9. Teknik Pengintegralan part 2 rev.pdf

TEKNIK
PENGINTEGRALAN
BAGIAN 2
MK MSTR
TEKNIK KOMPUTER UPI CIBIRU

TUJUAN PEMBELAJARAN
1. Mahasiswa mampu menghitung integral dengan substitusi
bentuk akar
2. Mahasiswa mampu menghitung integral fungsi rasional

3
SUBSTITUSI BENTUK AKAR
x
u =
ax b
n +
n
b
ax
u +
=
dx
x
2 2
+
ò
ò ò +
=
+
= du
u
u
u
udu
1
2
2
2
( )
= - + +
x x C
ln 1
§ Integran memuat ,misal
§ Contoh 11
Hitung
Misal x
u =
2
Dengan turunan implisit,
1
2 =
dx
du
u 𝑑𝑥 = 2𝑢 𝑑𝑢
Penyelesaian : dx
x
2 2
+
ò
du
u
u
ò +
-
+
=
1
1
1
du
u
)
1
1
1
(
ò +
-
=
C
u
u +
+
-
= )
1
ln(

5
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
§ Integran berbentuk fungsi rasional : , der(P)<der(Q)
Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu :
1. Faktor linear tidak berulang.
2. Faktor linear berulang.
3. Faktor kuadratik tidak berulang.
4. Faktor kuadratik berulang.
Kasus 1 ( linier tidak berulang )
Misal maka,
dengan konstanta yang dicari.
( )
( )
( )
f x
P x
Q x
=
( ) ( )( ) ( )
Q x a x b a x b a x b
n n
= + + +
1 1 2 2 ...
( )
( )
P x
Q x
A
a x b
A
a x b
A
a x b
n
n n
º
+
+
+
+ +
+
1
1 1
2
2 2
...
A A An
1 2
, , ... ,

6
ò -
+
dx
x
x
9
1
2
( ) ( ) )
3
)(
3
(
)
3
(
)
3
(
3
3
9
1
2
+
-
+
+
-
=
-
+
+
=
-
+
x
x
x
B
x
A
x
B
x
A
x
x
( ) ( )
3
3
1 +
+
-
=
+
Û x
B
x
A
x
( ) ( )
B
A
x
B
A 3
3 +
-
+
+
=
( ) ( )
ò ò
ò -
+
+
=
-
+
dx
x
dx
x
dx
x
x
3
3
2
3
3
1
9
1
2
§ Contoh 12
Hitung
Penyelesaian:
Faktorkan penyebut : )
3
)(
3
(
9
2
+
-
=
- x
x
x
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan
A +B =1
-3A+3B=1
x3
x1
3A +3B=3
-3A+3B=1 +
6B=4 B=2/3,A=1/3
Sehingga
C
x
x +
-
+
+
= |
3
|
ln
3
2
|
3
|
ln
3
1

7
( ) ( )
1
2 1
2
x x
dx
+ -
ò
( ) ( )
Q x a x b
i i
p
= +
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )p
i
i
p
p
i
i
p
i
i
i
i b
x
a
A
b
x
a
A
b
x
a
A
b
x
a
A
x
Q
x
P
+
+
+
+
+
+
+
+
º -
-
1
1
2
2
1
...
p
p A
A
A
A ,
,
...
,
, 1
2
1 -
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2
2
1
2
1
2
2
-
+
+
+
+
=
-
+ x
C
x
B
x
A
x
x
Kasus 2 Linear berulang
Misal
Maka
dengan konstanta akan dicari
§ Contoh 13
Hitung
Penyelesaian :

8
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
)
2
(
)
1
(
)
1
)(
2
(
1
2
1
2
2
2
-
+
+
+
-
+
-
+
=
-
+ x
x
x
C
x
B
x
x
A
x
x
2
)
2
(
)
1
(
)
1
)(
2
(
1 +
+
-
+
-
+
= x
C
x
B
x
x
A
)
2
4
(
)
4
(
)
(
1 2
B
A
C
x
C
B
A
x
C
A -
-
+
+
+
+
+
=
Penyebut ruas kiri =
penyebut ruas kanan
A+C=0
A+B+4C=0
-2A-B+4C=1
A+B+4C=0
-2A-B+4C=1 +
-A+8C=1
A+C=0
-A+8C=1+
9C=1 C=1/9
A=-1/9
B=-1/3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x ò
ò
ò
ò -
+
+
-
+
-
=
-
+ 1
1
9
1
2
1
3
1
2
1
9
1
1
2
1
2
2
C
x
x
x +
-
+
+
+
+
-
= |
1
|
ln
9
1
)
2
(
3
1
|
2
|
ln
9
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2
2
1
2
1
2
2
-
+
+
+
+
=
-
+ x
C
x
B
x
A
x
x

9
( ) ( )( ) ( )
Q x a x b x c a x b x c a x b x c
n n n
= + + + + + +
1
2
1 1 2
2
2 2
2
...
( )
( )
P x
Q x
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
n n
n n n
º
+
+ +
+
+
+ +
+ +
+
+ +
1 1
1
2
1 1
2 2
2
2
2 2
2
...
n
n B
B
B
A
A
A ,
...
,
,
dan
,
,
...
,
, 2
1
2
1
Kasus 3 Kuadratik tak berulang
Misal
Maka
Dengan konstanta yang akan dicari

