันให้ตอบเพียงตัวเดียว) ดังนั้น ดีกรีของพหุนาม 3a3 b2 c – 22 a2 b2 + 7abc3 – 33 a3 b3 เท่ากับ 6 ตัวอย่าง 4 จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ และบอกดีกรีของพหุนาม 1. 3a3 b2 – 4a2 b2 + 5ab5 + 4a3 b2 = (3a3 b2 + 4a3 b2 ) – 4a2 b2 + 5ab5 = 7a3 b2 – 4a2 b2 + 5ab5 ดังนั้น พหุนามในรูปผลสาเร็จ คือ 7a3 b2 – 4a2 b2 + 5ab5 ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 6 2. 3n2 + 5 + mn2 + 2mn2 - 8mn2 – 7 - 3n2 = (3n2 - 3n2 )+ (5 - 7) + (mn2 + 2mn2 - 8mn2 ) = -2 – (1 + 2 – 8) mn2 = - 2 – 5mn2 ดังนั้น พหุนามในรูปผลสาเร็จ คือ - 2 – 5mn2 ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 3 3. 4x3 – 5x2 y – 6y4 + 2x2 y +3x3 +y4 = (4x3 +3x3 )+( – 5x2 y+ 2x2 y)+( – 6y4 +y4 ) = 7x3 – 3x2 y – 5y4 ดังนั้น พหุนามในรูปผลสาเร็จ คือ 7x3 – 3x2 y – 5y4 ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 4 ตัวอย่าง 5 จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยเรียงพจน์ของพหุนามจากดีกรีมากไปน้อย 1. 2x2 + 5 – 3x = 2x2 – 3x + 5 2. 5 – 2x = - 2x + 5 3. 6x2 + 4 – x + 8x3 = 8x3 + 6x2 – x + 4
  13. 13. 13...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 แบบฝึกหัดที่ 3 เรื่อง พหุนามและดีกรีของพหุนาม 1. จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ในรูปผลสาเร็จ พร้อมทั้งบอกดีกรีของพหุนาม 1.1 17x + 2 – 8x – 11 1.2 5y + ( -3x2 ) + 6x2 + 2y ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ดีกรี เท่ากับ …………………………………………………………… ดีกรี เท่ากับ …………………………………………………………… 1.3 10st + (-2x2 )+ 6x2 – 8st 1.4 6xy – 5x3 + 7xy + 18x3 ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ดีกรี เท่ากับ …………………………………………………………… ดีกรี เท่ากับ …………………………………………………………… 1.5 9x2 + 3x2 y – 7x2 y – 4x2 + 5 ……………………………………………………………………………………. ดีกรี เท่ากับ ..………………………………………………………… 2. จงเขียนพหุนามต่อไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ 2.1 a2 – 2ab + b2 – a2 + b2 2.2 4x5 – 4x2 + 5x2 – 3x5 –x5 ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… 2.3 4a6 – 3a3 + 1 + 5a3 + 2 2.4 x2 y – 4xy2 – x3 + x2 y ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
  14. 14. 14...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2.5 m2 – 7m + 6 + 2m2 – 12 2.6 y3 + 3y – 5y2 – 4y – y2 + 1 ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… 2.7 3x2 + 4y5 – 2x + 5 – 5x2 + y2 – 1 2.8 2m2 n – 3mn2 + m2 n – 4m2 n – 2mn2 ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… 2.9 5c3 d – 4cd3 – 2c3 d – 2cd2 2.10 9x2 -3xy-y2 -3x2 -5xy-x2 -4xy+y2 -7y2 ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… 3. จงเขียนพหุนามต่อไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ และเรียงพจน์ของพหุนามจากพจน์ที่มีดีกรีน้อยไปพจน์ที่มี ดีกรีมาก 3.1 4x5 – 3x2 +5x2 – 3x4 – x5 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3.2 m2 – 7m + 6 + 3m2 – 12m …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3.3 2y3 + 8y – 5y2 – 4y – y2 + 7 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
  15. 15. 15...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 3.4 - 6a2 – 3a3 + a + 4a3 + 8a2 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3.5 - 8x + 5x3 + x2 – 5x3 + 4x – 7 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….  2.4 การบวกและการลบพหุนาม การหาผลบวกพหุนาม การหาผลบวกของพหุนามทาได้โดยนาพหุนามมาเขียนในรูปการบวก และถ้ามีพจน์ ที่คล้ายกัน ให้บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน ซึ่งมีหลักการบวกพหุนาม 2 วิธี คือ 1. การบวกตามแนวราบ ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามที่กาหนดให้ทั้งหมดที่ต้องการบวกกันในบรรทัดเดียวกัน ขั้นที่ 2 รวมพจน์ที่คล้ายกัน ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ ตัวอย่าง 1 จงหาผลบวกของพหุนามแต่ละข้อต่อไปนี้โดยวิธีการบวกตามแนวราบ 1. 5x + 3 และ - 12x + 15 2. 3s + 5st และ - 9s – 3st 3. 2x2 – 3x + 7 และ – x2 + x – 8 วิธีทา 1. (5x + 3) + (- 12x + 15) = 5x + 3 - 12x + 15 = (5x – 12x)+ (3+15) = - 7x + 18 .............................
