Dokumen ini merangkum materi matematika untuk tingkat SMA/MA, mencakup kompetensi dalam logika matematika, fungsi aljabar, sistem persamaan linear, pengolahan data, dan konsep limit serta integral. Selain itu, juga dijelaskan tentang eksponen, akar, logaritma, dan pertidaksamaan, lengkap dengan contoh-contoh soal dan solusi untuk aplikasi praktis. Keterampilan yang ditekankan adalah kemampuan menyelesaikan masalah matematika dalam konteks kehidupan sehari-hari.

1. 1
RINGKASAN MATERI
MATEMATIKA
SKL MATEMATIKA SMA/MA
NO KOMPETENSI INDIKATOR
1. Menggunakan logika matematika da-
lam pemecahan masalah
Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari suatu pernyataan
majemuk atau pernyataan berkuantor
Menentukan kesimpulan dari beberapa premis
2. Memahami konsep yang berkaitan
dengan aturan pangkat, akar, dan
logaritma, fungsi aljabar sederhana,
fungsi kuadrat dan grafiknya, persa-
maan dan pertidaksamaan kuadrat,
komposisi dan invers fungsi, sistem
persamaan linear, program linear, ma-
triks, barisan dan deret, serta mampu
menggunakannya dalam pemecahan
masalah
Menentukan hasil operasi bentuk pangkat, akar, dan logaritma
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan grafik fungsi
kuadrat
Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan
kuadrat
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat
Menentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua
variabel
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem
persamaan linear dua variabel
Menentukan nilai optimum bentuk objektif dari daerah himpunan
penyelesaian sistem persamaan linear
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan
program linear
Menyelesaikan masalah matriks yang berkaitan dengan kesa-
maan, determinan, dan atau invers matriks
Menentukan suku ke-n atau jumlah n suku pertama deret arit-
matika atau geometri
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan bari-
san dan deret aritmetika
3. Memahami limit fungsi aljabar, tu-
runan fungsi, nilai ekstrim, dan
integral fungsi serta menerapkannya
dalam pemecahan masalah
Menghitung nilai limit fungsi aljabar
Menentukan turunan fungsi aljabar dan aplikasinya
Menentukan integral fungsi aljabar
Menentukan luas daerah dengan menggunakan integral

2. 2
4. Mengolah, menyajikan, dan menaf-
sirkan data dan memahami kaidah
pencacahan, permutasi, kombinasi
dan peluang kejadian serta mampu
menerapkannya dalam pemecahan
masalah
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan kaidah
pencacahan, permutasi, atau kombinasi
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang dan
frekuensi harapan suatu kejadian
Menentukan unsur-unsur pada diagram lingkaran atau batang
Menghitung nilai ukuran pemusatan dari data dalam bentuk
tabel atau diagram
Menentukan nilai ukuran penyebaran

3. 3
EKSPONEN DAN BENTUK AKAR
Pangkat Bulat PositifA.
...n
n
a a a a a= × × × ×

Contoh : 25
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
Pangkat Bulat NegatifB.
1n
n
a
a
−
=
Contoh : 2-4
= 4
1 1
162
=
Sifat-Sifat PerpangkatanC.
a. am
× an
= am+n
Contoh : 22
× 23
= 22+3
= 25
b. am
: an
= am-n
Contoh : 29
: 24
= 29-4
= 25
c. (am
)n
= am × n
Contoh : (25
)2
= 25×2
= 210
d. (a × b)n
= an
× bn
Contoh : 103
= (2 × 5)3
= 23
× 53
e.
n n
n
a a
b b
 
= 
 
Contoh :
4 4
4
2 2
3 3
 
= 
 
Persamaan EksponenD.
Untuk a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1, berlaku:
a. Jika af(x)
= am
, maka f(x) = m
Contoh:
Terdapat persamaan eksponen 41+x
= 42
.
Berapakan nilai x?
41+x
= 42
sesuai dengan af(x)
= am
 a = 4,
f(x) = 1+x, dan m = 2
f(x) = m 1+ x = 2  x = 1
b. Jika af(x)
= ag(x)
, maka f(x) = g(x)
Contoh:
Terdapat persamaan eksponen 41+x
= 41+2x
Berapa­kah nilai x?
41+x
= 41+2x
sesuai dengan af(x)
= ag(x)
 a = 4
f(x) = 1+x, dan g(x) = 1+2x
c. f(x) = g(x) 1+ x = 1+2x  x = 0
Jika af(x)
= bf(x)
, maka f(x) = 0  Ingat, bilangan apa­
pun yang dipangkatkan nol sama dengan 1, a0
= 1
Contoh:
Terdapat persamaan eksponen 43x+6
= 53x+6
.
Berapakah nilai x?
43x+6
= 53x+6
sesuai dengan af(x)
= bf(x)
 a = 4,
b = 5, dan f(x) = 3x+6
f(x) = 0 3 x+6  x = 2
d. Jika {h(x)}f(x)
= {h(x)}g(x)
, maka berlaku:
f(x) = g(x)
• h(x) = 1 dapat berlaku f(x) ≠ g(x)
• h(x) = 0 untuk f(x) > 0 dan g(x) > 0
• h(x) = -1 untuk f(x) dan g(x) keduanya ganjil
atau keduanya genap.
e. Jika A{af(x)
}2
+ B{af(x)
} + C = 0, maka dapat dise­
lesaikan dengan persamaan kuadrat.
Contoh:
Terdapat persamaan (21+x
)2
- 2(21+x
) + 1 = 0,
berapakah nilai x?
(21+x
)2
- 2(21+x
) + 1 = 0 sesuai dengan A{af(x)
}2
+
B{af(x)
} + C = 0  A = 1, B = 2, C = 1, a = 2,
dan f(x) = 1+x
(21+x
)2
- 2(21+x
) + 1 = 0 misalkan
21+x
= y  y2
– 2y +1 =0 (persamaan kuadrat)
(y – 1) 2
= 0
y – 1 = 0  y = 1
21+x
= y 21+
x
= 1 21+
x
= 20
1+ x=0 
x = -1
EKSPONEN, BENTUK AKAR,
DAN LOGARITMA
MATEMATIKA
B A B
I

4. 4
Pertidaksamaan EksponenE.
a. Untuk a > 1
• Jika af(x)
> ag(x)
, maka f(x) > g(x)
• Jika af(x)
< ag(x)
, maka f(x) < g(x)
b. Untuk 0 < a < 1
• Jika af(x)
> ag(x)
, maka f(x) < g(x)
• Jika af(x)
< ag(x)
, maka f(x) > g(x)
Bentuk Akar dan Menyederhanakan
Bentuk Akar
F.
1. Bentuk akar irasional  akar dari bilangan rasional
yang hasilnya merupakan bilangan irrasional, yaitu
hasilnya bilangan desimal yang tidak berakhir dan
tak berulang dengan tetap.
Contoh: 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19 , serta keli­
patan dari akar-akar tersebut.
2. Penyerdahanaan bentuk akar irasional
a b a b× = ×
Contoh: 20 4 5 4 5 2 5 2 5= × = × = × =
 5 adalah bentuk akar irasional,
sehingga 20 termasuk bentuk akar
irasional
( )
( )
a c b c a b c
a c b c a b c
+ = +
− = −
Contoh : 3 3 5 3 2 3 (3 5 2) 3 6 3+ − = + − =
( ) 2
( ) 2
a b ab a b
a b ab a b
+ + = +
+ − = −
Contoh :
5 2 6 (3 2) 2 2 3
3 2
8 2 12 (6 2) 2 6 2
6 2
+ = + + ⋅
= +
− = + − ⋅
= −
Pangkat PecahanG.
m
n n m
a a=
Contoh :
5
7 573 3=
Merasionalkan Penyebut PecahanH.
a a b a b
bb b b
= × =
Contoh:
6 6 3 6 3
2 3
33 3 3
= × = =
2
2
( )
( )
c c a b c a b
a ba b a b a b
c c a b c a b
a ba b a b a b
− −
= × =
−+ + −
+ +
= × =
−− − +
Contoh:
2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
21 2
1 2
21 2
1
21 2
3
3 2
3
3 2
3 2
3
2
+
=
+
×
−
−
=
−
−
=
−
−
= − −
−
=
−
×
+
( )
( )
( )
++
=
+
−
=
+
−
= − +
2
3 3 2
3 4
3 2 3
1
3 2 3
( )
( )
c
a b
c
a b
a b
a b
c a b
a b
c
a b
c
a b
a b
a b
c a b
a b
+
=
+
×
−
−
=
−
−
−
=
−
×
+
+
=
+
−
( )
( )
Contoh:
2
3 2
2
3 2
3 2
3 2
2 3 2
3 2
2 3 2
1
2 3 2
3
3 5
+
=
+
×
−
−
=
−
−
=
−
= −
−
( )
( )
( )
==
−
×
+
+
=
+
−
=
+
−
= − +
3
3 5
3 5
3 5
3 3 5
3 5
3 2 3
2
1
2
3 2 3
( )
( )
Tanda pertidak­
samaannya tetap
Tanda pertidak­
samaannya
berubah
® a = 3 dan b = 2
® a = 6 dan b = 2

5. 5
LOGARITMA
DefinisiA.
g
log a = x  gx
= a
Syarat: (a > 0) dan (0 < g 1 atau g > 1)
Ket : g = bilangan pokok atau basis logaritma,
a = numerous, x = hasil logaritma
Contoh: 2
log 8 = 3  8 = 23
 g = 2, a = 8,
dan x = 3
Sifat-Sifat LogaritmaB.
1. g
log gn
= n
Contoh: 3
log 81 = 3
log 34
=4
2. g
log g = 1
Contoh: 2
log 2 = 1
3. g
log 1 = 0
Contoh: 5
log 1 = 0 1 = 50
 (bilangan
apapun dipangkat nol sama dengan 1)
4. g
log (a × b) = g
log a + g
log b
Contoh: 3
log 18 = 3
log (9 x 2) = 3
log 9 + 3
log 2
= 2 + 3
log 2
5. g
log
a
b
= g
log a - g
log b
Contoh: 2
log 3
4
= 2
log 3 – 2
log 4 = 2
log 3 – 2
6. g
log an
= n × g
log a
Contoh: 5
log 8 = 5
log 23
= 3· 5
log 2
7. g
log a = log
log
p
p
a
g
Contoh: 7
log 4 =
2
2 2
log 4 2
log 7 log7
=
8. g
log a = 1
loga
g
Contoh: 9
log 3 =
3
1 1
2log 9
=
9. g
log a × a
log b = g
log b
Contoh : 2
log 5 × 5
log 4 = 2
log 4 = 2
10. log log
n
g m gm
a a
n
=
Contoh: 2
25 5 3 53
log 27 log3 log 3
2
= =
11. log log
n
g n g
a a=
Contoh:
2
16 4 2 4
log 49 log 7 log7= =
12. logg
a
g a=
Contoh:
5
log13
5 13=
Persamaan LogaritmaC.
Untuk a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0, g(x) > 0, berlaku:
a. Jika a
log f(x) = a
log m, maka f(x) = m
Contoh:
2
log (2+x) = 2
log 8, berapakah nilai x?
2
log (2+x) = 2
log 8 2  + x = 8  x = 6
b. Jika a
log f(x) = a
log g(x), maka f(x) = g(x)
Contoh:
3
log (4x + 1) = 3
log (1 + x), berapakah nilai x?
3
log (4x + 1) = 3
log (1 + x) 4 x + 1 = 1 + x
 x = 0
Pertidaksamaan LogaritmaD.
a. Untuk a > 1
• Jika a
log f(x) > a
log g(x),
maka f(x) > g(x)
• Jika a
log f(x) < a
log g(x),
maka f(x) < g(x)
b. Untuk 0 < a < 1
• Jika a
log f(x) > a
log g(x),
maka f(x) < g(x)
• Jika a
log f(x) < a
log g(x),
maka f(x) > g(x)
Tanda pertidaksamaan
tetap
Tanda pertidaksamaan
berubah
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Nilai x yang mempunyai persamaan logaritma
6 2 6
2
2
5 50 2 10
3
6
log log
log
log
x x x− −( ) − +( ) =
adalah ….
A. 12 D. 20
B. 16 E. 22
C. 18
Pembahasan:
6 2 6
2
2
6
2
5 50 2 10
3
6
5 50
2 10
log log
log
log
log
x x x
x x
x
− −( ) − +( ) =
⇔
− −( )
+( ))
=
⇔
−( ) +( )
+( )
=
⇔
−( )
6
6 6
6
3
10 5
2 5
3
10
log
log log
log
x x
x
x
22
3
10
2
3
6
=
⇔
−
=
⇔
log
x
x
x
− =
⇔ =
10 6
16 Jawaban: B

6. 6
2. Himpunan penyelesaian dari
( )3 3
2 4 1
9
3
x
x
− +
+  
=  
 adalah ….
A. -2 D. 1
B. -1 D. 2
C. 0
Pembahasan:
9
1
3
3 3
2 4
3 3
2 2 4 1 3 3
x
x
x x
n
+
− +( )
+ − − +( )
=






⇔ ( ) = ( ) → =Ingat: 1/ nn
x x
x x
x
x
x x
−
+
+
+ +
⇔ ( ) =
⇔ =
⇔ + = +
⇔ − = −
1
3 3
3 3
2 4 3 3
2 3 3
2
2 4
2 3 3
2 4 3 3
44
1
1
⇔ − = −
⇔ =
x
x
Jawaban: D
3. Diketahui 3
log 2 = x dan 2
log 5 = y, maka 5
log 15
adalah ....
A.
1xy
xy
+
D.
1xy
x
+
B.
1x
xy
+
E.
1xy
y
+
C.
1y
xy
+
Pembahasan:
Diketahui:
3
2
2
5
2
2
2
2
1
3
3
1
15
15
5
log
log
log
log
log
log
lo
= ⇔ = ⇔ =
=
=
x x
x
gg .
log
log log
log
log
5 3
5
5 3
5
5
2
2 2
2
2
( )
=
+
=
+ 22
2
3
5
1
1
log
log
=
+
=
+
y
x
y
xy
x x
y
==
+
= +
xy
xy xy
1
1
1
Cara lain
 3
log 2 · 2
log 5 = 3
log 5 = x·y
dan
 5
log 15 = 5
log (3×5) = 5
log 3 + 5
log 5
 = 5
log 3 +1
 = 3
1
1
log 5
+
 =
1
1
xy
+
Jawaban: A
4. Penyelesaian pertidaksamaan: Log(x – 4) +
log(x + 8) < log(2x + 16) adalah ….
A. - 8 <x<6 D. 2 <x<8
B. - 6 <x<8 E. 6<x<8
C. 2 <x<6
Pembahasan:
log(x – 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)
log (x – 4)(x +8) < log(2x + 16)
(x2
+ 4x – 32) < 2x + 16
x2
+ 2x – 48 < 0
(x + 8)(x – 6) < 0
Dengan garis bilangan diperoleh:
Daerah nilai x adalah - 8 <x<6
(untuk menentukan daerah nilai x masukkan x = 0
maka nilai pertidaksamaan adalah – 48. Nilai x = 0
di antara nilai x = -8 dan x = 6, sedangkan nilai
pertidaksamaan -48 < 0 oleh karena itu daerah
hasil di antara -8 dan 6)
Jawaban: A
5. Akar- akar dari persamaan 2log (x2
– 4x + 5) = 3
adalah x1
dan x2
. Nilai x1 2 + x2
2
adalah…
A. -10 D. 11
B. -5 E. 22
C. 0
Penyelesaian :
2log (x2
– 4x + 5) = 2log 23
(x2
– 4x + 5) = 23
x2
– 4x + 5 = 8
x2
– 4x – 3 = 0  x1
+ x2
= 4
x1
∙ x2
= -3
x1
2
+ x2
2
= (x1 + x2)2
– 2x1 x2
= (4)2
– 2(-3)
= 22
Jawaban: E
-8 0 6
Ax2
+ Bx + C = 0;
x1
+ x2
= -(B/A)
x1
·x2
= C/A

7. 7
LATIHAN SOAL
1. Bentuk sederhana dari
ab a b
a b
( ) × ( )3 2 2
2 3 adalah ….
A. a5
b2
D. a5
b7
B. ab7
E. a6
b8
C. a4
b2
2. Bentuk sederhana dari 6 3 3 6 3 3+( ) −( )adalah ….
A. 2 D. 5
B. 3 E. 6
C. 4
3. Jika x himpunan penyelesaian 2 7 1
9
3
x −
= , maka
nilai dari 8x + 2 adalah ….
A. 20 D. 29
B. 25 E. 35
C. 27
4. Nilai x yang memenuhi 4 4
log log 4 3x − =
adalah….
A. 4 D. 144
B. 64 E. 256
C. 81
5. Jika 3
log2 a= , maka 8
log 9 = ….
A.
3
a
D.
2
3a
B.
1
3a
E.
2
5a
C.
2
a
6. Nilai dari
1
3 5
5 27log log = ….
A. -8 D. 0
B. -5 E. 3
C. -3
7. Nilai x dari ( )log(log ) log 4 logx x= − adalah
….
A. 2 D. 100
B. 4 E. 125
C. 64
8. Diketahui nilai a = 8, b = 25, dan c = 81. Nilai
dari
2 1 1
3 2 4a b c⋅ ⋅ = ....
A. 8 D. 81
B. 25 E. 100
C. 60
9. Nilai dari bentuk 128 108 8
27
− + adalah ....
A.
6 18
9
−
D.
6 3 18
9
−
B.
10 2 18
9
−
E.
10 6 18
9
−
C.
4 6 18
9
−
10. Penyelesaian persamaan 3x2 + X–2
= 81x+2
adalah a
dan b, dengan a > b. Nilai a – b adalah ….
A. 7 D. 20
B. 12 E. 25
C. 15

8. 8
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI
KUADRAT,DANPERTIDAKSAMAAN
KUADRAT
B A B
II
PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk UmumA.
ax2
+ bx + c = 0
Syarat: a, b, c,  R dan a 0 
Contoh: 3x2
– 2x + 5 = 0,
nilai-nilai a = 3, b = -2, dan c = 5
Menentukan Akar-Akar Persamaan
Kuadrat
B
1. Memfaktorkan
Jika a, b,  R dan berlaku a·b = 0,
maka a = 0 atau b = 0
Contoh: x2
– 5x + 6 = 0
a = 1, b = -5, dan c = -6
 (x – 2)(x – 3) = 0
 x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
 x = 2 atau x = 3
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Jika p 0  dan berlaku (x + p2
) = q,
maka x =–p± q dengan q 0 
Langkah-langkah:
a) Ubahlah persamaan kuadrat semula ke da­lam
bentuk  (x + p)2
= q dengan q ≥ 0 melalui
proses melengkapkan kuadrat sem­purna.
b) Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai
dengan bentuk persamaan yang terak­hir 
(x + p) = ± q atau x = –p± q
Contoh: x2
– 2x – 2 = 0
 (x2
– 2x + 1) + (-1) – 2 = 0
 (x – 1)2
– 3 = 0
 (x – 1)2
= 3 ® sesuai dengan
persamaan (x + p)2
= q
 (x – 1) = ± 3
 x – 1 = 3 atau x – 1= - 3
 x = 1 + 3 atau x = 1 – 3
3) Rumus abc
x
b b ac
a
12
2
4
2
, =
− ± −
Contoh: x2
– 6x + 8 = 0, koefisien-koefisiennya
adalah a = 1, b = -6, dan c = 8.
x
x
12
2
1
6 6 4 1 8
2 1
6 36 32
2
6 4
2
6 2
2
6 2
2
4
,
( ) ( ) . .
.
=
− − ± − −
=
± −
=
±
=
±
=
+
= atauu x2
6 2
2
2=
−
=
Jenis-Jenis Persamaan KuadratC.
Persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0 dengan nilai
diskriminan D = b2
– 4ac.
1) Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai
dua akar real yang berlainan.
a) Jika D berbentuk kuadrat sempurna maka
kedua akarnya rasional.
b) Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna,
maka akarnya irasional.
2) Jika D = 0 maka persamaan kuadrat mempunyai
dua akar yang sama (akar kembar), real dan
rasional.

9. 9
3) Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak
mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak
real (imajiner).
Contoh: x2
– 6x + 8 = 0, koefisien-koefisiennya:
a = 1, b = -6, c = 8.
D = b2
– 4ac
= (-6)2
– 4∙1∙8
= 36 – 32
= 4 ® D > 0 dan I bilangan kuadrat
sempurna.
Jadi, jenis akar-akar persamaan tersebut adalah mem­
punyai dua akar real berlainan dan rasional.
Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar
Persamaan Kuadrat
D.
x x
b
a
x x
c
a
1 2 1 2+ = − ⋅ =dan
Jika x1 dan x2, akar-akar persamaan kuadrat
ax2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0).
1) Akar-akarnya berlawanan (x1 = -x2)  b = 0.
Contoh: x2 – 4 = 0 ® b = 0 maka x1 = 2
dan x2 = -2
2) Akar-akarnya berkebalikan (x1 =
2
1
x
)  a = c.
Contoh: 2x2
+ 5x + 2 = 0 ® a = c = 2
maka x1 = -2 dan x2 = -½ (x2 = 1/x1)
3) Sebuah akarnya sama dengan nol
(x1 = 0)  c = 0 dan x2 =
b
a
−
Contoh: x2 + 4x = 0 ® x (x + 4) = 0 ® x1 = 0
dan x2 = -4 ® c = 0 dan x2 = -(b/a)
4) Kedua akarnya bertanda sama  0
c
a
>
Contoh: x2
– 6x + 8 = 0 ® x1 = 4 dan x2 = 2
(ber­tanda sama) ® a = 1 dan
c = 8 ®
8
8 0
1
c
a
= = >
5) Kedua akarnya berlainan tanda  0
c
a
<
Contoh: x2
– 1 = 0 ® x1 = -1 dan x2 = 1
(berlawanan tanda) ®
1
1 0
1
c
a
−
= = − >
Menyusun Persamaan KuadratE.
1. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui
Akar-Akarnya.
a. Memakai Faktor
(x – x1) (x – x2) = 0
Contoh: x1 = 2 dan x2 =-3, persamaan kuadratnya
(x – x1)(x – x2) = 0
 (x – 2)(x + 3) = 0
 x2
+ 3x – 2x – 6 = 0
 x2
+ x – 6 = 0
b. Memakai Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar
x2 – (x1 + x2) x + (x1·x2) = 0
Contoh: x1 = 2 dan x2 = -3
Persamaan kuadratnya:
x2
– (x1 + x2) x + (x1∙x2) = 0
 x2
– (2 – 3) x + 2∙ (-3) = 0
 x2
+ x – 6 = 0
2. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Akar-Akarnya
Mempunyai Hubungan dengan Akar-Akar
Persamaan Kuadrat Lainnya (Menggunakan
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar)Contoh:
Contoh:
Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 4x2
–
3x – 2 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-
akarnya (x1 + 3) dan (x2 + 3)!
• x1 + x2 =
( 3) 3
4 4
b
a
−
− = − = dan
x1 ∙ x2 =
2 1
4 2
c
a
−
= = −
• Misalnya y1 = (x1 + 3) dan y2 = (x2 + 3)
y1 + y2 = (x1 + 3) + (x2 + 3)
= (x1 + x2) + 6
=
3
4
+ 6 =
27
4
y1 ∙ y2 = (x1 + 3)(x2 + 3)
= (x1 ∙ x2) + 3(x1 + x2) + 9
= –
1
2
+ 3∙ (
3
4
) + 9 =
43
4
• Persamaan kuadrat baru:
x2
– (y1 + y2) x + y1 . y2 = 0
 x2
– (
27
4
)x +
43
4
= 0
 4x2
– 27x + 43 = 0

