MATEMATIKA SEKOLAH

1
RINGKASAN MATERI
MATEMATIKA
SKL MATEMATIKA SMA/MA
NO KOMPETENSI INDIKATOR
1. Menggunakan logika matematika da-
lam pemecahan masalah
Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari suatu pernyataan
majemuk atau pernyataan berkuantor
Menentukan kesimpulan dari beberapa premis
2. Memahami konsep yang berkaitan
dengan aturan pangkat, akar, dan
logaritma, fungsi aljabar sederhana,
fungsi kuadrat dan grafiknya, persa-
maan dan pertidaksamaan kuadrat,
komposisi dan invers fungsi, sistem
persamaan linear, program linear, ma-
triks, barisan dan deret, serta mampu
menggunakannya dalam pemecahan
masalah
Menentukan hasil operasi bentuk pangkat, akar, dan logaritma
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan grafik fungsi
kuadrat
Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan
kuadrat
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat
Menentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua
variabel
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem
persamaan linear dua variabel
Menentukan nilai optimum bentuk objektif dari daerah himpunan
penyelesaian sistem persamaan linear
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan
program linear
Menyelesaikan masalah matriks yang berkaitan dengan kesa-
maan, determinan, dan atau invers matriks
Menentukan suku ke-n atau jumlah n suku pertama deret arit-
matika atau geometri
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan bari-
san dan deret aritmetika
3. Memahami limit fungsi aljabar, tu-
runan fungsi, nilai ekstrim, dan
integral fungsi serta menerapkannya
dalam pemecahan masalah
Menghitung nilai limit fungsi aljabar
Menentukan turunan fungsi aljabar dan aplikasinya
Menentukan integral fungsi aljabar
Menentukan luas daerah dengan menggunakan integral

2
4. Mengolah, menyajikan, dan menaf-
sirkan data dan memahami kaidah
pencacahan, permutasi, kombinasi
dan peluang kejadian serta mampu
menerapkannya dalam pemecahan
masalah
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan kaidah
pencacahan, permutasi, atau kombinasi
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang dan
frekuensi harapan suatu kejadian
Menentukan unsur-unsur pada diagram lingkaran atau batang
Menghitung nilai ukuran pemusatan dari data dalam bentuk
tabel atau diagram
Menentukan nilai ukuran penyebaran

3
EKSPONEN DAN BENTUK AKAR
Pangkat Bulat PositifA.
...n
n
a a a a a= × × × ×

Contoh : 25
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
Pangkat Bulat NegatifB.
1n
n
a
a
−
=
Contoh : 2-4
= 4
1 1
162
=
Sifat-Sifat PerpangkatanC.
a. am
× an
= am+n
Contoh : 22
× 23
= 22+3
= 25
b. am
: an
= am-n
Contoh : 29
: 24
= 29-4
= 25
c. (am
)n
= am × n
Contoh : (25
)2
= 25×2
= 210
d. (a × b)n
= an
× bn
Contoh : 103
= (2 × 5)3
= 23
× 53
e.
n n
n
a a
b b
 
= 
 
Contoh :
4 4
4
2 2
3 3
 
= 
 
Persamaan EksponenD.
Untuk a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1, berlaku:
a. Jika af(x)
= am
, maka f(x) = m
Contoh:
Terdapat persamaan eksponen 41+x
= 42
.
Berapakan nilai x?
41+x
= 42
sesuai dengan af(x)
= am
 a = 4,
f(x) = 1+x, dan m = 2
f(x) = m 1+ x = 2  x = 1
b. Jika af(x)
= ag(x)
, maka f(x) = g(x)
Contoh:
Terdapat persamaan eksponen 41+x
= 41+2x
Berapakah nilai x?
41+x
= 41+2x
sesuai dengan af(x)
= ag(x)
 a = 4
f(x) = 1+x, dan g(x) = 1+2x
c. f(x) = g(x) 1+ x = 1+2x  x = 0
Jika af(x)
= bf(x)
, maka f(x) = 0  Ingat, bilangan apa
pun yang dipangkatkan nol sama dengan 1, a0
= 1
Contoh:
Terdapat persamaan eksponen 43x+6
= 53x+6
.
Berapakah nilai x?
43x+6
= 53x+6
sesuai dengan af(x)
= bf(x)
 a = 4,
b = 5, dan f(x) = 3x+6
f(x) = 0 3 x+6  x = 2
d. Jika {h(x)}f(x)
= {h(x)}g(x)
, maka berlaku:
f(x) = g(x)
• h(x) = 1 dapat berlaku f(x) ≠ g(x)
• h(x) = 0 untuk f(x) > 0 dan g(x) > 0
• h(x) = -1 untuk f(x) dan g(x) keduanya ganjil
atau keduanya genap.
e. Jika A{af(x)
}2
+ B{af(x)
} + C = 0, maka dapat dise
lesaikan dengan persamaan kuadrat.
Contoh:
Terdapat persamaan (21+x
)2
- 2(21+x
) + 1 = 0,
berapakah nilai x?
(21+x
)2
- 2(21+x
) + 1 = 0 sesuai dengan A{af(x)
}2
+
B{af(x)
} + C = 0  A = 1, B = 2, C = 1, a = 2,
dan f(x) = 1+x
(21+x
)2
- 2(21+x
) + 1 = 0 misalkan
21+x
= y  y2
– 2y +1 =0 (persamaan kuadrat)
(y – 1) 2
= 0
y – 1 = 0  y = 1
21+x
= y 21+
x
= 1 21+
x
= 20
1+ x=0 
x = -1
EKSPONEN, BENTUK AKAR,
DAN LOGARITMA
MATEMATIKA
B A B
I

4
Pertidaksamaan EksponenE.
a. Untuk a > 1
• Jika af(x)
> ag(x)
, maka f(x) > g(x)
• Jika af(x)
< ag(x)
, maka f(x) < g(x)
b. Untuk 0 < a < 1
• Jika af(x)
> ag(x)
, maka f(x) < g(x)
• Jika af(x)
< ag(x)
, maka f(x) > g(x)
Bentuk Akar dan Menyederhanakan
Bentuk Akar
F.
1. Bentuk akar irasional  akar dari bilangan rasional
yang hasilnya merupakan bilangan irrasional, yaitu
hasilnya bilangan desimal yang tidak berakhir dan
tak berulang dengan tetap.
Contoh: 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19 , serta keli
patan dari akar-akar tersebut.
2. Penyerdahanaan bentuk akar irasional
a b a b× = ×
Contoh: 20 4 5 4 5 2 5 2 5= × = × = × =
 5 adalah bentuk akar irasional,
sehingga 20 termasuk bentuk akar
irasional
( )
( )
a c b c a b c
a c b c a b c
+ = +
− = −
Contoh : 3 3 5 3 2 3 (3 5 2) 3 6 3+ − = + − =
( ) 2
( ) 2
a b ab a b
a b ab a b
+ + = +
+ − = −
Contoh :

5 2 6 (3 2) 2 2 3
3 2
8 2 12 (6 2) 2 6 2
6 2
+ = + + ⋅
= +
− = + − ⋅
= −
Pangkat PecahanG.
m
n n m
a a=
Contoh :
5
7 573 3=
Merasionalkan Penyebut PecahanH.
a a b a b
bb b b
= × =
Contoh:
6 6 3 6 3
2 3
33 3 3
= × = =

2
2
( )
( )
c c a b c a b
a ba b a b a b
c c a b c a b
a ba b a b a b
− −
= × =
−+ + −
+ +
= × =
−− − +
Contoh:
2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
21 2
1 2
21 2
1
21 2
3
3 2
3
3 2
3 2
3
2
+
=
+
×
−
−
=
−
−
=
−
−
= − −
−
=
−
×
+
( )
( )
( )
++
=
+
−
=
+
−
= − +
2
3 3 2
3 4
3 2 3
1
3 2 3
( )
( )
c
a b
c
a b
a b
a b
c a b
a b
c
a b
c
a b
a b
a b
c a b
a b
+
=
+
×
−
−
=
−
−
−
=
−
×
+
+
=
+
−
( )
( )
Contoh:
2
3 2
2
3 2
3 2
3 2
2 3 2
3 2
2 3 2
1
2 3 2
3
3 5
+
=
+
×
−
−
=
−
−
=
−
= −
−
( )
( )
( )
==
−
×
+
+
=
+
−
=
+
−
= − +
3
3 5
3 5
3 5
3 3 5
3 5
3 2 3
2
1
2
3 2 3
( )
( )
Tanda pertidak
samaannya tetap
Tanda pertidak
samaannya
berubah
® a = 3 dan b = 2
® a = 6 dan b = 2

5
LOGARITMA
DefinisiA.
g
log a = x  gx
= a
Syarat: (a > 0) dan (0 < g 1 atau g > 1)
Ket : g = bilangan pokok atau basis logaritma,
a = numerous, x = hasil logaritma
Contoh: 2
log 8 = 3  8 = 23
 g = 2, a = 8,
dan x = 3
Sifat-Sifat LogaritmaB.
1. g
log gn
= n
Contoh: 3
log 81 = 3
log 34
=4
2. g
log g = 1
Contoh: 2
log 2 = 1
3. g
log 1 = 0
Contoh: 5
log 1 = 0 1 = 50
 (bilangan
apapun dipangkat nol sama dengan 1)
4. g
log (a × b) = g
log a + g
log b
Contoh: 3
log 18 = 3
log (9 x 2) = 3
log 9 + 3
log 2
= 2 + 3
log 2
5. g
log
a
b
= g
log a - g
log b
Contoh: 2
log 3
4
= 2
log 3 – 2
log 4 = 2
log 3 – 2
6. g
log an
= n × g
log a
Contoh: 5
log 8 = 5
log 23
= 3· 5
log 2
7. g
log a = log
log
p
p
a
g
Contoh: 7
log 4 =
2
2 2
log 4 2
log 7 log7
=
8. g
log a = 1
loga
g
Contoh: 9
log 3 =
3
1 1
2log 9
=
9. g
log a × a
log b = g
log b
Contoh : 2
log 5 × 5
log 4 = 2
log 4 = 2
10. log log
n
g m gm
a a
n
=
Contoh: 2
25 5 3 53
log 27 log3 log 3
2
= =
11. log log
n
g n g
a a=
Contoh:
2
16 4 2 4
log 49 log 7 log7= =
12. logg
a
g a=
Contoh:
5
log13
5 13=
Persamaan LogaritmaC.
Untuk a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0, g(x) > 0, berlaku:
a. Jika a
log f(x) = a
log m, maka f(x) = m
Contoh:
2
log (2+x) = 2
log 8, berapakah nilai x?
2
log (2+x) = 2
log 8 2  + x = 8  x = 6
b. Jika a
log f(x) = a
log g(x), maka f(x) = g(x)
Contoh:
3
log (4x + 1) = 3
log (1 + x), berapakah nilai x?
3
log (4x + 1) = 3
log (1 + x) 4 x + 1 = 1 + x
 x = 0
Pertidaksamaan LogaritmaD.
a. Untuk a > 1
• Jika a
log f(x) > a
log g(x),
maka f(x) > g(x)
• Jika a
log f(x) < a
log g(x),
maka f(x) < g(x)
b. Untuk 0 < a < 1
• Jika a
log f(x) > a
log g(x),
maka f(x) < g(x)
• Jika a
log f(x) < a
log g(x),
maka f(x) > g(x)
Tanda pertidaksamaan
tetap
Tanda pertidaksamaan
berubah
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Nilai x yang mempunyai persamaan logaritma

6 2 6
2
2
5 50 2 10
3
6
log log
log
log
x x x− −( ) − +( ) =
adalah ….
A. 12 D. 20
B. 16 E. 22
C. 18
Pembahasan:
6 2 6
2
2
6
2
5 50 2 10
3
6
5 50
2 10
log log
log
log
log
x x x
x x
x
− −( ) − +( ) =
⇔
− −( )
+( ))
=
⇔
−( ) +( )
+( )
=
⇔
−( )
6
6 6
6
3
10 5
2 5
3
10
log
log log
log
x x
x
x
22
3
10
2
3
6
=
⇔
−
=
⇔
log
x
x
x
− =
⇔ =
10 6
16 Jawaban: B

6
2. Himpunan penyelesaian dari
( )3 3
2 4 1
9
3
x
x
− +
+  
=  
 adalah ….
A. -2 D. 1
B. -1 D. 2
C. 0
Pembahasan:
9
1
3
3 3
2 4
3 3
2 2 4 1 3 3
x
x
x x
n
+
− +( )
+ − − +( )
=






⇔ ( ) = ( ) → =Ingat: 1/ nn
x x
x x
x
x
x x
−
+
+
+ +
⇔ ( ) =
⇔ =
⇔ + = +
⇔ − = −
1
3 3
3 3
2 4 3 3
2 3 3
2
2 4
2 3 3
2 4 3 3
44
1
1
⇔ − = −
⇔ =
x
x
Jawaban: D
3. Diketahui 3
log 2 = x dan 2
log 5 = y, maka 5
log 15
adalah ....
A.
1xy
xy
+
D.
1xy
x
+
B.
1x
xy
+
E.
1xy
y
+
C.
1y
xy
+
Pembahasan:
Diketahui:
3
2
2
5
2
2
2
2
1
3
3
1
15
15
5
log
log
log
log
log
log
lo
= ⇔ = ⇔ =
=
=
x x
x
gg .
log
log log
log
log
5 3
5
5 3
5
5
2
2 2
2
2
( )
=
+
=
+ 22
2
3
5
1
1
log
log
=
+
=
+
y
x
y
xy
x x
y
==
+
= +
xy
xy xy
1
1
1
Cara lain
 3
log 2 · 2
log 5 = 3
log 5 = x·y
dan
 5
log 15 = 5
log (3×5) = 5
log 3 + 5
log 5
 = 5
log 3 +1
 = 3
1
1
log 5
+
 =
1
1
xy
+
Jawaban: A
4. Penyelesaian pertidaksamaan: Log(x – 4) +
log(x + 8) < log(2x + 16) adalah ….
A. - 8 <x<6 D. 2 <x<8
B. - 6 <x<8 E. 6<x<8
C. 2 <x<6
Pembahasan:
log(x – 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)
log (x – 4)(x +8) < log(2x + 16)
(x2
+ 4x – 32) < 2x + 16
x2
+ 2x – 48 < 0
(x + 8)(x – 6) < 0
Dengan garis bilangan diperoleh:
Daerah nilai x adalah - 8 <x<6
(untuk menentukan daerah nilai x masukkan x = 0
maka nilai pertidaksamaan adalah – 48. Nilai x = 0
di antara nilai x = -8 dan x = 6, sedangkan nilai
pertidaksamaan -48 < 0 oleh karena itu daerah
hasil di antara -8 dan 6)
Jawaban: A
5. Akar- akar dari persamaan 2log (x2
– 4x + 5) = 3
adalah x1
dan x2
. Nilai x1 2 + x2
2
adalah…
A. -10 D. 11
B. -5 E. 22
C. 0
Penyelesaian :
2log (x2
– 4x + 5) = 2log 23
(x2
– 4x + 5) = 23
x2
– 4x + 5 = 8
x2
– 4x – 3 = 0  x1
+ x2
= 4
x1
∙ x2
= -3
x1
2
+ x2
2
= (x1 + x2)2
– 2x1 x2
= (4)2
– 2(-3)
= 22
Jawaban: E
-8 0 6
Ax2
+ Bx + C = 0;
x1
+ x2
= -(B/A)
x1
·x2
= C/A

