2. INTEGRASI NUMERIK
Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting
yaitu integral dan turunan(derivative)
Pengintegralan numerik merupakan alat atau
cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk
memperoleh jawaban hampiran
(aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak
dapat diselesaikan secara analitik.
3. INTEGRASI NUMERIK
Fungsi yang dapat dihitung integralnya :
Fungsi yang rumit misal :
dx
e
x
x x
5
.
0
2
0
2
3
sin
5
.
0
1
)
1
cos(
2
C
x
x
x
dx
x
C
x
dx
x
C
b
a
a
dx
b
ax
C
b
a
a
dx
b
ax
C
a
e
dx
e
C
n
ax
dx
ax
ax
ax
n
n
|
|
ln
|
|
ln
|
|
ln
1
)
sin(
1
)
cos(
)
cos(
1
)
sin(
1
1
4. INTEGRASI NUMERIK
Perhitungan integral adalah perhitungan
dasar yang digunakan dalam kalkulus,
dalam banyak keperluan.
digunakan untuk menghitung luas daerah
yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan
sumbu x.
Penerapan integral : menghitung luas dan
volume-volume benda putar
5. Dasar Pengintegralan Numerik
Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
0
0
0
n
n
i
n
i
i
b
a
x
f
c
x
f
c
x
f
c
x
f
c
dx
x
f
x0 x1 xn
xn-1
x
f(x)
6. 0
2
4
6
8
10
12
3 5 7 9 11 13 15
Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti
saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.
Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan
lebih mendekati jawaban eksak.
Dasar Pengintegralan Numerik
7. Formula Newton-Cotes
- Berdasarkan pada
dx
x
f
dx
x
f
I
b
a
n
b
a
)
(
)
(
Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
n
n
1
n
1
n
1
0
n x
a
x
a
x
a
a
x
f
)
(
Dasar Pengintegralan Numerik
8. fn (x) bisa fungsi linear
fn (x) bisa fungsi kuadrat
9. fn (x) bisa juga fungsi kubik atau
polinomial yang lebih tinggi
13. Metode Integral Reimann
Luasan yang dibatasi y = f(x) dan
sumbu x
Luasan dibagi menjadi N bagian pada
range x = [a,b]
Kemudian dihitung Li : luas setiap
persegi panjang dimana Li=f(xi). i
x
14. Metode Integral Reimann
Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan
dituliskan :
Dimana
Didapat
i
n
i
i
n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
L
L
L
L
L
0
3
2
2
1
1
0
0
2
1
0
...
..
n
i
i
b
a
x
f
h
dx
x
f
0
h
x
x
x
x n
...
2
1
0
15. Contoh
Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan
sumbu x untuk range x = [0,1]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x**2
1
0
2
dx
x
L =
16. Contoh
Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
Secara kalkulus :
Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333
= 0,052
385
,
0
85
,
3
1
.
0
00
.
1
81
.
0
64
.
0
49
.
0
36
.
0
25
.
0
16
.
0
09
.
0
04
.
0
01
.
0
0
1
.
0
)
(
.
10
0
i
i
x
f
h
L
.....
3333
,
0
|
3
1 1
0
3
1
0
2
x
dx
x
L
17. Algoritma Metode Integral
Reimann:
Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah dan batas ata
integrasi
Tentukan jumlah pembagi area N
Hitung h=(b-a)/N
Hitung
N
i
i
x
f
h
L
0
)
(
.
18. Metode Integrasi Trapezoida
Aproksimasi garis lurus (linier)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
0
1
1
0
0
i
1
0
i
i
b
a
x
f
x
f
2
h
x
f
c
x
f
c
x
f
c
dx
x
f
x0 x1
x
f(x)
L(x)
19. Aturan Komposisi
Trapesium
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n
1
n
i
1
0
n
1
n
2
1
1
0
x
x
x
x
x
x
b
a
x
f
x
f
2
x
2f
x
f
2
x
f
2
h
x
f
x
f
2
h
x
f
x
f
2
h
x
f
x
f
2
h
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
n
1
n
2
1
1
0
x0 x1
x
f(x)
x2
h h x3
h h x4
n
a
b
h
20. Metode Integrasi
Trapezoida
i
i
i
i
i
i
i
i
x
f
f
L
atau
x
x
f
x
f
L
.