10. 10
FUNGSI KUADRAT
Bentuk UmumA.
f(x) = ax2
+ bx + c
Syarat: a, b, c  R dan a 0 
Contoh: f(x) = -3x2
– 2x + 9
Menggambar Sketsa Grafik Fungsi
Kuadrat
B.
Langkah-langkah
1) Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X (y = 0)
dan sumbu Y (x = 0).
2) Tentukan titik puncak
−
−






b
a
D
a2 4
,
3) Tentukan persamaan sumbu simetri
2
b
x
a
−
=
4) Tentukan beberapa titik lain untuk memperhalus
grafik.
Contoh: grafik f(x) = x2
– 3x + 2
Langkah-langkah:
• Titik potong terhadap sumbu X (y = 0).
0 = x2
– 3x + 2 0  = (x - 1)(x – 2)
 x = 1 atau x = 2
Jadi, titik potong terhadap sumbu X
adalah (1, 0) dan (2, 0).
• Titik potong terhadap sumbu Y (x = 0)
f(0) = 02
– 3∙0 + 2 = 2
Jadi, titik potong terhadap sumbu Y
adalah (2, 0).
• Titik puncak:
−
−






b
a
D
a2 4
,
==
− − − −
−





 = −






( )
.
,
( ) . .
.
,
3
2 1
3 4 1 2
4 1
3
2
1
4
2
• Persamaan sumbu simetri
( 3) 3
2 2.1 2
b
x
a
− − −
= = =
• Gambarlah titik-titik tersebut pada ko­
ordinat Cartesius seperti di bawah ini.
X
f(x)
X
X
X
f(x)
X
f(x)
X
f(x)
Tanda-Tanda Grafik Fungsi KuadratC.
a > 0 dan D > 0 a > 0 dan D = 0 a > 0 dan D < 0
Grafik terbuka ke atas
dan memotong sumbu
X di dua titik
Grafik terbuka ke atas
dan menyinggung
sumbu X
Grafik terbuka ke atas
dan tidak memotong
sumbu X. f(x) > 0,
fungsi ini disebut
definit positif
a < 0 dan D > 0 a < 0 dan D = 0 a < 0 dan D < 0
Grafik terbuka ke
bawah dan memotong
sumbu X
di dua titik.
Grafik terbuka
ke bawah dan
menyinggung sumbu X
Grafik terbuka
ke bawah dan tidak
memotong sumbu
X. f(x) < 0, fungsi ini
disebut definit negatif
Ingat,
• Nilai a untuk menentukan arah grafik terbuka ke
atas (a > 0) atau ke bawah (a < 0)
• Nilai D untuk menentukan grafik memotong
sum­bu X (D > 0), menyinggung sumbu X (D =
0), atau tidak memotong sumbu X (D < 0).
Contoh: f(x) = -x2
+ 2x – 1
Koefisien-koefisiennya
a = -1, b = 2, c = -1.
D = b2
– 4ac
= 22
– 4∙ (-1)(-1)
= 4 – 4 = 0
a = -1 < 0 ® grafik terbuka ke bawah
D = 0 ® grafik meyinggung sumbu X
Menyusun Persamaan Grafik Fungsi
Kuadrat
D.
1) Grafik memotong sumbu X di titik A(x1, 0) dan
B(x2, 0) serta melalui sebuah titik tertentu.
f(x) = a(x – x1)(x – x2)
2) Grafik menyinggung sumbu X di titik A(x1, 0) dan
melalui sebuah titik tertentu.
f(x) = a(x – x1)2
2
1 2

11. 11
2. Metode Penyelesaian
a) Carilah nilai-nilai nol (jika ada) bagian ruas kiri
pertidaksamaan ® ax2
+ bx + c = 0.
b) Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis
bilangan, sehingga diperoleh interval-interval.
c) Tentukan tanda-tanda interval dengan cara
menyulihkan nilai-nilai uji yang berada dalam
setiap interval.
d) Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh
pada langkah (c) kita dapat ditetapkan interval yang
memenuhi.
Contoh:
2x2
– x – 6 ≥ 0
• Langkah 1: Nilai-nilai nol bagian ruas kiri
pertidaksamaan.
2x2
– x – 6 = 0
 (2x + 3)(x – 2) = 0
 x = –
3
2
atau x = 2
• Langkah 2: Nilai-nilai nol digambarkan pada
diagram garis bilangan.
• Langkah 3: menentukan tanda-tanda interval.
Nilai Uji Nilai 2x2
– x – 6 Tanda Interval
x = 2 +4 (+) atau > 0
x = 1 –5 (-) atau < 0
x = 3 +9 (+) atau > 0
Tanda-tanda intervalnya adalah:
• Langkah 4: menentukan himpunan penyele­
saian.
karena pertidaksamaan 0  pilih interval yang
tandanya positif (+)
Hp = {x | x ≤ -3
/2 atau x ≥ 2, x  R}
3) Kekhususan Bentuk Kuadrat
a) Definit positif ® bentuk kuadrat yang selalu
bernilai positif untuk sebarang bilangan real
(Syarat: a > 0 dan D < 0). Grafik parabolanya
selalu cekung ke atas dan di atas sumbu X).
b) Definit negatif ® bentuk kuadrat yang selalu
bernilai negatif untuk sebarang bilangan real
(Syarat: a < 0 dan D < 0). Grafik parabolanya
selalu cekung ke bawah dan di bawah sumbu X).
–
3
2
2
+ – +
–
3
2
2
+ – +
–
3
2
2
3) Grafik melalui titik puncak P(xp, yp) dan melalui
sebuah titik tertentu.
f(x) = a(x – xp)2
+ yp
4) Grafik melalui titik-titik A(x1, y1), B(x2, y2),
dan C(x3, y3).
f(x) = ax 2
– bx + c
PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Pertidaksamaan LinearA.
1. Bentuk Umum
(i) ax + b < 0
(ii) ax + b 0 
(iii) ax + b > 0
(iv) ax + b 0 
2. Metode Penyelesaian
a) Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditam­bah
atau dikurangi dengan bilangan yang sama maka
tanda pertidaksamaannya tetap.
b) Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi
dengan bilangan positif yang sama maka tanda
pertidaksamaan tetap.
c) Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi
dengan bilangan negatif yang sama maka tanda
pertidaksamaan berbalik
Contoh: 6x + 6 > 18
 6x > 18 – 6 ® langkah (a)
 6x > 12
 x >
12
6
® langkah (a)
 x > 2 ® tanda pertidaksamaan
tetap
HP = {x | x > 2, x  R}
Contoh: -3x + 6 > 12
 (-3x + 6) : 3 > 12 : 3  langkah (b)
 -x + 2 > 4
 -x > 4 – 2  langkah (a)
 (-x) : -1 < (2) : -1  langkah (c)
 x < -2  tanda pertidaksamaan
berbalik
HP = {x | x < -2, x  R}
Pertidaksamaan KuadratB.
1. Bentuk Umum
(i) ax2
+ bx + c < 0
(ii) ax2
+ bx + c 0 
(iii) ax2
+ bx + c > 0
(iv) ax2
+ bx + c 0 

12. 12
(a) Definit positif (b) Definit negatif
b) Berlakukan syarat bagi fungsi-fungsi yang berada di
dalam tanda akar, yaitu harus positif dan nol.
c) Interval yang memenuhi diperoleh dengan cara
menggabungkan penyelesaian pada (a) dan penye­
lesaian pada (b).
Pertidaksamaan Nilai MutlakE.
1. Pengertian Nilai Mutlak
Untuk tiap bilangan real x, nilai mutlak x diten­tukan
sebagai:
| |
,
,
x
x untukx
x untukx
=
+ ≥
− <



0
0
2. Sifat-Sifat Nilai Mutlak
a. Untuk a  R dan a 0 , berlaku
(i) |x| < a  –a < x < a
(ii) |x|  a  –a  x  a
(iii) |x| > a  x < –a atau x > a
(iv) |x|  a  x  –a atau x  a
b. |x| = x2
c. Untuk tiap x  R dan y  R, berlaku:
(i) |x·y|=|x|·|y|
(ii)
x
y
=
x
y
, dengan y 0 
(iii) |x·y|||x|–|y||
(iv) |x + y||x|+|y|
Pertidaksamaan PecahanC.
1. Bentuk Umum
()
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
i
fx
g x
iii
fx
g x
ii
fx
g x
iv
fx
g x
< >
≤ ≥
0 0
0 0
2. Metode Penyelesaian
a) Carilah nilai-nilai nol bagian pembilang dan
bagian penyebut dari bentuk pecahan
( )
( )
f x
g x
, yaitu
f(x) = 0 dan g(x) = 0.
b) Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis
bilangan sehingga diperoleh interval-interval.
c) Tentukan tanda-tanda interval dengan cara menyu­
lihkan nilai-nilai uji yang berada pada setiap inter­
val.
d) Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh
pada (c), kita dapat menentukan interval yang
memenuhi. Dalam menentukan interval yang
memenuhi itu, perlu diingat adanya syarat bahwa
bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol atau
g(x) ≠ 0.
Pertidaksamaan Bentuk Akar
(Bentuk Irasional)
D.
1. Bentuk Umum
(i) ( )u x < a (v) ( )u x < a
(ii) ( )u x  a (vi) ( )u x  a
(iii) ( )u x > a (vii) ( )u x > a
(iv) ( )u x  a (viii) ( )u x  a
2. Metode Penyelesaian
a) Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan dengan
tanda pertidaksamaan tetap.
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Salah satu akar dari persamaan 3x2
+ ax – 10 = 0
adalah –2. Nilai a adalah ....
A. -3 D. 1
B. -1 E. 3
C. 0
Penyelesaian :
Substitusi x = -2 ke persamaan kuadrat, diperoleh :
3x2
+ ax – 10 = 0 2
)-2(3  + a(-2) – 10 = 0
2 – 4 · 3 a – 10 = 0
2– a = 10 – 12
 a = 2
2
−
−
= 1
Jawaban: D

13. 13
2. Akar-akar dari persamaan x2
+ 14 = 15x adalah x1
dan x2. Nilai dari 4x1 – 2x2 dengan x1 < x2 adalah
....
a. -24 d. 29
b. -10 e. 42
c. 14
Penyelesaian:
x2
+ 14 = 15x  x2
– 15x + 14 = 0
 (x – 14) (x – 1) = 0
 x – 14 = 0 atau x – 1= 0
 x = 14 atau x = 1
x1 < x2  x1 = 1, x2 = 14
Nilai dari 4x1 – 2x2 = 4 . 1 – 2 . 14
= 4 – 28
= –24
Jawaban: A
3. Panjang suatu persegi panjang lebih 8 cm dari
lebarnya. Luas persegi panjang itu 84 cm2
. Keliling
persegi panjang tersebut adalah ....
A. 8 D. 84
B. 40 E. 100
C. 64
Penyelesaian:
Panjang suatu persegi panjang lebih 8 cm dari
lebarnya  p = l + 8
Luas persegi panjang itu 84 cm2
 L = p . l = 84
p . l = 84  (l + 8) . l = 84
 l2
+ 8l – 84 = 0
 l2
+ 8l – 84 = 0
 (l + 14) (l – 6) = 0
 l – 6 = 0  l + 14 = 0
 l = –14  (tidak memenuhi)
l = 6  p = l + 8 = 6 + 8 = 14
Keliling (K) persegi panjang = 2 (p + l)
= 2 (14 + 6)
= 2 · 20
= 40 cm
Jawaban: B
4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (3 – 2 ) dan
(3 + 2 ) adalah ....
A. x2
– 6x – 7 = 0 D. x2
+ 6x + 7 = 0
B. x2
– 6x + 7 = 0 E. x2
– 8x + 7 = 0
C. x2
+ 6x – 7 = 0
Penyelesaian:
x1 + x2 =(3 – 2 ) + (3 + 2 )
= 3 – 2 + 3 + 2 = 6
x1 x2 = (3 – 2 ) (3 + 2 ) = 9 – 2 = 7
x2
– (x1 + x2) x + x1 x2 = 0  x2
– 6x + 7 = 0
jawaban: B
5. Grafik di bawah ini berbentuk parabola dengan
persamaan ….
A. y = x2
– 4x – 3
B. y = x2
– 4x + 3
C. y = x2
+ 4x – 3
D. y = x2
+ 4x + 3
E. y = x2
– 6x + 3
Penyelesaian:
Dari gambar terlihat bahwa titik potong dengan
sumbu x di titik (1, 0) dan (3, 0) serta memotong di
titik (0, 3). Persamaan yang memotong di titik
(1, 0) dan (3, 0) adalah y = a (x – x1) (x – x2).
Dengan memasukkan nilai x1 dan x2 didapat :
y = a (x – 1)(x – 3)
y = a (x2
– 4x + 3)
= ax2
– 4ax + 3a
a dicari dengan bantuan titik (0, 3);
jika x = 0 maka y = 3; masukkan nilai tersebut:
y = ax2
– 4ax + 3a
3 = 3a
a = 1
Sehingga persamaan grafiknya adalah:
y = x2
– 4x + 3.
Jawaban: B
LATIHAN SOAL
1. Hasil kali dua bilangan cacah genap berurutan
adalah 168. Salah satu bilangan tersebut adalah
….
A. 12 D. 24
B. 16 E. 28
C. 20
2. Luas sebuah persegi panjang yang berukuran
panjang (3x + 1) cm dan lebar (x + 4) cm sama
dengan luas persegi yang panjang sisinya (2x + 2)
cm. Panjang sisi persegi tersebut adalah ….
A. -6 D. 10
B. -4 E. 12
C. -2
3. Jika akar-akar persamaan kuadrat 2x2
+ 5x – 3 = 0
adalah x1 dan x2, maka
1 2
1 1
x x
+ = ....

14. 14
A. 5
3
D. 7
B.
7
2
E. 9
C. 5
4. Persamaan kuadrat x2
(1 − m) + x (8 − 2m) +
12 = 0 mempunyai akar yang sama, maka nilai
m = ….
A. -2 D. 4
B. 0 E. 6
C. 2
5. Jika x1 dan x2 adalah akar persamaan kuadrat
x2
+ 2x – 6 = 0, maka persamaan kuadrat baru
yang akar-akarnya x1 – 2 dan x2 – 2 adalah ....
A. x2
– 6x – 2 = 0 D. x2
+ 6x + 2 = 0
B. x2
– 6x + 2 = 0 E. x2
+ 8x + 2 = 0
C. x2
+ 6x – 2 = 0
6. Pak Sudirman mempunyai pekarangan yang ber­
bentuk persegi panjang dengan panjang 30 m dan
lebar 22 m. Di sekeliling pekarangan akan dibuat
suatu jalan yang luasnya 100 m2
. Lebar jalan yang
direncanakan Pak Sudirman adalah ....
A. 1 D. 4
B. 2 E. 5
C. 3
7. Daerah hasil fungsi f(x) = x2
– 2x – 3 untuk daerah
asal {x | -1 ≤ x ≤ 4, x  R } dan y = f(x) adalah
....
A. -4 ≤ y ≤ 5 D. -1 ≤ y ≤ 8
B. -3 ≤ y ≤ 6 E. 0 ≤ y ≤ 9
C. -2 ≤ y ≤ 7
8. Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai mak­
simum 5 untuk x = 2, sedangkan f(4) = 3. Fungsi
kuadrat tersebut adalah ….
A. f(x) =
1
2
− x2
– 2x + 3
B. f(x) =
1
2
− x2
+ 2x + 3
C. f(x) =
1
2
− x2
+ 2x – 3
D. f(x) =
1
2
− x2
– 2x – 3
E. f(x) =
1
2
− x2
+ 3x + 3
9. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat
yang persamaannya y = (x – 1)(x – 3) adalah ....
A. (2, –1) D. (3, 1)
B. (2, 1) E. (4, –1)
C. (3, –1)
10. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
3 52
0
3 2
xx −
− ≤ adalah ....
A. x < 1 D. x < 4
B. x > 1 E. x > 2
C. x > 3

15. 15
SISTEM PERSAMAAN
B A B
III
Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel (SPLDV)
A.
1. Bentuk Umum
ax by c
a x b y c
1 1 1
2 2 2
+ =
+ =



2. Metode Penyelesaian
a. Metode Grafik
b. Metode Eliminasi
c. Metode Substitusi
d. Metode Determinan/Matriks
3. Banyaknya Himpunan Penyelesaian
a. Jika a1b2 – a2b1 ≠ 0, maka SPLDV tepat memiliki
satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya
(kedua garis saling berpotongan)
b. Jika a1b2 – a2b1 = 0 dan jika a1c2 – a2c1 ≠ 0, jika
c1b2 – c2b1 ≠ 0, maka SPLDV tidak memiliki
anggota dalam himpunan penyelesaiannya (kedua
garis sejajar)
c. Jika a1b2 – a2b1 = 0 dan a1c2 – a2c1 = 0, jika c1b2 –
c2b1 = 0, maka SPLDV memiliki anggota yang tak
hingga banyaknya (kedua garis berhimpit)
Sistem Persamaan Linear Tiga
Variabel (SPLTV)
B.
1. Bentuk Umum
ax by c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
+ + =
+ + =
+ + =





2. Metode Penyelesaian
a. Metode Substitusi
Langkah-langkah:
1. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana,
kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z,
atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai
fungsi x dan y.
2. Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh
pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang
lainnya sehingga didapat SPLDV.
3. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2.
b. Metode Eliminasi
Langkah-langkah:
1. Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z
sehingga diperoleh SPLDV
2. Selesaikan SPLDV pada langkah 1
3. Substitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh
pada langkah 2 ke dalam salah satu persamaan
semula untuk mendapatkan nilai peubah yang
lainnya.
c. Metode Matriks
a b c
a b c
a b c
x
y
z
d
d
d
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1
2
3




















=










SistemPersamaanLineardanKuadratC.
1. Bentuk Umum
y ax b
y px qx
= + →
= + +
bagian linear(grafik berupa garis)
2
rr →



 bagian kuadrat(grafik berupa parabola)
2. Metode Penyelesaian  metode substitusi
3. Kedudukan Garis Terhadap Parabola
Ditinjau dari Diskriminan Gabungan dari Kedua Persa­
maan

16. 16
a. Jika D > 0, maka garis memotong parabola di
dua titik yang berlainan  (SPLK mempunyai dua
anggota dalam himpunan penyelesaiannya)
b. Jika D = 0, maka garis memotong parabola tepat
di sebuah titik (garis menyinggung parabola) 
(SPLK mempunyai satu anggota dalam himpunan
penyelesaiannya)
c. Jika D < 0, maka garis tidak memotong maupun
menyinggung parabola  (SPLK tidak mempunyai
anggota dalam himpunan penyelesaiannya)
Sistem Persamaan Kuadrat
dan Kuadrat (SPKK)
D.
1. Bentuk Umum
y ax bx c
y px qx r
= + + →
= + + →
2
2
bagian kuadratpertam a
bagian kuadratkedua




2. Metode Penyelesaian  metode substitusi
3. Kedudukan Parabola Satu Terhadap Parabola
Lainnya
Ditinjau dari Diskriminan (D) Persamaan Kuadrat
Gabungan
a. Jika D > 0, maka kedua parabola berpotongan
di dua titik berlainan  (SPKK mempunyai dua
anggota dalam himpunan penyelesaiannya)
b. Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan di
satu titik  (SPKK mempunyai satu anggota dalam
himpunan penyelesaiannya)
c. Jika D < 0, maka kedua parabola tidak berpotongan
 (SPKK tidak mempunyai anggota dalam him­
punan penyelesaiannya)
y = px2
+ qx + r
y = ax + b
B(x2, y2)
A(x1, y1)
y = px2
+ qx + r
y = ax + b
y = px2
+ qx + r
y = ax + b
A(x1, y1)
(a) D > 0 (b) D = 0
(c) D < 0
y = px2
+ qx + r
y = ax2
+ bx + c
B(x2, y2)
A(x1, y1)
y = px2
+ qx + r
y = ax2
+ bx + c
A(x1, y1)
y = px2
+ qx + r
y = ax2
+ bx + c
(a) D > 0 (b) D = 0
(c) D < 0
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Agar ketiga garis 3x – y + 2 = 0, 2x – y – 1 = 0,
dan x – ay – 4 = 0 berpotongan pada satu titik,
maka nilai a = ....
A. -2 D. 2
B. -1 E. 3
C. 1
Penyelesaian :
3x – y + 2 = 0 ……. (1)
2x – y – 1 = 0 …….(2)
–
x + 3 = 0
x = -3  substitusi ke persamaan (1),
diperoleh:
3(-3) – y + 2 = 0
y = -7
Perpotongan garis (1) dan (2) adalah (-3, -7).
x – ay – 4 = 0 à melalui (-3, -7), diperoleh:
-3 – a(-7) – 4 = 0
-7 + 7a = 0
a = 1.
Jawaban: C
2. Jika diketahui sistem persamaan 3 2 1
2
64
x y−
= dan
2x – 3y = 1, maka selisih dari kedua penyelesaian
tersebut adalah ....
A. -3 D. 4
B. 1 E. 5
C. 2
mengeliminasi
variabel y

17. 17
Penyelesaian :
23x – 2y
=
1
64
23
x – 2y
= 2–6
3 x – 2y = –6
3x – 2y = –6
2x – 3y = 1
–
5x – 5y = 5 à dibagi dengan 5, diperoleh:
x – y = 1
Jadi selisih dari kedua penyelesaian tersebut adalah 1.
Jawaban: B
3. Tujuh tahun yang lalu umur Arro sama dengan
enam kali umur Naufal. Empat tahun yang akan
datang dua kali umur Arro sama dengan lima kali
umur Naufal ditambah sembilan tahun. Jumlah
umur Arro dan Naufal sekarang adalah ... .
A. 20 D. 56
B. 35 E. 72
C. 42
Penyelesaian :
Tulis : Arro = m dan Naufal = n.
(m – 7) = 6 × (n – 7)
Û m – 7 = 6n – 42
Û m – 6n = – 35 ………….....................… (1)
2 × (m + 4) = 5 × (n + 4) + 9
Û 2m + 8 = 5n + 20 + 9
Û 2m – 5n = 21 ..................................(2)
m – 6n = – 35 × 2 2m – 12n = –70 menge-
liminasi
variabel m
2m – 5n = 21 × 1 2m – 5n = 21
_
–7n = –91
n = 13
Untuk n = 13, substitusi ke persamaan (1), diperoleh:
m – 6n = – 35
Û m – 6 (13) = – 35
Û m – 6 (13) = – 35 è m = 78 – 35 = 43.
m = 43, n = 13 è m + n = 56
Jadi jumlah umur Arro dan Naufal sekarang adalah
56 tahun.
Jawaban: D
4. Penyelesaian dari
1 1
5
1 1
1
m n
m n
+ =
− =






adalah ....
A.
2
3
1
2
,{ } C.
1
3
3
2
,{ } E.
1
3
1
4
,{ }
B.
1
3
1
3
,{ } D.
1
3
1
2
,{ }
Penyelesaian :
1 1
5
m n
+ =  Kalikan dengan mn (KPK dari m
dan n), sehingga diperoleh :
1 1
1
m n
− = n + m = 5mn dan n – m = mn
Dengan cara eliminasi kita peroleh :
n + m = 5mn n + m = 5mn
n – m = mn n – m = mn
2m = 4mn – 2n = 6mn +
2
4
m
m
= n
2
6
n
n
= m
n =
1
2
m =
1
3
Jadi penyelesaiannya adalah
1
3
1
2
,{ }.
Jawaban: D
5. Nilai z dari persamaan
2 8 18 2
3 12 12 27
x y z
x y z
+ − =
+ + =




adalah ....
A. 2 D. 12
B. 3 E. 18
C. 8
Penyelesaian:
2 8 18 2 2
2 4 6 2
3 12
x y z kalikan dengan
x y z
x y
+ − =
⇒ + − =
+ −
( )
112 27 3
3 6 6 9
z kalikan dengan
x y z
=
⇒ + − =







( )
2x + 4y – 6z = 2
 x + 2y – 3z = 1
 x = –2y + 3z + 1 .... (i)  metode subtitusi
3x + 6y – 6z = 9
 x + 2y – 2z = 3 ......... (ii)
Substitusi (i) dan (ii), diperoleh:
(–2y + 3z + 1) + 2y – 2z = 3
 –2y + 3z + 1 + 2y – 2z = 3
 z = 2
Jawaban: A

18. 18
LATIHAN SOAL
1. Sebuah bilangan pecahan, jika pembilangnya
ditambah 2 maka nilai pecahan tersebut menjadi
1
4
dan jika penyebutnya dikurangi 5, nilai pecahan
tersebut menjadi
1
5
. Jumlah nilai pembilang dan
penyebut pecahan tersebut adalah ....
A. 2 D. 10
B. 4 E. 23
C. 5
2. a, b, c adalah bilangan-bilangan real tak nol,
sehingga memenuhi sistem persamaan berikut:
1 1 1
5; 12; 13a b c
b c a
+ = + = + = . Nilai dari
1
abc
abc
+ = ....
A. 150 D. 600
B. 300 E. 750
C. 450
3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
x y
x y
+ =
+ =