7
LATIHAN SOAL
1. Bentuk sederhana dari
ab a b
a b
( ) × ( )3 2 2
2 3 adalah ….
A. a5
b2
D. a5
b7
B. ab7
E. a6
b8
C. a4
b2
2. Bentuk sederhana dari 6 3 3 6 3 3+( ) −( )adalah ….
A. 2 D. 5
B. 3 E. 6
C. 4
3. Jika x himpunan penyelesaian 2 7 1
9
3
x −
= , maka
nilai dari 8x + 2 adalah ….
A. 20 D. 29
B. 25 E. 35
C. 27
4. Nilai x yang memenuhi 4 4
log log 4 3x − =
adalah….
A. 4 D. 144
B. 64 E. 256
C. 81
5. Jika 3
log2 a= , maka 8
log 9 = ….
A.
3
a
D.
2
3a
B.
1
3a
E.
2
5a
C.
2
a
6. Nilai dari
1
3 5
5 27log log = ….
A. -8 D. 0
B. -5 E. 3
C. -3
7. Nilai x dari ( )log(log ) log 4 logx x= − adalah
….
A. 2 D. 100
B. 4 E. 125
C. 64
8. Diketahui nilai a = 8, b = 25, dan c = 81. Nilai
dari
2 1 1
3 2 4a b c⋅ ⋅ = ....
A. 8 D. 81
B. 25 E. 100
C. 60
9. Nilai dari bentuk 128 108 8
27
− + adalah ....
A.
6 18
9
−

D.
6 3 18
9
−
B.
10 2 18
9
−

E.
10 6 18
9
−
C.
4 6 18
9
−
10. Penyelesaian persamaan 3x2 + X–2
= 81x+2
adalah a
dan b, dengan a > b. Nilai a – b adalah ….
A. 7 D. 20
B. 12 E. 25
C. 15

8
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI
KUADRAT,DANPERTIDAKSAMAAN
KUADRAT
B A B
II
PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk UmumA.
ax2
+ bx + c = 0
Syarat: a, b, c,  R dan a 0 
Contoh: 3x2
– 2x + 5 = 0,
nilai-nilai a = 3, b = -2, dan c = 5
Menentukan Akar-Akar Persamaan
Kuadrat
B
1. Memfaktorkan
Jika a, b,  R dan berlaku a·b = 0,
maka a = 0 atau b = 0
Contoh: x2
– 5x + 6 = 0
a = 1, b = -5, dan c = -6
 (x – 2)(x – 3) = 0
 x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
 x = 2 atau x = 3
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Jika p 0  dan berlaku (x + p2
) = q,
maka x =–p± q dengan q 0 
Langkah-langkah:
a) Ubahlah persamaan kuadrat semula ke dalam
bentuk  (x + p)2
= q dengan q ≥ 0 melalui
proses melengkapkan kuadrat sempurna.
b) Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai
dengan bentuk persamaan yang terakhir 
(x + p) = ± q atau x = –p± q
Contoh: x2
– 2x – 2 = 0
 (x2
– 2x + 1) + (-1) – 2 = 0
 (x – 1)2
– 3 = 0
 (x – 1)2
= 3 ® sesuai dengan
persamaan (x + p)2
= q
 (x – 1) = ± 3
 x – 1 = 3 atau x – 1= - 3
 x = 1 + 3 atau x = 1 – 3
3) Rumus abc
x
b b ac
a
12
2
4
2
, =
− ± −
Contoh: x2
– 6x + 8 = 0, koefisien-koefisiennya
adalah a = 1, b = -6, dan c = 8.
x
x
12
2
1
6 6 4 1 8
2 1
6 36 32
2
6 4
2
6 2
2
6 2
2
4
,
( ) ( ) . .
.
=
− − ± − −
=
± −
=
±
=
±
=
+
= atauu x2
6 2
2
2=
−
=
Jenis-Jenis Persamaan KuadratC.
Persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0 dengan nilai
diskriminan D = b2
– 4ac.
1) Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai
dua akar real yang berlainan.
a) Jika D berbentuk kuadrat sempurna maka
kedua akarnya rasional.
b) Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna,
maka akarnya irasional.
2) Jika D = 0 maka persamaan kuadrat mempunyai
dua akar yang sama (akar kembar), real dan
rasional.

9
3) Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak
mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak
real (imajiner).
Contoh: x2
– 6x + 8 = 0, koefisien-koefisiennya:
a = 1, b = -6, c = 8.
D = b2
– 4ac
= (-6)2
– 4∙1∙8
= 36 – 32
= 4 ® D > 0 dan I bilangan kuadrat
sempurna.
Jadi, jenis akar-akar persamaan tersebut adalah mem
punyai dua akar real berlainan dan rasional.
Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar
Persamaan Kuadrat
D.
x x
b
a
x x
c
a
1 2 1 2+ = − ⋅ =dan
Jika x1 dan x2, akar-akar persamaan kuadrat
ax2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0).
1) Akar-akarnya berlawanan (x1 = -x2)  b = 0.
Contoh: x2 – 4 = 0 ® b = 0 maka x1 = 2
dan x2 = -2
2) Akar-akarnya berkebalikan (x1 =
2
1
x
)  a = c.
Contoh: 2x2
+ 5x + 2 = 0 ® a = c = 2
maka x1 = -2 dan x2 = -½ (x2 = 1/x1)
3) Sebuah akarnya sama dengan nol
(x1 = 0)  c = 0 dan x2 =
b
a
−
Contoh: x2 + 4x = 0 ® x (x + 4) = 0 ® x1 = 0
dan x2 = -4 ® c = 0 dan x2 = -(b/a)
4) Kedua akarnya bertanda sama  0
c
a
>
Contoh: x2
– 6x + 8 = 0 ® x1 = 4 dan x2 = 2
(bertanda sama) ® a = 1 dan
c = 8 ®
8
8 0
1
c
a
= = >
5) Kedua akarnya berlainan tanda  0
c
a
<
Contoh: x2
– 1 = 0 ® x1 = -1 dan x2 = 1
(berlawanan tanda) ®
1
1 0
1
c
a
−
= = − >
Menyusun Persamaan KuadratE.
1. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui
Akar-Akarnya.
a. Memakai Faktor
(x – x1) (x – x2) = 0
Contoh: x1 = 2 dan x2 =-3, persamaan kuadratnya
(x – x1)(x – x2) = 0
 (x – 2)(x + 3) = 0
 x2
+ 3x – 2x – 6 = 0
 x2
+ x – 6 = 0
b. Memakai Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar
x2 – (x1 + x2) x + (x1·x2) = 0
Contoh: x1 = 2 dan x2 = -3
Persamaan kuadratnya:
x2
– (x1 + x2) x + (x1∙x2) = 0
 x2
– (2 – 3) x + 2∙ (-3) = 0
 x2
+ x – 6 = 0
2. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Akar-Akarnya
Mempunyai Hubungan dengan Akar-Akar
Persamaan Kuadrat Lainnya (Menggunakan
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar)Contoh:
Contoh:
Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 4x2
–
3x – 2 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-
akarnya (x1 + 3) dan (x2 + 3)!
• x1 + x2 =
( 3) 3
4 4
b
a
−
− = − = dan
x1 ∙ x2 =
2 1
4 2
c
a
−
= = −
• Misalnya y1 = (x1 + 3) dan y2 = (x2 + 3)
y1 + y2 = (x1 + 3) + (x2 + 3)
= (x1 + x2) + 6
=
3
4
+ 6 =
27
4
y1 ∙ y2 = (x1 + 3)(x2 + 3)
= (x1 ∙ x2) + 3(x1 + x2) + 9
= –
1
2
+ 3∙ (
3
4
) + 9 =
43
4
• Persamaan kuadrat baru:
x2
– (y1 + y2) x + y1 . y2 = 0
 x2
– (
27
4
)x +
43
4
= 0
 4x2
– 27x + 43 = 0

10
FUNGSI KUADRAT
Bentuk UmumA.
f(x) = ax2
+ bx + c
Syarat: a, b, c  R dan a 0 
Contoh: f(x) = -3x2
– 2x + 9
Menggambar Sketsa Grafik Fungsi
Kuadrat
B.
Langkah-langkah
1) Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X (y = 0)
dan sumbu Y (x = 0).
2) Tentukan titik puncak
−
−






b
a
D
a2 4
,
3) Tentukan persamaan sumbu simetri
2
b
x
a
−
=
4) Tentukan beberapa titik lain untuk memperhalus
grafik.
Contoh: grafik f(x) = x2
– 3x + 2
Langkah-langkah:
• Titik potong terhadap sumbu X (y = 0).
0 = x2
– 3x + 2 0  = (x - 1)(x – 2)
 x = 1 atau x = 2
Jadi, titik potong terhadap sumbu X
adalah (1, 0) dan (2, 0).
• Titik potong terhadap sumbu Y (x = 0)
f(0) = 02
– 3∙0 + 2 = 2
Jadi, titik potong terhadap sumbu Y
adalah (2, 0).
• Titik puncak:
−
−






b
a
D
a2 4
,
==
− − − −
−





 = −






( )
.
,
( ) . .
.
,
3
2 1
3 4 1 2
4 1
3
2
1
4
2
• Persamaan sumbu simetri

( 3) 3
2 2.1 2
b
x
a
− − −
= = =
• Gambarlah titik-titik tersebut pada ko
ordinat Cartesius seperti di bawah ini.

X
f(x)
X
X
X
f(x)
X
f(x)
X
f(x)
Tanda-Tanda Grafik Fungsi KuadratC.
a > 0 dan D > 0 a > 0 dan D = 0 a > 0 dan D < 0
Grafik terbuka ke atas
dan memotong sumbu
X di dua titik
dan menyinggung
sumbu X
dan tidak memotong
sumbu X. f(x) > 0,
fungsi ini disebut
definit positif
a < 0 dan D > 0 a < 0 dan D = 0 a < 0 dan D < 0
Grafik terbuka ke
bawah dan memotong
sumbu X
di dua titik.
Grafik terbuka
ke bawah dan
menyinggung sumbu X
Grafik terbuka
ke bawah dan tidak
memotong sumbu
X. f(x) < 0, fungsi ini
disebut definit negatif
Ingat,
• Nilai a untuk menentukan arah grafik terbuka ke
atas (a > 0) atau ke bawah (a < 0)
• Nilai D untuk menentukan grafik memotong
sumbu X (D > 0), menyinggung sumbu X (D =
0), atau tidak memotong sumbu X (D < 0).
Contoh: f(x) = -x2
+ 2x – 1
Koefisien-koefisiennya
a = -1, b = 2, c = -1.
D = b2
– 4ac
= 22
– 4∙ (-1)(-1)
= 4 – 4 = 0
a = -1 < 0 ® grafik terbuka ke bawah
D = 0 ® grafik meyinggung sumbu X
Menyusun Persamaan Grafik Fungsi
Kuadrat
D.
1) Grafik memotong sumbu X di titik A(x1, 0) dan
B(x2, 0) serta melalui sebuah titik tertentu.
f(x) = a(x – x1)(x – x2)
2) Grafik menyinggung sumbu X di titik A(x1, 0) dan
melalui sebuah titik tertentu.
f(x) = a(x – x1)2
2
1 2

11
2. Metode Penyelesaian
a) Carilah nilai-nilai nol (jika ada) bagian ruas kiri
pertidaksamaan ® ax2
+ bx + c = 0.
b) Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis
bilangan, sehingga diperoleh interval-interval.
c) Tentukan tanda-tanda interval dengan cara
menyulihkan nilai-nilai uji yang berada dalam
setiap interval.
d) Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh
pada langkah (c) kita dapat ditetapkan interval yang
memenuhi.
Contoh:
2x2
– x – 6 ≥ 0
• Langkah 1: Nilai-nilai nol bagian ruas kiri
pertidaksamaan.
2x2
– x – 6 = 0
 (2x + 3)(x – 2) = 0
 x = –
3
2
atau x = 2
• Langkah 2: Nilai-nilai nol digambarkan pada
diagram garis bilangan.
• Langkah 3: menentukan tanda-tanda interval.
Nilai Uji Nilai 2x2
– x – 6 Tanda Interval
x = 2 +4 (+) atau > 0
x = 1 –5 (-) atau < 0
x = 3 +9 (+) atau > 0
Tanda-tanda intervalnya adalah:
• Langkah 4: menentukan himpunan penyele
saian.
karena pertidaksamaan 0  pilih interval yang
tandanya positif (+)
Hp = {x | x ≤ -3
/2 atau x ≥ 2, x  R}
3) Kekhususan Bentuk Kuadrat
a) Definit positif ® bentuk kuadrat yang selalu
bernilai positif untuk sebarang bilangan real
(Syarat: a > 0 dan D < 0). Grafik parabolanya
selalu cekung ke atas dan di atas sumbu X).
b) Definit negatif ® bentuk kuadrat yang selalu
bernilai negatif untuk sebarang bilangan real
(Syarat: a < 0 dan D < 0). Grafik parabolanya
selalu cekung ke bawah dan di bawah sumbu X).
–
3
2

2
+ – +
–
3
2

2
+ – +
–
3
2

2
3) Grafik melalui titik puncak P(xp, yp) dan melalui
sebuah titik tertentu.
f(x) = a(x – xp)2
+ yp
4) Grafik melalui titik-titik A(x1, y1), B(x2, y2),
dan C(x3, y3).
f(x) = ax 2
– bx + c
PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Pertidaksamaan LinearA.
1. Bentuk Umum
(i) ax + b < 0
(ii) ax + b 0 
(iii) ax + b > 0
(iv) ax + b 0 
a) Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah
atau dikurangi dengan bilangan yang sama maka
tanda pertidaksamaannya tetap.
b) Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi
dengan bilangan positif yang sama maka tanda
pertidaksamaan tetap.
c) Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi
dengan bilangan negatif yang sama maka tanda
pertidaksamaan berbalik
Contoh: 6x + 6 > 18
 6x > 18 – 6 ® langkah (a)
 6x > 12
 x >
12
6
® langkah (a)
 x > 2 ® tanda pertidaksamaan
tetap
HP = {x | x > 2, x  R}
Contoh: -3x + 6 > 12
 (-3x + 6) : 3 > 12 : 3  langkah (b)
 -x + 2 > 4
 -x > 4 – 2  langkah (a)
 (-x) : -1 < (2) : -1  langkah (c)
 x < -2  tanda pertidaksamaan
berbalik
HP = {x | x < -2, x  R}
Pertidaksamaan KuadratB.
1. Bentuk Umum
(i) ax2
+ bx + c < 0
(ii) ax2
+ bx + c 0 
(iii) ax2
+ bx + c > 0
(iv) ax2
+ bx + c 0 

12
(a) Definit positif (b) Definit negatif
b) Berlakukan syarat bagi fungsi-fungsi yang berada di
dalam tanda akar, yaitu harus positif dan nol.
c) Interval yang memenuhi diperoleh dengan cara
menggabungkan penyelesaian pada (a) dan penye
lesaian pada (b).
Pertidaksamaan Nilai MutlakE.
1. Pengertian Nilai Mutlak
Untuk tiap bilangan real x, nilai mutlak x ditentukan
sebagai:
| |
,
,
x
x untukx
x untukx
=
+ ≥
− <