2
1
.
2
1
1
1
1
0
i
i
L
L
n
n
n
i
i
i f
f
f
f
f
h
f
f
h
L
1
2
1
0
1
0
1 2
...
2
2
2
2
1
n
n
i
i f
f
f
h
L
1
1
0 2
2
21. Algoritma Metode
Integrasi Trapezoida
Definisikan y=f(x)
Tentukan batas bawah (a) dan batas
atas integrasi (b)
Tentukan jumlah pembagi n
Hitung h=(b-a)/n
Hitung
n
n
i
i f
f
f
h
L
1
1
0 2
2
22. Aturan Simpson 1/3
Aproksimasi dengan fungsi parabola
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
0
2
2
1
1
0
0
i
2
0
i
i
b
a
x
f
x
f
4
x
f
3
h
x
f
c
x
f
c
x
f
c
x
f
c
dx
x
f
x0 x1
x
f(x)
x2
h h
L(x)
26. Metode Integrasi Simpson
Dengan menggunakan aturan simpson, luas
dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan
sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:
atau dapat dituliskan dengan:
n
n
n
n f
f
h
f
f
h
f
f
h
f
f
h
f
f
h
f
f
h
L
1
1
2
4
3
3
2
2
1
1
0 2
3
2
3
...
2
3
2
3
2
3
2
3
n
genap
i
i
ganjil
i
i f
f
f
f
h
L 0 2
4
3
N = 0 – n
L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln
27. Cara II
(Buku Rinaldi Munir)
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2
yang melalui ketiga titik tsb
0
2
2
0
0
0
2
2
0
0
2
!
2
)
(
)
(
!
2
)
(
)
(
)
( f
h
h
x
x
f
h
x
f
x
f
h
h
x
x
x
f
h
x
x
f
x
p
28. Cara II
(Buku Rinaldi Munir)
Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
2
2
3
0
2
0
2
0
0
2
2
2
2
3
0
2
0
2
0
0
2
2
0
0
2
0
2
2
0
3
2
2
3
4
2
2
4
4
6
8
2
4
2
|
4
6
2
!
2
)
(
)
(
f
h
f
h
x
hf
L
f
h
h
f
h
x
hf
L
f
h
h
h
h
f
h
h
x
hf
L
f
h
x
h
x
f
h
x
x
f
L
dx
f
h
h
x
x
f
h
x
f
L
xdx
p
dx
x
f
L
h
x
x
h
h
h
29. Cara II
(Buku Rinaldi Munir)
Mengingat
Maka selanjutnya
0
1
0 f
f
f
)
4
(
3
3
3
4
3
3
3
2
3
2
2
2
)
2
(
3
)
(
2
2
2
1
0
2
1
0
0
1
2
0
1
0
0
1
2
0
1
0
f
f
f
h
L
f
h
f
h
f
h
L
f
h
f
h
f
h
hf
hf
x
hf
L
f
f
f
h
f
f
h
x
hf
L
0
1
2
0
1
1
2
0
1
0
2
2
)
(
)
( f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
30. Aturan Simpson 3/8
Aproksimasi dengan fungsi kubik
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
0
3
3
2
2
1
1
0
0
i
3
0
i
i
b
a
x
f
x
f
3
x
f
3
x
f
8
h
3
x
f
c
x
f
c
x
f
c
x
f
c
x
f
c
dx
x
f
x0 x1
x
f(x)
x2
h h
L(x)
x3
h
32. Metode Integrasi Gauss
Metode Newton Code (Trapezoida,
Simpson) berdasarkan titik2 data
diskrit. Dengan batasan :
H sama
Luas dihitung dari a sampai b
Mengakibatkan error yang dihasilkan
cukup besar.