9
412 2
adalah {(x1, y1), (x2, y2)}.
Nilai x1 + x2 dan x1 x2 = ....
A. –9 dan –20 D. 9 dan 20
B. –10 dan 20 E. 10 dan 20
C. 9 dan –20
4. Diketahui sistem persamaan 3x+1
+ 2y+1
= 40 dan
3x
– 2y
= 5. Nilai dari 3x
+ 2y
= ....
A. 5 D. 20
B. 10 E. 25
C. 15
5. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan
luas 180 m2
. Jika perbandingan panjang dan le­
barnya sama dengan 5 berbanding 4 maka pan-
jang diagonal bidang tanah tersebut adalah ....
(Soal UN Tahun 2005 tipe A)
A. 9 m D. 9 41 m
B. 3 41 m E. 81 m
C. 6 41 m
6. Suatuareaberbentukpersegipanjang,ditengahnya
terdapat kolam renang berbentuk persegi panjang
yang luasnya 180 m2
. Selisih panjang dan lebar
kolam adalah 3 m. Di sekeliling kolam renang
dibuat jalan selebar 2 m. Maka luas jalan tersebut
adalah .... (Soal UN Tahun 2005 tipe 5)
A. 24 m2
D. 108 m2
B. 54 m2
E. 124 m2
C. 68 m2
7. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur
adalah Rp 70.000,00, dan harga 1 kg mangga, 2 kg
jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp 90.000,00. Jika
harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur
Rp 130.000,00 maka harga 1 kg jeruk adalah ....
(Soal UN Tahun 2005 tipe 5)
A. Rp 5.000,00 D. Rp 12.000,00
B. Rp 7.500,00 E. Rp 15.000,00
C. Rp 10.000,00
8. Akar-akar persamaan 2·34x
– 20·32x
+ 18 = 0
adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….
(Soal UN Tahun 2005 tipe 5)
A. 1 D. 4
B. 2 E. 5
C. 3
9. Diketahui x1 dan x2 akar-akar persamaan
9x
–
10
3
· 3x
+ 1 = 0. Nilai x1 + x2 =....
(Soal UN Tahun 2005 tipe 5)
A. 2 D. 0
B.
3
2
E. –2
C. 1
10. Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi
membeli buku tulis, pena, dan pensil dengan
merek yang sama. Ali membeli 3 buku tulis, 1
pena, dan 2 pensil dengan harga Rp11.000,00.
Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena, dan 1 pensil
dengan harga Rp14.000,00. Cici membeli 1
buku tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga
Rp11.000,00. Dedi membeli 2 buku tulis, 1 pena,
dan 1 pensil. Berarti Dedi harus membayar ....
(Soal UN Tahun 2006 tipe 5)
A. Rp6.000,00 D. Rp9.000,00
B. Rp7.000,00 E. Rp10.000,00
C. Rp8.000,00

19. 19
LOGIKA MATEMATIKA
B A B
IV
1. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai
nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak
kedua-duanya.
2. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana
adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan
lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan
majemuk dapat merupakan kalimat baru yang
diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa
pernyataan tunggal.
OPERASI LOGIKA
Operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan
majemuk adalah:
1. Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai:
tidaklah benar, simbol “ ~ “
2. Konjungsi, dengan kata perangkai: dan, simbol ““
3. Disjungsi, dengan kata perangkai: atau, simbol ““
4. Implikasi, dengan kata perangkai: Jika ……, maka
…….., simbol ““
5. Biimplikasi, dengan kata perangkai: ……. jika dan
hanya jika ……., simbol ““
Tabel kebenaran disjungsi (), konjungsi (), implikasi
(), dan biimplikasi ()
p q p ∨ q p ∧ q p ⇒ q p ⇔ q
B B B B B B
B S B S S S
S B B S B S
S S S S B B
Ingkaran dari “semua atau setiap” adalah “ada atau
beberapa”.
Ingkaran dari “ada atau beberapa” adalah “semua atau
setiap”.
Ingkaran dari pernyataan “untuk semua x, sehingga
berlaku p(x)” adalah :
“ada x, sehingga berlaku bukan p(x)”, ditulis :
~[(x), p(x)] ≡ (x), ~p(x)
Ingkaran dari pernyataan “ada x, sehingga berlaku
p(x)” adalah:
“untuk semua x, sehingga berlaku bukan p(x)”, ditulis:
~[(x), p(x)] ≡ (x), ~p(x).
Ingkaran disjungsi: ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q.
Ingkaran konjungsi: ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q.
Dari suatu implikasi dapat dibentuk pernyataan
majemuk :
a. q ⇒ p dinamakan konvers dari p ⇒ q.
b. ∼p ⇒ ∼q dinamakan invers dari p ⇒ q.
c. ∼q ⇒ ∼p dinamakan kontraposisi dari p ⇒ q.
p ⇒ q ≡ ∼p ≡ p ∨ q
q ⇒ p ≡ ∼p ⇒ ∼q
Ingkaran implikasi: ∼ (p ⇒ q) ≡ p ∧ ∼q.
Ingkaran biimplikasi: ∼ (p ⇔ q) ≡ (p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p).
Ingkaran konvers: ∼ (q ⇒ p) ≡ q ∧ ∼p.
Ingkaran invers: ∼ (∼p ⇒ ∼q) ≡ ∼p ∧ q.
Ingkaran kontraposisi: ∼ (∼q ⇒ ∼p) ≡ ∼q ∧ p.
Modus Ponens
p ⇒ q (premis 1)
p (premis 2)
∴ q (konklusi)
Modus Tollens
p ⇒ q (premis 1)
∼q (premis 2)
∴ ∼p (konklusi)
Silogisme
p ⇒ q (premis 1)
q ⇒ (premis 2)
∴ p ⇒ r (konklusi)

20. 20
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Dari argumentasi berikut :
Jika ibu tidak pergi maka adik senang.
Jika adik senang maka dia tersenyum.
Kesimpulan yang sah adalah ....
(Soal UN Tahun 2004/2005)
A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum.
B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum.
C. Ibu pergi atau tidak tersenyum.
D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum.
E. Ibu pergi atau adik tersenyum
Penyelesaian:
p ⇒ q  Gunakan silogisme
q ⇒ r
 p ⇒ r  ~p  r  Ingat rumus ini !!
“ Ibu pergi atau adik tidak tersenyum “
Jawaban: C
2. Diketahui premis-premis berikut
Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai.
Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian.
Budi tidak lulus ujian
Kesimpulan yang sah adalah ....
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe B)
A. Budi menjadi pandai.
B. Budi rajin belajar.
C. Budi lulus ujian.
D. Budi tidak pandai.
E. Budi tidak rajin belajar.
Penyelesaian:
1. p ⇒ q
p ⇒ r
Gunakan silogisme
2. q ⇒ r  ~p
3. ~r
~p Budi tidak rajin belajar
Jawaban : E
3. Diketahui premis-premis berikut:
Premis1: JikaDodi rajin belajar maka ia naik kelas.
Premis2: JikaDodi naik kelas maka ia akan di beli­
kan baju.
Kesimpulan yang sah adalah ....
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe A)
A. Dodi tidak rajin belajar, tetapi ia akan di belikan
baju
B. Dodi rajin belajar, tetapi ia tidak akan di belikan
baju
C. Dodi rajin belajar atau ia akan dibelikan baju
D. Dodi tidak rajin belajar atau ia akan dibelikan
baju
E. Dodi rajin belajar atau ia tidak akan dibelikan
baju
Penyelesaian:
Jika Dodi rajin belajar maka ia naik kelas: p ® q.
Jika Dodi naik kelas maka ia akan dibelikan baju:
q ® r
Premis I : p ® q
Premis II : q ® r
Kesimpulan : p ® r
p ® r equivalen dengan ~p  r
Jawaban : D
4. Pernyataan “ Jika Anda rajin belajar, maka Anda
lulus UN “ ekuivalen dengan ....
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe A)
A. Jika lulus UN, maka Anda rajin belajar.
B. Jika Anda tidak rajin belajar, maka Anda tidak
lulus UN.
C. Jika Anda tidak lulus UN, maka Anda tidak rajin
belajar.
D. Jika Anda tidak rajin belajar, maka Anda lulus
UN.
E Jika Anda tidak lulus UN, maka Anda rajin
belajar.
Penyelesaian:
p ⇒ q  –q ⇒ –p Ingat rumus ini!!
Jawaban: C
5. Diberikan premis-premis sebagai berikut:
Jika x genap maka x2 genap
4 genap. Kesimpulan yang benar adalah ….
(Soal UN Tahun 2007 tipe A)
A. x2
genap
B. 16 genap
C. 2 genap
D. 16 tidak genap
E. x2
tidak genap
Penyelesaian:
Kesimpulan :
Gunakan Modus Ponens :
p ⇒ q (premis 1)
p (premis 2)
 q (konklusi)
Kesimpulannya adalah 16 genap
Jawaban: B

21. 21
1. Ingkaran dari “setiap bilangan prima adalah
ganjil” adalah ....
A. “ada bilangan prima yang ganjil”
B. “semua bilangan prima ganjil”
C. “ada bilangan prima yang genap”
D. “semua bilangan prima genap”
E. “ada bilangan prima yang tidak genap”
2. Ingkaran dari “beberapa burung tidak pandai ter­
bang atau ada ikan yang menyusui” adalah ....
A. “semua burung pandai terbang atau semua
ikan menyusui”
B. “ada burung pandai terbang atau semua ikan
menyusui”
C. “semua burung pandai terbang dan ada ikan
menyusui”
D. “ada burung pandai terbang dan ada ikan
menyusui”
E. “semua burung pandai terbang dan semua
ikan menyusui”
3. Jika x adalah variabel pada himpunan bilangan
asli, maka nilai x agar disjungsi “x2
– 3x + 2
= 0 atau 4 adalah faktor dari 9” bernilai benar
adalah ....
A. x = –1 atau x = –2
B. x = –1 atau x = 2
C. x = 1 atau x = –2
D. x = 1 atau x = 2
E. x = 2 atau x = 2
4. Pernyataan (p  q) (r  p) benar, jika... .
A. p salah, q salah, dan r salah
B. p salah, q salah, dan r benar
C. p salah, q benar, dan r salah
D p benar, q benar, dan r salah
E. p benar, q benar, dan r benar
5. Ingkaran dari pernyataan “ Jika Armand Maulana
adalah penyanyi terkenal, maka dia selebritis”
adalah ....
A. “Jika Armand Maulana adalah penyanyi
terkenal, maka dia tidak selebritis”.
B. “JIka Armand Maulana adalah penyanyi tidak
terkenal, maka dia tidak selebritis”.
C. “Armand Maulana adalah penyanyi tidak
terkenal, dan dia tidak selebritis”.
D. “Armand Maulana adalah penyanyi terkenal,
dan dia selebritis”.
E. “Armand Maulana adalah penyanyi terkenal,
dan dia tidak selebritis”.
LATIHAN SOAL
6. Invers dari implikasi “jika log x < 2 maka > 0”
adalah ....
A. Jika ”log x > 2 maka x < 0”
B. Jika ”log x > 2 maka x > 0”
C. Jika ”log x > 2 maka x > 0”
D. Jika ”log x < 2 maka x < 0”
E. Jika ”log x > 2 maka x < 0”
7. Pernyataan “Jika 2x2
– 32 = 0 maka x > 0”
ekuivalen dengan pernyataan ....
A. ”2x2
– 32 ≠ 0 dan x > 0”
B. ”2x2
– 32 ≠ 0 dan x < 0”.
C. ”2x2
– 32 = 0 dan x > 0”.
D. ”2x2
+ 32 ≠ 0 atau x > 0”.
E. ”2x2
– 32 ≠ 0 atau x < 0”.
8. Kesimpulan dari 3 premis berikut adalah ....
P1 : p  q …………….….(1)
P2 : q  r …………….....(2)
P3 : ~ r ………….…….(3)
 ……….
A. ~p D. q
B. p E. r
C. ~q
9. Negasi dari pernyataan “Matematika tidak meng­
asyikkan atau membosankan.” adalah ….
A. Matematika mengasyikkan atau membosankan.
B. Matematika mengasyikkan atau tidak membo­
sankan.
C. Matematika mengasyikkan dan tidak membo­
sankan.
D. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak mem­
bosankan.
E. Matematika tidak mengasyikkan dan mem­
bosankan.
10. Jika pernyataan p bernilai salah, dan ~q bernilai
salah, maka pernyataan majemuk berikut bernilai
benar adalah ….
A. ~p ® ~q
B. (~p  q) ® p
C. (p  q) ® p
D. p ®(~p  ~q)
E. ~p ® (~p  ~q)

22. 22
TRIGONOMETRI
B A B
V
1. Fungsi trigonometri
sin
cos
tan
α
α
α
=
=
=
y
r
x
r
y
x
cos
sin
sec
cos
cot
tan
ec
x
r
y
x
r
x
a
x
y
α
α
α
= =
= =
= =
1
1
1
2. Sistem Kuadran dengan Lingkaran Satuan
3. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi
a. perbandingan trigonometri sudut  dengan (90° – a)
1) sin (90° – a) = cos a 4) csc (90° – a) = sec a
2) cos (90° – a) = sin a 5) sec (90° – a) = cosec a
3) tan (90° – a) = cot a 6) cot (90° – a) = tan a
a
r
x
y

23. 23
A B
C
b a
c
6. Aturan Cosinus
 a2
= b2
+ c2
– 2bc cos A
 cos A =
b2
+ c2
– a2
2bc
 b2
= a2
+ c2
– 2ac cos B
 cos B =
a2
+ c2
– b2
2ac
 c2
= c2
+ b2
– 2ab cos C
 cos C =
a2
+ b2
– c2
2ab
7. Luas Segitiga
•
1
sin
2
L bc A= •
2
sin sin
2 sin
a B C
L
A
=
•
1
sin
2
L ac B= •
2
sin sin
2 sin
b A C
L
B
=
•
1
sin
2
L ab C= •
2
sin sin
2 sin
c A B
L
C
=
• ( )( )( )L S S a S b S c= − − − ,
1
2
( )S a b c= + + ® Rumus Heron
8. Pada setiap segi empat ABCD dengan sudut
antara diagonal AC dan BD adalah (AC, BD) = ,
mempunyai luas L yang ditentukan oleh rumus:
1
sin
2
L AC BD= × α
9. Jika jari-jari lingkaran luar segi-n beraturan di­
ketahui = R, dan luas segi-n beraturan itu dinya­
takan dengan L, maka: 2 360
sin
2
n
L R
n
°
=
10. Jika panjang sisi segi-n beraturan diketahui = p,
dan luas segi-n beraturan itu dinyatakan dengan
L, maka:
0
2 180
cot
4
n
L p
n
=
b. Perbandingan trigonometri untuk sudut a°
dengan (180° – a)
1) sin (180 – a)° = sin a°
2) cos (180 – a)° = –cos a°
3) tan (180 – a)° = –tan a°
4) cosec (180 – a)° = cosec a°
5) sec (180 – a)° = –sec a°
6) cot (180 – a)° = –cot a°
c. Perbandingan trigonometri untuk sudut a°
dengan (180° + a)
1) sin (180 + a)° = –sin a°
2) cos (180 + a)° = –cos a°
3) tan (180 + a)° = tan a°
4) csc (180 + a)° = –csc a°
5) ses (180 + a)° = sec a°
6) cot (180 + a)° = cot a°
d. Perbandingan trigonometri untuk sudut a dengan
(–a)
1) sin (–a) = –sin a
2) cos (–a) = cos a
3) tan (–a) = –tan a
4) cosec (–a) = –cosec a
5) sec (–a) = sec a
6) cot (–a) = –cot a
4. Persamaan Trigonometri
Jika Sin x = Sin a, maka:
x1 = a + k ∙ 360°
x2 = (180° – a) + k ∙ 360°
Jika Cos x = Cos a, maka:
x1 = a + k ∙ 360°
x2 = –a + k ∙ 360°
Jika Tan x = Tan a, maka:
x = a + k ∙180°
k  bilangan bulat
5. Aturan Sinus
Pada setiap DABC berlaku =
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C

24. 24
A. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT
1. sin (a + b) = sin a ∙ cos b + cos a ∙ sin b
2. sin (a – b) = sin a ∙ cos b – cos a ∙ sin b
3. cos (a + b) = cos a ∙ cos b – sin a ∙ sin b
4. cos (a – b) = cos a ∙ cos b + sin a ∙ sin b
5. tan (a + b) =
tan a + tan b
1 – tan a ·tan b
6. tan (a – b) =
tan a – tan b
1 + tan a ·tan b
B. RUMUS PERKALIAN SINUS DAN COSINUS
1. 2sin a ∙ cos b = sin (a + b) + sin (a – b)
2. 2cos a ∙ sin b = sin (a+b) – sin (a – b)
3. 2cos a ∙ cos b = cos (a + b) + cos (a – b)
4. –2sin a ∙ sin b = cos (a + b) – cos (a – b)
C. RUMUS SUDUT PERTENGAHAN
1 1 cos
1. sin
2 2
1 1 cos
2. cos
2 2
1 1 cos
3. tan
2 1 cos
1 sin
4. tan
2 1 cos
1 1 cos
5. tan
2 sin
− θ
θ = ±
+ θ
θ = ±
− θ
θ = ±
+ θ
θ
θ = ±
+ θ
− θ
θ = ±
θ
D. RUMUS SUDUT RANGKAP TIGA
1. cos 3x = 4cos3
x – 3cos x
2. sin 3x = 3sin x – 4sin3
a
3. tan 3x =
3
2
tan3 tan
1 3tan
x x
x
−
−
E. RUMUS SUDUT RANGKAP
1. sin 2x = 2sin x ∙ cos x
2. cos 2x =
2 2
2
2
cos sin
2cos 1
1 2sin
x x
x
x
 −

−
 −
3. tan 2x = 2
2tan
1 tan
x
x−
F. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT
1 1
1. sin sin 2sin ( )cos ( )
2 2
1 1
2. sin sin 2cos ( )sin ( )
2 2
1 1
3 cos cos 2cos ( )cos ( )
2 2
1 1
4. cos cos 2sin ( )sin ( )
2 2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ = + −
− = + −
+ = + −
− = − + −
G. RUMUS IDENTITAS DASAR
1. sin2
x + cos2
x = 1
2. 1 + tan2
x = sec2
x
3. 1 + cot2
x = cosec2
x
4. cos(–x) = cos x
5. sin (–x) = –sin x
6. cosec x =
1
sinx
7. sec x =
1
cosx
8. tan x =
sin
cos
x
x
9. tan (–x) = –tan x

25. 25
Sudut-sudutIstimewa
a0o
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
300o
315o
330o
360o
Sina0
1
2
1
2
2
1
3
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
0
1
2
−
1
2
2
−
1
3
2
−-1
1
3
2
−
1
2
2
−
1
2
−0
Cosa1
1
3
2
1
2
2
1
2
0
1
2
−
1
2
2
−
1
3
2
−-1
1
3
2
−
1
2
2
−
1
2
−0
2
11
2
2
1
3
2
1
Tana0
1
3
3
13~3−-1
1
3
3
−0
1
3
3
13~3−-1
1
3
3
−0
Cota~31
1
3
3
0
1
3
3
−-13−~31
1
3
3
0
1
3
3
−-13−~
Seca1
2
3
3
22~-22−
2
3
3
−-1
2
3
3
−2−-2~22
2
3
3
1
Coseca~22
2
3
3
1
2
3
3
22~-22−
2
3
3
−-1
2
3
3
−2−-2~
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan
arah 044° sejauh 50 km. kemudian berlayar lagi
dengan arah 104° sejauh 40 km ke pelabuhan C.
Jarak pelabuhan A ke C adalah ....
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe A)
A. 10 95 km D. 10 71 km
B. 10 91 km E. 10 61 km
C. 10 85 km
Penyelesaian:
 ABC = 360° – 240°
= 120°
Dengan aturan cosinus, diperoleh
AC° = 50° + 40° – 2·50·40·cos120°
= 610°
AC = 10 61
Jawaban: E
2. Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan
panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang
ABC dan bidang ABD adalah ….
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe B)
A.
1
3
D.
2
3
B.
1
2
E.
1
3
2
C.
1
3
3
Penyelesaian:
ABCD merupakan bidang empat beraturan dengan
panjang rusuk 8 cm.
BP = 4 3
BO =
2
3
BP =
8
3
3
cos ( ; ) cos
BO
ABC ABD
BA
∠ = ∝=
=
8
3
3
8
=
1
3
3
Jawaban: C
044°
104°
50 km
40 km
A C?
U
U
A
B
C
D
O
p
a

26. 26
3. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 30 mil.
Kemudian kapal melanjutkan perjalanan dengan
arah 030o
sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi
saat kapal berangkat adalah ....
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe C)
A. 10 37 mil D. 30 (5 2 3)+ mil
B. 30 7 mil E. 30 (5 2 3)− mil
C. 30 (5 2 2)+ mil
Penyelesaian:
 ABC = 90° + 30° = 120°
AC2
= AB2
+ BC2
– 2AB · BC · cos120°
= 900 + 3600 – 2·30·60·
1
2
 
− 
 
= 4500 + 1800
= 6300
AC = 30 7
Jawaban: B
4. Nilai dari tan 165o
= ….
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe D)
A. 1 – 3 D. 2 – 3
B. –1 + 3 E. 2 + 3
C. –2 + 3
Penyelesaian:
tan 165° = tan (180 – 15)°
= – tan 15°
= – tan ( 45 – 30 )°
= –
tan tan
tan tan
45 30
1 45 30
° − °
+ °⋅ °
= –
1
1
3
3
1
1
3
3
−
+
= –
3 3
3 3
3 3
3 3
−
+
−
−
×
= –
9 6 3 3
9 3
− +
−
= –
12 6 3
6
−
= – (2 – 3 ) = –2 + 3
Jawaban: C
5. Nilai x yang memenuhi persamaan
2
2 3cos 2sin cos 1 3 0x x x° − ° ° − − = ,
untuk 0 360x≤ ≤ adalah ....
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe B)
A. 45, 105, 225, 285 D. 15, 135, 195, 315
B. 45, 135, 225, 315 E. 15, 225, 295, 315
C. 15, 105, 195, 285
Penyelesaian:
2 3 2 1 3 0
3 2 1 2 1
3 2
2
cos sin cos
( cos ) sin
cos s
x x x
x x
x
° − ° ° − − =
⇔ − − =
⇔ − iin
cos cos sin sin
cos( )
cos(
2 1
2 330 2 330 1
2 2 330 1
2 3
x
x x
x
x
=
⇔ + =
⇔ − ° =
⇔ − 330
1
2
60) cos° = = °
2 330 60 360
2 390 360
2 30 360
x n
x n
x n
− = + ⋅ °
⇔ = + ⋅ °
⇔ = + ⋅ °
⇔ xx = ° °15 195,
atau
2 330 60 360
2 270 360
135 180
135
x n
x n
x n
x
− = − + ⋅ °
⇔ = ° + ⋅ °
⇔ = ° + ⋅ °
⇔ = °,,
, , ,
315
15 135 195 315
°
° ° ° °{ }H p:
Jawaban : D
5. Nilai sin 105° + cos 15° = ….
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe C)
A.
1
( 6 2)
3
− − D.
1
( 3 2)
2
+
B.
1
( 3 2)
2
− E.
1
( 6 2)
2
+
C.
1
( 6 2)
2
−
Penyelesaian:
sin 105° + cos 15° = sin (90° + 15°)+ cos 15°
= cos 15° + cos 15°
= 2 cos 15°
= 2 cos (45° - 30°)
=2[cos 45° cos 30° +
sin 45° sin 30°]
=2
1 1 1 1
2 3 2
2 2 2 2
 
⋅ + ⋅  
=
1 1
6 2
2 2
+ =
1
2
6 2+( )
Jawaban: E
30°
A B
CU U
?