0
0
2. Sifat-Sifat Nilai Mutlak
a. Untuk a  R dan a 0 , berlaku
(i) |x| < a  –a < x < a
(ii) |x|  a  –a  x  a
(iii) |x| > a  x < –a atau x > a
(iv) |x|  a  x  –a atau x  a
b. |x| = x2
c. Untuk tiap x  R dan y  R, berlaku:
(i) |x·y|=|x|·|y|
(ii)
x
y
=
x
y
, dengan y 0 
(iii) |x·y|||x|–|y||
(iv) |x + y||x|+|y|
Pertidaksamaan PecahanC.
1. Bentuk Umum
()
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
i
fx
g x
iii
fx
g x
ii
fx
g x
iv
fx
g x
< >
≤ ≥
0 0
0 0
a) Carilah nilai-nilai nol bagian pembilang dan
bagian penyebut dari bentuk pecahan
( )
( )
f x
g x
, yaitu
f(x) = 0 dan g(x) = 0.
b) Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis
bilangan sehingga diperoleh interval-interval.
c) Tentukan tanda-tanda interval dengan cara menyu
lihkan nilai-nilai uji yang berada pada setiap inter
val.
d) Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh
pada (c), kita dapat menentukan interval yang
memenuhi. Dalam menentukan interval yang
memenuhi itu, perlu diingat adanya syarat bahwa
bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol atau
g(x) ≠ 0.
Pertidaksamaan Bentuk Akar
(Bentuk Irasional)
D.
1. Bentuk Umum
(i) ( )u x < a (v) ( )u x < a
(ii) ( )u x  a (vi) ( )u x  a
(iii) ( )u x > a (vii) ( )u x > a
(iv) ( )u x  a (viii) ( )u x  a
a) Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan dengan
tanda pertidaksamaan tetap.
1. Salah satu akar dari persamaan 3x2
+ ax – 10 = 0
adalah –2. Nilai a adalah ....
A. -3 D. 1
B. -1 E. 3
C. 0
Penyelesaian :
Substitusi x = -2 ke persamaan kuadrat, diperoleh :
3x2
+ ax – 10 = 0 2
)-2(3  + a(-2) – 10 = 0
2 – 4 · 3 a – 10 = 0
2– a = 10 – 12
 a = 2
2
−
−
= 1
Jawaban: D

13
2. Akar-akar dari persamaan x2
+ 14 = 15x adalah x1
dan x2. Nilai dari 4x1 – 2x2 dengan x1 < x2 adalah
....
a. -24 d. 29
b. -10 e. 42
c. 14
Penyelesaian:
x2
+ 14 = 15x  x2
– 15x + 14 = 0
 (x – 14) (x – 1) = 0
 x – 14 = 0 atau x – 1= 0
 x = 14 atau x = 1
x1 < x2  x1 = 1, x2 = 14
Nilai dari 4x1 – 2x2 = 4 . 1 – 2 . 14
= 4 – 28
= –24
Jawaban: A
3. Panjang suatu persegi panjang lebih 8 cm dari
lebarnya. Luas persegi panjang itu 84 cm2
. Keliling
persegi panjang tersebut adalah ....
A. 8 D. 84
B. 40 E. 100
C. 64
Penyelesaian:
Panjang suatu persegi panjang lebih 8 cm dari
lebarnya  p = l + 8
Luas persegi panjang itu 84 cm2
 L = p . l = 84
p . l = 84  (l + 8) . l = 84
 l2
+ 8l – 84 = 0
 l2
+ 8l – 84 = 0
 (l + 14) (l – 6) = 0
 l – 6 = 0  l + 14 = 0
 l = –14  (tidak memenuhi)
l = 6  p = l + 8 = 6 + 8 = 14
Keliling (K) persegi panjang = 2 (p + l)
= 2 (14 + 6)
= 2 · 20
= 40 cm
Jawaban: B
4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (3 – 2 ) dan
(3 + 2 ) adalah ....
A. x2
– 6x – 7 = 0 D. x2
+ 6x + 7 = 0
B. x2
– 6x + 7 = 0 E. x2
– 8x + 7 = 0
C. x2
+ 6x – 7 = 0
Penyelesaian:
x1 + x2 =(3 – 2 ) + (3 + 2 )
= 3 – 2 + 3 + 2 = 6
x1 x2 = (3 – 2 ) (3 + 2 ) = 9 – 2 = 7
x2
– (x1 + x2) x + x1 x2 = 0  x2
– 6x + 7 = 0
jawaban: B
5. Grafik di bawah ini berbentuk parabola dengan
persamaan ….
A. y = x2
– 4x – 3
B. y = x2
– 4x + 3
C. y = x2
+ 4x – 3
D. y = x2
+ 4x + 3
E. y = x2
– 6x + 3
Penyelesaian:
Dari gambar terlihat bahwa titik potong dengan
sumbu x di titik (1, 0) dan (3, 0) serta memotong di
titik (0, 3). Persamaan yang memotong di titik
(1, 0) dan (3, 0) adalah y = a (x – x1) (x – x2).
Dengan memasukkan nilai x1 dan x2 didapat :
y = a (x – 1)(x – 3)
y = a (x2
– 4x + 3)
= ax2
– 4ax + 3a
a dicari dengan bantuan titik (0, 3);
jika x = 0 maka y = 3; masukkan nilai tersebut:
y = ax2
– 4ax + 3a
3 = 3a
a = 1
Sehingga persamaan grafiknya adalah:
y = x2
– 4x + 3.
Jawaban: B
LATIHAN SOAL
1. Hasil kali dua bilangan cacah genap berurutan
adalah 168. Salah satu bilangan tersebut adalah
….
A. 12 D. 24
B. 16 E. 28
C. 20
2. Luas sebuah persegi panjang yang berukuran
panjang (3x + 1) cm dan lebar (x + 4) cm sama
dengan luas persegi yang panjang sisinya (2x + 2)
cm. Panjang sisi persegi tersebut adalah ….
A. -6 D. 10
B. -4 E. 12
C. -2
3. Jika akar-akar persamaan kuadrat 2x2
+ 5x – 3 = 0
adalah x1 dan x2, maka
1 2
1 1
x x
+ = ....

14
A. 5
3
D. 7
B.
7
2
E. 9
C. 5
4. Persamaan kuadrat x2
(1 − m) + x (8 − 2m) +
12 = 0 mempunyai akar yang sama, maka nilai
m = ….
A. -2 D. 4
B. 0 E. 6
C. 2
5. Jika x1 dan x2 adalah akar persamaan kuadrat
x2
+ 2x – 6 = 0, maka persamaan kuadrat baru
yang akar-akarnya x1 – 2 dan x2 – 2 adalah ....
A. x2
– 6x – 2 = 0 D. x2
+ 6x + 2 = 0
B. x2
– 6x + 2 = 0 E. x2
+ 8x + 2 = 0
C. x2
+ 6x – 2 = 0
6. Pak Sudirman mempunyai pekarangan yang ber
bentuk persegi panjang dengan panjang 30 m dan
lebar 22 m. Di sekeliling pekarangan akan dibuat
suatu jalan yang luasnya 100 m2
. Lebar jalan yang
direncanakan Pak Sudirman adalah ....
A. 1 D. 4
B. 2 E. 5
C. 3
7. Daerah hasil fungsi f(x) = x2
– 2x – 3 untuk daerah
asal {x | -1 ≤ x ≤ 4, x  R } dan y = f(x) adalah
....
A. -4 ≤ y ≤ 5 D. -1 ≤ y ≤ 8
B. -3 ≤ y ≤ 6 E. 0 ≤ y ≤ 9
C. -2 ≤ y ≤ 7
8. Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai mak
simum 5 untuk x = 2, sedangkan f(4) = 3. Fungsi
kuadrat tersebut adalah ….
A. f(x) =
1
2
− x2
– 2x + 3
B. f(x) =
1
2
− x2
+ 2x + 3
C. f(x) =
1
2
− x2
+ 2x – 3
D. f(x) =
1
2
− x2
– 2x – 3
E. f(x) =
1
2
− x2
+ 3x + 3
9. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat
yang persamaannya y = (x – 1)(x – 3) adalah ....
A. (2, –1) D. (3, 1)
B. (2, 1) E. (4, –1)
C. (3, –1)
10. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

3 52
0
3 2
xx −
− ≤ adalah ....
A. x < 1 D. x < 4
B. x > 1 E. x > 2
C. x > 3

15
SISTEM PERSAMAAN
B A B
III
Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel (SPLDV)
A.
1. Bentuk Umum
ax by c
a x b y c
1 1 1
2 2 2
+ =
+ =



a. Metode Grafik
b. Metode Eliminasi
c. Metode Substitusi
d. Metode Determinan/Matriks
3. Banyaknya Himpunan Penyelesaian
a. Jika a1b2 – a2b1 ≠ 0, maka SPLDV tepat memiliki
satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya
(kedua garis saling berpotongan)
b. Jika a1b2 – a2b1 = 0 dan jika a1c2 – a2c1 ≠ 0, jika
c1b2 – c2b1 ≠ 0, maka SPLDV tidak memiliki
anggota dalam himpunan penyelesaiannya (kedua
garis sejajar)
c. Jika a1b2 – a2b1 = 0 dan a1c2 – a2c1 = 0, jika c1b2 –
c2b1 = 0, maka SPLDV memiliki anggota yang tak
hingga banyaknya (kedua garis berhimpit)
Sistem Persamaan Linear Tiga
Variabel (SPLTV)
B.
1. Bentuk Umum
ax by c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
+ + =
+ + =
+ + =





a. Metode Substitusi
Langkah-langkah:
1. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana,
kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z,
atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai
fungsi x dan y.
2. Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh
pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang
lainnya sehingga didapat SPLDV.
3. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2.
b. Metode Eliminasi
Langkah-langkah:
1. Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z
sehingga diperoleh SPLDV
2. Selesaikan SPLDV pada langkah 1
3. Substitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh
pada langkah 2 ke dalam salah satu persamaan
semula untuk mendapatkan nilai peubah yang
lainnya.
c. Metode Matriks
a b c
a b c
a b c
x
y
z
d
d
d
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1
2
3




















=










SistemPersamaanLineardanKuadratC.
1. Bentuk Umum
y ax b
y px qx
= + →
= + +
bagian linear(grafik berupa garis)
2
rr →



 bagian kuadrat(grafik berupa parabola)
2. Metode Penyelesaian  metode substitusi
3. Kedudukan Garis Terhadap Parabola
Ditinjau dari Diskriminan Gabungan dari Kedua Persa
maan

16
a. Jika D > 0, maka garis memotong parabola di
dua titik yang berlainan  (SPLK mempunyai dua
anggota dalam himpunan penyelesaiannya)
b. Jika D = 0, maka garis memotong parabola tepat
di sebuah titik (garis menyinggung parabola) 
(SPLK mempunyai satu anggota dalam himpunan
penyelesaiannya)
c. Jika D < 0, maka garis tidak memotong maupun
menyinggung parabola  (SPLK tidak mempunyai
Sistem Persamaan Kuadrat
dan Kuadrat (SPKK)
D.
1. Bentuk Umum
y ax bx c
y px qx r
= + + →
= + + →
2
2
bagian kuadratpertam a
bagian kuadratkedua




2. Metode Penyelesaian  metode substitusi
3. Kedudukan Parabola Satu Terhadap Parabola
Lainnya
Ditinjau dari Diskriminan (D) Persamaan Kuadrat
Gabungan
a. Jika D > 0, maka kedua parabola berpotongan
di dua titik berlainan  (SPKK mempunyai dua
b. Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan di
satu titik  (SPKK mempunyai satu anggota dalam
himpunan penyelesaiannya)
c. Jika D < 0, maka kedua parabola tidak berpotongan
 (SPKK tidak mempunyai anggota dalam him
punan penyelesaiannya)
y = px2
+ qx + r
y = ax + b
B(x2, y2)
A(x1, y1)
y = px2
+ qx + r
y = ax + b
y = px2
+ qx + r
y = ax + b
A(x1, y1)
(a) D > 0 (b) D = 0
(c) D < 0
y = px2
+ qx + r
y = ax2
+ bx + c
B(x2, y2)
A(x1, y1)
y = px2
+ qx + r
y = ax2
+ bx + c
A(x1, y1)
y = px2
+ qx + r
y = ax2
+ bx + c
(a) D > 0 (b) D = 0
(c) D < 0
1. Agar ketiga garis 3x – y + 2 = 0, 2x – y – 1 = 0,
dan x – ay – 4 = 0 berpotongan pada satu titik,
maka nilai a = ....
A. -2 D. 2
B. -1 E. 3
C. 1
Penyelesaian :
3x – y + 2 = 0 ……. (1)
2x – y – 1 = 0 …….(2)
–
x + 3 = 0
x = -3  substitusi ke persamaan (1),
diperoleh:
3(-3) – y + 2 = 0
y = -7
Perpotongan garis (1) dan (2) adalah (-3, -7).
x – ay – 4 = 0 à melalui (-3, -7), diperoleh:
-3 – a(-7) – 4 = 0
-7 + 7a = 0
a = 1.
Jawaban: C
2. Jika diketahui sistem persamaan 3 2 1
2
64
x y−
= dan
2x – 3y = 1, maka selisih dari kedua penyelesaian
tersebut adalah ....
A. -3 D. 4
B. 1 E. 5
C. 2
mengeliminasi
variabel y

17
Penyelesaian :
23x – 2y
=
1
64
23
x – 2y
= 2–6
3 x – 2y = –6
3x – 2y = –6
2x – 3y = 1
–
5x – 5y = 5 à dibagi dengan 5, diperoleh:
x – y = 1
Jadi selisih dari kedua penyelesaian tersebut adalah 1.
Jawaban: B
3. Tujuh tahun yang lalu umur Arro sama dengan
enam kali umur Naufal. Empat tahun yang akan
datang dua kali umur Arro sama dengan lima kali
umur Naufal ditambah sembilan tahun. Jumlah
umur Arro dan Naufal sekarang adalah ... .
A. 20 D. 56
B. 35 E. 72
C. 42
Penyelesaian :
Tulis : Arro = m dan Naufal = n.
(m – 7) = 6 × (n – 7)
Û m – 7 = 6n – 42
Û m – 6n = – 35 ………….....................… (1)
2 × (m + 4) = 5 × (n + 4) + 9
Û 2m + 8 = 5n + 20 + 9
Û 2m – 5n = 21 ..................................(2)
m – 6n = – 35 × 2 2m – 12n = –70 menge-
liminasi
variabel m
2m – 5n = 21 × 1 2m – 5n = 21
_
–7n = –91
n = 13
Untuk n = 13, substitusi ke persamaan (1), diperoleh:
m – 6n = – 35
Û m – 6 (13) = – 35
Û m – 6 (13) = – 35 è m = 78 – 35 = 43.
m = 43, n = 13 è m + n = 56
Jadi jumlah umur Arro dan Naufal sekarang adalah
56 tahun.
Jawaban: D
4. Penyelesaian dari
1 1
5
1 1
1
m n
m n
+ =
− =






adalah ....
A.
2
3
1
2
,{ } C.
1
3
3
2
,{ } E.
1
3
1
4
,{ }
B.
1
3
1
3
,{ } D.
1
3
1
2
,{ }
Penyelesaian :
1 1
5
m n
+ =  Kalikan dengan mn (KPK dari m
dan n), sehingga diperoleh :
1 1
1
m n
− = n + m = 5mn dan n – m = mn
Dengan cara eliminasi kita peroleh :
n + m = 5mn n + m = 5mn
n – m = mn n – m = mn
2m = 4mn – 2n = 6mn +
2
4
m
m
= n
2
6
n
n
= m
n =
1
2
m =
1
3
Jadi penyelesaiannya adalah
1
3
1
2
,{ }.
Jawaban: D
5. Nilai z dari persamaan
2 8 18 2
3 12 12 27
x y z
x y z
+ − =
+ + =




adalah ....
A. 2 D. 12
B. 3 E. 18
C. 8
Penyelesaian:
2 8 18 2 2
2 4 6 2
3 12
x y z kalikan dengan
x y z
x y
+ − =
⇒ + − =
+ −
( )
112 27 3
3 6 6 9
z kalikan dengan
x y z
=
⇒ + − =