  16. 16. 16...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2. (3s + 5st) + (- 9s – 3st) = 3s + 5st - 9s – 3st = (3s - 9s)+ (5st – 3st) = - 6s + 2st ............................. 3. (2x2 – 3x + 7)+(– x2 + x– 8) = 2x2 – 3x + 7 – x2 + x– 8 = (2x2 – x2 )+(– 3x+x)+ (7– 8) = x2 – 2x – 1 ............................. ตัวอย่าง 2 จงหาผลบวกของ 2ab – 3b2 +5a2 กับ 2a2 +2ab + 3b2 วิธีทา (2ab – 3b2 +5a2 ) + (2a2 +2ab + 3b2 ) = 2ab – 3b2 +5a2 + 2a2 +2ab + 3b2 = (2ab+2ab)+(–3b2 + 3b2 )+(5a2 + 2a2 ) = 4ab +0 + 7a2 = 4ab + 7a2 ............................. ตัวอย่าง 3 จงหาผลบวกของ 3c3 – 8c2 + 2c – 1 กับ 5c3 +2c2 +7 วิธีทา (3c3 – 8c2 + 2c– 1)+( 5c3 +2c2 +7) = 3c3 – 8c2 + 2c– 1 + 5c3 + 2c2 + 7 = (3c3 + 5c3 )+(– 8c2 + 2c2 ) + 2c+(–1 + 7) = 8c3 - 6c2 + 2c + 6 ............................. 2. การบวกในแนวตั้ง ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามที่กาหนดให้ โดยให้พจน์ที่คล้ายกันอยู่ตรงกัน ขั้นที่ 2 รวมพจน์ที่คล้ายกัน ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ
  17. 17. 17...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 ตัวอย่าง 4 จงหาผลบวกของพหุนามแต่ละข้อต่อไปนี้โดยวิธีการบวกในแนวตั้ง 1. 7xy - st และ – 10st + 3xy 2. 3x + 9y - 15 และ 2 + 8y - z 3. 7y , -16y+ 2 และ y2 + 6y วิธีทา 1. 7xy – st 2. 3x + 9y - 15 3xy – 10st 8y – z + 2 10xy – 11st 3x +17y – z – 13 3. 7y -16y + 2 y2 + 6y y2 – 3y + 2 หมายเหตุ ในการบวกในแนวตั้งกรณีไม่มีพจน์ที่คล้ายกัน ให้เว้นที่ว่างไว้ ตัวอย่าง 5 จงหาผลบวกของ 2ab – 3b2 +5a2 กับ 2a2 +2ab + 3b2 วิธีทา 5a2 +2ab – 3b2 2a2 +2ab +3b2 7a2 +4ab + 0 = 7a2 +4ab ............................ ตัวอย่าง 6 จงหาผลบวกของ 3c3 – 8c2 + 2c – 1 กับ 5c3 +2c2 +7 วิธีทา 3c3 – 8c2 + 2c – 1 5c3 + 2c2 +7 8c3 – 6c2 +2c +6 ............................ + + + + + ง่ายจังเลยค่ะ
  18. 18. 18...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 การหาผลลบพหุนาม การลบของพหุนามด้วยพหุนาม ทาได้โดยการบวกพหุนามที่เป็นตัวตั้งด้วยพจน์ ตรงข้ามของพจน์แต่ละพจน์ของพหุนามที่เป็นตัวลบ ตัวอย่างการหาพหุนามตรงข้าม (inverse polynomial for addition) เช่น x – 5 พหุนามตรงข้ามคือ - (x – 5) = -x –(- 5) = -x + 5 - x3 + 5y พหุนามตรงข้ามคือ -(- x3 + 5y) = -(-x3 ) -5y = x3 - 5y ข้อสรุปของการลบพหุนาม พหุนามตัวตั้ง – พหุนามตัวลบ = พหุนามตัวตั้ง + พหุนามตรงข้ามของพหุนามตัวลบ โดยหลักการลบพหุนามมี 2 วิธี ดังนี้ 1. การลบตามแนวราบ ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามที่กาหนดให้ทั้งหมดที่ต้องการลบกันในบรรทัดเดียวกัน แต่ยึดหลักการลบ คือ การบวกด้วยพจน์ตรงข้ามของพจน์แต่ละพจน์ของพหุนามที่เป็นตัวลบ ขั้นที่ 2 รวมพจน์ที่คล้ายกัน ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ ตัวอย่าง 7 จงหาผลลบของพหุนามต่อไปนี้ 1. (3 + 5x + x2 ) – (8x2 – 9x) 2. (4z2 +7z - 5) – (9z +1) 3. (5x2 + 6x - 4) – (3x2 – 12x – 1) วิธีทา 1. (3 + 5x + x2 ) – (8x2 – 9x) = (3 + 5x + x2 ) + [-(8x2 – 9x)] = (3 + 5x + x2 ) + (-8x2 + 9x) = 3 + 5x + x2 -8x2 + 9x = 3 + ( 5x + 9x) + (x2 -8x2 ) = 3 + 14x – 7x2 ………………………………..