27. 27
5. Diketahui sin a =
2
3
, sin ( a + b ) =
8
9
untuk
0° 180°  dan 0° 180 º. Jika
5 sin b – cos b =
1
3
, nilai cos (a + b) = .....
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe A)
A.
5
9
C.
7
9
E.
5
3
B.
2 5
9
D.
5
9
Penyelesaian:
sin a =
2
3
,
sin (a + b) =
8
9
 sin a · cos b + cos a · sin b =
8
9

2
3
cos b + cos a · sin b =
8
9
 6 cos b + 3 5 sin b = 8 …. (1)
 5 sin b – cos b =
1
3
 -3 cos b + 3 5 sin b = 1 …. (2)
(1) ... 6 cos b + 3 5 sin b = 8
(2) ... - 3 cos b + 3 5 sin b = 1
–
9 cos b = 7
cos b =
7
9

6·
7
9
+ 3 5 sin b = 8
sin b =
2 5
9
jadi :
cos (a + b ) = cos a·cos b – sin a·sin b
= ⋅ − ⋅
= =
5
3
7
9
2
3
2 5
9
3 5
27
5
9 Jawaban : A
6. Nilai x yang memenuhi persamaan
cos2
x° 3 – sin x° cos x° + 2 sin2
x° – 2 = 0
untuk 0  x 360  adalah ....
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe B)
A. 0,30, 180, 210, 360
B. 0,30, 180, 270, 330
C. 90, 150, 240, 300
D. 90, 120, 270, 300
E. 90, 150, 270, 330
Penyelesaian:
cos2
x – 3 sin x cos x + 2 sin2
x – 2 = 0
 cos2
x – 3 sin x cos x +2 (sin2
x – 1 ) = 0
 cos2
x – 3 sin x cos x – 2 cos2
x = 0
 -cos2
x – 3 in x cos x = 0
 cos2
x + 3 sin x cos x = 0
 cos x ( cos x + 3 sin x ) = 0
 cos x·2 cos ( x – 60 )° = 0
cos x = 0 atau cos ( x – 60 )° = 0
x = 90°, 2700
atau x = 150°, 330°
Jawaban : E
7. Nilai
sin 75°+sin 15°
cos105°+cos15°
=….
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe C)
A. – 3 D.
1
3
3
B. 2 E. 3
C. – 2
Penyelesaian:
sin 75°+ sin 15°
cos105°+ cos15°
=
+ °⋅ +2 75 15 75 15
1
2
1
2
sin ( ) cos ( ))
cos cos ( )
°
⋅ − °
=
2 105 15
1
2
1
2
(105+ 15)°
sin 45°+ sin 30°
cos60°+ coos45°
= =
1
3
1
2
3
3
Jawaban: E
8. Jika tan 3o
= p, maka tan 228o
= ....
(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe A)
A.
−
+
2
2
1
1
p
p D.
+
−
1
1
p
p
B.
−
+
1
1
p
p
E.
+
−
2
2
1
1
p
p
C.
−
−
2
1
1
p
p
2
3
5
a
cos a 5
3

28. 28
Penyelesaian:
tan 3 = p,
tan 228o
= tan (225 + 3 )o
=
− ⋅
tan225°+tan3°
1 tan225° tan3°
=
+
−
1
1
p
p
Jawaban: D
9. Jika tan a = 1 dan tan b =
1
3
dengan a dan b
sudut lancip maka sin (sin a + b) ....
(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe B)
A.
2
5
3
D.
2
5
B.
2
5
E.
1
2
C.
1
5
5
Penyelesaian:
tan a = 1 dan b =
1
3
Perhatikan gambar.
Dengan bantuan gambar diatas dapat diperoleh :
Sin (a – b ) = sin a cos a – cos a sin b
=
= =
1
2
3
2 2
1
2
1
2 2
3 1
4
1
2
⋅ − ⋅
−
Jawaban: E
10. Himpunan penyelesaian persamaan:
cos 2x° + 7 sin x° – 4 = 0, 0 ≤ x ≤360 adalah ....
(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe C)
A. {240, 300} D. {30, 150}
B. {60, 120} E. {120, 240}
C. {210, 330}
Penyelesaian:
Cos 2 x0
+ 7 sin x0
– 4 = 0
1 – 2 sin2
x0
+ 7sin x0
– 4 = 0
2 sin 2 x0
– 7 sin x + 3 = 0
2
1
1
a 3
1
b
2 2
3
1
(2 sin x0
–1) (sin x0
– 3) = 0
2 sin x0
– 1 = 0
Sin x0
= 1
2
® x = 30°, 150°
Jawaban: D
11. Diketahui a + b = 30° dan sina · cos b =
1
3
.
Nilai tana · cotb = .....
(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe D)
A.
1
6
D.
5
6
B.
1
2
E. 2
C.
2
3
Penyelesaian:
a + b = 30o
sin (a + b) = sin 30o
 sin a . cos b + cos a . sin b =
1
2

1
3
+ cos a . sin b =
1
2
 cos a . sin b =
1
2
–
1
3
=
−3 2
6
=
1
6
tan a . cos b =
α ⋅ β
α ⋅ β
sin cos
cos sin
=
1
3
1
6
= 2
Jawaban : E
12. Pada 0 ≤ x ≤ 2π , himpunan penyelesaian
persamaan 2 cos x + 2 sin x - 6 = 0 adalah ....
(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe F)
A.
 
π π 
 
1 5
,
12 12
D.
 
π π 
 
1 5
,
6 6
B.
 
π π 
 
1 7
,
12 12
E.
 
π π 
 
1 7
,
6 6
C.
 
π π 
 
5 11
,
12 12
Penyelesaian:
2 cos x + 2 sin x – 6 = 0
2 cos x + 2 sin x = 6
ruas kiri:
k = +2 2
2 2 = 2 2
tan q = 1 ( kuadran 1 )
q = 45°

29. 29
⇔ − ° =
− ° = = °
2 2 cos ( 45) 6
1
cos ( 45) 3 cos 30
2
x
x
− ° = ° + −45 30 360x n
n = 75° + n – 360
n = 75° = π
5
12
x – 45° = –30° + n – 360
n = 15° + n – 360
n = 15°
= π
1
12
HP =
 
π π 
 
1 5
,
12 12
Jawaban: A
LATIHAN SOAL
1. Diketahui cos A = 0,8 dan sin B = 0,96.
Jika sudut A lancip dan sudut B tumpul maka
cos (A + B) = ….
A. 0,80 D. -0,60
B. 0,60 E. -0,80
C. -0,28
2. Nilai sin 105° + cos 15° = ….
A.
1
2
6 2− −( ) D. 1
2
3 2+( )
B.
1
2
3 2−( ) E. 1
2
6 2+( )
C.
1
2
6 2−( )
3. Nilai dari
cos50°+cos40°
sin50°+sin40°
adalah ....
a. 1 D. –
1
2
2
B.
1
2
2
E. -1
C. 0
4. Nilai sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° sama
dengan ….
A.
1
2
D.
1
6
2
B.
1
2
2
E.
1
3
2
C.
1
4
2
5. Diketahui cos (x – y)=
4
5
dan sin x sin y =
3
10
.
Nilai tan x tan y = ....
A. –
5
3
D.
3
5
B. –
4
3
E.
5
3
C. –
3
5
6. Bentuk sederhana 4 sin 36° cos 72° sin 108°
adalah ….
A. 1 – cos 72° D. 1 + cos 72°
B. 1 + cos 36° E. 2 cos 72°
C. 1 – cos 36°
7. Koordinat kartesius dari (12, 2340°) adalah ....
A. (-12, 0) D. ( 2, 0)
B. (-12, 2) E. (4, 2)
C. (-2, 0)
8. Koordinat kutub dari (–12,12 3 ) adalah ….
a. (12, 120°) D. (12, 150°)
B. (24, 120°) E. (24, 150°)
C. (12, 150°)
9. Diketahui segitiga ABC dengan sudut A sebesar
45°, panjang AB = 7 cm, dan panjang AC = 12
cm. Luas segitiga ABC adalah ....
A. 21 2 cm2
B. 21 cm2
C. 24 2 cm2
D. 24 cm2
E. 27 cm2
10. Jika cot α = −
5
12
, dengan α sudut tumpul, maka
nilai dari sin α sec α = ....
A. –
12
7
D.
12
5
B.
12
7
E.
12
9
C. –
12
5

30. 30
DIMENSI TIGA
B A B
VI
Jarak Titik pada GarisA.
Titik C’ merupakan proyeksi C pada AB (CC’  AB).
Jarak titik C ke garis AB adalah CC’.
Cara menghitung CC’ :
1. Jika ΔABC siku-siku di C, maka '
AC BC
CC
AB
×
= .
2. Jika ΔABC tidak siku-siku, maka lebih dahulu
mencari AC’.
 Jika AC = BC, maka
1
'
2
AC AB=
 Jika AC ≠ BC, maka
2 2 2
'
2
AB AC BC
AC
AB
+ −
=
Selanjutnya: 2 2
' ( ) ( ')CC AC AC= −
Jarak Titik pada BidangB.
Jarak antara titik P dan
bidang adalah panjang ruas
garis PP’ dengan titik P’
merupakan proyeksi titik P
pada bidang.
Jarak Antara Dua Garis SejajarC.
Menentukan jarak dua
garis sejajar adalah dengan
membuat garis yang tegak
lurus dengan keduanya.
Jarak kedua titik potong
merupakan jarak kedua
garis tersebut.
P
P’
a
p
p’
m n
Jarak Garis pada Bidang SejajarD.
Menentukan jarak garis
dan bidang adalah dengan
memproyeksikan garis
pada bidang. Jarak antara
garis dan bayangannya
merupakan jarak garis
terhadap bidang.
Jarak Antar Titik Sudut pada KubusE.
Kubus ABCD.EFGH
dengan rusuk x.
Diagonal sisi 2AC x=
Diagonal ruang 3CE x=
Ruas garis 6
2
x
EP =
Sudut Garis pada BidangF.
Jika A terletak pada bidang b dan B’ merupakan
proyeksi titik B pada bidang b, maka:
(AB, b) = (AB, AB’).
DAB’B siku-siku di B’ sehingga sudut a dapat dihitung
dengan:
' ' '
sin ; cos ; tan
'
BB AB BB
AB AB AB
α = α = α =
g
g’
P
P’
a
A B
CD
P
FE
H G
x
A B
C
C’
A
B
B’a
b

31. 31
Sudut Dua BidangG.
Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk
oleh dua garis yang tegak lurus garis potong pada
bidang a dan b.
 (ABCD, ADEF) = (XY, YZ) = 
 Jika XYZ tidak siku-siku, maka sudut  dapat dih -
tung dengan menggunakan rumus aturan cosinus :
y2
= x2
+ z2
– 2xz cos q
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Pada kubus PQRS. TUVW dengan panjang rusuk
a satuan, terdapat bola luar dinyatakan B1 dan
bola dalam dinyatakan B2. Perbandingan volume
bola B1 dan bola B2 adalah ....
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe A)
A. 3 3 :1 D. 3 : 1
B. 2
3 :1 E. 2 : 1
C. 3 :1
Penyelesaian:
B r a1 1
1
2
3⇒ = (jari-jaribola luarsam a
dengan setengah diagonalruang)
⇒ =
⇒
v a
B r
1
3
2 2
4
3
1
2
3( )
==
1
2
a jari-jaribola dalam sam a
de
(
nngan setengah rusuk)
( )
: . . :
⇒ =
=
v a
v v a
2
3
1 2
3 3
4
3
1
2
4
3
1
2
3
4
3
..
:
1
8
3 3 1
3
a
=
Jawaban : A
2. Diketauhi kubus ABCD. EFGH dengan panjang
rusuk 3 cm dan titik T pada AD dengan panjang
AT = 1 cm. Jarak A pada BT adalah ….
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe A)
A. 1
2
cm D. 1 cm
B.
1
3
3
cm E.
2
3
3
cm
C. 1
3
2
cm
Penyelesaian:
Jarak A ke BT = AP
BT = 3 1 2+ =
BT. AP = AB. AT
2. AP = 3 .1
AP =
1
3
2
Jawaban : C
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH. dari pernyataan
berikut:
1) AH dan BE berpotongan
2) AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD
3) DF tegak lurus bidang ACH
4) AG dan DF bersilangan
Pernyatan yang benar adalah nomor ....
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe C)
A. (1) dan (2) saja D. (1) dan (3) saja
B. (2) dan (3) saja E. (2) dan (4) saja
C. (3) dan (4) saja
Penyelesaian:
Perhatikan gambar.
Maka diperoleh:
• AH dan BE
bersilangan
® (1) SALAH
• Proyeksi titik H
pada bidang ABCD
adalah D berarti
AD = proyeksi AH bidang ABCD
® (2) BENAR
• DF  HO berarti DF tegak lurus bidang ACH
® (3) BENAR
• AG dan DF adalah
diagonal ruang yang
berarti berpotongan
® (4) SALAH
Jadi, (2) dan (3) BENAR
Jawaban: B
Z
V

32. 32
4. Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan
panjang rusuk 8 cm. Cosinus sudut antara bidang
ABC dan bidang ABD adalah ....
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe A)
A.
1
3
C.
1
3
3
E.
1
3
2
B.
1
2
D.
2
3
Penyelesaian:
Perhatikan gambar.
Bidang beraturan berarti:
OD = OC
= 2 2
8 4 4 3− =
Sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah
COD = a berarti berlaku:
CD2
= OD2
+ OC2
– 2OD.OC cos a
82
= (4 3 )2
+ (4 3 )2
− (4 3 ) (4 3 ) cos a
64 = 48 + 48 – 96 cos a
Cos a =
32 1
96 3
=
Jawaban: A
5. Sebidang sawah yang terletak
di pinggir jalan seperti pada
gambar di samping. Jika luas
ACD = 480 3 m2
dan ACB
= 60o
, luas petak sawah ABCD
adalah ….
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe C)
A. 540 3 m2
D. 640 3 m2
B. 620 3 m2
E. 740 3 m2
C. 630 3 m2
Penyelesaian:
 A C B = 60°
A C D = 480 3
1
2
∙ 32 ∙ 60 sin ADC = 480 3
sin ADC =
1
2
3
sin ADC = 60°
cos ADC =
1
2
AC 2
= 32 2
+ 60 2
- 2 ∙ 32 ∙ 60 ∙
1
2
= 2704
AC = 56
Luas ABC =
1
2
∙ 20 ∙ 56 ∙
1
2
3 = 260 3
Jadi, Luas ABCD = 260 3 + 480 3 = 740 3
Jawaban: E
A
B
C
D20 cm 30 cm
sawah
Jl. Pantura
60cm
A
B
C
D20 cm 30 cm
sawah
60cm
LATIHAN SOAL
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10
cm. Jarak titik C ke bidang BDG adalah ....
A. 20
3
3 cm D. 7
3
3 cm
B. 10
3
3 cm E. 5
3
3 cm
C. 8
3
3 cm
2. Jika panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 3
cm, maka jarak G ke diagonal BH = ....
A. 2 cm D. 6 cm
B. 3 cm E. 10 cm
C. 5 cm
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang
rusuk 12 cm. P adalah titik tengah rusuk AB. Jarak
titik P ke garis HC adalah ….
A. 5 2 cm D. 11 2 cm
B. 7 2 cm E. 13 2 cm
C. 9 2 cm
4. Diketahui panjang rusuk bidang empat beraturan
adalah 9 cm. Jarak antara titik puncak dan bidang
alas adalah ….
A. 6 cm D. 4 6 cm
B. 2 6 cm E. 5 6 cm
C. 3 6 cm
4. Pada limas segiempat beraturan T. ABCD yang
semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA
dan bidang ABCD adalah ….
A. 30° D. 90°
B. 45° E. 120°
C. 60°
5. Jarak titik A ke bidang alas BCD pada bidang
empat beraturan A.BCD dengan p satuan adalah
....

33. 33
9. Diketahui limas segi empat T.ABCD dengan
rusuk-rusuk tegak 15 cm, bidang alasnya ABCD
berbentuk persegi panjang dengan AB = 10
cm dan BC = 12 cm. Jika a adalah sudut antara
bidang TAB dan bidang alas ABCD, maka sin a
= ....
A.
1
82
5
D.
1
82
10
B.
1
82
6
E.
1
82
12
C.
1
82
8
10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang
rusuk 16 cm. Titik P pada perpanjangan CG,
sehingga CG = GP. Jika sudut antara PC dan
bidang BDP adalah a, maka tan a = ....
A.
1
2 cm
2
D.
1
2 cm
5
B.
1
2 cm
3
E.
1
2 cm
6
C.
1
2 cm
4
A. 6 satuan
2
p
D. 6 satuan
5
p
B. 6 satuan
3
p
E. 6 satuan
6
p
C. 6 satuan
4
p
6. Diketahui kubus ABCDEFGH. Sudut antara
bidang ABCD dan bidang ACF adalah a, maka
cos a adalah ….
A.
1
3
2
D.
1
3
5
B.
1
3
3
E.
1
3
6
C.
1
3
4
7. Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya 6 cm.
Sudut antara garis BG dengan ACGE = ....
A. 30° D. 90°
B. 45° E. 120°
C. 60°
8. Bidang empat T.ABC mempunyai alas segitiga
siku-siku ABC dengan AB = AC, TA = 4 3 cm
dan tegak lurus pada alas. Jika BC = 8, maka
sudut antara bidang TBC dan bidang alas adalah
....
A. 30° D. 90°
B. 45° E. 120°
C. 60°

34. 34
UKURAN PEMUSATAN DATA
Rataan Hitung Data BerkelompokA.
Rumus Umum 
=
=
=
∑
∑
1
1
k
i i
i
k
i
i
f x
x
f
Menghitung Rataan Dengan Rataan Sementara

 
= + = +   
 
∑ ∑
∑ ∑
atau
i i i i
s s
i i
f d f u
x x x x c
f f
Modus, Kuartil, Desil, dan Persentil
Data Berkelompok
B.
Modus 
δ 
= +  δ + δ 
1
1 2
Mo L c
Kuartil Bawah 
 
− 
= +  
 
 
1 1
1
1
4 kn f
Q L c
f
Kuartil Tengah 
 
− 
= +  
 
 
2 2
2
1
2 kn f
Q L c
f
Kuartil Atas 
 
− 
= +  
 
 
3 3
3
3
4 kn f
Q L c
f
Desil 
 
− 
= +  
 
 
10 k
i i
i
i
n f
D L c
f
Persentil 
 
− 
= +  
 
 
100 k
i i
i
i
n f
P L c
f
UKURAN PENYEBARAN DATA
Jangkauan, Jangkauan Antar-Kuartil,
Simpangan Kuartil
A.
Jangkauan  J = xmaks – xmin
Jangkauan Antar-Kuartil  H = Q3 – Q1
Simpangan Kuartil  Qd =
1
2
H
=
1
2
(Q3 – Q1)
STATISTIKA
B A B
VII

35. 35
Simpangan Rata-Rata, Ragam
dan Simpangan Baku
B.
Simpangan Rata-rata 
=
= −∑1
1
| |
r
i i
i
SR f x x
n
Ragam 
=
= −∑2 2
1
1
( )
r
i i
i
S f x x
n
atau = =
 
 
 = −
 
 
 
∑ ∑
2
2
2 1 1
r r
i i i i
i i
f d f d
S
n n
atau = =
  
    = − 
  
    
∑ ∑
2
2
2 21 1
.
r r
i i i i
i i
f u f u
S c
n n
Simpangan Baku  = 2
S S
PERUBAHAN DATA
Jenis Data
Jika setiap data di
(+, –) dengan n
Jika setiap data di
(×, :) dengan n
Ukuran Pemusatan
Data
(Tendensi Sentral)
x, M0, Me, Qi
Ukuran mula-mula
di (+, –) dengan n
Ukuran mula-mula
di (×, :) dengan n
Ukuran Penyebaran
J, SR, S, Qd
Ukuran mula-mula
T E T A P
Ukuran mula-mula
di (×, :) dengan n
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Nilai rataan dari data pada diagram adalah ….
(Soal UN Tahun 2004/2005)
A. 23
B. 25
C. 26
D. 28
E. 30
Penyelesaian:
x5 = 28, c = 5
fi Ui fi·Ui
5 -3 -15
6 -2 -12
12 -1 -12
18 0 0
9 1 9
S = 50 S = –30
5
.
( )
fi ui
x x c
fi
Σ
= +
Σ
= 28 +
30
5
50
− 
 
 
= 25
Jawaban: B
2. Perhatikan gambar berikut!
Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan
dengan histogram seperti pada gambar. Rataan
berat badan tersebut adalah ....
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe A)
A. 64,5 kg C. 65,5 kg E. 66,5 kg
B. 65 kg D. 66 kg
Penyelesaian:
Dari histogram dapat dihitung rataan berat badan
dengan bantuan tabel berikut.
Misalnya, rata-rata sementara x = 67.
xi f x − xs F(x – xs)
52 4 −15 −60
57 6 −10 −60
62 8 −5 −40
67 10 0 0
72 8 5 40
77 4 10 40
40 −80
Jadi, rataan berat badan sebesar
x x
fx xs
fs= +
−
= +
−Σ
Σ
( )
67
80
40
= 65 kg
Jawaban: D

36. 36
3. Nilai ujian Bahasa Indonesia disajikan seperti
pada diagram berikut. Median dari data tersebut
adalah ….
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe A)
A. 59,75 D. 57,75
B. 58,33 E. 57,25
C. 58,13
Penyelesaian:
Me = 55,5 +
60 43
30
− 
 
 
5
= 58,33
Jawaban: B
4. Perhatikan data berikut!
Berat badan Frekuensi
50 – 54 4
55 – 59 6
60 – 64 8
65 – 69 10
70 – 74 8
75 – 79 4
Kuartil atas dari data pada tabel adalah . . . . (Soal
UN Tahun 2007 tipe A)
A. 69,50 D. 70,75
B. 70,00 E. 71,00
C. 70,50
Penyelesaian:
Tabel Data
Berat Badan Frekuensi
50 – 54 4
55 – 59 6
60 - 64 8
65 – 69 10
70 – 74 8
75 – 79 4
Kuartil atas = Q3( data) (3
4
data)
30
25
20
17
14
9
5
40,5 45,5 50,5 55,5 60,5 65,5 70,5 75,5
f
Nilai
Kelas Q3 adalah 70 – 74
Berarti:
bm = 69,5
n = 40
fkk = 28
fQ3 = 8
c = (74 – 70) + 1 = 5
Maka:
Q3 = bm +
3
4
3
−








f
f
kk
Q
· c
= 69,5 +
30 28
8
−




 ∙5 = 70,75
Jawaban: D
5. Nilai rata-rata ulangan dari 20 anak adalah 75,25.
Setelah digabung dengan 4 anak yang mengikuti
perbaikan rata-ratanya menjadi 74,75. Nilai rata-
rata 4 anak yang mengikuti perbaikan adalah ....
(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe B)
A. 72 D. 73,25
B. 72,25 E. 73,5
C. 72,75
20 75,25
74,75
24
x∑ + ⋅
=
S x = 1794 – 1505
S x = 289
Jadi, rata-rata 4 anak yang mengikuti perbaikan
=
289
4
= 72,25
Jawaban: B
LATIHAN SOAL
1. Median dari data umur pada tabel di bawah ada­
lah ....
Umur f
4 – 7 6
8 – 11 10
12 – 15 18
16 – 19 40
20 – 23 16
24 – 27 10
A. 16,5 D. 17,5
B. 17,1 E. 18,3
C. 17,3

37. 37
2. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 38 siswa
adalah 74. Jika nilai Rahma dan Aulia digabungkan
dengan kelompok tersebut, maka nilai rata-ratanya
menjadi 75. Nilai rata-rata Rahma dan Aulia
adalah ....
A. 92 D. 98
B. 94 E. 100
C. 96
3. Rata–rata hitung tinggi badan sembilan orang
siswa adalah 155 cm. Jika ditambah seorang siswa
baru maka rata–rata hitung tinggi badan menjadi
156 cm. Tinggi badan siswa baru itu adalah ….
A. 160 cm D. 175 cm
B. 165 cm E. 180 cm
C. 170 cm
4. Nilai rata-rata ulangan matematika dari suatu kelas
adalah 6,9. Jika dua siswa baru yang nilainya 4 dan
6 digabungkan, maka nilai rata-rata kelas tersebut
menjadi 6,8. Banyaknya siswa semula adalah . . .
.
A. 16 D. 40
B. 20 E. 50
C. 36
5. Suatu data dengan rata-rata 16 dan jangkauan 6.
Jika setiap nilai dalam data dikalikan m kemudian
dikurangi n didapat data baru dengan rata-rata 20
dan jangkauan 9. Nilai dari 10m – 3n = ....
A. 2 D. 5
B. 3 E. 6
C. 4
6. Nilai rata-rata ulangan kelas A adalah dan kelas B
adalah. Setelah kedua kelas digabung nilai rata-
ratanya adalah . Jika : = 10 : 9 dan : = 85 : 81,
maka perbandingan banyaknya siswa di kelas A
dan B adalah . . . .
A.
1
5
D.
4
5
B.
2
5
E.
2
7
C.
3
5
7. Nilai rata-rata dari 20 bilangan adalah 14,2. Jika
rata-rata dari 12 bilangan pertama adalah 12,6
dan rata-rata dari 6 bilangan berikutnya adalah
18,2 maka rata-rata dari 2 bilangan terakhir adalah
....
A. 10,8 D. 13,8
B. 11,8 E. 14,8
C. 12,8
8. Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata
kelas adalah 58. Jika rata-rata nilai matematika
untuk siswa prianya adalah 65 sedang untuk siswa
wanita rata-ratanya 54, maka perbandingan jumlah
siswa pria dan wanita pada kelas itu adalah ….
A. 1 : 2 D. 4 : 5
B. 2 : 5 E. 4 : 7
C. 3 : 4
9. Peserta ujian matematika terdiri dari 40 orang
siswa kelas A, 30 orang siswa kelas B, dan 30
orang siswa kelas C. Nilai rata-rata seluruh siswa
7,2 , nilai rata-rata kelas B dan C adalah 7,0. Maka
nilai rata-rata kelas A adalah . . . .
A. 8 D. 9,5
B. 8,5 E. 10
C. 9
10. Perhatikan data berikut!
No Berat Badan Frekuensi
1 50 – 54 4
2 55 – 59 6
3 60 – 64 8
4 65 – 69 10
5 70 – 74 8
6 75 – 79 4
Kuartil atas dari data pada tabel adalah ....
A. 60,5 D. 70,75
B. 60,75 E. 75,5
C. 70,5