( )
2x + 4y – 6z = 2
 x + 2y – 3z = 1
 x = –2y + 3z + 1 .... (i)  metode subtitusi
3x + 6y – 6z = 9
 x + 2y – 2z = 3 ......... (ii)
Substitusi (i) dan (ii), diperoleh:
(–2y + 3z + 1) + 2y – 2z = 3
 –2y + 3z + 1 + 2y – 2z = 3
 z = 2
Jawaban: A

18
LATIHAN SOAL
1. Sebuah bilangan pecahan, jika pembilangnya
ditambah 2 maka nilai pecahan tersebut menjadi
1
4
dan jika penyebutnya dikurangi 5, nilai pecahan
tersebut menjadi
1
5
. Jumlah nilai pembilang dan
penyebut pecahan tersebut adalah ....
A. 2 D. 10
B. 4 E. 23
C. 5
2. a, b, c adalah bilangan-bilangan real tak nol,
sehingga memenuhi sistem persamaan berikut:
1 1 1
5; 12; 13a b c
b c a
+ = + = + = . Nilai dari
1
abc
abc
+ = ....
A. 150 D. 600
B. 300 E. 750
C. 450
3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

x y
x y
+ =
+ =



9
412 2
adalah {(x1, y1), (x2, y2)}.
Nilai x1 + x2 dan x1 x2 = ....
A. –9 dan –20 D. 9 dan 20
B. –10 dan 20 E. 10 dan 20
C. 9 dan –20
4. Diketahui sistem persamaan 3x+1
+ 2y+1
= 40 dan
3x
– 2y
= 5. Nilai dari 3x
+ 2y
= ....
A. 5 D. 20
B. 10 E. 25
C. 15
5. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan
luas 180 m2
. Jika perbandingan panjang dan le
barnya sama dengan 5 berbanding 4 maka pan-
jang diagonal bidang tanah tersebut adalah ....
(Soal UN Tahun 2005 tipe A)
A. 9 m D. 9 41 m
B. 3 41 m E. 81 m
C. 6 41 m
6. Suatuareaberbentukpersegipanjang,ditengahnya
terdapat kolam renang berbentuk persegi panjang
yang luasnya 180 m2
. Selisih panjang dan lebar
kolam adalah 3 m. Di sekeliling kolam renang
dibuat jalan selebar 2 m. Maka luas jalan tersebut
adalah .... (Soal UN Tahun 2005 tipe 5)
A. 24 m2
D. 108 m2
B. 54 m2
E. 124 m2
C. 68 m2
7. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur
adalah Rp 70.000,00, dan harga 1 kg mangga, 2 kg
jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp 90.000,00. Jika
harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur
Rp 130.000,00 maka harga 1 kg jeruk adalah ....
(Soal UN Tahun 2005 tipe 5)
A. Rp 5.000,00 D. Rp 12.000,00
B. Rp 7.500,00 E. Rp 15.000,00
C. Rp 10.000,00
8. Akar-akar persamaan 2·34x
– 20·32x
+ 18 = 0
adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….
A. 1 D. 4
B. 2 E. 5
C. 3
9. Diketahui x1 dan x2 akar-akar persamaan
9x
–
10
3
· 3x
+ 1 = 0. Nilai x1 + x2 =....
A. 2 D. 0
B.
3
2
E. –2
C. 1
10. Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi
membeli buku tulis, pena, dan pensil dengan
merek yang sama. Ali membeli 3 buku tulis, 1
pena, dan 2 pensil dengan harga Rp11.000,00.
Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena, dan 1 pensil
dengan harga Rp14.000,00. Cici membeli 1
buku tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga
Rp11.000,00. Dedi membeli 2 buku tulis, 1 pena,
dan 1 pensil. Berarti Dedi harus membayar ....
A. Rp6.000,00 D. Rp9.000,00
B. Rp7.000,00 E. Rp10.000,00
C. Rp8.000,00

19
LOGIKA MATEMATIKA
B A B
IV
1. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai
nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak
kedua-duanya.
2. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana
adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan
lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan
majemuk dapat merupakan kalimat baru yang
diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa
pernyataan tunggal.
OPERASI LOGIKA
Operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan
majemuk adalah:
1. Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai:
tidaklah benar, simbol “ ~ “
2. Konjungsi, dengan kata perangkai: dan, simbol ““
3. Disjungsi, dengan kata perangkai: atau, simbol ““
4. Implikasi, dengan kata perangkai: Jika ……, maka
…….., simbol ““
5. Biimplikasi, dengan kata perangkai: ……. jika dan
hanya jika ……., simbol ““
Tabel kebenaran disjungsi (), konjungsi (), implikasi
(), dan biimplikasi ()
p q p ∨ q p ∧ q p ⇒ q p ⇔ q
B B B B B B
B S B S S S
S B B S B S
S S S S B B
Ingkaran dari “semua atau setiap” adalah “ada atau
beberapa”.
Ingkaran dari “ada atau beberapa” adalah “semua atau
setiap”.
Ingkaran dari pernyataan “untuk semua x, sehingga
berlaku p(x)” adalah :
“ada x, sehingga berlaku bukan p(x)”, ditulis :
~[(x), p(x)] ≡ (x), ~p(x)
Ingkaran dari pernyataan “ada x, sehingga berlaku
p(x)” adalah:
“untuk semua x, sehingga berlaku bukan p(x)”, ditulis:
~[(x), p(x)] ≡ (x), ~p(x).
Ingkaran disjungsi: ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q.
Ingkaran konjungsi: ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q.
Dari suatu implikasi dapat dibentuk pernyataan
majemuk :
a. q ⇒ p dinamakan konvers dari p ⇒ q.
b. ∼p ⇒ ∼q dinamakan invers dari p ⇒ q.
c. ∼q ⇒ ∼p dinamakan kontraposisi dari p ⇒ q.
p ⇒ q ≡ ∼p ≡ p ∨ q
q ⇒ p ≡ ∼p ⇒ ∼q
Ingkaran implikasi: ∼ (p ⇒ q) ≡ p ∧ ∼q.
Ingkaran biimplikasi: ∼ (p ⇔ q) ≡ (p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p).
Ingkaran konvers: ∼ (q ⇒ p) ≡ q ∧ ∼p.
Ingkaran invers: ∼ (∼p ⇒ ∼q) ≡ ∼p ∧ q.
Ingkaran kontraposisi: ∼ (∼q ⇒ ∼p) ≡ ∼q ∧ p.
Modus Ponens
p ⇒ q (premis 1)
p (premis 2)
∴ q (konklusi)
Modus Tollens
p ⇒ q (premis 1)
∼q (premis 2)
∴ ∼p (konklusi)
Silogisme
p ⇒ q (premis 1)
q ⇒ (premis 2)
∴ p ⇒ r (konklusi)

20
1. Dari argumentasi berikut :
Jika ibu tidak pergi maka adik senang.
Jika adik senang maka dia tersenyum.
Kesimpulan yang sah adalah ....
(Soal UN Tahun 2004/2005)
A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum.
B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum.
C. Ibu pergi atau tidak tersenyum.
D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum.
E. Ibu pergi atau adik tersenyum
Penyelesaian:
p ⇒ q  Gunakan silogisme
q ⇒ r
 p ⇒ r  ~p  r  Ingat rumus ini !!
“ Ibu pergi atau adik tidak tersenyum “
Jawaban: C
2. Diketahui premis-premis berikut
Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai.
Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian.
Budi tidak lulus ujian
(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe B)
A. Budi menjadi pandai.
B. Budi rajin belajar.
C. Budi lulus ujian.
D. Budi tidak pandai.
E. Budi tidak rajin belajar.
Penyelesaian:
1. p ⇒ q
p ⇒ r
Gunakan silogisme
2. q ⇒ r  ~p
3. ~r
~p Budi tidak rajin belajar
Jawaban : E
3. Diketahui premis-premis berikut:
Premis1: JikaDodi rajin belajar maka ia naik kelas.
Premis2: JikaDodi naik kelas maka ia akan di beli
kan baju.
(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe A)
A. Dodi tidak rajin belajar, tetapi ia akan di belikan
baju
B. Dodi rajin belajar, tetapi ia tidak akan di belikan
baju
C. Dodi rajin belajar atau ia akan dibelikan baju
D. Dodi tidak rajin belajar atau ia akan dibelikan
baju
E. Dodi rajin belajar atau ia tidak akan dibelikan
baju
Penyelesaian:
Jika Dodi rajin belajar maka ia naik kelas: p ® q.
Jika Dodi naik kelas maka ia akan dibelikan baju:
q ® r
Premis I : p ® q
Premis II : q ® r
Kesimpulan : p ® r
p ® r equivalen dengan ~p  r
Jawaban : D
4. Pernyataan “ Jika Anda rajin belajar, maka Anda
lulus UN “ ekuivalen dengan ....
A. Jika lulus UN, maka Anda rajin belajar.
B. Jika Anda tidak rajin belajar, maka Anda tidak
lulus UN.
C. Jika Anda tidak lulus UN, maka Anda tidak rajin
belajar.
D. Jika Anda tidak rajin belajar, maka Anda lulus
UN.
E Jika Anda tidak lulus UN, maka Anda rajin
belajar.
Penyelesaian:
p ⇒ q  –q ⇒ –p Ingat rumus ini!!
Jawaban: C
5. Diberikan premis-premis sebagai berikut:
Jika x genap maka x2 genap
4 genap. Kesimpulan yang benar adalah ….
(Soal UN Tahun 2007 tipe A)
A. x2
genap
B. 16 genap
C. 2 genap
D. 16 tidak genap
E. x2
tidak genap
Penyelesaian:
Kesimpulan :
Gunakan Modus Ponens :
p ⇒ q (premis 1)
p (premis 2)
 q (konklusi)

Kesimpulannya adalah 16 genap
Jawaban: B

21
1. Ingkaran dari “setiap bilangan prima adalah
ganjil” adalah ....
A. “ada bilangan prima yang ganjil”
B. “semua bilangan prima ganjil”
C. “ada bilangan prima yang genap”
D. “semua bilangan prima genap”
E. “ada bilangan prima yang tidak genap”
2. Ingkaran dari “beberapa burung tidak pandai ter
bang atau ada ikan yang menyusui” adalah ....
A. “semua burung pandai terbang atau semua
ikan menyusui”
B. “ada burung pandai terbang atau semua ikan
menyusui”
C. “semua burung pandai terbang dan ada ikan
menyusui”
D. “ada burung pandai terbang dan ada ikan
menyusui”
E. “semua burung pandai terbang dan semua
ikan menyusui”
3. Jika x adalah variabel pada himpunan bilangan
asli, maka nilai x agar disjungsi “x2
– 3x + 2
= 0 atau 4 adalah faktor dari 9” bernilai benar
adalah ....
A. x = –1 atau x = –2
B. x = –1 atau x = 2
C. x = 1 atau x = –2
D. x = 1 atau x = 2
E. x = 2 atau x = 2
4. Pernyataan (p  q) (r  p) benar, jika... .
A. p salah, q salah, dan r salah
B. p salah, q salah, dan r benar
C. p salah, q benar, dan r salah
D p benar, q benar, dan r salah
E. p benar, q benar, dan r benar
5. Ingkaran dari pernyataan “ Jika Armand Maulana
adalah penyanyi terkenal, maka dia selebritis”
adalah ....
A. “Jika Armand Maulana adalah penyanyi
terkenal, maka dia tidak selebritis”.
B. “JIka Armand Maulana adalah penyanyi tidak
terkenal, maka dia tidak selebritis”.
C. “Armand Maulana adalah penyanyi tidak
terkenal, dan dia tidak selebritis”.
D. “Armand Maulana adalah penyanyi terkenal,
dan dia selebritis”.
E. “Armand Maulana adalah penyanyi terkenal,
dan dia tidak selebritis”.
LATIHAN SOAL
6. Invers dari implikasi “jika log x < 2 maka > 0”
adalah ....
A. Jika ”log x > 2 maka x < 0”
B. Jika ”log x > 2 maka x > 0”
C. Jika ”log x > 2 maka x > 0”
D. Jika ”log x < 2 maka x < 0”
E. Jika ”log x > 2 maka x < 0”
7. Pernyataan “Jika 2x2
– 32 = 0 maka x > 0”
ekuivalen dengan pernyataan ....
A. ”2x2
– 32 ≠ 0 dan x > 0”
B. ”2x2
– 32 ≠ 0 dan x < 0”.
C. ”2x2
– 32 = 0 dan x > 0”.
D. ”2x2
+ 32 ≠ 0 atau x > 0”.
E. ”2x2
– 32 ≠ 0 atau x < 0”.
8. Kesimpulan dari 3 premis berikut adalah ....
P1 : p  q …………….….(1)
P2 : q  r …………….....(2)
P3 : ~ r ………….…….(3)
 ……….
A. ~p D. q
B. p E. r
C. ~q
9. Negasi dari pernyataan “Matematika tidak meng
asyikkan atau membosankan.” adalah ….
A. Matematika mengasyikkan atau membosankan.
B. Matematika mengasyikkan atau tidak membo
sankan.
C. Matematika mengasyikkan dan tidak membo
sankan.
D. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak mem
bosankan.
E. Matematika tidak mengasyikkan dan mem
bosankan.
10. Jika pernyataan p bernilai salah, dan ~q bernilai
salah, maka pernyataan majemuk berikut bernilai
benar adalah ….
A. ~p ® ~q
B. (~p  q) ® p
C. (p  q) ® p
D. p ®(~p  ~q)
E. ~p ® (~p  ~q)

22
TRIGONOMETRI
B A B
V
1. Fungsi trigonometri
sin
cos
tan
α
α
α
=
=
=
y
r
x
r
y
x
cos
sin
sec
cos
cot
tan
ec
x
r
y
x
r
x
a
x
y
α
α
α
= =
= =
= =
1
1
1
2. Sistem Kuadran dengan Lingkaran Satuan
3. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi
a. perbandingan trigonometri sudut  dengan (90° – a)
1) sin (90° – a) = cos a 4) csc (90° – a) = sec a
2) cos (90° – a) = sin a 5) sec (90° – a) = cosec a
3) tan (90° – a) = cot a 6) cot (90° – a) = tan a
a
r
x
y

23
A B
C
b a
c
6. Aturan Cosinus
 a2
= b2
+ c2
– 2bc cos A
 cos A =
b2
+ c2
– a2
2bc
 b2
= a2
+ c2
– 2ac cos B
 cos B =
a2
+ c2
– b2
2ac
 c2
= c2
+ b2
– 2ab cos C
 cos C =
a2
+ b2
– c2
2ab

7. Luas Segitiga
•
1
sin
2
L bc A= •
2
sin sin
2 sin
a B C
L
A
=
•
1
sin
2
L ac B= •
2
sin sin
2 sin
b A C
L
B
=
•
1
sin
2
L ab C= •
2
sin sin
2 sin
c A B
L
C
=
• ( )( )( )L S S a S b S c= − − − ,

1
2
( )S a b c= + + ® Rumus Heron

8. Pada setiap segi empat ABCD dengan sudut
antara diagonal AC dan BD adalah (AC, BD) = ,
mempunyai luas L yang ditentukan oleh rumus:
1
sin
2
L AC BD= × α