  19. 19. 19...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2. (4z2 +7z - 5) – (9z +1) = (4z2 +7z - 5) + [– (9z +1)] = (4z2 +7z - 5) + [– 9z -1 ] = 4z2 +7z - 5 – 9z -1 = 4z2 +(7z – 9z) - 5 -1 = 4z2 – 2z – 6 ……………………………… 3. (5x2 + 6x - 4) – (3x2 – 12x – 1) = (5x2 + 6x - 4) + [– (3x2 – 12x – 1)] = (5x2 + 6x - 4) + [– 3x2 + 12x + 1 ] = 5x2 + 6x - 4 – 3x2 + 12x + 1 = (5x2 – 3x2 ) + (6x + 12x) + (- 4 + 1) = 2x2 + 18x – 3 ……………………………… ตัวอย่าง 8 จงหาผลลบของ 5y3 + 2y2 – y กับ 2y3 + 3y วิธีทา (5y3 + 2y2 – y) - (2y3 + 3y) = ………………………………………………………………………………………… = ………………………………………………………………………………………… = ………………………………………………………………………………………… = ………………………………………………………………………………………… ตัวอย่าง 9 จงหาผลลบของ 4x2 - 3xy -2y2 กับ 2x2 + 3xy – 5y2 วิธีทา (4x2 - 3xy -2y2 ) - (2x2 +3xy – 5y2 ) = ………………………………………………………………………………… = ………………………………………………………………………………… = ………………………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………………………
  20. 20. 20...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2. การลบในแนวตั้ง เขียนพหุนามที่กาหนดให้ทั้งหมดโดยให้พจน์ที่คล้ายกันอยู่ตรงกัน โดยทาได้ 2 แบบ คือ ตัวอย่าง 10 จงหาผลลบของ 4x2 – 2x – 1 กับ x2 – x + 4 วิธีทา แบบที่ 1 ทาการลบเหมือนกับตัวเลขทั่วไป ตัวตั้ง 4x2 – 2x – 1 ตัวลบ x2 – x + 4 3x2 – x - 5 แบบที่ 2 เปลี่ยนการลบให้อยู่ในรูปการบวกพจน์ตรงข้าม แล้วหาผลบวก (4x2 – 2x – 1) - (x2 – x + 4) = (4x2 – 2x – 1) + (- x2 + x - 4) ตัวตั้ง 4x2 – 2x – 1 ตัวลบ - x2 + x - 4 3x2 – x - 5 ข้อสังเกต หลักการของการลบพหุนาม จะบวกพหุนามที่เป็นตัวตั้งด้วยพจน์ตรงข้าม ของแต่ละพจน์ของพหุนามที่เป็นตัวลบ ข้อสังเกตคือ 1. การลบพหุนามสองพหุนาม ทาได้โดยถอดวงเล็บของตัวลบ เปลี่ยน เครื่องหมายของแต่ละพจน์ของตัวลบเป็นเครื่องหมายตรงข้ามแล้วนาผล ที่ได้ไปบวกกับตัวตั้ง 2. การบวกกัน จานวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกันนามาบวกกัน เครื่องหมายต่างกันนามาลบกัน จากเรื่องการลบพหุนาม นักเรียนพบข้อสังเกตอะไรบ้างค่ะ _ เปลี่ยนเครื่องหมายตัวลบเป็น ตรงข้ามแต่ไม่แสดงให้เห็น (ทดไว้ในใจ) แล้วนาตัวตั้งและ ตัวลบมาบวกกัน + เปลี่ยนเครื่องหมายตัวลบ เป็นตรงข้าม แล้วนาตัวตั้ง และตัวลบมาบวกกัน
  21. 21. 21...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 ตัวอย่าง 11 จงหาผลลบของ 4x2 – 3xy – 2y2 กับ 2x2 + 3xy – 5y2 วิธีทา แบบที่ 1 4x2 – 3xy – 2y2 2x2 + 3xy – 5y2 แบบที่ 2 (4x2 –3xy –2y2 ) - (2x2 +3xy–5y2 ) = (4x2 –3xy –2y2 ) + (- 2x2 -3xy + 5y2 ) 4x2 – 3xy – 2y2 2x2 + 3xy – 5y2 ตัวอย่าง 12 จงหาผลสาเร็จของ [(2x2 - 5xy + 6y2 )+( 3y2 + 7- 8xy)] - (3x2 + 2xy - 5) วิธีทา แบบแนวราบ [(2x2 - 5xy + 6y2 )+(3y2 + 7- 8xy)]- (3x2 + 2xy - 5) = (2x2 - 5xy + 6y2 + 3y2 + 7 - 8xy) - (3x2 + 2xy - 5) =……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. =……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. =……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. =……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. =……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. แบบแนวตั้ง 2x2 - 5xy + 6y2 - 8xy + 3y2 + 7 _ + + _
  22. 22. 22...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 แบบฝึกหัดที่ 4 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม 1. จงหาผลบวกของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยวิธีแนวราบและแนวตั้ง 1.1 5a3 +a กับ 2a3 + 3a ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… 1.2 x2 + x + 3 กับ 4x2 – 4 ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… 1.3 3xy2 – x2 y กับ 2xy2 – 1 ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… 1.4 5y2 – 3y – 9 กับ 16y2 +5y – 8 ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… 1.5 3m2 + 4 กับ 5m2 – 2m – 7 ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… + + + + +