38. 38
PELUANG
B A B
VIII
Binomial NewtonE.
 Dalam menguraikan bentuk (a + b)2
, (a + b)3
,
(a + b)4
, ... , (a + b)n
biasanyamenggunakan bantuan
koefisien yang dihasilkan dari segitiga Pascal.
 Penjabaran bentuk (a + b)n
bisa juga dilakukan
oleh rumus Bimomial Newton sebagai berikut:
( )−
=
+ = ⋅ ⋅∑0
( )
n
n kn k
k
n
a b C a b
k
, dengan n ∈ bilangan
asli.
 Suku ke-p dari (a + b)n
adalah
( ) ( ) ( )− + − −− −
−= α ⋅β ⋅ ⋅ ⋅1 1 1( 1)
1
n p p pn n p
p pU C a b
Peluang kejadianF.
 Ruang sampel (S)
Ruang sampel (S) adalah himpunan seluruh kejadian
yang mungkin muncul pada suatu percobaan. Suatu
kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang
sampel S. Jika suatu kejadian A dapat terjadi dalam
K cara dari seluruh S cara yang mungkin, peluang
(probabilitas) kejadian A dapat dirumuskan sebagai
berikut:
( ) =
( )
( )
n K
p A
N S
, dengan 0  K  S,
sehingga 0  p(A) 1 .
 Frekuensi Harapan suatu kejadian
Jika peluang kejadian A adalah p(A), frekuensi
harapan 0  K  S A dalam c kali percobaan
dirumuskan sebagai berikut :
Fh = c · p(A)
 Macam-macam kejadian
 Kejadian lepas, yaitu kejadian A dan 0  K  S
B yang saling lepas (saling asing), atau kejadian
dengan A ∩ B = 0,
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
Aturan Pengisian TempatA.
Suatu kejadian pertama dapat terjadi dalam a cara, ke-
jadian kedua dapat terjadi dalam b cara, kejadian ke-
tiga dapat terjadi dalam c cara, dan seterusnya sampai
kejadian terakhir dalam z cara, maka kejadian dalam
urutan demikian jika digabung dapat terjadi dalam:
a × b × c × … × z
FaktorialB.
Faktorial dilambangkan dengan tanda seru ( ! ).
n !  dibaca: n faktorial
n ! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
PermutasiC.
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang
berbeda adalah banyak cara menempatkan r unsur
tersebut dalam suatu urutan (urutan diperhatikan).
=
−
!
( )!n r
n
P
n r
; n  r
Permutasi n unsur ada unsur-unsur sama dan tiap jenis
yang sama terdiri dari n1, n2, n3, ..., nk, maka permutasi
adalah: =
1 2 3
!
! ! ! ... !k
n
P
n n n n
KombinasiD.
Kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang
berbeda adalah banyaknya susunan yang terdiri r
unsur tanpa memperlihatkan urutannya.
=
−
!
! ( )!n r
n
C
r n r
; n  r

39. 39
 Kejadian bebas, kejadian A dan B disebut dua
kejadian yang saling bebas jika terjadi atau tidak
terjadinya A tidak memengaruhi terjadi atau
tidak terjadinya B.
p(A ∩ B) = p(A) · p(B)
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
 Kejadian tak bebas (bersyarat). Dua buah kej -
dian dikatakan tidak bebas, jika terjadinya salah
satu dari kejadian itu ataupun tidak terjadinya
akan memengaruhi kejadian lain.
P(B/A) : baca nilai kemungkinan terjadinya B
setelah terjadinya A.
P(A/B) : baca nilai kemungkinan terjadinya A
setelah terjadinya B.
p(A ∩ B) = p(A) · p(B/A)
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Seorang anak melempar tiga mata uang sekaligus
sebanyak satu kali. Bila A merupakan kejadian
munculnya angka paling sedikit satu kali, maka
p (A) = ....
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe B)
A.
3
8
C.
5
8
E.
7
8
B.
4
8
D.
6
8
Penyelesaian:
S = {AAA, AAG, GAA, AGG, GAG, GGA,
GGG}
n(S) = 8
A’
= {G, G, G}
P(A) = 1 – P(A1
)
=
1 7
1
8 8
− =
Jawaban: e
2. Masing-masing kotak A dan B berisi 12 buah
lampu pijar. Setelah diperiksa, ternyata pada
kotak A terdapat 2 lampu rusak dan pada kotak
B terdapat 1 lampu rusak. Dari masing-masing
kotak di ambil 1 lampu pijar secara acak. Peluang
terambilnya sebuah lampu pijar rusak adalah ....
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe B)
A.
2
144
C.
18
144
E.
48
144
B.
3
144
D.
32
144
Penyelesaian:
Kotak A Kotak B
10 baik
2 rusak
11 baik
1 rusak
Diambil 1 lampu Diambil 1 lampu
P(1 baik, 1 rusak) =
10
12
1
12
2
12
11
12
10 22
144
32
144
⋅ + ⋅
=
+
=
Jawaban: d
3. Peluang dua siswa A dan B lulus tes berturut-turut
adalah
9
10
dan
11
12
. Peluang siswa A lulus tes
tetapi B tidak lulus, adalah ....
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe C)
A.
9
120
C.
22
120
E.
109
120
B.
11
120
D.
99
120
Penyelesaian:
P(A) =
9
10
(peluang A lulus)
P(B) =
11
12
(peluang B lulus);
P(B’) =
1
12
(peluang B tidak lulus)
Peluang A lulus dan B tidak lulus
= P(A  B’) = P(A) . P(B’)
=
9
10
.
1
12
=
9
120
Jawaban: a
4. Di sebuah kelas di SMA SOULMATE, terdiri atas
30 orang siswa. Pada kelas tersebut akan di pilih
3 orang sebagai pengurus kelas yang menjabat
sebagai ketua kelas, wakil ketua, dan sekretaris.
Banyaknya cara memilih yang mungkin terjadi
adalah …. (UN Tahun 2008/2009)
A. 12.260 C. 36.240 E. 52.360
B. 24.360 D. 42.380
Penyelesaian:
n = 30 siswa
r = 3
Pemilihan ketua, wakil ketua, dan sekretaris dapat
dipilih beberapa kali dengan siswa yang

40. 40
LATIHAN SOAL
2. Dari angka 3, 5, 6, 7 dan 9 dibuat bilangan yang
terdiri atas tiga angka yang berbeda. Diantara
bilangan-bilangan tersebut yang kurang dari 400,
banyaknya adalah ....
A. 6 cara d. 24 cara
B. 12 cara e. 30 cara
C. 18 cara
3. Nilai n dari nP3 = 8. nC4 adalah ....
A. 3 D. 12
B. 6 E. 15
C. 9
4. Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 7 soal
ulangan, tapi soal nomor 1 dan 2 harus dikerjakan.
Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid
tersebut adalah ....
A. 5 D. 20
B. 10 E. 25
C. 15
5. Dari sekelompok remaja terdiri atas 8 pria dan
12 wanita, dipilih 3 pria dan 8 wanita, maka
banyaknya cara pemilihan adalah ....
A. 27.720 D. 30.720
B. 28.720 E. 31.720
C. 29.720
6. Di suatu perkumpulan akan dipilih perwakilan
yang terdiri dari 5 calon. Calon yang tersedia
terdiri dari 8 pria dan 7 wanita. Banyaknya
susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika
sekurang-kurangnya terpilih 4 pria adalah ....
A. 1.500 D. 1.856
B. 1.612 E. 1.950
C. 1.722
7. Dari 7 orang calon pelajar teladan di suatu daerah
akan dipilih 3 orang pelajar teladan I,II, dan III.
Banyak cara susunan pelajar yang mungkin akan
terpilih sebagai teladan I, II, dan III adalah ....
A. 21 D. 210
B. 30 E. 350
C. 150
8. Dalam suatu ruang tunggu tersedia hanya 3 kursi,
bila di ruang tunggu tersebut ada 20 orang maka
banyak cara mereka duduk berdampingan adalah
....
A. 60 D. 6.840
B. 760 E. 8.500
C. 2.480
sama, tetapi dengan urutan yang berbeda. Berarti,
pemilihan ini memerhatikan urutan sehingga
dapat diselesaikan dengan permutasi.
Cara = 30P3
=
30 30.29.28.27!
(30 3)! 27!
=
−
= 30. 29 .28 = 24.360 cara
Jawaban: b
5. Dua dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang
muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu
kedua 5 adalah ….
(UN TAHUN 2003/2004)
A.
1
36
C.
7
36
E.
11
36
B.
5
36
D.
9
36
Penyelesaian:
Muncul mata dadu pertama : 3
A = {(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),}
n(A) = 6
Peluang (A) =
6 1
36 6
=
Muncul mata dadu kedua: 5
B = {(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5)}
n(B) = 6
Peluang n(B) =
6 1
36 6
=
Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata
dadu kedua 5 adalah :
1 1 1
( )
6 6 36
P A B∩ = ⋅ =
Jawaban: A
1. Lilis mempunyai 6 celana, 9 baju, 2 dasi dan
10 pasang sepatu. Tentukan banyaknya stelan
baju, celana, dasi dan sepatu yang berbeda yang
dipunyai Lilis!
A. 54 cara D. 540 cara
B. 60 cara E. 1.080 cara
C. 90 cara

41. 41
9. Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning.
Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning.
Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola
secara acak. Peluang terambilnya kedua bola
berwarna sama adalah ....
A.
7
16
D.
10
16
B.
8
16
E.
11
16
C.
9
16
10. Suatu kelas terdiri atas 40 siswa, 25 siswa gemar
matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9 siswa
gemar matematika dan IPA. Peluang seorang tidak
gemar matematika maupun IPA adalah ....
A.
3
40
D.
6
40
B.
4
40
E.
8
40
C.
5
40

42. 42
FUNGSI KOMPOSISI
DAN INVERS
B A B
IX
Pengertian Relasi dan FungsiA.
1. Produk Cartesius
Jika terdapat himpunan P dan Q yang tidak kosong,
produk cartesius dari himpunan P dan Q adalah
himpunan pasangan terurut (x, y) dengan x ∈ P, y ∈ Q,
ditulis sebagai berikut:
P × Q = {(x, y)  x ∈ P dan y ∈ Q}
2. Relasi
Relasi atau hubungan R dari himpunan P ke himpunan
Q adalah sembarang himpunan bagian dari produk
cartesius P × Q dengan x ∈ P, y ∈ Q, ditulis sebagai
berikut :
R = {(x, y)  x ∈ P dan y ∈ Q}
3. Fungsi
Suatu fungsi f atau pemetaan
f dari himpunan P ke him-
punan Q adalah suatu relasi
khusus yang memetakan se-
tiap elemen dari P (domain)
dengan tepat satu elemen dari
Q (kodomain).
Jika f memetakan suatu elemen x ∈ P ke suatu elemen
y ∈ Q, fungsi f dari P ke Q dapat ditulis y = f(x) dengan
x sebagai peubah bebas dan y sebagai peubah terikat.
Daerah asal (domain atau Df) fungsi y = f(x) adalah
nilai-nilai x supaya y = f(x) ada nilainya (terdefinisi).
Syarat agar suatu fungsi terdefinisi :
*
*
* log
y f x f x
y
f x
g x
g x
y g xf x
= ( ) → ( ) ≥
=
( )
( )
→ ( ) ≠
= ( ) →( )
syarat
syara
0
0
tt
dan
g x
f x f x
( )
( ) ( ) ≠
0
0 1,
Daerah hasil (range atau Rf) fungsi y = f(x) adalah nilai-
nilai y yang dipengaruhi oleh domain fungsi.
Menentukan daerah hasil dari fungsi kuadrat y = f(x)
= ax2
+ bx + c sebagai berikut:
 Untuk Df = {xx ∈ R}
 Jika a 0, daerah hasilnya Rf = {yy  ye, y ∈ R}
 Jika a 0, daerah hasilnya Rf = {yy  ye, y ∈ R}
dengan
 −
= −  
 
2
4
4e
b ac
y
a
 Untuk Df = {xp  x  q, x ∈ R}
 Jika absis titik puncaknya
 
= − 
 2e
b
x
a di dalam
interval domain, tentukan f(xe), f(p), dan f(q),
sehingga: Rf = {yfmin  y  fmaks , y∈ R}
 Jika absis titik puncaknya (xe) di luar interval
domain, tentukan f(p), dan f(q), sehingga:
Rf = {yfmin  y  fmaks , y∈ R}.
Sifat-sifat FungsiB.
* Fungsi dari himpunan P ke Q
disebut satu-satu (one-one/injektif)
jika setiap elemen dari P hanya
mempunyai satu peta di Q dan
tidak harus semua elemen dari Q
terpetakan dari P.
* Fungsi dari himpunan P ke
himpunan Q disebut pada (onto/
surjektif) jika setiap elemen dari
himpunan Q habis terpetakan
(mempunyai minimal satu pasangan
dengan elemen himpunan P).
* Fungsi dari himpunan P ke
himpunan Q disebut korespondensi
satu-satu (one-one onto/bijektif) jika
fungsi itu injektif dan onto.

43. 43
Aljabar FungsiC.
Jika f dan g adalah dua fungsi yang diketahui, maka
fungsi yang merupakan jumlah, selisih, hasil kali, dan
hasil bagi kedua fungsi tersebut masing-masing sebagai
berikut :
* ,
*
f g x f x g x
D D D
f g x f x g
f g f g
+( )( ) = ( ) + ( )
= ∩
−( )( ) = ( ) −
+( )dengan
xx
D D D
f g x f x g x
f g f g
( )
= ∩
( )( ) = ( ) ( )
−( )
,
* . . ,
dengan
dengann
dengan
D D D
f
g
x
f x
g x
D D
f g f g
f
g
.
* ,
( )






= ∩





( )=
( )
( )
= ff gD g x∩ ( ) ≠dan 0
Komposisi FungsiD.
 Jika fungsi f: A  B dan fungsi g: B  C,
fungsi h: A  C disebut sfungsi komposisi yang
ditentukan oleh rumus sebagai berikut:
h = gof = gof(x) = go{f(x)} = (gof)(x)
 Syarat agar fungsi g dan fungsi f dapat dikom­posi­
sikan menjadi (gof) sebagai berikut:
 Irisan antara daerah hasil fungsi dengan daerah
asal fungsi g bukan himpunan kosong.
(Rf ∩ Rg) ≠ 0
 Daerah asal fungsi komposisi (gof) adalah him­
punan bagian dari daerah asal fungsi f.
( )o fg f
D D⊆
 Daerah hasil fungsi komposisi (gof) adalah
himpunan bagian dari daerah hasil fungsi g.
( )o fg f
R R⊆
 Sifat fungsi komposisi: tidak komutatif
gof(x) ≠ fog(x).
Fungsi InversE.
 Tidak semua fungsi invers merupakan fungsi invers
dan invers fungsi yang merupakan fungsi disebut
fungsi invers.
 Suatu fungsi f : A  B mempunyai fungsi invers f-1
:
B  A jika semua elemen himpunan A dan elemen
himpunan B berkorespondensi satu-satu.
 Notasi fungsi invers adalah jika f(x) = y, f-1
(y) = x
atau y-1
= f-1
(x).
 Langkah menentukan fungsi invers dari y = f(x)
sebagai berikut:
 Mengubah fungsi y = f(x) dalam bentuk x
sebagai fungsi y.
 Mengganti y pada f-1
(y) dengan x untuk
mendapatkan f-1
(x).
 Sifat komposisi fungsi invers : f-1
o g-1
= (g o f)-1
Hubungan komposisi dan inversF.
Jika (g o f)(x) = h(x), maka:
1. h-1
(x) = (g o f)-1
(x) = (f-1
o g-1
)(x) = f-1
(g-1
(x))
2. (f o g)-1
(x) = (g-1
o f-1
)(x) = g-1
(f-1
(x))
3. g(x) = (h o f-1
)(x)
4. f(x) = (g-1
o h)(x)
Rumus-rumusG.
1. (f ± g) (x) = f(x) ± g(x)
2. (f × g) (x) = f(x) × g(x)
3.
( )
( )
( )
f xf
x
g xx
  = 
 
, dengan g(x) ≠ 0
4. fn
(x)= {f(x)}n
5. f(x)= axn
+ b ® f -1
(x)=
1
nx b
a
− 
 
 
6. f(x)=
n
ax b+ ® f -1
(x)=
n
x b
a
−
7. f(x)=
ax b
cx d
+
+
; ® f -1
(x)=
dx b
cx a
− +
−
; x ≠
a
c

44. 44
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Diketahuif : R ® R, g : R ® R dirumuskan oleh
f(x) = x2
– 4 dan g(x) = 2x – 6. Jika (f og)(x) = –4,
nilai x = ....
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe A)
A. –6 D. 3 atau –3
B. –3 E. 6 atau –6
C. 3
Penyelesaian:
f(x)=x2
– 4 dan g(x)=2x – 6
(f o g)(x) = f{g(x)}
-4 = f (2x – 6)
-4 = (2x – 6)2
– 4
-4 = 4x2
– 24x + 32
4x2
– 24x + 36 = 0
4(x – 3)2
= 0  x = 3
Jawaban: C
2. Diketahui fungsi f (x) =
5
3 2
x
x
+
−
; x ≠
2
3
, f-1
adalah
invers dari fungsi f dan f-1
(m + 1) = 1. Nilai 2m – 3
= ….
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe B)
A. 5 D. 11
B. 7 E. 15
C. 9
Penyelesaian:
f (x) =
5
3 2
x
x
+
−
,
f -1
( x ) =
2 5
3 1
x
x
+
−
f -1
( m + 1 ) =
2( 1) 5
1
3( 1) 1
m
m
+ +
=
+ −
1 =
2 7
1
3 2
m
m
+
=
+

2  m + 7 = 3 m + 2
m = 5
Jadi nilai 2m – 3 = 2 (5) – 3 = 7
Jawaban : B
3. Jika f(x) =
8
3 2
x
x
−
−
maka f(–1)
(1)= ….
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe C)
A. 11 D.
2
3
B. – 3 E. 11
C. – 7
Penyelesaian:
1
1
8
( )
3 2
2 8
( )
3 1
2(1) 8
( ) 4
3(1) 1
x
f x
x
x
f x
x
f x
−
−
−
=
−
−
=
−
−
= = −
−
Jawaban : B
4. Diketahui f(x – 2) =
1
2 3
x
x
+
−
maka f -1
(x + 1) = ….
(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe A)
A. 2
2 1
x
x
−
−
C. 2
2 1
x
x
−
+
E. 3 4
2 1
x
x
+
+
B. 4
2 1
x
x
−
−
D. 5 4
2 1
x
x
+
+
Penyelesaian:
f (x – 2) =
1
2 3
x
x
+
−
misal : x – 2 = p
x = p + 2
f (p) =
2 1
2 4 3
p
p
+ +
+ −
=
3
2 1
p
p
+
+
3
( )
2 1
x
f x
x
+
∴ =
+
1
1
3
( )
2 1
1 3 2
( 1)
2 2 1 2 1
x
f x
x
x x
f x
x x
−
−
− +
=
−
− − + −
+ = =
+ − +
Jawaban: C
5. Diketahui f(x) = x2
+ 4x – 5 dan g(x) = 2x – 1.
Hasil dari fungsi komposisi (g o f)(x) adalah ....
(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe C)
A. 2x2
+ 8x – 11 D. 2x2
+ 8x – 6
B. 2x2
+ 8x – 9 E. 2x2
+ 4x – 6
C. 2x2
+ 4x – 9
Penyelesaian:
f(x)=x2
+4x – 5
g(x)=2x – 1

45. 45
5. Fungsi f : R ® R dan g : R ® R dinyatakan oleh
f(x)=x+2 dan (g o f)(x)=2x2
– 4x – 4, maka g(3x):
….
A. 6x2
– 4x+12 D. 18x2
– 36x+20
B. 8x2
– 2x+16 E. 20x2
– 36x+25
C. 12x2
– 8x+18
6. Dari fungsi f dan g diketahui f(x) = 2x2
+ 3x – 5
dan g(x) = 3x – 2. Agar (gof) (a) = -11 maka nilai
a adalah …
A. 2 1
2
D. 1
2
B. 1 1
6
E. 1
6
C. 1
7. Diketahui fungsi f dan g yang dirumuskan oleh f(x)
= 2x – 4 dan (g o f) = 4x2
– 24x + 32. Rumus
fungsi g adalah g (x) = ....
A. x2
– 4x + 8 D. x2
+ 4x
B. x2
– 4x – 8 E. x2
– 4x
C. x2
+ 4x + 8
8. Diketahui f(x) =
2 1
3
x
x
+
−
, x ≠ 3. Jika f-1
adalah
invers fungsi f, maka f-1
(x-2)= ....
A.
1
, 2
2
x
x
x
+
≠
−
D.
3 5
, 4
4
x
x
x
−
≠
−
B.
2 3
, 5
5
x
x
x
−
≠
−
E.
2 1
, 3
3
x
x
x
−
≠
−
C.
2 2
, 1
1
x
x
x
−
≠ −
−
9. Fungsi f : R  R dan g : R  R dinyatakan oleh f(x)
= x + 2 dan (gof)(x) = 2x2
+ 4x + 1, maka g(2x)
= ....
A. 2x2
– 4x + 1 D. 8x2
+ 8x + 1
B. 2x2
– 12x + 1 E. 4x2
– 8x + 1
C. 8x2
– 8x + 1
10. Diketahui f(x) = x + 4, x∈ R dan
(g o f)(x) = x2
+ 4x + 3. nilai dari g(5) = . . . .
A. 8 D. 14
B. 10 E. 16
C. 12
LATIHAN SOAL
1. Jika f(x)=x3
+2 dan
2
( )
1
g x
x
=
−
, maka (g o f) (x)
adalah ….
A. 2(x3
+2)(x – 1) D. 3
2
( 1)x +
B.
3
2 ( 2)
( 1)
x
x
+
−
E. 3
2
( 1)x +
C.
3
2 ( 2)
( 1)
x
x
+
+
2. Jika invers fungsi f(x) adalah f–1
(x) =
2
3 1
x
x
−
−
, maka
f (5) = ….
A. -5 D.
3
7
−
B.
9
5
E. –1
C. 1
3. Jika f(x)=2x – 3 dan (g o f)(x)=2x+1, maka g(x)
….
A. x+4 D. x+7
B. 2x+3 E. 3x+2
C. 2x+5
4. Misalkan 2
2 1, untuk 0 1
( )
1, untuk yang lain
x x
f x
x x
− 

+
maka f (2) · f (-4)+f (1
2
) · f (3)= ….
A. 80 D. 95
B. 85 E. 100
C. 90
(g0f)(x) =g(f(x))
=g(x2
+4x – 5)
=2(x2
+4x – 5) – 1
=2x2
+8x – 11
Cara lain
Masukan x = 0  f(0) = 02
+ 4.0 – 5 = -5
Masukan x = -5  g(-5) = 2.(-5) – 1 = -11
Dengan memasukkan nilai x= 0, cari di pilihan
ganda yang persamaanya bernilai – 11, yaitu
2x2
+ 8x – 11
Jawaban: A