9. Jika jari-jari lingkaran luar segi-n beraturan di
ketahui = R, dan luas segi-n beraturan itu dinya
takan dengan L, maka: 2 360
sin
2
n
L R
n
°
=
10. Jika panjang sisi segi-n beraturan diketahui = p,
dan luas segi-n beraturan itu dinyatakan dengan
L, maka:
0
2 180
cot
4
n
L p
n
=
b. Perbandingan trigonometri untuk sudut a°
dengan (180° – a)
1) sin (180 – a)° = sin a°
2) cos (180 – a)° = –cos a°
3) tan (180 – a)° = –tan a°
4) cosec (180 – a)° = cosec a°
5) sec (180 – a)° = –sec a°
6) cot (180 – a)° = –cot a°
c. Perbandingan trigonometri untuk sudut a°
dengan (180° + a)
1) sin (180 + a)° = –sin a°
2) cos (180 + a)° = –cos a°
3) tan (180 + a)° = tan a°
4) csc (180 + a)° = –csc a°
5) ses (180 + a)° = sec a°
6) cot (180 + a)° = cot a°
d. Perbandingan trigonometri untuk sudut a dengan
(–a)
1) sin (–a) = –sin a
2) cos (–a) = cos a
3) tan (–a) = –tan a
4) cosec (–a) = –cosec a
5) sec (–a) = sec a
6) cot (–a) = –cot a
4. Persamaan Trigonometri
Jika Sin x = Sin a, maka:
x1 = a + k ∙ 360°
x2 = (180° – a) + k ∙ 360°
Jika Cos x = Cos a, maka:
x1 = a + k ∙ 360°
x2 = –a + k ∙ 360°
Jika Tan x = Tan a, maka:
x = a + k ∙180°
k  bilangan bulat
5. Aturan Sinus
Pada setiap DABC berlaku =
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C

24
A. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT
1. sin (a + b) = sin a ∙ cos b + cos a ∙ sin b
2. sin (a – b) = sin a ∙ cos b – cos a ∙ sin b
3. cos (a + b) = cos a ∙ cos b – sin a ∙ sin b
4. cos (a – b) = cos a ∙ cos b + sin a ∙ sin b
5. tan (a + b) =
tan a + tan b
1 – tan a ·tan b
6. tan (a – b) =
tan a – tan b
1 + tan a ·tan b
B. RUMUS PERKALIAN SINUS DAN COSINUS
1. 2sin a ∙ cos b = sin (a + b) + sin (a – b)
2. 2cos a ∙ sin b = sin (a+b) – sin (a – b)
3. 2cos a ∙ cos b = cos (a + b) + cos (a – b)
4. –2sin a ∙ sin b = cos (a + b) – cos (a – b)
C. RUMUS SUDUT PERTENGAHAN
1 1 cos
1. sin
2 2
1 1 cos
2. cos
2 2
1 1 cos
3. tan
2 1 cos
1 sin
4. tan
2 1 cos
1 1 cos
5. tan
2 sin
− θ
θ = ±
+ θ
θ = ±
− θ
θ = ±
+ θ
θ
θ = ±
+ θ
− θ
θ = ±
θ
D. RUMUS SUDUT RANGKAP TIGA
1. cos 3x = 4cos3
x – 3cos x
2. sin 3x = 3sin x – 4sin3
a
3. tan 3x =
3
2
tan3 tan
1 3tan
x x
x
−
−
E. RUMUS SUDUT RANGKAP
1. sin 2x = 2sin x ∙ cos x
2. cos 2x =
2 2
2
2
cos sin
2cos 1
1 2sin
x x
x
x
 −

−
 −
3. tan 2x = 2
2tan
1 tan
x
x−
F. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT
1 1
1. sin sin 2sin ( )cos ( )
2 2
1 1
2. sin sin 2cos ( )sin ( )
2 2
1 1
3 cos cos 2cos ( )cos ( )
2 2
1 1
4. cos cos 2sin ( )sin ( )
2 2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ = + −
− = + −
+ = + −
− = − + −
G. RUMUS IDENTITAS DASAR
1. sin2
x + cos2
x = 1
2. 1 + tan2
x = sec2
x
3. 1 + cot2
x = cosec2
x
4. cos(–x) = cos x
5. sin (–x) = –sin x
6. cosec x =
1
sinx
7. sec x =
1
cosx
8. tan x =
sin
cos
x
x
9. tan (–x) = –tan x

25
Sudut-sudutIstimewa
a0o
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
300o
315o
330o
360o
Sina0
1
2
1
2
2
1
3
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
0
1
2
−
1
2
2
−
1
3
2
−-1
1
3
2
−
1
2
2
−
1
2
−0
Cosa1
1
3
2
1
2
2
1
2
0
1
2
−
1
2
2
−
1
3
2
−-1
1
3
2
−
1
2
2
−
1
2
−0
2
11
2
2
1
3
2
1
Tana0
1
3
3
13~3−-1
1
3
3
−0
1
3
3
13~3−-1
1
3
3
−0
Cota~31
1
3
3
0
1
3
3
−-13−~31
1
3
3
0
1
3
3
−-13−~
Seca1
2
3
3
22~-22−
2
3
3
−-1
2
3
3
−2−-2~22
2
3
3
1
Coseca~22
2
3
3
1
2
3
3
22~-22−
2
3
3
−-1
2
3
3
−2−-2~
1. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan
arah 044° sejauh 50 km. kemudian berlayar lagi
dengan arah 104° sejauh 40 km ke pelabuhan C.
Jarak pelabuhan A ke C adalah ....
A. 10 95 km D. 10 71 km
B. 10 91 km E. 10 61 km
C. 10 85 km
Penyelesaian:
 ABC = 360° – 240°
= 120°
Dengan aturan cosinus, diperoleh
AC° = 50° + 40° – 2·50·40·cos120°
= 610°
AC = 10 61
Jawaban: E
2. Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan
panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang
ABC dan bidang ABD adalah ….
A.
1
3
D.
2
3
B.
1
2
E.
1
3
2
C.
1
3
3
Penyelesaian:
ABCD merupakan bidang empat beraturan dengan
panjang rusuk 8 cm.
BP = 4 3
BO =
2
3
BP =
8
3
3
cos ( ; ) cos
BO
ABC ABD
BA
∠ = ∝=
=
8
3
3
8
=
1
3
3
Jawaban: C
044°
104°
50 km
40 km
A C?
U
U
A
B
C
D
O
p
a

26
3. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 30 mil.
Kemudian kapal melanjutkan perjalanan dengan
arah 030o
sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi
saat kapal berangkat adalah ....
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe C)
A. 10 37 mil D. 30 (5 2 3)+ mil
B. 30 7 mil E. 30 (5 2 3)− mil
C. 30 (5 2 2)+ mil
Penyelesaian:
 ABC = 90° + 30° = 120°
AC2
= AB2
+ BC2
– 2AB · BC · cos120°
= 900 + 3600 – 2·30·60·
1
2
 
− 
 
= 4500 + 1800
= 6300
AC = 30 7
Jawaban: B
4. Nilai dari tan 165o
= ….
(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe D)
A. 1 – 3 D. 2 – 3
B. –1 + 3 E. 2 + 3
C. –2 + 3
Penyelesaian:
tan 165° = tan (180 – 15)°
= – tan 15°
= – tan ( 45 – 30 )°
= –
tan tan
tan tan
45 30
1 45 30
° − °
+ °⋅ °

= –
1
1
3
3
1
1
3
3
−
+

= –
3 3
3 3
3 3
3 3
−
+
−
−
×
= –
9 6 3 3
9 3
− +
−
= –
12 6 3
6
−
= – (2 – 3 ) = –2 + 3
Jawaban: C
5. Nilai x yang memenuhi persamaan

2
2 3cos 2sin cos 1 3 0x x x° − ° ° − − = ,
untuk 0 360x≤ ≤ adalah ....
A. 45, 105, 225, 285 D. 15, 135, 195, 315
B. 45, 135, 225, 315 E. 15, 225, 295, 315
C. 15, 105, 195, 285
Penyelesaian:
2 3 2 1 3 0
3 2 1 2 1
3 2
2
cos sin cos
( cos ) sin
cos s
x x x
x x
x
° − ° ° − − =
⇔ − − =
⇔ − iin
cos cos sin sin
cos( )
cos(
2 1
2 330 2 330 1
2 2 330 1
2 3
x
x x
x
x
=
⇔ + =
⇔ − ° =
⇔ − 330
1
2
60) cos° = = °
2 330 60 360
2 390 360
2 30 360
x n
x n
x n
− = + ⋅ °
⇔ = + ⋅ °
⇔ = + ⋅ °
⇔ xx = ° °15 195,
atau
2 330 60 360
2 270 360
135 180
135
x n
x n
x n
x
− = − + ⋅ °
⇔ = ° + ⋅ °
⇔ = ° + ⋅ °
⇔ = °,,
, , ,
315
15 135 195 315
°
° ° ° °{ }H p:
Jawaban : D
5. Nilai sin 105° + cos 15° = ….
A.
1
( 6 2)
3
− − D.
1
( 3 2)
2
+

B.
1
( 3 2)
2
− E.
1
( 6 2)
2
+
C.
1
( 6 2)
2
−
Penyelesaian:
sin 105° + cos 15° = sin (90° + 15°)+ cos 15°
= cos 15° + cos 15°
= 2 cos 15°
= 2 cos (45° - 30°)
=2[cos 45° cos 30° +
sin 45° sin 30°]
=2
1 1 1 1
2 3 2
2 2 2 2
 
⋅ + ⋅  
=
1 1
6 2
2 2
+ =
1
2
6 2+( )

Jawaban: E
30°
A B
CU U
?

27
5. Diketahui sin a =
2
3
, sin ( a + b ) =
8
9
untuk
0° 180°  dan 0° 180 º. Jika
5 sin b – cos b =
1
3
, nilai cos (a + b) = .....
A.
5
9
C.
7
9
E.
5
3
B.
2 5
9
D.
5
9
Penyelesaian:
sin a =
2
3
,

sin (a + b) =
8
9
 sin a · cos b + cos a · sin b =
8
9

2
3
cos b + cos a · sin b =
8
9
 6 cos b + 3 5 sin b = 8 …. (1)
 5 sin b – cos b =
1
3
 -3 cos b + 3 5 sin b = 1 …. (2)
(1) ... 6 cos b + 3 5 sin b = 8
(2) ... - 3 cos b + 3 5 sin b = 1
–
9 cos b = 7
cos b =
7
9

6·
7
9
+ 3 5 sin b = 8
sin b =
2 5
9
jadi :
cos (a + b ) = cos a·cos b – sin a·sin b
= ⋅ − ⋅
= =
5
3
7
9
2
3
2 5
9
3 5
27
5
9 Jawaban : A
6. Nilai x yang memenuhi persamaan
cos2
x° 3 – sin x° cos x° + 2 sin2
x° – 2 = 0
untuk 0  x 360  adalah ....
A. 0,30, 180, 210, 360
B. 0,30, 180, 270, 330
C. 90, 150, 240, 300
D. 90, 120, 270, 300
E. 90, 150, 270, 330
Penyelesaian:
cos2
x – 3 sin x cos x + 2 sin2
x – 2 = 0
 cos2
x – 3 sin x cos x +2 (sin2
x – 1 ) = 0
 cos2
x – 3 sin x cos x – 2 cos2
x = 0
 -cos2
x – 3 in x cos x = 0
 cos2
x + 3 sin x cos x = 0
 cos x ( cos x + 3 sin x ) = 0
 cos x·2 cos ( x – 60 )° = 0
cos x = 0 atau cos ( x – 60 )° = 0
x = 90°, 2700
atau x = 150°, 330°
Jawaban : E
7. Nilai
sin 75°+sin 15°
cos105°+cos15°
=….
A. – 3 D.
1
3
3
B. 2 E. 3
C. – 2
Penyelesaian:
sin 75°+ sin 15°
cos105°+ cos15°
=
+ °⋅ +2 75 15 75 15
1
2
1
2
sin ( ) cos ( ))
cos cos ( )
°
⋅ − °
=
2 105 15
1
2
1
2
(105+ 15)°
sin 45°+ sin 30°
cos60°+ coos45°
= =
1
3
1
2
3
3

Jawaban: E
8. Jika tan 3o
= p, maka tan 228o
= ....
A.
−
+
2
2
1
1
p
p D.
+
−
1
1
p
p
B.
−
+
1
1
p
p
E.
+
−
2
2
1
1
p
p
C.
−
−
2
1
1
p
p
2
3
5
a
cos a 5
3

28
Penyelesaian:
tan 3 = p,
tan 228o
= tan (225 + 3 )o
=
− ⋅
tan225°+tan3°
1 tan225° tan3°

=
+
−
1
1
p
p
Jawaban: D
9. Jika tan a = 1 dan tan b =
1
3
dengan a dan b
sudut lancip maka sin (sin a + b) ....
A.
2
5
3
D.
2
5
B.
2
5
E.
1
2
C.
1
5
5
Penyelesaian:
tan a = 1 dan b =
1
3
Perhatikan gambar.
Dengan bantuan gambar diatas dapat diperoleh :
Sin (a – b ) = sin a cos a – cos a sin b

=
= =
1
2
3
2 2
1
2
1
2 2
3 1
4
1
2
⋅ − ⋅
−
Jawaban: E
10. Himpunan penyelesaian persamaan:
cos 2x° + 7 sin x° – 4 = 0, 0 ≤ x ≤360 adalah ....
A. {240, 300} D. {30, 150}
B. {60, 120} E. {120, 240}
C. {210, 330}
Penyelesaian:
Cos 2 x0
+ 7 sin x0
– 4 = 0
1 – 2 sin2
x0
+ 7sin x0
– 4 = 0
2 sin 2 x0
– 7 sin x + 3 = 0
2
1
1
a 3
1
b
2 2
3
1
(2 sin x0
–1) (sin x0
– 3) = 0
2 sin x0
– 1 = 0
Sin x0
= 1
2
® x = 30°, 150°
Jawaban: D
11. Diketahui a + b = 30° dan sina · cos b =
1
3
.
Nilai tana · cotb = .....
(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe D)
A.
1
6
D.
5
6
B.
1
2
E. 2
C.
2
3
Penyelesaian:
a + b = 30o
sin (a + b) = sin 30o
 sin a . cos b + cos a . sin b =
1
2

1
3
+ cos a . sin b =
1
2
 cos a . sin b =
1
2
–
1
3
=
−3 2
6
=
1
6
tan a . cos b =
α ⋅ β
α ⋅ β
sin cos
cos sin
=
1
3
1
6
= 2
Jawaban : E
12. Pada 0 ≤ x ≤ 2π , himpunan penyelesaian
persamaan 2 cos x + 2 sin x - 6 = 0 adalah ....
(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe F)
A.
 
π π 
 
1 5
,
12 12
D.
 
π π 
 
1 5
,
6 6
B.
 
π π 
 
1 7
,
12 12
E.
 
π π 
 
1 7
,
6 6
C.
 