Contoh 14
Hitung
( )
ò +1
2
x
x
dx
( ) ( )
1
1
1
2
2
+
+
+
=
+ x
C
x
B
x
A
x
x
( )
( )
1
)
(
1
2
2
+
+
+
+
=
x
x
x
C
Bx
x
A
Penyelesaian :
( ) x
C
Bx
x
A )
(
1
1 2
+
+
+
= A
Cx
x
B
A +
+
+
= 2
)
(
1
A+B=0
C=0
A=1
B=-1
( ) ( )dx
x
x
dx
x
dx
x
x ò
ò
ò +
-
=
+ 1
1
1
1
2
2
( ) ò
ò
+
+
=
+ x
x
d
x
x
dx
x
x
2
)
1
(
1
1
2
2
2
ò +
+
=
1
)
1
(
2
1
2
2
x
x
d
K
x
x +
+
-
= )
1
ln(
2
1
|
|
ln 2

11
( ) ( )
Q x a x b x c
i i i
p
= + +
2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )p
i
i
i
p
p
p
i
i
i
p
p
i
i
i
i
i
i c
x
b
x
a
B
x
A
c
x
b
x
a
B
x
A
c
x
b
x
a
B
x
A
c
x
b
x
a
B
x
A
x
Q
x
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
º -
-
-
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
...
p
p
p
p B
B
B
B
dan
A
A
A
A ,
,
...
,
,
,
,
...
,
, 1
2
1
1
2
1 -
-
Kasus 4 Kuadratik berulang
Misal
Maka
Dimana konstanta yang akan dicari

12
Contoh 15
Hitung
( )( )
6 15 22
3 2
2
2 2
x x
x x
dx
- +
+ +
ò
( )( ) ( ) ( ) ( )2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
22
15
6
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
-
x
E
Dx
x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
( ) ( )( )
( )( )2
2
2
2
2
2
3
)
3
)(
(
3
2
)
(
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
x
x
x
E
Dx
x
x
C
x
B
x
A
Jawab :
( ) ( )( ) )
3
)(
(
3
2
)
(
2
22
15
6 2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
- x
E
Dx
x
x
C
x
B
x
A
x
x
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
- 2
3
4
2
)
3
2
4
(
)
3
(
)
(
22
15
6 x
D
C
B
A
x
C
B
x
B
A
x
x
)
3
6
4
(
)
3
2
6
( E
C
A
x
E
D
C
B +
+
+
+
+
+

13
Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperoleh
A+B=0
3B+C=0
4A+2B+3C+D=6
6B+2C+3D+E=-15
4A+6C+3E=22
Dengan eliminasi : A=1,B=-1, C=3
D=-5, E=0
( )( ) ( ) ( ) ( )
ò
ò ò
ò +
-
+
-
-
+
=
+
+
+
-
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
5
2
3
3
1
2
3
22
15
6
ò ò
ò
ò +
-
+
+
+
-
+
= dx
x
x
x
dx
dx
x
x
x
dx
2
2
2
2
)
2
(
2
2
5
2
3
2
2
2
1
3
.
)
2
(
2
5
2
tan
2
3
)
2
ln(
2
1
|
3
|
ln 2
1
2
C
x
x
x
x +
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
-
+
= -
Sehingga
'
1
𝑡* + 𝑎* 𝑑𝑡 = tan01
𝑡
𝑎
+ 𝑐

14
Catatan
jika ,bagi terlebih dahulu P(x) dengan
Q(x), sehingga
))
(
(
))
(
( x
Q
der
x
P
der ³
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
Q
x
S
x
H
x
Q
x
P
+
= ))
(
(
))
(
(
, x
Q
der
x
S
der <
Contoh 16
Hitung
dx
x
x
x
x
ò -
-
+
+
4
4
2
2
2
3
Der(P(x))=3>der(Q(x))=2
Penyelesaian : Bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x)
4
2 2
3
-
+
+ x
x
x
4
2
-
x
x
x
x 4
3
-
4
5
2 2
-
+ x
x
+2
8
2 2
-
x
5x+4
4
4
5
)
2
(
4
4
2
2
2
2
3
-
+
+
+
=
-
-
+
+
x
x
x
x
x
x
x

15
)
2
(
)
2
(
)
2
)(
2
(
4
5
4
4
5
2
+
+
-
=
+
-
+
=
-
+
x
B
x
A
x
x
x
x
x
)
2
)(
2
(
)
2
(
)
2
(
+
-
-
+
+
=
x
x
x
B
x
A
)
2
(
)
2
(
4
5 -
+
+
=
+ x
B
x
A
x ………………………..(*)
Persamaan (*) berlaku untuk sembarang x, sehingga berlaku
juga untuk x=2 dan x=-2
Untuk x = 2 5.2+4=A(2+2) A=7/2
Untuk x = -2 5.(-2)+4=B(-2-2) B=3/2
ò ò
ò
ò +
+
-
+
+
=
-
-
+
+
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
x
2
1
2
3
2
1
2
7
)
2
(
4
4
2
2
2
3
Dengan menggunakan hasil diatas :
C
x
x
x
x +
+
+
-
+
+
= |
2
|
ln
2
3
|
2
|
ln
2
7
2
2
1 2

9. Teknik Pengintegralan part 2 rev.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to 9. Teknik Pengintegralan part 2 rev.pdf

Similar to 9. Teknik Pengintegralan part 2 rev.pdf (20)

More from MunawirMunawir15

More from MunawirMunawir15 (14)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

9. Teknik Pengintegralan part 2 rev.pdf