46. 46
SUKU BANYAK
B A B
X
Bentuk UmumA.
 Bentuk umum suku banyak (polinomial) dalam x
berderajat n sebagai berikut :
f(x) = an xn
+ an-1 xn-1
+ ... + a2 x2
+ a1 x1
+ a0
n anggota bilangan cacah dan an ≠ 0
 an, an-1, ..., a2, a1, a0 adalah konstanta yang masing-
masing merupakan koefisien dari xn
, xn-1
, ... , x2
, x1
, x0
.
 Derajat suatu suku banyak dalam x dinyatakan oleh
pangkat tertinggi (n) dalam suku banyak tersebut.
 Nilai suku banyak f(x) berderajat n pada saat x = h
adalah f(h).
Jika f(h) = 0  x = h akar dari f(x)
 (x – h) faktor dari f(x)
Pembagian Suku BanyakB.
Proses pembagian suku banyak bisa dilakukan dengan
cara sebagai berikut:
 Pembagian biasa
 Pembagian sintetik cara Horner
Contoh:
3x2
– 2x – 7 dibagi x – 3
Pembagian biasa
x – 3 3x2
– 2x – 7 3x+ 7
3x2
– 9x
–
7x – 7
7x – 21
–
14
 Jadi hasil pembagiannya 3x + 7 + 14/(x – 3)
Pembagian sintetik cara Horner
Susun dan tulis semua koefisien-koefisien persamaan
yang dibagi dan pembagi seperti berikut:
Tanda panah berarti dikali -3
14 adalah sisa hasil pembagian
hasil bagi adalah 3x + 7
 Jadi hasil pembagiannya adalah 3x + 7 + 14/(x – 3)
Teorema SisaC.
 Jika suatu suku banyak f(x) dibagi p(x), akan
menghasilkan hasil bagi h(x) dan sisa S(x) dapat
dirumuskan sebagai berikut.
f(x) = p(x) . H(x) + S(x)
 Jika suku banyak f(x) dibagi (x – h), sisanya dapat
dicari dari nilai f(h).
f(x) : (x – h)  S(x) = H(x) = c (konstanta)
f(x) : ax2
+ bx + c  S(x) = px + q
f(x) : ax3
+ bx2
+ cx + d  S(x) = px2
+ qx + r
dst..
Jika pembagi f(x) adalah p(x) berderajat n, sisa dari
S berderajat maksimal (n – 1).
 Jika sisa = f(h) = 0  x = h akar dari f(x)
 (x – h) faktor dari f(x)
Akar-akar Suku BanyakD.
 Nilai x yang memenuhi suku banyak f(x) = an xn
+
an-1 xn-1
+ . . . + a2 x2
+ a1 x1
+ a0 adalah akar-akar
suku banyak tersebut.
 Untuk mencari akar-akar suatu suku banyak
biasanya dilakukan dengan cara faktorisasi. Dalam
mempermudah proses faktorisasi, dapat dibantu
oleh sistem pembagian cara Horner.
 Hubungan akar-akar suku banyak sebagai berikut.
 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan
ax2
+ bx + c = 0, maka berlaku:
 1 2
b
x x
a
−
+ =
 1 2
c
x .x =
a
 Jika x1, x2, dan x3 akar persamaan
ax3
+ bx2
+ cx + d = 0, maka berlaku:
 1 2 3
b
x x x
a
−
+ + =
-3 3 -2 -7
-9 -21
3 7 14

47. 47
 1 2 3. .
d
x x x
a
= −
 1 2 1 3 2 3. . .
c
x x x x x x
a
+ + =
 Jika x1, x2, x3, dan x4 akar persamaan
ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx + e = 0, maka
berlaku:
 1 2 3 4
b
x x x x
a
−
+ + + =
 1 2 3 4. . .
e
x x x x
a
=
 1 2 3 2 3 4 1 2 4
1 3 4
. . . . . .
. .
x x x x x x x x x
d
x x x
a
+ +
+ = −
 1 2 1 3 1 4 2 3
2 4 3 4
. . . .
. .
x x x x x x x x
c
x x x x
a
+ + +
+ + = −
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Suku banyak f(x) dibagi (x – 1) sisanya 2, dibagi
(x – 2) sisanya 6. Bila f(x) dibagi (x – 1) (x – 2),
sisanya .…
(UN TAHUN 2003/2004)
A. 4x + 2
B. 4x – 2
C. 2x + 1
D. 2x - 1
E. 2x - 2
Penyelesaian:
f(x) = (x – 1)(x – 2).g(x) + ax + b
f(1) = 0 + a + b = 2 ……(×1)
f(2) = 0 + 2a + b = 6 …… (×2)
–
-a =-4 ® a = 4
Substitusi a pada (1):
a + b = 2 ® b = -2
Jadi, sisa pembaginya; S(x) = 4x – 2.
Jawaban: B
2. Sisa pembagian suku banyak x4
+ 5x2
– 3x + 7
oleh x2
– 5 adalah ....
(UN TAHUN 2004/2005)
A. -3x + 57
B. -3x – 43
C. -3x – 57
D. 3x – 43
E. 3x + 57
Penyelesaian:
Pembagian biasa:
x2
+ 10
x2
– 5 x4
+ 5x2
– 3x + 7
x4
– 5x2
–
10x2
– 3x + 7
10x2
– 50
–
-3x + 57 (sisa)
Sisa pembagian: -3x + 57
Jawaban: A
3. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya 10 dan
jika dibagi (2x – 3) sisanya 5. Jika suku banyak f(x)
dibagi (2x2
– x – 3), sisanya adalah ....
(UN TAHUN 2006/2007)
A. -2x + 8 D. -5x + 5
B. -2x + 12 E. -5x + 15
C. –x + 4
Penyelesaian:
Misal sisanya: S(x) = ax + b
f(x) = P(x)(x + 1)(2x – 3) + ax + b
f(-1) = 0 + (-a) + b = 10
f(
3
2
) = 0 +
3
2
a + b = 5
Eliminasi a:
3f(-1): -3a + 3b = 30
2f(
3
2
): 3a + 2b = 10
+
5b = 40  b = 8
Substitusi b: -a + b = 10
-a + 8 = 10  a = -2
Jadi, sisa pembagian: S(x) = -2x + 8
Jawaban: A
4. Salah satu faktor suku banyak
P(x) = x4
– 15x2
– 10x + n adalah (x + 2). Faktor
lainnya adalah ....
(UN TAHUN 2007/2008)
A. x – 4 D. x – 6
B. x + 4 E. x – 8
C. x + 6
Penyelesaian:
P(x) = x4
– 15x2
– 10x + n
Faktor = (x + 2)
Nilai n dapat ditentukan dengan metode Homer
berikut.
-2 1 0 -15 -10 n
-2 4 22 -24
1 -2 -11 12 0 ® n = 24
Hasil bagi : (x3
– 2x2
– 11x + 12)

48. 48
Kemungkinan akar-akar lain = 2, 3, 4, dan
6 ® (faktor 12)
Misal x = 4
4 1 -2 -11 12
4 8 -12
1 2 -3 0
Sisa nol. Jadi, 4 adalah akar persamaan dan faktor­
nya adalah (x – 4).
Jawaban: A
5. Suku banyak f(x) dibagi (x – 2) sisa 1, dibagi
(x + 3) sisa -8. Suku banyak g(x) dibagi (x – 2) sisa
9, dibagi (x + 3) sisa 2. Jika h(x) = f(x) . g(x) maka
sisa pembagian h(x) dibagi x2
+ x – 6 adalah ....
(UN TAHUN 2008/2009)
A. 7x – 1 D. 4x – 1
B. 6x – 1 E. 3x – 1
C. 5x – 1
Penyelesaian:
Teorema sisa: “Suku banyak f(x) dibagi (x – a)
memiliki sisa f(a),”
h(x) = f(x) . g(x) dibagi (x2
+ x – 6) = (x – 2)(x +
3)
sisanya ax + b
f(x) . g(x) = P(x) . (x – 2) . (x + 3) + ax + b
f(2) . g(2) = P(x) . 0 + 2a + b = 1. 9
2a + b = 9 .... (1)
f(-3) . g(-3) = P(x) . 0 + -3a + b = -8 . 2
3a – b = 16 .... (2)
Eliminasi b diperoleh:
(1) : 2a + b = 9
(2) : 3a – b = 16
+
5a = 25 ® a = 5
Substitusi a pada (1) :
2a + b = 9
2 . 5 + b = 9 ® b = -1
Jadi, sisa pembagian : S(x) = 5x – 1
Jawaban: C
LATIHAN SOAL
2. Agar F(x) = (p – 2)x2
– 2(2p – 3)x + 5p – 6 = 0
bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas
nilai p adalah ….
A. p 1 D. 1 p 2
B. 2 p 3 E. p 1 atau p 2
C. p 3
3. Suatu suku banyak dibagi (x – 5) sisanya 13,
sedang jika dibagi (x – 1) sisanya 5. Suku banyak
tersebut jika dibagi x2
– 6x + 5 sisanya adalah ….
A. 2x + 2 D. 3x + 2
B. 2x + 3 E. 3x + 3
C. 3x + 1
4. Jika x = 2 merupakan akar dari
2x4
+ 5x3
– ax2
– 20x + 12 = 0, maka akar yang
lainnya adalah ....
A. −{ }1
2
2 3, , D. − −{ }3 2
1
2
, ,
B. − − −{ }3 2
1
2
, , E. 2
1
2
3, ,{ }
C. −{ }2
1
2
3, ,
5. Banyaknya akar-akar yang rasional bulat dari persa­
maan 4x4
– 15x2
+ 5x + 6 = 0 adalah ....
A. 0 D. 3
B. 1 E. 4
C. 2
6. Diketahui (x – 2) adalah faktor dari
f (x) = 2x3
+ ax2
+ 7x + 6. Salah satu faktor lain­
nya adalah ....
A. (x + 3) D. (2x – 3)
B. (x – 3) E. (2x + 3)
C. (x – 1)
7. Diketahui persamaan 2x3
– 5x2
+ x + 2 = 0.
Jumlah akar-akarnya adalah . . . .
A.
1
3
D.
5
2
B.
2
3
D.
7
2
C.
3
2
8. Suku banyak P(x) dibagi dengan (x + 3) sisa –30,
dan jika dibagi oleh (x2
– 1) sisa (10x + 2). Sisa
pembagian suku banyak oleh (x2
+ 4x +3) adalah
....
A. 11x + 3 D. 30x + 8
B. 15x + 10 E. 22x – 3
C. 11x + 19
1. Suku banyak (x4
– 3x3
– 5x2
+ x – 6) dibagi oleh
(x2
– x – 2), sisanya sama dengan ....
A. 16x + 8 D. -8x - 16
B. 16x – 8 E. -8x - 24
C. -8x + 16

49. 49
9. Suku banyak f (x) dibagi (x + 1) sisa –2 dan dibagi
(x – 3) sisa 7, suku banyak g(x) dibagi (x + 1) sisa
3 dan dibagi (x – 3) sisa 2. Diketahui
h(x) = f (x) . g(x). Jika h(x) dibagi x2
– x – 3, sisanya
adalah ....
A. S(x) = 3x – 1
B. S(x) = 4x – 1
C. S(x) = 5x – 1
D. S(x) = 6x – 1
E. S(x) = 7x + 2
10. Suku banyak (x4
– 7x3
+ 9x2
+ 13x – 7) dibagi
(x + 1)(x – 3) menghasilkan sisa . . . .
A. x – 1
B. x – 3
C. 2x – 1
D. 2x + 1
E. 2x – 3

50. 50
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
LIMIT
B A B
XI
 Pengertian Limit
 Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati nilai
a adalah harga yang paling dekat dari f(x) pada
saat x mendekati nilai a.
 Jika lim ( )
x a
f x L
→
= , artinya L adalah nilai pende­-
katan untuk x di sekitar a.
 Teorema Limit
 Jika f(x) = x, maka lim ( )
x a
f x a
→
=
 Jika c konstanta, maka lim . ( ) .lim ( )
x a x a
c f x c f x
→ →
=
 { }lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
± = ±
 { }lim ( ). ( ) lim ( ).lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
=

lim ( )( )
lim
( ) lim ( )
x a
x a
x a
f xf x
g x g x
→
→
→
= , untuk lim ( ) 0
x a
g x
→
≠
 lim ( ) lim ( ) lim ( )
x a
n
x a
n
x a
n
f x fx fx
→ → →
= { } = { } , untuk n
bilangan asli
 Limit Fungsi Aljabar
Langkah umum penyelesaian limit fungsi aljabar
lim ( )
x a
f x
→
sebagai berikut:
 Substitusi nilai x = a ke f(x).
 Jika hasilnya bentuk tak tentu
0
, , ,
0
∞ 
∞ − ∞ ∞ 
,
f(x) harus diuraikan.
 Jika hasilnya bentuk tertentu, itulah nilai limit­
nya.
 Jenis Limit untuk x  c
 Jika x  c dan c adalah konstanta, fungsi f(x)
diuraikan dengan cara faktorisasi.
 Untuk fungsi f(x) yang mengandung bentuk akar,
kalikan dengan sekawannya terlebih dahulu,
baru masukkan nilai limitnya.
 Jika x  ∞ dan hasilnya ∞
∞
atau
0
0
, fungsi f(x)
diuraikan dengan cara membagi pembilang dan
penyebut dengan x pangkat tertinggi.
lim
...
...
,
,
x
a x
m
a x
m
b x
n
b x
n
untuk m n
a
b
untuk m
→∞
+
−
+
+
−
+
=
∞
1 2
1
1 2
1
1
1
==






n
untuk m n0,
 Jika x  ∞ dengan hasil ∞ atau – ∞, fungsi f(x)
diuraikan dengan cara dikali sekawan untuk fungsi
yang mengandung bentuk akar, kemudian mem-
bagi pembilang dan penyebut dengan x pangkat
tertinggi.
 Rumus jumlah dan selisih akar
lim
,
,
,
x
ax b cx d
untuk a c
untuk a c
untuk a c
→∞
+ + +( ) =
∞
=
−∞





0
lim
,
,
,
x
ax b cx d
untuk a c
untuk a c
untuk a c
→∞
+ − +( ) =
∞
=
−∞





0
 Rumus selisih akar kuadrat
lim
,
,
,
x
ax bx c px qx r
untuk a p
b q
a
untuk a p
untuk
→∞
+ + − + + =
∞
−
=
−∞
( )2 2
2
aa p





1. Nilai lim
x
x x
x→
− − +
−6
3 2 2 4
6
= ….
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe A)
A. 1
4
− C. 0 E. 1
4
B.
1
8
− D.
1
8

51. 51
LATIHAN SOAL
Penyelesaian:
lim
lim
( )(
x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
→
→
− − +
−
×
− − +
− + +
−
− − +
6
6
3 2 2 4
6
3 2 2 4
3 2 2 4
6
6 3 2 2xx+
=
+
=
4
1
4 4
1
8
Jawaban : D
2. Nilai dari
0
4
lim ....
1 2 1 2x
x
x x→
=
− − +
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe A)
A. -2 D. 2
B. 0 E. 4
C. 1
Penyelesaian:
lim
lim
( )
x
x
x
x x
x x
x x
x x x
→
→
− − +
×
− + +
− + +
=
− + +
−
0
0
4
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
4 1 2 1 2
1 22 1 2
4 1 2 1 2
4
1 1 2
0
x x
x x x
xx
− −
=
− + +
−
= − + = −
→
lim
( )
( )
Jawaban : A
3. Nilai lim
cos
cos sin
....
x
x
x
x x→ −
=
π
4
2
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe B)
A. 0 D. 2
B.
1
2
2
E. 
C. 1
Penyelesaian:
lim
cos
cos sin
lim
cos sin
cos sin
li
x
x
x x
x
x x
x x→ −
= →
−
−
=
π
π
4
2 2
2
4
mm
(cos sin )(cos sin )
cos sin
cos sin
x
x x x x
x x
→
− +
−
= + =
π
π π
4
1
2
24 4
++ =
1
2
2 2
4. Nilai dari 30
sin3 sin3 cos2
lim ....
2x
x x x
x→
−
=
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe C)
A. 1
2
C. 3
2
E. 3
B.
2
3
D. 2
Penyelesaian:
lim
sin sin cos
lim
sin ( cos )
lim
si
x
x
x
x x x
x
x x
x
→
→
→
−
=
−
=
0 3
0 3
0
3 3 2
2
3 1 2
2
nn . sin sin sin sin
. . .
3 2
2
3 2
2
3 1 1 1 3
2
3
x x
x
x
x
x
x
x
x
=
= =
5. Nilai lim
sin sin cos
x
x x x
x→
−
0 3
1
2
3
3
2
1
2
16
= ….
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe A)
A.
3
32
− D.
1
8
−
B.
1
32
− E.
3
8
−
C.
3
36
−
Penyelesaian:
lim
sin sin cos
lim
sin . cos sin c
x
x
x x x
x
x x x
→
→
−
=
−
0 3
0
1
2
3
3
2
1
2
16
3
2
3
2
3
2
oos
lim
sin (cos cos )
lim
sin .
1
2
16
3
2
3
2
1
2
16
2
3
2
3
0 3
0
x
x
x x x
x
x
x
x
=
−
=
−
→
→
ssin .sin2
16
2
3
2
2 1
16
3
32
3
x x
x
=
− ⋅ ⋅ ⋅
= −
1. Nilai lim
x
x x
x x→∞
+
+
2 32
2 2
= ....
A. 0 D. 2
B. 1
2
E. ∞
C. 1

52. 52
2. Nilai lim
in tan
...
x
s x
x x→∞
=
1
2
2 2
= ....
A. -2 D. 1
B. -1 E. 2
C. 0
3 Nilai 20
1 cos2
lim ...
4x
x
x→
−
== ....
A.
1
4
D. 1
B.
1
2
E. 2
C. 0
4. Nilai 23
2 3
lim
9x
x x
x→
− +
−
adalah ….
A. –
1
9
D.
1
2
B. –
1
8
E.
2
3
C.
1
3
5. Nilai
2
1
2
2 5 2
lim
sin(4 2)x
x x
x→
− +
−
adalah ….
a. -3 D.
3
4
B. –
3
2
E. –
3
3
C. –
3
4
6. Nilai
3
3
2
lim
3 2x
x x
x x→∞
−
− +
adalah ….
A. 0 D. 16
B. 2 E. 20
C. 8
7. Nilai 2
2
lim
5 4x
x
x x→∞
+
− +
adalah ….
A. 0 D. 12
B. 4 E. 16
C. 8
8. Nilai dari
3 2
4 30
3
lim
2x
x x
x x→
−
+
adalah ….
A.  D. 3
B. 0 E. 5
C. 2
9. Nilai dari lim
x
x x x x→∞
+ − −( )9 3 9 52 2 adalah ….
A.  D.
3
7
B.
4
3
E. 1
C.
4
5
10. Nilai lim
x
x x x
→∞
+ − − +4 4 3 2 32
= ....
A.  D. 9
B. 1 E. 11
C. 4

53. 53
TURUNAN
B A B
XII
DefinisiA.
Turunan fungsi y = f(x) adalah:
0
( ) ( )
' '( ) lim
h
f x h f xdy
y f x
dx h→
+ −
= = =
SifatB.
Jika terdapat u dan v yang merupakan fungsi dalam x,
maka berlaku :
 y = u  v  y’ = u’  v’
 y = u . v  y’ = u’ v + u v’

u
y
v
=  2
' '
'
u v v u
y
v
−
=
 y = un
 y’ = n . un – 1
. u’
Rumus Turunan Fungsi AljabarC.
• y = a.xn
 y’ = a.n.xn-1
Contoh: y = 4x3
 y’ = 4.3x3-1
= 12x2
• y = a.un
 y’ = a.n(un-1
).u’, dengan u = g(x)
Contoh: y = (-2x+7)4
y' = 4(-2x + 7)4-1
.(-2)= -8(-2x + 7)3
• y = a sin x  y’ = a cos x
• y = a cos x  y’ = a.-sin x
• y = a
log x  y’ =
1
loga
e
x
• y = ln x  y’ = 1/x
• y = 1/x  y’ = ln x
• y = ex
 y’ = ex
PersamaanGarisSinggung
pada suatu Kurva
D.
f’(c) adalah gradien garis singgung kurva y = f(x) di
titik A(c, f(c)) atau disimbolkan dengan m.
Persamaan garis yang ditarik melalui titik A(x, y)
dengan gradien m dituliskan dengan:
y – y1 = m(x – x1)
Jadi jika titik A(c, f(c)) terletak pada kurva y = f(c)
yang melalui titik A(c, f(c)) mempunyai persamaan:
y – f(c) = m(x – c) atau y – y1 = m(x – x1)
Catatan:
• Jika garis g sejajar dengan garis h, maka mg = mh
• Jika garis g tegak lurus dengan garis h, maka
mg · mh = – 1
• m = tan a, a sudut antara garis singgung dengan
sumbu x positif
Fungsi Naik dan Fungsi TurunE.
 Jika f’ (x) 0 untuk semua x  R, maka f(x) naik
(selalu naik) untuk semua x  R.
 Jika f’ (x) 0 untuk semua x  R, maka f(x) turun
(selalu turun) untuk semua x  R.
 Jika f’ (x) 0 untuk semua x  R, maka f(x) tidak
pernah turun untuk semua x  R.
 Jika f’ (x) 0 untuk semua x  R, maka f(x) tidak
pernah naik untuk semua x  R.
Nilai Maksimum dan MinimumF.
Jika f’ (a) 0 maka fungsi tersebut turun pada x = a,
demikian juga jika f’ (b) 0, maka fungsi tersebut naik
pada x = b

54. 54
Definisi:
Jika c bilangan pada daerah asal fungsi f dan berlaku
f’(c), maka nilai stasioner f pada x = c dan titik (c, f(c))
disebut titik stasioner
1. Menentukan jenis nilai stasioner dengan memper­
hatikan nilai f’(x) di sekitar titik.
• Jika f’(x) bertanda negatif, kemudian bernilai
nol di x = a dan berganti menjadi negatif, maka
f’(x) mempunyai nilai balik minimum f(a).
x a–
a a+
f'(x) – 0 +
grafik
• Jika f’(x) bertanda positif, kemudian bernilai nol
di x = c dan berganti menjadi negatif, maka f’(x)
mempunyai nilai balik maksimum f(c).
x c–
c c+
f'(x) + 0 –
grafik
• Jika f’(x) bertanda positif, kemudian bernilai nol
di x = a dan kembali menjadi positif, maka f’(x)
mempunyai belok.
x a–
a a+
f'(x) + 0 +
grafik
• Jika f’(x) bertanda negatif, kemudian bernilai
nol di x = a dan kembali menjadi negatif, maka
f’(x) mempunyai belok.
x a–
a a+
f'(x) _ 0 _
grafik
2. Menentukan jenis nilai stasioner dengan menggu­
nakan turunan dari fungsi y.
Fungsi f(x) kontinu dalam interval yang memuat c,
mempunyai turunan pertama f’(x)
turunan kedua f’’(x) dan f’ (c) = 0, maka berlaku:
a. Jika f’’(c) 0, maka f(c) nilai balik maximum
f(x).
b. Jika f’’(c) 0, maka f(c) nilai balik minimum
f(x).
c. Jika f’’(c) = 0, maka [c, f(c)] titik belok horizontal
(jika dapat ditentukan nilai maksimum dan
minimum)
3. Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam
interval tertutup.
Nilai maksimum dan minimum f(x) pada interval
a x h adalah yang keduanya merupakan nilai
balik minimum fungsi f dan nilai balik maksimum
fungsi f.
Sedangkan pada interval c x e mempunyai
nilai minimum f(c) dan nilai maksimum f(e) yang
keduanya merupakan nilai pada ujung-ujung
interval.
Suatu nilai maksimum atau minimum suatu fungsi
f(x) dalam interval tertutup dapat diperoleh dari:
a. Nilai balik maksimum atau nilai balik minimum
b. Nilai-nilai fungsi pada ujung interval tertutup
Langkah-langkah mencari nilai maksimum dan
maksimum pada interval tertutup a x k seba­
gai berikut:
• Tentukan nilai stasioner fungsi f dalam interval
tersebut.
• Tentukan nilai fungsi f pada ujung-ujung inter­
val.
• Selidiki nilai tertinggi dan terendah yang meru­
pakan nilai maksimum dan minimum.
4. Menggambar grafik.
Langkah-langkah untuk menggambar adalah seba­
gai berikut.
a. Tentukan koordinat-koordinat titik potong grafik
dengan sumbu koordinat
b. Tentukan titik stasioner dan jenisnya
c. Menentukan interval dimana fungsi naik dan
turun
d. Menentukan beberapa titik bantu
e. Menyajikan titik yang diperoleh pada bidang
kartesius, kemudian dihubungkan sehingga ter­
bentuklah sebuah grafik
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Seorang memesan kotak penyimpan uang yang di­
lengkapi dengan kunci rahasia. Kotak tersebut dibuat
dari baja tahan api dengan kapasitas 72.000 cm3
.
Jika ukuran panjang dua kali lebarnya maka
tinggi kotak tersebut agar bahan yang diperlukan
minimum adalah ….