π π 
 
5 11
,
12 12
Penyelesaian:
2 cos x + 2 sin x – 6 = 0
2 cos x + 2 sin x = 6
ruas kiri:
k = +2 2
2 2 = 2 2
tan q = 1 ( kuadran 1 )
q = 45°

29
⇔ − ° =
− ° = = °
2 2 cos ( 45) 6
1
cos ( 45) 3 cos 30
2
x
x
− ° = ° + −45 30 360x n
n = 75° + n – 360
n = 75° = π
5
12
x – 45° = –30° + n – 360
n = 15° + n – 360
n = 15°
= π
1
12
HP =
 
π π 
 
1 5
,
12 12
Jawaban: A
LATIHAN SOAL
1. Diketahui cos A = 0,8 dan sin B = 0,96.
Jika sudut A lancip dan sudut B tumpul maka
cos (A + B) = ….
A. 0,80 D. -0,60
B. 0,60 E. -0,80
C. -0,28
2. Nilai sin 105° + cos 15° = ….
A.
1
2
6 2− −( ) D. 1
2
3 2+( )
B.
1
2
3 2−( ) E. 1
2
6 2+( )
C.
1
2
6 2−( )
3. Nilai dari
cos50°+cos40°
sin50°+sin40°
adalah ....
a. 1 D. –
1
2
2
B.
1
2
2
E. -1
C. 0
4. Nilai sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° sama
dengan ….
A.
1
2
D.
1
6
2
B.
1
2
2
E.
1
3
2
C.
1
4
2
5. Diketahui cos (x – y)=
4
5
dan sin x sin y =
3
10
.
Nilai tan x tan y = ....
A. –
5
3
D.
3
5
B. –
4
3
E.
5
3
C. –
3
5
6. Bentuk sederhana 4 sin 36° cos 72° sin 108°
adalah ….
A. 1 – cos 72° D. 1 + cos 72°
B. 1 + cos 36° E. 2 cos 72°
C. 1 – cos 36°
7. Koordinat kartesius dari (12, 2340°) adalah ....
A. (-12, 0) D. ( 2, 0)
B. (-12, 2) E. (4, 2)
C. (-2, 0)
8. Koordinat kutub dari (–12,12 3 ) adalah ….
a. (12, 120°) D. (12, 150°)
B. (24, 120°) E. (24, 150°)
C. (12, 150°)
9. Diketahui segitiga ABC dengan sudut A sebesar
45°, panjang AB = 7 cm, dan panjang AC = 12
cm. Luas segitiga ABC adalah ....
A. 21 2 cm2
B. 21 cm2
C. 24 2 cm2
D. 24 cm2
E. 27 cm2
10. Jika cot α = −
5
12
, dengan α sudut tumpul, maka
nilai dari sin α sec α = ....
A. –
12
7
D.
12
5
B.
12
7
E.
12
9
C. –
12
5

30
DIMENSI TIGA
B A B
VI
Jarak Titik pada GarisA.
Titik C’ merupakan proyeksi C pada AB (CC’  AB).
Jarak titik C ke garis AB adalah CC’.
Cara menghitung CC’ :
1. Jika ΔABC siku-siku di C, maka '
AC BC
CC
AB
×
= .
2. Jika ΔABC tidak siku-siku, maka lebih dahulu
mencari AC’.
 Jika AC = BC, maka
1
'
2
AC AB=
 Jika AC ≠ BC, maka
2 2 2
'
2
AB AC BC
AC
AB
+ −
=
Selanjutnya: 2 2
' ( ) ( ')CC AC AC= −
Jarak Titik pada BidangB.
Jarak antara titik P dan
bidang adalah panjang ruas
garis PP’ dengan titik P’
merupakan proyeksi titik P
pada bidang.
Jarak Antara Dua Garis SejajarC.
Menentukan jarak dua
garis sejajar adalah dengan
membuat garis yang tegak
lurus dengan keduanya.
Jarak kedua titik potong
merupakan jarak kedua
garis tersebut.
P
P’
a
p
p’
m n
Jarak Garis pada Bidang SejajarD.
Menentukan jarak garis
dan bidang adalah dengan
memproyeksikan garis
pada bidang. Jarak antara
garis dan bayangannya
merupakan jarak garis
terhadap bidang.
Jarak Antar Titik Sudut pada KubusE.
Kubus ABCD.EFGH
dengan rusuk x.
Diagonal sisi 2AC x=
Diagonal ruang 3CE x=
Ruas garis 6
2
x
EP =
Sudut Garis pada BidangF.
Jika A terletak pada bidang b dan B’ merupakan
proyeksi titik B pada bidang b, maka:
(AB, b) = (AB, AB’).
DAB’B siku-siku di B’ sehingga sudut a dapat dihitung
dengan:

' ' '
sin ; cos ; tan
'
BB AB BB
AB AB AB
α = α = α =
g
g’
P
P’
a
A B
CD
P
FE
H G
x
A B
C
C’
A
B
B’a
b

31
Sudut Dua BidangG.
Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk
oleh dua garis yang tegak lurus garis potong pada
bidang a dan b.
 (ABCD, ADEF) = (XY, YZ) = 
 Jika XYZ tidak siku-siku, maka sudut  dapat dih -
tung dengan menggunakan rumus aturan cosinus :
y2
= x2
+ z2
– 2xz cos q
1. Pada kubus PQRS. TUVW dengan panjang rusuk
a satuan, terdapat bola luar dinyatakan B1 dan
bola dalam dinyatakan B2. Perbandingan volume
bola B1 dan bola B2 adalah ....
A. 3 3 :1 D. 3 : 1
B. 2
3 :1 E. 2 : 1
C. 3 :1
Penyelesaian:
B r a1 1
1
2
3⇒ = (jari-jaribola luarsam a
dengan setengah diagonalruang)
⇒ =
⇒
v a
B r
1
3
2 2
4
3
1
2
3( )
==
1
2
a jari-jaribola dalam sam a
de
(
nngan setengah rusuk)
( )
: . . :
⇒ =
=
v a
v v a
2
3
1 2
3 3
4
3
1
2
4
3
1
2
3
4
3
..
:
1
8
3 3 1
3
a
=
Jawaban : A
2. Diketauhi kubus ABCD. EFGH dengan panjang
rusuk 3 cm dan titik T pada AD dengan panjang
AT = 1 cm. Jarak A pada BT adalah ….
A. 1
2
cm D. 1 cm
B.
1
3
3
cm E.
2
3
3
cm
C. 1
3
2
cm
Penyelesaian:
Jarak A ke BT = AP
BT = 3 1 2+ =
BT. AP = AB. AT
2. AP = 3 .1
AP =
1
3
2
Jawaban : C
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH. dari pernyataan
berikut:
1) AH dan BE berpotongan
2) AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD
3) DF tegak lurus bidang ACH
4) AG dan DF bersilangan
Pernyatan yang benar adalah nomor ....
A. (1) dan (2) saja D. (1) dan (3) saja
B. (2) dan (3) saja E. (2) dan (4) saja
C. (3) dan (4) saja
Penyelesaian:
Perhatikan gambar.
Maka diperoleh:
• AH dan BE
bersilangan
® (1) SALAH
• Proyeksi titik H
pada bidang ABCD
adalah D berarti
AD = proyeksi AH bidang ABCD
® (2) BENAR
• DF  HO berarti DF tegak lurus bidang ACH
® (3) BENAR
• AG dan DF adalah
diagonal ruang yang
berarti berpotongan
® (4) SALAH
Jadi, (2) dan (3) BENAR
Jawaban: B
Z
V

32
4. Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan
panjang rusuk 8 cm. Cosinus sudut antara bidang
ABC dan bidang ABD adalah ....
A.
1
3
C.
1
3
3
E.
1
3
2
B.
1
2
D.
2
3
Penyelesaian:
Perhatikan gambar.
Bidang beraturan berarti:
OD = OC
= 2 2
8 4 4 3− =
Sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah
COD = a berarti berlaku:
CD2
= OD2
+ OC2
– 2OD.OC cos a
82
= (4 3 )2
+ (4 3 )2
− (4 3 ) (4 3 ) cos a
64 = 48 + 48 – 96 cos a
Cos a =
32 1
96 3
=
Jawaban: A
5. Sebidang sawah yang terletak
di pinggir jalan seperti pada
gambar di samping. Jika luas
ACD = 480 3 m2
dan ACB
= 60o
, luas petak sawah ABCD
adalah ….
A. 540 3 m2
D. 640 3 m2
B. 620 3 m2
E. 740 3 m2
C. 630 3 m2
Penyelesaian:
 A C B = 60°
A C D = 480 3
1
2
∙ 32 ∙ 60 sin ADC = 480 3
sin ADC =
1
2
3
sin ADC = 60°
cos ADC =
1
2
AC 2
= 32 2
+ 60 2
- 2 ∙ 32 ∙ 60 ∙
1
2
= 2704
AC = 56
Luas ABC =
1
2
∙ 20 ∙ 56 ∙
1
2
3 = 260 3
Jadi, Luas ABCD = 260 3 + 480 3 = 740 3
Jawaban: E
A
B
C
D20 cm 30 cm
sawah
Jl. Pantura
60cm
A
B
C
D20 cm 30 cm
sawah
60cm
LATIHAN SOAL
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10
cm. Jarak titik C ke bidang BDG adalah ....
A. 20
3
3 cm D. 7
3
3 cm
B. 10
3
3 cm E. 5
3
3 cm
C. 8
3
3 cm
2. Jika panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 3
cm, maka jarak G ke diagonal BH = ....
A. 2 cm D. 6 cm
B. 3 cm E. 10 cm
C. 5 cm
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang
rusuk 12 cm. P adalah titik tengah rusuk AB. Jarak
titik P ke garis HC adalah ….
A. 5 2 cm D. 11 2 cm
B. 7 2 cm E. 13 2 cm
C. 9 2 cm
4. Diketahui panjang rusuk bidang empat beraturan
adalah 9 cm. Jarak antara titik puncak dan bidang
alas adalah ….
A. 6 cm D. 4 6 cm
B. 2 6 cm E. 5 6 cm
C. 3 6 cm
4. Pada limas segiempat beraturan T. ABCD yang
semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA
dan bidang ABCD adalah ….
A. 30° D. 90°
B. 45° E. 120°
C. 60°
5. Jarak titik A ke bidang alas BCD pada bidang
empat beraturan A.BCD dengan p satuan adalah
....

33
9. Diketahui limas segi empat T.ABCD dengan
rusuk-rusuk tegak 15 cm, bidang alasnya ABCD
berbentuk persegi panjang dengan AB = 10
cm dan BC = 12 cm. Jika a adalah sudut antara
bidang TAB dan bidang alas ABCD, maka sin a
= ....
A.
1
82
5
D.
1
82
10
B.
1
82
6
E.
1
82
12
C.
1
82
8
10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang
rusuk 16 cm. Titik P pada perpanjangan CG,
sehingga CG = GP. Jika sudut antara PC dan
bidang BDP adalah a, maka tan a = ....
A.
1
2 cm
2
D.
1
2 cm
5
B.
1
2 cm
3
E.
1
2 cm
6
C.
1
2 cm
4
A. 6 satuan
2
p
D. 6 satuan
5
p
B. 6 satuan
3
p
E. 6 satuan
6
p
C. 6 satuan
4
p
6. Diketahui kubus ABCDEFGH. Sudut antara
bidang ABCD dan bidang ACF adalah a, maka
cos a adalah ….
A.
1
3
2
D.
1
3
5
B.
1
3
3
E.
1
3
6
C.
1
3
4
7. Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya 6 cm.
Sudut antara garis BG dengan ACGE = ....
A. 30° D. 90°
B. 45° E. 120°
C. 60°
8. Bidang empat T.ABC mempunyai alas segitiga
siku-siku ABC dengan AB = AC, TA = 4 3 cm
dan tegak lurus pada alas. Jika BC = 8, maka
sudut antara bidang TBC dan bidang alas adalah
....
A. 30° D. 90°
B. 45° E. 120°
C. 60°

34
UKURAN PEMUSATAN DATA
Rataan Hitung Data BerkelompokA.
Rumus Umum 
=
=
=
∑
∑
1
1
k
i i
i
k
i
i
f x
x
f
Menghitung Rataan Dengan Rataan Sementara

 
= + = +   
 
∑ ∑
∑ ∑
atau
i i i i
s s
i i
f d f u
x x x x c
f f
Modus, Kuartil, Desil, dan Persentil
Data Berkelompok
B.
Modus 
δ 
= +  δ + δ 
1
1 2
Mo L c
Kuartil Bawah 
 
− 
= +  
 
 
1 1
1
1
4 kn f
Q L c
f
Kuartil Tengah 
 
− 
= +  
 
 
2 2
2
1
2 kn f
Q L c
f
Kuartil Atas 
 
− 
= +  
 
 
3 3
3
3
4 kn f
Q L c
f
Desil 
 
− 
= +  
 
 
10 k
i i
i
i
n f
D L c
f
Persentil 
 
− 
= +  
 
 
100 k
i i
i
i
n f
P L c
f
UKURAN PENYEBARAN DATA
Jangkauan, Jangkauan Antar-Kuartil,
Simpangan Kuartil
A.
Jangkauan  J = xmaks – xmin
Jangkauan Antar-Kuartil  H = Q3 – Q1
Simpangan Kuartil  Qd =
1
2
H
=
1
2
(Q3 – Q1)
STATISTIKA
B A B
VII

35
Simpangan Rata-Rata, Ragam
dan Simpangan Baku
B.
Simpangan Rata-rata 
=
= −∑1
1
| |
r
i i
i
SR f x x
n
Ragam 
=
= −∑2 2
1
1
( )
r
i i
i
S f x x
n
atau = =
 
 
 = −
 
 
 
∑ ∑
2
2
2 1 1
r r
i i i i
i i
f d f d
S
n n
atau = =
  
    = − 
  
    
∑ ∑
2
2
2 21 1
.
r r
i i i i
i i
f u f u
S c
n n
Simpangan Baku  = 2
S S
PERUBAHAN DATA
Jenis Data
Jika setiap data di
(+, –) dengan n
Jika setiap data di
(×, :) dengan n
Ukuran Pemusatan
Data
(Tendensi Sentral)
x, M0, Me, Qi
Ukuran mula-mula
di (+, –) dengan n
Ukuran mula-mula
di (×, :) dengan n
Ukuran Penyebaran
J, SR, S, Qd
Ukuran mula-mula
T E T A P
Ukuran mula-mula
di (×, :) dengan n
1. Nilai rataan dari data pada diagram adalah ….
(Soal UN Tahun 2004/2005)
A. 23
B. 25
C. 26
D. 28
E. 30
Penyelesaian:
x5 = 28, c = 5
fi Ui fi·Ui
5 -3 -15
6 -2 -12
12 -1 -12
18 0 0
9 1 9
S = 50 S = –30
5
.
( )
fi ui
x x c
fi
Σ
= +
Σ
= 28 +
30
5
50
− 
 
 
= 25
Jawaban: B
2. Perhatikan gambar berikut!
Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan
dengan histogram seperti pada gambar. Rataan
berat badan tersebut adalah ....
A. 64,5 kg C. 65,5 kg E. 66,5 kg
B. 65 kg D. 66 kg
Penyelesaian:
Dari histogram dapat dihitung rataan berat badan
dengan bantuan tabel berikut.
Misalnya, rata-rata sementara x = 67.
xi f x − xs F(x – xs)
52 4 −15 −60
57 6 −10 −60
62 8 −5 −40
67 10 0 0
72 8 5 40
77 4 10 40
40 −80
Jadi, rataan berat badan sebesar
x x
fx xs
fs= +
−
= +
−Σ
Σ
( )
67
80
40
= 65 kg
Jawaban: D

36
3. Nilai ujian Bahasa Indonesia disajikan seperti
pada diagram berikut. Median dari data tersebut
adalah ….
A. 59,75 D. 57,75
B. 58,33 E. 57,25
C. 58,13
Penyelesaian:
Me = 55,5 +
60 43
30
− 
 