  23. 23. 23...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 1.6 3c3 – 8c2 + 2c – 1 กับ 5c3 + 2c2 + 7 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.7 4x2 – 3xy + 5x2 y – 4x กับ 3x2 – 5xy + 3x2 y ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.8 2a2 b + b3 กับ a3 + 2a2 b +3ab2 + b3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.9 x2 – 4xy + 4y2 กับ 3x2 + 2xy – y2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.10 3yz – 7xy – 5x2 yz กับ 4x2 yz – 3yz + 5xy ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… + + + + +
  24. 24. 24...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2. จงหาผลลบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยใช้พหุนามแรกเป็นตัวตั้ง ทาทั้งวิธีแนวราบและแนวตั้ง 2.1 5m2 – 3m + 2 กับ 4m2 – 7m ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.2 3a2 – 4b2 + ab กับ a2 – 10b2 – 5 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.3 4y2 – 5y กับ 2y2 + 3y – 4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.4 3x2 + 2xy - 5 กับ 2x2 – 5xy + 7 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.5 4a4 + 3a2 b2 – 2b4 กับ - 5a4 – a2 b2 + b4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………
  25. 25. 25...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2.6 2x3 – 7x2 – 5x + 2 กับ 3x2 + 2x – x3 – 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.7 5y3 + 2y2 + 7 กับ 3y3 - 8y2 + 2y – 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.8 3c4 – 2c3 d + 5c2 d2 – cd3 กับ 6c3 d – 4c2 d2 + 3d4 …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… 2.9 5x2 – x3 + 2x – 7 กับ - 2x3 – 4x2 + 8x – 9 …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… 2.10 3y3 – 2y2 + 4y + 1 กับ - 4y3 + y2 – 2y + 6 …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
  26. 26. 26...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 3. จงทาให้เป็นผลสาเร็จ 3.1 (a3 – b3 ) + (ab2 – a2 b) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.2 (3x4 – 2x3 + x2 – 3) – (x3 – 3x – x + 5) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.3 (3m - 2n) + (2m – 3n) – (m + n – 3) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.4 (5t4 – 2t3 + 3t – 4) – (- 2t3 + 3t2 + 4) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.5 (5a2 + 2a + 5) + (- 2a2 + 3a - 5) - (4a2 + 5a) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
  27. 27. 27...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 3.6 (4x2 – 3xy – 2y2 ) + (2x3 + 3xy – 5y2 ) – (2x3 – 10y2 ) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.7 (3y2 – 4y + 5) – (y3 + 2y2 + 3) + (2y3 + 5y – 1) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.8 (3x4 + 4x3 – 2x2 – 8x + 5) – (4x4 – 9x3 + 3x2 – 6x + 3 ) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… เอ!.......... ชักจะงงแล้วซิ เย็นนี้คงต้องทบทวนแล้ว
  28. 28. 28...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2.5 การคูณและการหารพหุนาม การคูณและการหารพหุนาม

×