55. 55
A. 25 cm D. 40 cm
B. 30 cm E. 50 cm
C. 35 cm
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe B)
 Pembahasan:
p = 2 l
v = 72.000
p. l. t = 72.000
2.l. t = 72.000
t = 2
36.000
l
L = 2 pl + 2 pt + 2 lt
= 2.2l. l+2.2l.t + 2lt
= 4 l2
+ 6 l 2
36.000
l
L = 4 l2
+ 216.000 l-1
Agar L min : L’ = 0
8 l – 216.000l–2
= 0
8l = 2
216.000
l
l3
= 27.000
l = 30
36.000
40
900
t
↓
= =
Jawaban : D
2. Konsentrasi K (t) suatu obat dalam darah pasien
ditentukan oleh persamaan
K (t) = 2
0,9
6 9
t
t t+ +
; 0  t 24 
dengan menunjukan waktu dalam (jam). Konsen­
trasi obat naik dalam interval ….
Soal UN Tahun 2006/2007 tipe C)
A. -3 t 0 D. 0 t 24 
B. -3 t 3 E. -3 t 24 
C. 0  t 3
 Pembahasan:
K (t) = 2
0,9
6 9
t
t t+ +
Naik dalam interval : K’ ( t ) 0
0 9 6 0 9 2 6
6 9
0 9 3 0 9 2 3
2
2 2
2
, ( ) , ( )
( )
, ( ) , . ( )
(
t t y t t
t t
t t t
t
+ + − +
+ +
⇔
+ − +
+ 33
0
0 9 3 18
3
0
0 9 3
3
0
0 9 3
4
3
3
)
, ( ) ,
( )
, ( )
( )
, ( )
(
⇔
+ −
+
⇔
+ −
+
⇔
−
t t
t
t t
t
t
t++
3
03
)
0 9 3 0 9 2 32
, ( ) , . ( )
(
t t t
t
⇔
+ − +
+ 33
0
0 9 3 18
3
0
0 9 3
3
0
0 9 3
4
3
3
)
, ( ) ,
( )
, ( )
( )
, ( )
(
⇔
+ −
+
⇔
+ −
+
⇔
−
t t
t
t t
t
t
t++
−
3
0
3 3
3
)
t
Karena : 0  t 2  maka: 0  t 3
Jawaban : C
3. Diketahui f(x) =
2
3
2 1
x
x
+
+
Jika f’(x) menyatakan
turunan pertama f(x) maka f(0) + 2 f’(0) = ....
A. -10 C. -7 E. -3
B. -9 D. -5
(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe B)
 Pembahasan:
f(x) =
2
3
2 1
x
x
+
+
 f (0) = 3
misal: U = x2
+ 3  U’ = 2
V = 2x + 1  V’ = 2
Maka:
f’(x) = 2
0 1 2 3
(1)
⋅ − ⋅
= -6
jadi, f(0) + 2f’(0) = 3+2. (-6) = -9
Jawaban: B
4. Garis singgung pada y = ax +
b
x
di titik (1, 2)
sejajar garis 4x –y + 1= 0, nilai a + 2b = ….
A. 5 C. 3 E. 1
B. 4 D. 2
(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe D)
 Pembahasan:
Garis singgung b
y ax
x
= +
d1 (1, 2) sejajar 4x – y + 1 = 0
- Garis singgung sejajar
4x – y + 1 = 0  m = 4
- y = ax + bx–1
2
2
'
b
y a bx a
x
−
= − = −
- 2
4
(1)
b
m a= − =
a – b = 4 ....................................(1)
- (1,2) 2 (1)
(1)
b
a⇒ = +
 a + b = 2 ...............................(2)
- (1) + ( 2 ) : 2a = 6
a = 3  b = –1
- nilai a + 2b = 3 – 2 = 1
Jawaban: E

56. 56
5. Nilai balik maksimum fungsi f(x) = x3
– 3x2
– 9x +
m adalah 10. Nilai minimumnya adalah ….
A. -27 D. -5
B. -22 E. 3
C. -10
(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe E)
 Pembahasan:
3 2
( ) 3 9f x x x x m= − − +
Syarat stasioner :
2
2
'( ) 3 6 9 0
2 3 0
( 1)( 3) 0
1 3
f x x x
x x
x x
x x
= − − =
⇔ − − =
⇔ + − =
= − ∨ =
jenis stasioner :
( ) 6 6
( ) 6 6 12 0
(maksimum)
(3) 18 6 12 0
(minimum)
Nilaimaksimum:
( 1) 1 3 9 10
5
ii
ii
ii
f x x
f x
f
f m
m
= −
− = − − = −
= − =
− = − − + + =
=
Nilai maksimum
f(–1) = –1–3+9+m =10
=5
Jadi Nilai minimum :
f (3) = 27 – 27 – 27 +5
= -22
Jawaban: B
LATIHAN SOAL
1. Persamaan garis singgung yang melalui titik
berabsis 1 pada kurva y = 2
1
x
x
− , adalah ….
A. 5x + 2y + 5 = 0 D. 3x + 2y – 3 = 0
B. 5x – 2y – 5 = 0 E. 3x – 2y – 3 = 0
C. 5x + 2y – 5 = 0
2. Nilai minimum fungsi f(x) = 2x3
– 6x2
– 48x + 5
dalan interval -3 ≤ x ≤ 4 adalah ….
A. -160 D. -99
B. -155 E. -11
C. -131
3. Fungsi f(x) = (x – 1)(x2
+ 7x – 29) naik pada
interval adalah ….
A. -6 x 2 D. x -6 atau x 2
B. -2 x 6 E. x -2 atau x 6
C. x 2 atau x 6
4. Fungsi f(x) = x3
+ px2
+ 9x – 18 mempunyai nilai
stasioner untuk x = 3. Nilai p = ….
A. -6 C. -3 E. 6
B. -4 D. 4
5. Turunan pertama dari f(x) = sin3
(5 – 4x) adalah
f’(x) = ….
A. 12 sin3
(5 – 4x) cos (5 – 4x)
B. 6 sin (5 – 4x) cos (10 – 8x)
C. -3 sin2
(5 – 4x) cos (5 – 4x)
D. -6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x)
E. -12 sin2
(5 – 4x) sin(10 – 8x)
6. Turunan pertama fungsi F(x) = 3
log (x2
+ 3x)
adalah F’(x) = ….
A.
2
3
(2 3)ln3
x x
x
+
+
D. 2
(2 3)ln3
3
x
x
+
+
B.
2
2
2 3
( 3 )ln3
x
x x
+
+
E. 2
(2 3)log3
3
x
x x
+
+
C. 2
2 3
( 3 )log3
x
x x
+
+
7. Sebuah roket ditembakkan vertikal ke atas dengan
ketinggian h meter, dirumuskan sebagai
h(t) = 500t – 5t2
. Tinggi maksimum yang dapat
ditempuh roket tersebut adalah ….
A. 500 m C. 10.000 m E. 15.000 m
B. 2.500 m D. 12.500 m
8. Persamaan garis singgung pada kurva y = x – x
melalui titik (4, 2) adalah ….
A. –3x – 4y – 4 = 0 D. 3x + 4y – 4 = 0
B. –3x – 4y – 4 = 0 E. 3x – 4y + 4 = 0
C. 3x – 4y – 4 = 0
9. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari
dengan biaya
2.000
4 160x
x
 
− + 
 
ribu rupiah per
hari. Biaya minimum per hari untuk menyelesaikan
pekerjaan tersebut adalah ….
A. 200.000 C. 400.000 E. 600.000
B. 300.000 D. 500.000
10. Suatu kebun berbentuk persegi panjang. Salah satu
sisinya berbatasan dengan sungai. Keliling kebun
tersebut akan dipagari dengan kawat sepanjang
48 meter. Jika sisi yang berbatasan dengan sungai
tidak dipagar, maka luas maksimum kebun terse­
but adalah ….
A. 196 m2
C. 336 m E. 576 m2
B. 256 m2
D. 486 m2

57. 57
Integral
B A B
XIII
Integral Tak TentuA.
Sifat-Sifat IntegralB.
Penerapan Integral TentuC.
Integral TertentuD.
1
2
3
4
1
1
1
.
. ( ) ( )
.
.
dx x c
dfx fx c
adx ax c
x dx
n
x c dengann n
= +
= +
= +
=
+
+
∫
∫
∫
+
nn
ax dx
a
n
x c dengan n
ax b dx
ax b
an
n n
n
n
≠
=
+
+ ≠ −
+ =
+
∫
∫
+
+
1
5
1
1
6
1
1
.
. ( )
( )
( ++
+ ≠∫ 1
0
)
c dengan a
1
2
. ( ) ( )
. (( ) ( )) ( ) ( )
kfxdx k fxdx
fx g x dx fxdx g xdx
=
± = +
∫∫
∫ ∫∫
1.
2.
S v dt
v a dt
=
=
∫
∫
fxdx F x F b F a
F x fx
a
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
∫ = = −
=
=
antiturunan
batas baww ah
batas atasb =
Sifat-Sifat Integral TertentuE.
Luas Bidang DatarF.
1
2 0
3
4
. ( )
. ( )
. ( ) ( )
. ( )
k k b a
fx
kfx k fx
fx
a
b
a
a
a
b
a
b
dx
dx
dx dx
= −
=
=
∫
∫
∫ ∫
ddx dx
dx dx dx
a
b
b
a
a
b
b
c
a
c
fx
fx fx fx
∫ ∫
∫ ∫ ∫
= −
+ =
( )
. ( ) ( ) ( )5
Luas D1 = ( )dx
b
a
f x∫
Luas D2 = ( )dx ( )dx
b b
a a
f x f x− =∫ ∫
1. Dibatasi Oleh Kurva dan Sumbu X

58. 58
2. Luas Antara Dua Kurva
Luas D1 = [ ( ) ( )] dx
b
a
f x g x−∫
Volume Benda PutarG.
Integral Fungsi TrigonometriH.
Integral Substitusi TrigonometriI.
Panjang BusurJ.
1. Mengelilingi Sumbu X
Volume =
2
[ ( )] dx
b
a
f xπ∫
2. Mengelilingi Sumbu Y
Volume =
2
[ ( )] dy
b
a
f yπ∫
1.  sin x dx= – cos x + c
2.  cos x dx = sin x + c
3.  sec2
x dx = tan x + c
4.  cosec2
x dx = – cot x + c
5.  sec x tan x dx = sec x + c
6.  cosec x cot x dx = – cosec x + c
Fungsi Integral Substitusi dengan Hasil Substitusi
2 2
a x− x = a sin a a cos a
2 2
a x+ x = a tan a a sec a
2 2
x a− x = a sec a a tan a
2
1 dx
b
a
dy
S
dx
 
= +  
 
∫
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Nilai 2
0
cos2 sin . dxx x
π
∫ = ….
A.
2
3
− C. 0 E.
2
3
B.
1
3
− D.
1
3
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe A)

59. 59
Pembahasan:
cos sin
sin sin )
cos cos
2
1
2
3
1
2
1
3
3
0
2
0
2
x x
x x
x x
dx
dx
π
π
∫
∫= −
= − +




= − +




− − +








= ⋅ −
0
2
1
2
1
3
3
2 2
1
3
0 0
1
2
0
2
3
π
π π
cos cos cos cos




= −
1
3
Jawaban : B
2. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah
antara kurva y = x2
+ 1 dan y = x + 3, diputar
mengelilingi sumbu X adalah ….
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe B)
A.
67
5
π satuan volume
B.
107
5
π satuan volume
C.
117
5
π satuan volume
D.
133
5
π satuan volume
E.
183
5
π satuan volume
Pembahasan:
y x
y x
x x
x x
x x
V x x
= +
= +
+ = +
− + =
= ∨ = −
= + − +
2
2
2 2 2
1
3
1 3
2 1 0
2 1
3 1
( )( )
( ) ( )π ddx
dx
−
−
−
∫
∫= + − −
= + − −




1
2
1
2
2 4
2 3 5
1
2
8 6
8 3
1
3
1
5
π
π
( )x x x
x x x x
=
117
5
π
Jawaban: C
3.  (x + 1) cos2x dx = ….
Soal UN Tahun 2004/2005 tipe D
A. –2(x + 1) sin 2x – 4 cos 2x + C
B. –
1
2
(x + 1) sin 2x –
1
4
cos2x + C
C.
1
2
(x + 1) sin 2x +
1
4
cos 2x + C
D.
1
2
(x + 1) sin 2x –
1
4
cos 2x + C
E. 2(x + 1) sin 2x + 4 cos 2x + C
Pembahasan:
x + 1 cos 2x
1 1
2
sin 2x
0 –
1
4
cos 2x
Kolom 1 : diturunkan
Kolom 2 : diintegral
(+)
1
2
(x + 1) sin 2x
(–) (–
1
4
cos 2x)
(x+ 1) cos 2x dx
 = (x + 1) sin 2x +
1
4
cos 2x + C
Jawaban: C
4. Perhatikan gambar berikut!
Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah ....
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe C)
A.
2
3
satuan luas D. 6
2
3
satuan luas
B. 3 satuan luas E. 9 satuan luas
C. 5
1
3
satuan luass
y
0
X = 3
Y = x2
– 4x + 3
Y = –x2
+ 6x – 5
x

60. 60
Pembahasan:
Perhatikan gambar.
Titik potong parabola:
y1 = y2 ® x2
– 4x + 3 = –x2
+ 6x – 5
2x2
– 10x + 8 = 0
x2
– 5x + 4 = 0
® (x – 1) (x – 4) = 0
® x = 1 atau x = 4
Batas daerah terarsir: x = 1 dan x = 3
Luas memenuhi:
L y y
x x x x
x x
= −
= − + − − − +
= − + −
= −
∫
∫
∫
2 1
1
3
2
1
3
2
2
1
3
6 5 4 3
2 10 8
dx
dx
dx
( ) ( )
22
3
5 8
1
2
27 5 9 8 3
2
3
1 5 1 8 1
3 2
1
3
x x x+ −


= − ⋅ + ⋅ − ⋅





 − − ⋅ + ⋅ − ⋅






== 6
2
3
satuan luas
Jawaban: D
5. Hasil dari 34
6( 2)( 2)
( 12 16)
x x
x x
+ −
− −
∫ dx = ….
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe C)
A. 3
1
8 12 16
c
x x
+
− −
B. 4 3
4
12 16
c
x x
+
− −
C. 4 3
2
12 16
c
x x
+
− −
D. 8
3 348
( 12 16)
3
x x c− − +
E. 3 348
( 12 16)
3
x x c− − +
y
0
X = 3
Y = x2
– 4x + 3
Y = –x2
+ 6x – 5
x
Pembahasan:
34
6( 2)( 2)
( 12 16)
x x
x x
+ −
− −
∫ dx
=
2
34
6( 4)
( 12 16)
x
x x
−
− −
∫ dx
Misal: u = x3
– 12x – 16
du = (3x2
– 12) dx
du = 3 (x2
– 4) dx
2 du = 6 (x2
– 4) dx
= =
= +
= +
= − − +
∫ ∫
−2
2
8
3
8
3
8
3
12 16
4
1
4
3
4
3
4
3 34
du
x
u du
u c
u c
x x c( )
Jawaban: E
LATIHAN SOAL
1. Hasil dari
( )
2
3 2
dx
x
x
−
∫ adalah ....
A. 28
18 8
5
x x x x x c− − +
B. 28
18 8
5
x x x x x c− + +
C. 28
18 8
5
x x x x x c+ − +
D. 28
18 8
5
x x x x x c+ + +
E. 28
18 10
5
x x x x x c− + +
2. Hasil integral dari 14 1 3 2
1
2
−( )
−
∫ x dx adalah ....
A. 15 D. 105
B. 65 E. 135
C. 195
3. Nilai integral dari 6
7 (5 1) dxx x +∫ adalah ....
A. 7 81
(3 1) (3 1)
3 72
x
x x c− + − + +
B. 7 81
(3 1) (3 1)
3 72
x
x x c+ + + +
C. 7 81
(3 1) (3 1)
3 92
x
x x c+ − + +

61. 61
D. 7 81
(3 1) (3 1)
2 72
x
x x c+ − + +
E. 7 81
(3 1) (3 1)
3 72
x
x x c+ − + +
4. Diketahui F’(1 +
1
2χ
= ) dan F(-1) = 0, maka
F()=….
A.
1
−
χ
+ 3X D.
1
−
χ
- 2X
B.
1
χ
+ X E.
1
−
χ
+ X
C.
1
−
χ
- X
5. Gradien garis singgung sebuah kurva pada setiap
titik (, y) dinyatakan oleh 6
dy
d
=
χ
+1 2 – 2
.
Kurva melalui titik (1,4), maka persamaan kurva
adalah ....
A. y = 22 –  – 2
 – 3

B. y = 2+2  – 2
 – 3

C. y = 2+2  + 2
 – 3

D. y = 22 –  + 2
 – 3

E. y = 2+2  – 2
 + 3

6.  sin5
x cosx dx adalah ....
A. 51
sin
6
c+ D. 61
sin
7
c+
B. 61
sin
6
c+ E. 71
sin
7
c+
C. SIN6
+ C
7. Luas daerah yang dibatasi kurva y = 2x2
– 8, dan
sumbu X pada 0  x 3  adalah … satuan luas
A.
1
15
3
D. 16
B. 15 E.
1
17
3
C.
1
16
3
8. Daerah dibatasi kurva
y2
= 10x, y2
= 4x dan x = 4
diputar 360º mengelilingi sumbu X. Volume
benda putar yang terjadi adalah … satuan volume
A. 48 D. 56p
B. 48p E. 64p
C. 56
9. Volume benda putar yang terjadi jira daerah yang
dibatasi oleh y = 2x2
+ 1, x = 1, sumbu X, dan
sumbu Y diputar 360º menglilingi sumbu X adalah
… satuan volume.
A.
47
15
D.
53
15
π
B.
47
15
π E. 60p
C.
53
15
10. Gradien garis singgung di sembarang titik pada
suatu kurva ditentukan oleh rumus y’=3x2
– 6x + 2.
Jika kurva melalui titik (1, -5) maka persamaan
kurva tersebut adalah ….
A. x3
– 3x2
– 2x – 5
B. x3
– 3x2
+ 2x – 5
C. x3
+ 3x2
+ 2x – 5
D. x3
– 3x2
+ 2x + 5
E. x3
+ 3x2
+ 2x + 5

62. 62
PROGRAM LINIER
B A B
XIV
Persamaan Garis LurusA.
1.
2.
3.
Himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan linear
B.
Daerah penyelesaian dari masalah program linear, yaitu
model matematika yang berbentuk pertidaksamaan
linear ax + by  ab atau ax + by  ab.
Daerah penyelesaian dapat ditentukan dengan cara:
1. Jika ax + by  ab maka daerah penyelesaian berada
di sebelah kiri garis, dengan syarat koefisien x positif
(a 0).
2. Jika ax + by  ab maka daerah penyelesaian berada
di sebelah kanan garis, dengan syarat koefisien x
positif (a 0).
Letak kiri dan kanan daerah penyelesaian,
dengan syarat koefisien x positif ( a 0 )
Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran),
Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum
C.
1. Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu
dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y)
2. Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kon-
disi x dan y yang menyebabkan maksimum atau
minimum
3. Pada gambar HP program linear, titik-titik sudut
merupakan titik-titik kritis, dimana nilai minimum
atau maksimum berada. Apabila sistem pertidak-
samaannya terdiri atas dua pertidaksamaan, maka
titik-titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus di-
gambar grafiknya.
Persamaan garis yang ber­
gradien m dan melalui titik
(x1, y1) adalah:
y – y1 = m(x – x1)
Persamaan garis yang
melalui dua titik (x1, y1)
dan (x2, y2) adalah:
1 1
2 1 2 1
y y x x
y y x x
− −
=
− −
Persamaan garis yang melalui
titik (0, a) dan (b, 0) adalah :
ax + by = ab
Y
X
(x1,y1)y1
x1
0
x1 x2
y2
y1
(x2, y2)
(x1, y1)
X
Y
0 b
a
(0, a)
(b, 0)
Y
X
kiri (  )
kiri (  )
kanan (  )
kanan (  )
kiri (  ) kanan (  )
kiri (  )
kanan (  )

63. 63
Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan
cara penentuan titik kritis sebagai berikut:
1. Pilih titik potong kurva dengan sumbu Y atau sumbu
X yang terkecil (0, a) dan (n, 0) jika tujuannya
maksimumkan atau yang terbesar (0, m), (b, 0) jika
tujuannya minimumkan.
2. Titik potong antara kedua kurva (x, y)
GrafikHPuntukfungsitujuan
maksimum
GrafikHPuntukfungsitujuan
minimum
Titik kritis ada 3 :
(0, a), (x, y), dan (n, 0)
Titik kritis ada 3 :
(0, m), (x, y), dan (b, 0)
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Tiga siswa Ani, Budi dan Citra membeli buku,
pensil, dan pulpen. Ani membeli 3 buku, 3 pensil,
dan 1 pulpen dengan harga Rp. 7.600,00. Budi
membeli 2 buku, 2 pensil, dan 2 pulpen dengan
harga Rp. 6.400,00 sedangkan Citra membeli 3
buku, 4 pensil, dan 3 pulpen dengan harga Rp.
9.800,00. Untuk membeli 5 buku, 5 pensil, dan 5
pulpen, uang yang harus disediakan adalah ….
A. Rp25.000,00 D. Rp15.000,00
B. Rp19.000,00 E. Rp14.000,00
C. Rp16.000,00
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe A)
Pembahasan:
Misal harga satuan :
Buku = x
Pensil = y
Pulpen = z
Diketahui
2x + 27 = 2z = 6.400
 x + y + z = 3.200
jadi 5x + 5y + 5z = 5 ( 3200 )
= 16.000
Jawaban : C
2. Tanah seluas 10.000 m2
akan dibangun rumah tipe
A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m2
dan tipe B diperlukan 75 m2
. Jumlah rumah yang
dibangun paling banyak 150 unit. Keuntungan
rumah tipe A adalah Rp6.000.000,00 / unit dan
tipe B adalah Rp4.000.000,00 / unit. Keuntungan
maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan
rumah tersebut adalah ….
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe A)
A. Rp550.000.000,00
B. Rp600.000.000,00
C. Rp700.000.000,00
D. Rp800.000.000,00
E. Rp900.000.000,00
Pembahasan:
Misal :
Banyaknya rumah tipe A = x
Banyaknya rumah tipe B = y
Model matematika :
100 75 10 000
4 3 400
x y
x y
x
+ ≤
⇔ + ≤
≤
.
....(1)
+ y 125 ........(2))
x y≥ ≥0 0 3, .....( )
Fungsi obyektif
K = 6.000.000x + 4.000.000y (max)
Grafik himpunan penyelesaian
1... 4x + 3y = 400
2... 4x + 4y = 500 –
-y = -100
y = 100  x = 25
 B (25, 100)
Uji titik pojok :
Titik Pojok K = 6.000.000x + 4.000.000y
0 (0, 0)
A (100, 0)
B (25, 100)
C (0, 125)
0
600.000.000 (maks)
550.000.000
500.000.000
Jadi keuntungan maksimumnya adalah ....
Rp. 600.000.000
Jawaban : B

64. 64
3. Seorangpedagangmenjualbuahmanggadanpisang
dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut
membeli mangga dengan harga Rp8.000,00/kg
dan pisang Rp6.000,00/kg. Modal yang tersedia
Rp1.200.000,00 dan gerobak hanya dapat memuat
mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga
jual mangga Rp9.200,00/kg, maka laba maksimum
yang diperoleh adalah ….
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe B)
A. Rp150.000,00 D. Rp204.000,00
B. Rp180.000,00 E. Rp216.000,00
C. Rp192.000,00
Pembahasan:
Model matematika :
1. 8.000x = 6.000y 1.200 
4 x + 3y 600 
2. x + y 180 
3. x 0 ; y 0 
Fungsi obyektif :
K= 9.200x + 7.000y (max)
Grafik Daerah Himpunan penyelesaian
Koordinat titik B :
4 3 600
3 3 540
60 120
60 120
x y
x y
x y
B
+ =
+ =
= ⇒ =
∴ ( , )
Uji titik pojok
Titik Pojok K= 9.200x + 7.000y
0 (0, 0)
A (150, 0)
B (60, 120)
C (0, 180)
0
180.000
192.000 (max)
180.000
Jadi laba maksimum yang diperoleh adalah
Rp192.000
Jawaban : C
4. Suatu tempat parkir yang luasnya 300 m2
digunakan
untuk memarkir sebuah mobil rata-rata 10 m2
dan
bus rata-rata 20m2
dengan daya tamping hanya 24
kendaraan. Biaya parkir untuk mobil Rp1.000,00
per jam dan untuk bus Rp3.000,00 per jam. Jika
dalam satu jam tempat parkir penuh dan tidak ada
kendaraan yang datang dan pergi, hasil maksimum
tempat parkir tersebut adalah….
A. Rp15.000,00 D. Rp45.000,00
B. Rp30.000,00 E. Rp60.000,00
C. Rp40.000,00
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe A)
Pembahasan:
Tabel untuk membuat model matematika
Kendaraan Tempat m2
Biaya (Rp)
Mobil (x) 10 1.000
Bus (y) 20 3.000
24 300
x+y≤24 ….(1)
10x+20y≤300 ….(2)
x + 2y ≤ 30
x≥0 dan y≥0 ….(3)
Gradien fungsi sasaran.
f(x,y)=1.000x+3.000y ® mf=–
1
3
Biaya parkir maksimum (titik yang paling kanan) di
titik (0,15)
f(x,y)=1.000x+3.000y
f(0,15)=1.000(0)+3.000(15)=Rp 45.000,00
Jawaban: D
5. Untuk kekebalan dari penyakit, ayam pada usia satu
minggu harus diberi vaksin. Setiap 100 ekor ayam
minimal memerlukan 12 unit zat A dan 12 unit zat
B. Di pasaran tersedia dua jenis vaksin yaitu vaksin
P dan vaksin N. Satu bungkus vaksin P mengandung
1 unit zat A dan 3 unit zat B, sedangkan vaksin N
mengandung 3 unit zat A dan 1 unit zat B. Harga
perbungkus vaksin P adalah Rp 1.000,00 dan
vaksin N dengan harga Rp 1.500,00. Seorang
peternak mempunyai 10.000 ekor ayam.
x + v = 180