 
5
= 58,33
Jawaban: B
4. Perhatikan data berikut!
Berat badan Frekuensi
50 – 54 4
55 – 59 6
60 – 64 8
65 – 69 10
70 – 74 8
75 – 79 4
Kuartil atas dari data pada tabel adalah . . . . (Soal
UN Tahun 2007 tipe A)
A. 69,50 D. 70,75
B. 70,00 E. 71,00
C. 70,50
Penyelesaian:
Tabel Data
Berat Badan Frekuensi
50 – 54 4
55 – 59 6
60 - 64 8
65 – 69 10
70 – 74 8
75 – 79 4
Kuartil atas = Q3( data) (3
4
data)
30
25
20
17
14
9
5
40,5 45,5 50,5 55,5 60,5 65,5 70,5 75,5
f
Nilai
Kelas Q3 adalah 70 – 74
Berarti:
bm = 69,5
n = 40
fkk = 28
fQ3 = 8
c = (74 – 70) + 1 = 5
Maka:
Q3 = bm +
3
4
3
−








f
f
kk
Q
· c
= 69,5 +
30 28
8
−




 ∙5 = 70,75
Jawaban: D
5. Nilai rata-rata ulangan dari 20 anak adalah 75,25.
Setelah digabung dengan 4 anak yang mengikuti
perbaikan rata-ratanya menjadi 74,75. Nilai rata-
rata 4 anak yang mengikuti perbaikan adalah ....
A. 72 D. 73,25
B. 72,25 E. 73,5
C. 72,75
20 75,25
74,75
24
x∑ + ⋅
=
S x = 1794 – 1505
S x = 289
Jadi, rata-rata 4 anak yang mengikuti perbaikan
=
289
4
= 72,25
Jawaban: B
LATIHAN SOAL
1. Median dari data umur pada tabel di bawah ada
lah ....
Umur f
4 – 7 6
8 – 11 10
12 – 15 18
16 – 19 40
20 – 23 16
24 – 27 10
A. 16,5 D. 17,5
B. 17,1 E. 18,3
C. 17,3

37
2. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 38 siswa
adalah 74. Jika nilai Rahma dan Aulia digabungkan
dengan kelompok tersebut, maka nilai rata-ratanya
menjadi 75. Nilai rata-rata Rahma dan Aulia
adalah ....
A. 92 D. 98
B. 94 E. 100
C. 96
3. Rata–rata hitung tinggi badan sembilan orang
siswa adalah 155 cm. Jika ditambah seorang siswa
baru maka rata–rata hitung tinggi badan menjadi
156 cm. Tinggi badan siswa baru itu adalah ….
A. 160 cm D. 175 cm
B. 165 cm E. 180 cm
C. 170 cm
4. Nilai rata-rata ulangan matematika dari suatu kelas
adalah 6,9. Jika dua siswa baru yang nilainya 4 dan
6 digabungkan, maka nilai rata-rata kelas tersebut
menjadi 6,8. Banyaknya siswa semula adalah . . .
.
A. 16 D. 40
B. 20 E. 50
C. 36
5. Suatu data dengan rata-rata 16 dan jangkauan 6.
Jika setiap nilai dalam data dikalikan m kemudian
dikurangi n didapat data baru dengan rata-rata 20
dan jangkauan 9. Nilai dari 10m – 3n = ....
A. 2 D. 5
B. 3 E. 6
C. 4
6. Nilai rata-rata ulangan kelas A adalah dan kelas B
adalah. Setelah kedua kelas digabung nilai rata-
ratanya adalah . Jika : = 10 : 9 dan : = 85 : 81,
maka perbandingan banyaknya siswa di kelas A
dan B adalah . . . .
A.
1
5
D.
4
5
B.
2
5
E.
2
7
C.
3
5
7. Nilai rata-rata dari 20 bilangan adalah 14,2. Jika
rata-rata dari 12 bilangan pertama adalah 12,6
dan rata-rata dari 6 bilangan berikutnya adalah
18,2 maka rata-rata dari 2 bilangan terakhir adalah
....
A. 10,8 D. 13,8
B. 11,8 E. 14,8
C. 12,8
8. Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata
kelas adalah 58. Jika rata-rata nilai matematika
untuk siswa prianya adalah 65 sedang untuk siswa
wanita rata-ratanya 54, maka perbandingan jumlah
siswa pria dan wanita pada kelas itu adalah ….
A. 1 : 2 D. 4 : 5
B. 2 : 5 E. 4 : 7
C. 3 : 4
9. Peserta ujian matematika terdiri dari 40 orang
siswa kelas A, 30 orang siswa kelas B, dan 30
orang siswa kelas C. Nilai rata-rata seluruh siswa
7,2 , nilai rata-rata kelas B dan C adalah 7,0. Maka
nilai rata-rata kelas A adalah . . . .
A. 8 D. 9,5
B. 8,5 E. 10
C. 9
10. Perhatikan data berikut!
No Berat Badan Frekuensi
1 50 – 54 4
2 55 – 59 6
3 60 – 64 8
4 65 – 69 10
5 70 – 74 8
6 75 – 79 4
Kuartil atas dari data pada tabel adalah ....
A. 60,5 D. 70,75
B. 60,75 E. 75,5
C. 70,5

38
PELUANG
B A B
VIII
Binomial NewtonE.
 Dalam menguraikan bentuk (a + b)2
, (a + b)3
,
(a + b)4
, ... , (a + b)n
biasanyamenggunakan bantuan
koefisien yang dihasilkan dari segitiga Pascal.
 Penjabaran bentuk (a + b)n
bisa juga dilakukan
oleh rumus Bimomial Newton sebagai berikut:
( )−
=
+ = ⋅ ⋅∑0
( )
n
n kn k
k
n
a b C a b
k
, dengan n ∈ bilangan
asli.
 Suku ke-p dari (a + b)n
adalah
( ) ( ) ( )− + − −− −
−= α ⋅β ⋅ ⋅ ⋅1 1 1( 1)
1
n p p pn n p
p pU C a b
Peluang kejadianF.
 Ruang sampel (S)
Ruang sampel (S) adalah himpunan seluruh kejadian
yang mungkin muncul pada suatu percobaan. Suatu
kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang
sampel S. Jika suatu kejadian A dapat terjadi dalam
K cara dari seluruh S cara yang mungkin, peluang
(probabilitas) kejadian A dapat dirumuskan sebagai
berikut:

( ) =
( )
( )
n K
p A
N S
, dengan 0  K  S,
sehingga 0  p(A) 1 .
 Frekuensi Harapan suatu kejadian
Jika peluang kejadian A adalah p(A), frekuensi
harapan 0  K  S A dalam c kali percobaan
dirumuskan sebagai berikut :
Fh = c · p(A)
 Macam-macam kejadian
 Kejadian lepas, yaitu kejadian A dan 0  K  S
B yang saling lepas (saling asing), atau kejadian
dengan A ∩ B = 0,
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
Aturan Pengisian TempatA.
Suatu kejadian pertama dapat terjadi dalam a cara, ke-
jadian kedua dapat terjadi dalam b cara, kejadian ke-
tiga dapat terjadi dalam c cara, dan seterusnya sampai
kejadian terakhir dalam z cara, maka kejadian dalam
urutan demikian jika digabung dapat terjadi dalam:
a × b × c × … × z
FaktorialB.
Faktorial dilambangkan dengan tanda seru ( ! ).
n !  dibaca: n faktorial
n ! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
PermutasiC.
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang
berbeda adalah banyak cara menempatkan r unsur
tersebut dalam suatu urutan (urutan diperhatikan).
=
−
!
( )!n r
n
P
n r
; n  r
Permutasi n unsur ada unsur-unsur sama dan tiap jenis
yang sama terdiri dari n1, n2, n3, ..., nk, maka permutasi
adalah: =
1 2 3
!
! ! ! ... !k
n
P
n n n n
KombinasiD.
Kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang
berbeda adalah banyaknya susunan yang terdiri r
unsur tanpa memperlihatkan urutannya.
=
−
!
! ( )!n r
n
C
r n r
; n  r

39
 Kejadian bebas, kejadian A dan B disebut dua
kejadian yang saling bebas jika terjadi atau tidak
terjadinya A tidak memengaruhi terjadi atau
tidak terjadinya B.
p(A ∩ B) = p(A) · p(B)
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
 Kejadian tak bebas (bersyarat). Dua buah kej -
dian dikatakan tidak bebas, jika terjadinya salah
satu dari kejadian itu ataupun tidak terjadinya
akan memengaruhi kejadian lain.
P(B/A) : baca nilai kemungkinan terjadinya B
setelah terjadinya A.
P(A/B) : baca nilai kemungkinan terjadinya A
setelah terjadinya B.
p(A ∩ B) = p(A) · p(B/A)
1. Seorang anak melempar tiga mata uang sekaligus
sebanyak satu kali. Bila A merupakan kejadian
munculnya angka paling sedikit satu kali, maka
p (A) = ....
A.
3
8
C.
5
8
E.
7
8
B.
4
8
D.
6
8
Penyelesaian:
S = {AAA, AAG, GAA, AGG, GAG, GGA,
GGG}
n(S) = 8
A’
= {G, G, G}
P(A) = 1 – P(A1
)
=
1 7
1
8 8
− =
Jawaban: e
2. Masing-masing kotak A dan B berisi 12 buah
lampu pijar. Setelah diperiksa, ternyata pada
kotak A terdapat 2 lampu rusak dan pada kotak
B terdapat 1 lampu rusak. Dari masing-masing
kotak di ambil 1 lampu pijar secara acak. Peluang
terambilnya sebuah lampu pijar rusak adalah ....
A.
2
144
C.
18
144
E.
48
144
B.
3
144
D.
32
144
Penyelesaian:
Kotak A Kotak B
10 baik
2 rusak
11 baik
1 rusak
Diambil 1 lampu Diambil 1 lampu
P(1 baik, 1 rusak) =
10
12
1
12
2
12
11
12
10 22
144
32
144
⋅ + ⋅
=
+
=
Jawaban: d
3. Peluang dua siswa A dan B lulus tes berturut-turut
adalah
9
10
dan
11
12
. Peluang siswa A lulus tes
tetapi B tidak lulus, adalah ....
A.
9
120
C.
22
120
E.
109
120
B.
11
120
D.
99
120
Penyelesaian:
P(A) =
9
10
(peluang A lulus)
P(B) =
11
12
(peluang B lulus);
P(B’) =
1
12
(peluang B tidak lulus)
Peluang A lulus dan B tidak lulus
= P(A  B’) = P(A) . P(B’)

=
9
10
.
1
12
=
9
120
Jawaban: a
4. Di sebuah kelas di SMA SOULMATE, terdiri atas
30 orang siswa. Pada kelas tersebut akan di pilih
3 orang sebagai pengurus kelas yang menjabat
sebagai ketua kelas, wakil ketua, dan sekretaris.
Banyaknya cara memilih yang mungkin terjadi
adalah …. (UN Tahun 2008/2009)
A. 12.260 C. 36.240 E. 52.360
B. 24.360 D. 42.380
Penyelesaian:
n = 30 siswa
r = 3
Pemilihan ketua, wakil ketua, dan sekretaris dapat
dipilih beberapa kali dengan siswa yang

40
LATIHAN SOAL
2. Dari angka 3, 5, 6, 7 dan 9 dibuat bilangan yang
terdiri atas tiga angka yang berbeda. Diantara
bilangan-bilangan tersebut yang kurang dari 400,
banyaknya adalah ....
A. 6 cara d. 24 cara
B. 12 cara e. 30 cara
C. 18 cara
3. Nilai n dari nP3 = 8. nC4 adalah ....
A. 3 D. 12
B. 6 E. 15
C. 9
4. Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 7 soal
ulangan, tapi soal nomor 1 dan 2 harus dikerjakan.
Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid
tersebut adalah ....
A. 5 D. 20
B. 10 E. 25
C. 15
5. Dari sekelompok remaja terdiri atas 8 pria dan
12 wanita, dipilih 3 pria dan 8 wanita, maka
banyaknya cara pemilihan adalah ....
A. 27.720 D. 30.720
B. 28.720 E. 31.720
C. 29.720
6. Di suatu perkumpulan akan dipilih perwakilan
yang terdiri dari 5 calon. Calon yang tersedia
terdiri dari 8 pria dan 7 wanita. Banyaknya
susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika
sekurang-kurangnya terpilih 4 pria adalah ....
A. 1.500 D. 1.856
B. 1.612 E. 1.950
C. 1.722
7. Dari 7 orang calon pelajar teladan di suatu daerah
akan dipilih 3 orang pelajar teladan I,II, dan III.
Banyak cara susunan pelajar yang mungkin akan
terpilih sebagai teladan I, II, dan III adalah ....
A. 21 D. 210
B. 30 E. 350
C. 150
8. Dalam suatu ruang tunggu tersedia hanya 3 kursi,
bila di ruang tunggu tersebut ada 20 orang maka
banyak cara mereka duduk berdampingan adalah
....
A. 60 D. 6.840
B. 760 E. 8.500
C. 2.480
sama, tetapi dengan urutan yang berbeda. Berarti,
pemilihan ini memerhatikan urutan sehingga
dapat diselesaikan dengan permutasi.
Cara = 30P3
=
30 30.29.28.27!
(30 3)! 27!
=
−
= 30. 29 .28 = 24.360 cara
Jawaban: b
5. Dua dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang
muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu
kedua 5 adalah ….
(UN TAHUN 2003/2004)
A.
1
36
C.
7
36
E.
11
36
B.
5
36
D.
9
36
Penyelesaian:
Muncul mata dadu pertama : 3
A = {(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),}
n(A) = 6
Peluang (A) =
6 1
36 6
=
Muncul mata dadu kedua: 5
B = {(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5)}
n(B) = 6
Peluang n(B) =
6 1
36 6
=
Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata
dadu kedua 5 adalah :
1 1 1
( )
6 6 36
P A B∩ = ⋅ =
Jawaban: A
1. Lilis mempunyai 6 celana, 9 baju, 2 dasi dan
10 pasang sepatu. Tentukan banyaknya stelan
baju, celana, dasi dan sepatu yang berbeda yang
dipunyai Lilis!
A. 54 cara D. 540 cara
B. 60 cara E. 1.080 cara
C. 90 cara

41
9. Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning.
Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning.
Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola
secara acak. Peluang terambilnya kedua bola
berwarna sama adalah ....
A.
7
16
D.
10
16
B.
8
16
E.
11
16
C.
9
16
10. Suatu kelas terdiri atas 40 siswa, 25 siswa gemar
matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9 siswa
gemar matematika dan IPA. Peluang seorang tidak
gemar matematika maupun IPA adalah ....
A.
3
40
D.
6
40
B.
4
40
E.
8
40
C.
5
40

42
FUNGSI KOMPOSISI
DAN INVERS
B A B
IX
Pengertian Relasi dan FungsiA.
1. Produk Cartesius
Jika terdapat himpunan P dan Q yang tidak kosong,
produk cartesius dari himpunan P dan Q adalah
himpunan pasangan terurut (x, y) dengan x ∈ P, y ∈ Q,
ditulis sebagai berikut:
P × Q = {(x, y)  x ∈ P dan y ∈ Q}
2. Relasi
Relasi atau hubungan R dari himpunan P ke himpunan
Q adalah sembarang himpunan bagian dari produk
cartesius P × Q dengan x ∈ P, y ∈ Q, ditulis sebagai
berikut :
R = {(x, y)  x ∈ P dan y ∈ Q}
3. Fungsi
Suatu fungsi f atau pemetaan
f dari himpunan P ke him-
punan Q adalah suatu relasi
khusus yang memetakan se-
tiap elemen dari P (domain)
dengan tepat satu elemen dari
Q (kodomain).
Jika f memetakan suatu elemen x ∈ P ke suatu elemen
y ∈ Q, fungsi f dari P ke Q dapat ditulis y = f(x) dengan
x sebagai peubah bebas dan y sebagai peubah terikat.
Daerah asal (domain atau Df) fungsi y = f(x) adalah
nilai-nilai x supaya y = f(x) ada nilainya (terdefinisi).
Syarat agar suatu fungsi terdefinisi :

*
*
* log
y f x f x
y
f x
g x
g x
y g xf x
= ( ) → ( ) ≥
=
( )
( )
→ ( ) ≠
= ( ) →( )
syarat
syara
0
0
tt
dan
g x
f x f x
( )
( ) ( ) ≠
0
0 1,
Daerah hasil (range atau Rf) fungsi y = f(x) adalah nilai-
nilai y yang dipengaruhi oleh domain fungsi.
Menentukan daerah hasil dari fungsi kuadrat y = f(x)
= ax2
+ bx + c sebagai berikut:
 Untuk Df = {xx ∈ R}
 Jika a 0, daerah hasilnya Rf = {yy  ye, y ∈ R}
 Jika a 0, daerah hasilnya Rf = {yy  ye, y ∈ R}
dengan
 −
= −  
 
2
4
4e
b ac
y
a
 Untuk Df = {xp  x  q, x ∈ R}
 Jika absis titik puncaknya
 
= − 
 2e
b
x
a di dalam
interval domain, tentukan f(xe), f(p), dan f(q),
sehingga: Rf = {yfmin  y  fmaks , y∈ R}
 Jika absis titik puncaknya (xe) di luar interval
domain, tentukan f(p), dan f(q), sehingga:
Rf = {yfmin  y  fmaks , y∈ R}.
Sifat-sifat FungsiB.
* Fungsi dari himpunan P ke Q
disebut satu-satu (one-one/injektif)
jika setiap elemen dari P hanya
mempunyai satu peta di Q dan
tidak harus semua elemen dari Q
terpetakan dari P.
* Fungsi dari himpunan P ke
himpunan Q disebut pada (onto/
surjektif) jika setiap elemen dari
himpunan Q habis terpetakan
(mempunyai minimal satu pasangan
dengan elemen himpunan P).
* Fungsi dari himpunan P ke
himpunan Q disebut korespondensi
satu-satu (one-one onto/bijektif) jika
fungsi itu injektif dan onto.