33. Metode Integrasi Gauss
Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang
[-1,1]
Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)
Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida
Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai
tersebut sehingga error integrasinya min
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
)
(
1
1
h
f
f
f
f
h
dx
x
f
I
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1
1
1
x
f
c
x
f
c
dx
x
f
I
34. Metode Integrasi Gauss
Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini
dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut
dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]
f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1
1
1
x
f
c
x
f
c
dx
x
f
I
0
3
2
0
2
1
1
1
3
3
2
2
3
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
1
dx
x
x
c
x
c
dx
x
x
c
x
c
dx
x
x
c
x
c
dx
c
c
Didapat
3
1
3
1
1
2
1
2
1
x
x
c
c
35. Metode Integrasi Gauss
Persamaan dibawah ini dinamakan
metode Gauss Legendre 2 titik
)
3
1
(
)
3
1
(
)
(
1
1
f
f
dx
x
f
36. Transformasi
Range [a,b] [-1,1]
X u f(x) g(u) dx du
b
a
i dx
x
f
L )
(
1
1
)
( du
u
g
Li
39. Analisa
Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes
(Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-
Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien
dalam operasi aritmatika, karena hanya
membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.
Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-
Cotes.
Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih
dahulu menjadi
1
1
)
( du
u
g
40. Algoritma Integrasi Kuadratur
Gauss dengan Pendekatan 2 titik
Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah (a) dan batas atas
integrasi (b)
Hitung nilai konversi variabel :
Tentukan fungsi g(u) dengan:
Hitung
)
(
2
1
2
1
a
b
u
a
b
x
)
(
)
(
)
(
2
1
)
( 2
1
2
1
a
b
u
a
b
f
a
b
u
g
3
1
3
1
g
g
L
42. Metode Gauss Legendre 3
Titik
Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan
membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai
tepat untuk 6 buah fungsi berikut :
Dengan cara yang sama didapat
)
(
)
(
)
(
)
( 3
3
2
2
1
1
1
1
x
f
c
x
f
c
x
f
c
dx
x
f
I
5
4
3
2
)
(
;
)
(
;
)
(
)
(
;
)
(
;
1
)
(
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
5
3
;
0
;
5
3
9
5
;
9
8
;
9
5
3
2
1
3
2
1
x
x
x
c
c
c
43. Metode Gauss Legendre 3
Titik
5
3
9
5
0
9
8
5
3
9
5
)
(
1
1
g
g
g
du
u
g
47. Menghitung Luas Daerah
Berdasarkan Gambar
Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai
atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak.
Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya
adalah 100.000 mm atau 100 m.
Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal
ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
Skala 1:100000
0 10
5
6
3
15
9
48. Menghitung Luas Daerah
Berdasarkan Gambar
Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung
dengan menggunakan 3 macam metode:
Dengan menggunakan metode integrasi Reimann
Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida
Dengan menggunakan metode integrasi Simpson
5
.
73
2
2
15
1
16
0
i
i
y
y
y
h
L
5
.
73
16
0
i
i
y
h
L
74
2
4
3
16
0
genap
i
i
ganjil
i
i y
y
y
y
h
L
49. Menghitung Luas dan Volume
Benda Putar
Luas benda putar:
Volume benda putar:
b
a
p dx
x
f
L )
(
2
b
a
p dx
x
f
V 2
)
(
50. Contoh :
Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4
bagian
bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu
dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,
bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.
Bagian I:
Bagian II:
4
cm
6
cm
7
cm
12
cm
7
cm
5
cm
I II III IV
satuan dalam cm
56
)
7
)(
4
(
2
I
L
196
)
7
)(
4
( 2
I
V
288
)
12
(
12
2
II
L
3456
12
12
2
2
II
V
51. Contoh :
Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian
area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
Pada bagian II dan IV: dan
Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:
108
2
2
2
)
(
4
1
5
0
i
i
IV
II y
y
y
h
L
L
5
.
1187
2
2
4
1
2
2
5
2
0
i
i
IV
II y
y
y
h
V
V
IV
II L
L IV
II V
V
52. Contoh :
Luas permukaan dari botol adalah:
Luas = 1758.4 cm2
Volume botol adalah:
Volume = 18924.78 cm3
4
.
1758
560
108
288
108
56
IV
III
II
I L
L
L
L
L
6024
5
.
1187
3456
5
.
1187
196
IV
III
II
I V
V
V
V
V