65. 65
Biaya minimal yang harus dikeluarkan dalam satu kali
vaksinasi agar ayamnya tahan dari penyakit adalah
….
A. Rp300.000,00 D. Rp1.200.000,00
B. Rp600.000,00 E. Rp1.800.000,00
C. Rp750.000,00
(Soal UN Tahun 2007 tipe A)
Pembahasan:
Misal: banyak vaksin P dan N yang diperlukan un-
tuk 100 ayam, berturut-turut adalah x dan y.
- Sistem pertidaksamaan linier:
(1) x + 3y 0 ,12( ,)4 ,0( ® 12 )
(2) 3x + y 0 ,4( ,)12 ,0( ® 12 )
(3) x 0 , y 0 
Funsi objektif :
K = 1.000x + 1.500y
Koordinat B :
3x + y = 12 x 3 9x + 3y = 36
x + 3y = 12 x 1 x + 3y = 12
–
8x = 24
x = 3
3.(3) + y = 12
y = 3
 B (3, 3)
A (0, 12) ® K = 1.000(0) + 1.500(12)
= 18.000
B (3, 3) ® K = 1.000(3) + 1.500(3)
= 7.500
C (12, 0) ® K = 1.000(12) + 1.500(0)
= 12.000
- jadi biaya minimum untuk 100 ekor = Rp7.500
- sehingga biaya 10.000 ekor = Rp750.000,00
Jawaban : C
LATIHAN SOAL
1. Dari sistem pertidaksamaan linear,
x + y ≤ 50, x – 2y ≥ -40, x ≥ 0, dan y≥0, maka
nilai maksimum dari adalah ….
A. 0 D. 210
B. 100 E. 300
C. 150
2. Pada gambar di bawah ini, daerah yang diarsir
merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari ben-
tuk obyektif 5x+y dengan x,y  C pada himpunan
penyelesaian itu, adalah ….
A. 2
B. 10
C. 24
D. 26
E. 30
3. Suatu pabrik roti memproduksi 120 kaleng roti
setiap hari. Roti terdiri dari dua jenis, roti asin
dan roti manis. Setiap hari roti asin diproduksi
paling sedikit 30 kaleng dan roti manis 50 kaleng.
Misakan roti asin sebanyak x kaleng dan roti manis
y kaleng, model matematika soal ini adalah ….
A. x – y=120, x≥30, y≥50
B. x+y=120, x30, y≥50
C. x+y=120, x≥30, y50
D. x+y=120, x30, y50
E. x+y=120,x ≥ 30, y≥50
4. Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap
harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual.
Setiap kue I modalnya Rp200,00 dengan keuntun-
gan 40%, sedangkan setiap kue II modalnya
Rp300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal
yang tersedia setiap hari adalah Rp100.000,00
dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400
kue, maka persentase keuntungan terbesar yang
dapat dicapai ibu tersebut adalah ... dari modal.
A. 30.000 D. 50.000
B. 32.000 E. 60.000
C. 34.000
5. Nilai maksimum dari 5 45x y+ untuk x dan y yang
memenuhi y 0 , x + 2y 6 , dan 3x + y 8  adalah
….
A. 30 D. 100
B. 60 E. 110
C. 90

66. 66
6. Nilai minimum untuk 2x + 5y dengan syarat
0, 0, 12,x y x y≥ ≥ + ≥ dan 2 16x y+ ≥ adalah ....
A. 16 D. 60
B. 32 E. 72
C. 36
7. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk
48 kursi. Setiap kelas utama boleh membawa ba-
gasi 60 kg sedang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat
hanya dapat membawa bagasi 1440 kg. harga tiket
kelas utama Rp150.000,00 dan kelas ekonomi
Rp100.000,00 supaya pendapatan dari penjualan
tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksi-
mum, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah
….
A. 12 D. 48
B. 24 E. 52
C. 36
8. Rokok A yang harga belinya Rp1.000,00 di jual
dengan harga Rp1.100,00 per bungkus sedangkan
rokok B yang harga belinya Rp1.500,00 di jual
denga harga Rp1.700,00 per bungkus. Seorang
pedagang rokok yang mempunyai modal
Rp300.000,00 dan kiosnya dapat menampung
paling banyak 250 bungkus rokok akan mendapat
keuntungan maksimum jika ia membeli ….
A. 150 rokok A
B. 250 rokok A
C. 100 rokok B
D. 200 rokok B
E. 150 rokok A dan 100 rokok B
9. Nilai maksimum dari f(x,y) = 2x + 3y pada
himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
3 2 24
2 8
0
0
x y
x y
x
y
+ ≤
− + ≤
 ≥

≥
adalah ….
A. 8 D. 30
B. 16 E. 36
C. 26
10. Dengan persediaan 20 m kain polos dan 10 m kain
bergaris, seorang penjahit akan membuat 2 model
pakaian. Model l memerlukan 1 m kain polos
dan 1,5 m kain bergaris. Model ll memerlukan
2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila
pakaian tersebut dijual, model l memperoleh
untung Rp15.000,00 per potong dan model ll
Rp10.000,00 per potong. Laba maksimum yang
diperoleh adalah ….
A. 40.000
B. 100.000
C. 140.000
D. 280.000
E. 360.000

67. 67
MATRIKS
B A B
XV
1. Pengertian matriks
a) Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan
dalam bentuk persegi atau persegi panjang yang
diatur menurut baris dan kolom
b) Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-
bilangan yang mendatar dalam matriks
c) Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-
bilangan yang tegak dalam matriks
2. Operasi hitung matriks
a) Penjumlahan atau pengurangan matriks
Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau diku­
rangkan jika ordo A = ordo B
A = dan B =
A + B =
a b c
d e f
p q r
s t u
a p b q c r
d s












+ + +
+ ee t f u+ +






1) Sifat penjumlahan matriks
Jika A dan B matriks-matriks berordo sama,
berlaku:
(a) Sifat Komutatif: A + B = B + A
(b) Sifat Asosiatif: (A + B) + C
= A + (B + C)
(c) Terdapat matriks Identitas, yaitu matriks
nol, sehingga: A + 0 = 0 + A = A
(d) Setiap matriks A mempunyai invers pen­
jumlahan yaitu matriks –A , sehingga:
A + ( –A ) = ( –A ) + A = 0
2) Pada pengurangan matriks bersifat:
(a) Tidak Komutatif
(b) Tidak Asosiatif
(c) Tidak terdapat unsur Identitas
b) Perkalian Matriks
Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak
kolom matriks pertama (kiri) sama dengan
banyak baris matriks kedua (kanan)
1) Am x n . Bn x k = Cm x k
2) Bn x k . Am x n tidak dapat dikalikan
3. Transpos Matriks
Transpos matriks A ( At
) adalah sebuah matriks yang
disusun dengan cara menuliskan baris ke-I matriks
A menjadi kolom ke-I matriks At
.
A = A =t
a b c
d e f
a d
b e
c f





 →










Beberapa sifat matriks transpos:
a) (A + B)t
= At
+ Bt
b) ( At
)t
= A
c) (AB)t
= Bt
At
d) (KA)t
= KAt
, k merupakan konstanta
4. Determinan dan invers matriks
1) Jika A =
a b
c d





 , maka determinan matriks
A = |A|=
a b
c d
ad bc





 = −
2) Jika A =
a b
c d





 , maka invers matriks
A = A =
|A|
=−
−
−






1 1 d b
c a
Apabila |A| = 0, maka matriks A tidak mempu-
nyai invers dan disebut matriks singular.
Apabila |A|≠ 0, maka matriks A mempunyai
invers dan disebut matriks non singular.
Baris 1 a b c
2 d e f
1 2 3

68. 68
3) Sifat-sifat invers matriks
(1) A A-1
= A-1
A = I =
1 0
0 1





 matriks
identitas
(2) (A B)-1
= B-1
A-1
6. Penggunaan matriks dalam sistem persamaan
linear
1) Cara Matriks
Jika persamaan AX = B, maka X = A-1
B
Jika persamaan XA = B, maka X = B A-1
2) Cara determinan
ax + by = p
cx + dy = q
maka x=
dx
d
dan y =
dy
d
dengan D D x = D y ==
a b
c d
p b
c q
a p
c q
, ,
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Diketahui matrik A =
3 0
2 5
 
 
 
, B =
1
1
x
y
− 
 
 
dan
C =
0 1
15 5
− 
 − 
, A’ adalah transpos dari A.
Jika A’ · B = C maka nilai 2x + y = ….
A. -4 D. 5
B. -1 E. 7
C. 1
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe A )
Pembahasan:
3 2
0 5
1
1
0 1
15 5
3 2 1
5 5
0 1
15






−




 =
−
−






+ −




 =
−
−
x
y
x y
y 55
5 15
3
3 2 3 0






⇒ = −
= −
⇒ + − =
y
y
x
�
( )
2x =
Jadi nilai: 2x + y
= 2 (2) – 3
= 1
Jawaban : C
2. Jika matriks A=
2x+ 1 3
6 1 5x−





 tidak mempunyai
invers, maka nilai x adalah ....
A. -2 D. 1
B. -1 E. 2
C. 0
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe B )
Pembahasan:
Matriks tidak punya invers:
 detA=0
2(5 x + 1) – 3(6x – 1)=0
 x=1
Jawaban: D
3. Diketahui persamaan matriks
Jika
a
c
b
d











 =
−





−



− 


2
3
3
4
1
3
2
4
2
1
4
2
maka a + b + c + d = ….
A. 2 D. 5
B. 3 E. 6
C. 4
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe A )
Pembahasan:
a
c
b
d
a
c











 =
−





−



− 


⇔
2
3
3
4
1
3
2
4
2
1
4
2





 =
−
−












⇔





 =
−
−


−
b
d
a
c
b
d
4 8
2 4
2 3
3 4
4 8
2 4
1




−
−






=
−
− 





4 3
3 2
40
20
28
14
Jadi: a + b + c + d = 40 – 28 – 20 + 14 = 6
Jawaban: E
4. Matriks X berordo (2 × 2) yang memenuhi
1 2
3 4
 
 
 
X =
4 3
2 1
 
 
 
adalah ….
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe C)
A.
6 5
5 4
− − 
 
 
D.
4 2
3 1
− 
 
− 
B.
5 6
4 5
− 
 
 
E.
12 10
10 8
 
 
− − 
C.
6 5
4 5
− − 
 
 

69. 69
Pembahasan:
X =





 ⋅






= −
−
−












= −
−
1 2
3 4
4 3
2 1
1
2
4 2
3 1
4 3
2 1
1
1
22
12 10
10 8
6 5
5 4
− −






=
− −





Jawaban : A
5. Diketahuipersamaanmatriks A = BT (BTadalah
transpose matriks B), dengan A =
4
2 3
a
b c
 
 
 
dan B =
2 3 2 1
a 7
c b a
b
− + 
 
+ 
. Nilai a + b + c = ....
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe C)
A. 6 D. 15
B. 10 E. 16
C. 13
Pembahasan:
A =
4
2 3
a
b c
 
 
 
B =
2 3 2 1
a 7
c b a
b
− + 
 
+ 
® BT
=
2 3
2 1 7
c b a
a b
− 
 
+ + 
(Hubungan: A=BT
)
4
2 3
a
b c
 
 
 
=
2 3
2 1 7
c b a
a b
− 
 
+ + 
Dari persamaan matriks dapat diperoleh :
 4 = 2a  a = 2
 2b = 2 (2a + 1 )
b = 2a + 1 = 2.2 + 1 = 5
 3c = 2 (b + 7)
3c = 2(5 + 7)  c = 8
Jadi, a + b + c = 2 + 5 + 8 = 15
Jawaban : D
LATIHAN SOAL
1. Jika matriks
a a1
0 1
−




 dan
2
0 1
b




 maka nilai b
adalah ....
A. – 2 D. 1
B. – 1 E. 2
C. 0
2. Jika matriks A =
a
a
a
2 3
1 4
2 5










tidak mempunyai
invers, maka nilai adalah . . . .
A. 2 D. 1
B. 3 E. 2
C. 5
3. Jika MN matriks satuan dengan
2 4
1 6





 maka M
= ....
A. − −










−










−
−
3
4
1
2
1
8
1
4
3
4
1
2
1
8
1
4
3
4
1
2
1
8
1
44
3
4
1
2
1
8
1
4
3
4
1
2
1
8
1
4




















−
− −










D.
− −










−










−
−
3
4
1
2
1
8
1
4
3
4
1
2
1
8
1
4
3
4
1
2
1
8
1
44
3
4
1
2
1
8
1
4
3
4
1
2
1
8
1
4




















−
− −










B. E.
C.
4. Matriks X yang memenuhi persamaan
2 7
5 3
X=






−
−






3 8
7 9
adalah ....
A. 2 3
1 2
2 3
1 2
2 3
1
−
−






− −
−






−
− −






− −
− −






−





2
2 3
1 2
2 3
1 2

D.
2 3
1 2
2 3
1 2
2 3
1
−
−






− −
−






−
− −






− −
− −






−





2
2 3
1 2
2 3
1 2

B. E.
C.
5. Jika
2 3
3 1
1
8
−










 =






x
y
, maka 4x + 5y = ....
A. – 6 D. 0
B. – 4 E. 2
C. – 2

70. 70
6. Nilai yang memenuhi
a b
c d
2
3
0










 −





 =
1 2
2 1
1
4
0
1 2





 adalah ....
A. – 5 D. 1
B. – 1 E. 5
C. 0
7. Nilai t yang memenuhi
t
t
− −
− −
2
4 1
3
adalah ....
A. – 3 D. 3
B. – 1 E. 5
C. 0
8. Diketahui persamaan matriks
a
c
b
d











 =
−





−



− 


2
3
3
4
1
3
2
4
2
1
4
2
Maka a + b + c + d = ….
A. 2 D. 5
B. 3 E. 6
C. 4
9. Diketahui matriks A
3 0
2 5
B= dan C ==




−



−
−
,
x
y
1
1
0
115 5


A
3 0
2 5
B= dan C ==




−



−
−
,
x
y
1
1
0 1
115 5



 adalah transpos dari A.
Jika At
· B= C maka nilai 2x + y = ....
A. -4 D. 5
B. -1 E. 7
C. 1
10. Diketahui matriks P =
2 5
1 3
dan Q =
5 4
1 1











 .
Jika P–1
adalah invers matriks P dan Q–1
adalah
invers matriks Q maka determinan matriks P–1
Q–1
adalah ....
A. 223 D. -10
B. 1 E. -223
C. -1

71. 71
Barisan dan Deret
B A B
XVI
1. Barisan dan Deret Aritmatika
a. Bentuk umum barisan:
U1, U2, U3, U4, … , Un
a, a + b, a + 2b, a + 3b, … , a + (n – 1)b
b. Beda (selisih) = b
b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = …
= Un – Un – 1
c. Suku ke-n (Un)
Un = a + (n – 1)b
Un = Sn – Sn – 1
d. Jumlah n suku pertama (Sn)
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un – 1 + Un
( )
2n n
n
S a U= + atau { }2 ( 1)
2n
n
S a n b= + −
e. Hubungan suku pertama (a), suku tengah (Ut), dan
suku ke-n (Un)
2 1
1
( )
2t kU a U −= + , k letak suku tengah, banyaknya
suku 2k – 1
Sn = n . Ut
f. Sisipan
1baru
b
b
k
=
+
2. Barisan dan Deret Geometri
a. Bentuk umum barisan :
U1, U2, U3, U4, … , Un
r, ar, ar2
, ar3
, … , arn–1
b. Rasio (perbandingan) = r
32 4
1 2 3 1
. . . n
n
UU U U
r
U U U U −
= = = = =
c. Suku ke-n (Un)
Un = arn–1
Un = Sn – Sn – 1
d. Jumlah n suku pertama (Sn)
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un – 1 + Un
( 1)
, 1
1
n
n
a r
S r
r
−
=
−
atau
(1 )
, 1
1
n
n
a r
S r
r
−
=
−
e. Hubungan suku pertama (a), suku tengah (Ut), dan
suku ke-n (Un)
2
t nU a U= ⋅
f. Sisipan
1k
barur r+=
3. Deret Geometri Tak Hingga
a. Konvergen (semakin mengecil), apabila limit jumlah
untuk n  ∞ dapat ditentukan.
Jumlah sampai tak hingga:
1
a
S
r∞ =
−
,
-1 r 1, r ≠ 0.
b. Divergen (semakin menyebar/membesar), apabila
limit jumlah untuk n  ∞ tidak dapat ditentu­
kan.
Jumlah sampai tak hingga : S∞ = ± ∞ , r -1 atau
r 1.

72. 72
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Seorang ibu membagikan permen kepada 5
orang anaknya menurut aturan deret matematika.
Semakin muda usia anak semakin banyak permen
yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak
kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka
jumlah seluruh permen adalah ….
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe A)
A. 60 buah D. 75 buah
B. 65 buah E. 80 buah
C. 70 buah
Pembahasan:
Deret aritmatika :
u2 = a + b = 11
u4 = a + 3b = 19
-2b = -8
b = 4  a = 7
5
5
(2. 7 4. 4) 75
2
S = + =
Jadi seluruh permen : 75 buah
Jawaban : D
2. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m da me­
man­tul kembali dengan ketinggian
3
4
kali tinggi
sebelumnya.begitu seterusnya hingga bola ber­
henti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah ….
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe B)
A. 65 m D. 77 m
B. 70 m E. 80 m
C. 75 m
Pembahasan:
10
40
3
1
4
S = =
−
Panjang seluruh lintasan adalah:
2 ( S ) – 10 = 2 ( 40 ) – 10 = 70
Jawaban : B
3. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang
masing-masing potongan membentuk barisan
geometri.Jikapanjangpotongan taliterpendeksama
dengan 6 cm dan panjang potongan tali terpanjang
sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali
tersebut adalah ….
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe A)
A. 378 cm D. 762 cm
B. 390 cm E. 1.530 cm
C. 570 cm
Pembahasan:
Potongan tali terpendek: a = 6
Potongan tali terpanjang: u7 = ar6
= 384
6
6
384
6
64
2
ar
a
r
r
=
⇔ =
⇔ =
Panjang keseluruhan tali :
7 7
7
( 1) 6 (2 1)
1 2 1
a r
S
r
− −
= =
− −
= 762
Jawaban : D
4. Seorang anak menabung di suatu bank dengan
selisih kenaikan tabungan antarbulan tetap. Pada
bulan pertama sebesar Rp50.000,00, bulan kedua
Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00, dan se­
terusnya.
Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun
adalah ….
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe C)
A. Rp1.315.000,00 D. Rp2.580.000,00
B. Rp1.320.000,00 E. Rp2.640.000,00
C. Rp2.040.000,00
 Pembahasan:
Merupakan deret Aritmatika
Dengan: a = 50.000
b = 5.000
Besar tabungan selama 2 tahun:
24
24
(2 23 )
2
12(100.000+23(5000))
2.580.000
S a b= = +
=
=
Jawaban : D
5. Setiap hari minggu Toko PINTAR buka lebih awal,
mulai pukul 07.30 dan istirahat pada pukul 12.00.
Pengunjung toko tersebut datang silih berganti.
Hasil pendataan tiap 15 menit, pengunjung
bertambah secara konstan. 15 menit pertama,
banyak peng­unjung 6 orang dan banyak seluruh
pengunjung sampai pukul 12.00 sebanyak 567
orang, ba­nyak pengunjung sampai pukul 09.00
adalah ….
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe A)
A. 21 orang D. 54 orang
B. 27 orang E. 81 orang
C. 49 orang

73. 73
 Pembahasan:
Deret Aritmatika dengan :
a = 6
s18 = 9 ( 12 + 17b ) = 567
 b = 3
Banyak pengunjung sampai pukul 09.00 :
S6 = 3 ( 12 + 5. 3 )
= 81
Jawaban : E
6. SebuahmobildibelidenganhargaRp.90.000.000,00.
Jika setiap tahun mengalami penyusutan 15% dari
nilai tahun sebelumnya, harga mobil tersebut
setelah dipakai 5 tahun adalah ….
A. Rp90.000.000,00 (0,15)5
B. Rp90.000.000,00 (0,85)5
C. Rp90.000.000,00 (1,5)5
D. Rp90.000.000,00 (0,15)-5
E. Rp90.000.000,00 (8,5)-5
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe B)
 Pembahasan:
Harga mobil setelah 5 tahun
M = 90.000.000 (1 – 15%) 5
= 90.000.000 (0,85) 5
Jawaban : B
LATIHAN SOAL
1. Rumus sederhana suku ke-n dari barisan 2, 6, 12,
20 … adalah ....
A. Un = 2 + 2n
D. Un = n2
+ 2
B. Un = 2n
+ 1 E. Un = 2n + 2
C. Un = n2
+ n
2. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika
adalah Sn = n2
– n. Suku ke-10 deret tersebut
sama dengan ....
A. 8 C. 18 E. 90
B. 11 D. 72
3. Diketahui deret bilangan 10 + 11 + 12 + 13 +
… + 99. Dari deret bilangan itu, jumlah bilangan
yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5
adalah ....
A. 950 C. 1.930 E. 2.430
B. 1.480 D. 1.980
4. Jumlah deret aritmatika 2 + 5 + 8 + … + k =
345, maka nilai k adalah ....
A. 15 C. 44 E. 47
B. 25 D. 46
5. Populasi satu jenis serangga setiap tahun menjadi
dua kali lipat. Jika populasi serangga tersebut saat
ini mencapai 5.000 ekor, maka 10 tahun yang
datang populasinya sama dengan .... ekor
A. 2.557.500 D. 5.115.000
B. 2.560.000 E. 5.120.000
C. 5.090.000
6. Setelah mengenai lantai, sebuah bola memantul
sampai ke ketinggian 4 m, kemudian sampai
ketinggian 2 m, selanjutnya 1 m dan seterusnya.
Jarak yang ditempuh selama selama enam pantulan
pertama adalah ... m
A. 63
4
C. 31
4
E.
62
32
B.
63
8
D.
63
32
7. Persamaan kuadrat x2
– 6x + p = 0 mempunyai
akar-akar a dan b. Jika a, b, ab membentuk suatu
barisan geometri, maka nilai p adalah ....
A. 16 atau 9 D. –12 atau 18
B. –6 atau 24 E. –27 atau 8
C. –8 atau 27
8. Jumlah tak hingga sebuah deret geometri ialah
–18 sedang rasionya
2
3
− , maka suku pertama
deret tersebut adalah ....
A. –30 D. 16
1
3
B. -10
4
5
E. 30
C. 10
4
5
9. Diketahui
0
(4 3) dx=2x
α
−∫ . Jumlah deret
log a + log
1
2
+ log
1
4
+ log
1
8
+ ...
adalah ....
A. log
1
2
C.
1
2
log 4 E. log 4
B.
1
2
log 2 D. log 2
10. Dari suatu deret geometri ditentukan
U1 + U2 + U3 = –17 dan U1.U2.U3 = –125. Nilai
U1 adalah . . . .
A. –
5
2
atau –10 D. 5 atau –10
B. – 5 atau 10 E.
5
2
atau 10
C. –
2
5
atau –10