43
Aljabar FungsiC.
Jika f dan g adalah dua fungsi yang diketahui, maka
fungsi yang merupakan jumlah, selisih, hasil kali, dan
hasil bagi kedua fungsi tersebut masing-masing sebagai
berikut :
* ,
*
f g x f x g x
D D D
f g x f x g
f g f g
+( )( ) = ( ) + ( )
= ∩
−( )( ) = ( ) −
+( )dengan
xx
D D D
f g x f x g x
f g f g
( )
= ∩
( )( ) = ( ) ( )
−( )
,
* . . ,
dengan
dengann
dengan
D D D
f
g
x
f x
g x
D D
f g f g
f
g
.
* ,
( )






= ∩





( )=
( )
( )
= ff gD g x∩ ( ) ≠dan 0
Komposisi FungsiD.
 Jika fungsi f: A  B dan fungsi g: B  C,
fungsi h: A  C disebut sfungsi komposisi yang
ditentukan oleh rumus sebagai berikut:
h = gof = gof(x) = go{f(x)} = (gof)(x)
 Syarat agar fungsi g dan fungsi f dapat dikomposi
sikan menjadi (gof) sebagai berikut:
 Irisan antara daerah hasil fungsi dengan daerah
asal fungsi g bukan himpunan kosong.
(Rf ∩ Rg) ≠ 0
 Daerah asal fungsi komposisi (gof) adalah him
punan bagian dari daerah asal fungsi f.
( )o fg f
D D⊆
 Daerah hasil fungsi komposisi (gof) adalah
himpunan bagian dari daerah hasil fungsi g.

( )o fg f
R R⊆
 Sifat fungsi komposisi: tidak komutatif
gof(x) ≠ fog(x).
Fungsi InversE.
 Tidak semua fungsi invers merupakan fungsi invers
dan invers fungsi yang merupakan fungsi disebut
fungsi invers.
 Suatu fungsi f : A  B mempunyai fungsi invers f-1
:
B  A jika semua elemen himpunan A dan elemen
himpunan B berkorespondensi satu-satu.
 Notasi fungsi invers adalah jika f(x) = y, f-1
(y) = x
atau y-1
= f-1
(x).
 Langkah menentukan fungsi invers dari y = f(x)
sebagai berikut:
 Mengubah fungsi y = f(x) dalam bentuk x
sebagai fungsi y.
 Mengganti y pada f-1
(y) dengan x untuk
mendapatkan f-1
(x).
 Sifat komposisi fungsi invers : f-1
o g-1
= (g o f)-1
Hubungan komposisi dan inversF.
Jika (g o f)(x) = h(x), maka:
1. h-1
(x) = (g o f)-1
(x) = (f-1
o g-1
)(x) = f-1
(g-1
(x))
2. (f o g)-1
(x) = (g-1
o f-1
)(x) = g-1
(f-1
(x))
3. g(x) = (h o f-1
)(x)
4. f(x) = (g-1
o h)(x)
Rumus-rumusG.
1. (f ± g) (x) = f(x) ± g(x)
2. (f × g) (x) = f(x) × g(x)
3.
( )
( )
( )
f xf
x
g xx
  = 
 
, dengan g(x) ≠ 0
4. fn
(x)= {f(x)}n
5. f(x)= axn
+ b ® f -1
(x)=
1
nx b
a
− 
 
 
6. f(x)=
n
ax b+ ® f -1
(x)=
n
x b
a
−
7. f(x)=
ax b
cx d
+
+
; ® f -1
(x)=
dx b
cx a
− +
−
; x ≠
a
c

44
1. Diketahuif : R ® R, g : R ® R dirumuskan oleh
f(x) = x2
– 4 dan g(x) = 2x – 6. Jika (f og)(x) = –4,
nilai x = ....
A. –6 D. 3 atau –3
B. –3 E. 6 atau –6
C. 3
Penyelesaian:
f(x)=x2
– 4 dan g(x)=2x – 6
(f o g)(x) = f{g(x)}
-4 = f (2x – 6)
-4 = (2x – 6)2
– 4
-4 = 4x2
– 24x + 32
4x2
– 24x + 36 = 0
4(x – 3)2
= 0  x = 3
Jawaban: C
2. Diketahui fungsi f (x) =
5
3 2
x
x
+
−
; x ≠
2
3
, f-1
adalah
invers dari fungsi f dan f-1
(m + 1) = 1. Nilai 2m – 3
= ….
A. 5 D. 11
B. 7 E. 15
C. 9
Penyelesaian:
f (x) =
5
3 2
x
x
+
−
,
f -1
( x ) =
2 5
3 1
x
x
+
−
f -1
( m + 1 ) =
2( 1) 5
1
3( 1) 1
m
m
+ +
=
+ −
1 =
2 7
1
3 2
m
m
+
=
+

2  m + 7 = 3 m + 2
m = 5
Jadi nilai 2m – 3 = 2 (5) – 3 = 7
Jawaban : B
3. Jika f(x) =
8
3 2
x
x
−
−
maka f(–1)
(1)= ….
A. 11 D.
2
3
B. – 3 E. 11
C. – 7
Penyelesaian:
1
1
8
( )
3 2
2 8
( )
3 1
2(1) 8
( ) 4
3(1) 1
x
f x
x
x
f x
x
f x
−
−
−
=
−
−
=
−
−
= = −
−
Jawaban : B
4. Diketahui f(x – 2) =
1
2 3
x
x
+
−
maka f -1
(x + 1) = ….
A. 2
2 1
x
x
−
−
C. 2
2 1
x
x
−
+
E. 3 4
2 1
x
x
+
+
B. 4
2 1
x
x
−
−
D. 5 4
2 1
x
x
+
+
Penyelesaian:
f (x – 2) =
1
2 3
x
x
+
−
misal : x – 2 = p
x = p + 2
f (p) =
2 1
2 4 3
p
p
+ +
+ −
=
3
2 1
p
p
+
+
3
( )
2 1
x
f x
x
+
∴ =
+
1
1
3
( )
2 1
1 3 2
( 1)
2 2 1 2 1
x
f x
x
x x
f x
x x
−
−
− +
=
−
− − + −
+ = =
+ − +
Jawaban: C
5. Diketahui f(x) = x2
+ 4x – 5 dan g(x) = 2x – 1.
Hasil dari fungsi komposisi (g o f)(x) adalah ....
A. 2x2
+ 8x – 11 D. 2x2
+ 8x – 6
B. 2x2
+ 8x – 9 E. 2x2
+ 4x – 6
C. 2x2
+ 4x – 9
Penyelesaian:
f(x)=x2
+4x – 5
g(x)=2x – 1

45
5. Fungsi f : R ® R dan g : R ® R dinyatakan oleh
f(x)=x+2 dan (g o f)(x)=2x2
– 4x – 4, maka g(3x):
….
A. 6x2
– 4x+12 D. 18x2
– 36x+20
B. 8x2
– 2x+16 E. 20x2
– 36x+25
C. 12x2
– 8x+18
6. Dari fungsi f dan g diketahui f(x) = 2x2
+ 3x – 5
dan g(x) = 3x – 2. Agar (gof) (a) = -11 maka nilai
a adalah …
A. 2 1
2
D. 1
2
B. 1 1
6
E. 1
6
C. 1
7. Diketahui fungsi f dan g yang dirumuskan oleh f(x)
= 2x – 4 dan (g o f) = 4x2
– 24x + 32. Rumus
fungsi g adalah g (x) = ....
A. x2
– 4x + 8 D. x2
+ 4x
B. x2
– 4x – 8 E. x2
– 4x
C. x2
+ 4x + 8

8. Diketahui f(x) =
2 1
3
x
x
+
−
, x ≠ 3. Jika f-1
adalah
invers fungsi f, maka f-1
(x-2)= ....
A.
1
, 2
2
x
x
x
+
≠
−
D.
3 5
, 4
4
x
x
x
−
≠
−
B.
2 3
, 5
5
x
x
x
−
≠
−
E.
2 1
, 3
3
x
x
x
−
≠
−
C.
2 2
, 1
1
x
x
x
−
≠ −
−
9. Fungsi f : R  R dan g : R  R dinyatakan oleh f(x)
= x + 2 dan (gof)(x) = 2x2
+ 4x + 1, maka g(2x)
= ....
A. 2x2
– 4x + 1 D. 8x2
+ 8x + 1
B. 2x2
– 12x + 1 E. 4x2
– 8x + 1
C. 8x2
– 8x + 1
10. Diketahui f(x) = x + 4, x∈ R dan
(g o f)(x) = x2
+ 4x + 3. nilai dari g(5) = . . . .
A. 8 D. 14
B. 10 E. 16
C. 12
LATIHAN SOAL
1. Jika f(x)=x3
+2 dan
2
( )
1
g x
x
=
−
, maka (g o f) (x)
adalah ….
A. 2(x3
+2)(x – 1) D. 3
2
( 1)x +
B.
3
2 ( 2)
( 1)
x
x
+
−
E. 3
2
( 1)x +
C.
3
2 ( 2)
( 1)
x
x
+
+
2. Jika invers fungsi f(x) adalah f–1
(x) =
2
3 1
x
x
−
−
, maka
f (5) = ….
A. -5 D.
3
7
−
B.
9
5
E. –1
C. 1
3. Jika f(x)=2x – 3 dan (g o f)(x)=2x+1, maka g(x)
….
A. x+4 D. x+7
B. 2x+3 E. 3x+2
C. 2x+5
4. Misalkan 2
2 1, untuk 0 1
( )
1, untuk yang lain
x x
f x
x x
− 

+
maka f (2) · f (-4)+f (1
2
) · f (3)= ….
A. 80 D. 95
B. 85 E. 100
C. 90
(g0f)(x) =g(f(x))
=g(x2
+4x – 5)
=2(x2
+4x – 5) – 1
=2x2
+8x – 11
Cara lain
Masukan x = 0  f(0) = 02
+ 4.0 – 5 = -5
Masukan x = -5  g(-5) = 2.(-5) – 1 = -11
Dengan memasukkan nilai x= 0, cari di pilihan
ganda yang persamaanya bernilai – 11, yaitu
2x2
+ 8x – 11
Jawaban: A

46
SUKU BANYAK
B A B
X
Bentuk UmumA.
 Bentuk umum suku banyak (polinomial) dalam x
berderajat n sebagai berikut :
f(x) = an xn
+ an-1 xn-1
+ ... + a2 x2
+ a1 x1
+ a0
n anggota bilangan cacah dan an ≠ 0
 an, an-1, ..., a2, a1, a0 adalah konstanta yang masing-
masing merupakan koefisien dari xn
, xn-1
, ... , x2
, x1
, x0
.
 Derajat suatu suku banyak dalam x dinyatakan oleh
pangkat tertinggi (n) dalam suku banyak tersebut.
 Nilai suku banyak f(x) berderajat n pada saat x = h
adalah f(h).
Jika f(h) = 0  x = h akar dari f(x)
 (x – h) faktor dari f(x)
Pembagian Suku BanyakB.
Proses pembagian suku banyak bisa dilakukan dengan
cara sebagai berikut:
 Pembagian biasa
 Pembagian sintetik cara Horner
Contoh:
3x2
– 2x – 7 dibagi x – 3
Pembagian biasa
x – 3 3x2
– 2x – 7 3x+ 7
3x2
– 9x
–
7x – 7
7x – 21
–
14
 Jadi hasil pembagiannya 3x + 7 + 14/(x – 3)
Pembagian sintetik cara Horner
Susun dan tulis semua koefisien-koefisien persamaan
yang dibagi dan pembagi seperti berikut:
Tanda panah berarti dikali -3
14 adalah sisa hasil pembagian
hasil bagi adalah 3x + 7
 Jadi hasil pembagiannya adalah 3x + 7 + 14/(x – 3)
Teorema SisaC.
 Jika suatu suku banyak f(x) dibagi p(x), akan
menghasilkan hasil bagi h(x) dan sisa S(x) dapat
dirumuskan sebagai berikut.
f(x) = p(x) . H(x) + S(x)
 Jika suku banyak f(x) dibagi (x – h), sisanya dapat
dicari dari nilai f(h).
f(x) : (x – h)  S(x) = H(x) = c (konstanta)
f(x) : ax2
+ bx + c  S(x) = px + q
f(x) : ax3
+ bx2
+ cx + d  S(x) = px2
+ qx + r
dst..

Jika pembagi f(x) adalah p(x) berderajat n, sisa dari
S berderajat maksimal (n – 1).
 Jika sisa = f(h) = 0  x = h akar dari f(x)
 (x – h) faktor dari f(x)
Akar-akar Suku BanyakD.
 Nilai x yang memenuhi suku banyak f(x) = an xn
+
an-1 xn-1
+ . . . + a2 x2
+ a1 x1
+ a0 adalah akar-akar
suku banyak tersebut.
 Untuk mencari akar-akar suatu suku banyak
biasanya dilakukan dengan cara faktorisasi. Dalam
mempermudah proses faktorisasi, dapat dibantu
oleh sistem pembagian cara Horner.
 Hubungan akar-akar suku banyak sebagai berikut.
 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan
ax2
+ bx + c = 0, maka berlaku:
 1 2
b
x x
a
−
+ =
 1 2
c
x .x =
a
 Jika x1, x2, dan x3 akar persamaan
ax3
+ bx2
+ cx + d = 0, maka berlaku:
 1 2 3
b
x x x
a
−
+ + =
-3 3 -2 -7

-9 -21
3 7 14

47
 1 2 3. .
d
x x x
a
= −
 1 2 1 3 2 3. . .
c
x x x x x x
a
+ + =
 Jika x1, x2, x3, dan x4 akar persamaan
ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx + e = 0, maka
berlaku:
 1 2 3 4
b
x x x x
a
−
+ + + =
 1 2 3 4. . .
e
x x x x
a
=
 1 2 3 2 3 4 1 2 4
1 3 4
. . . . . .
. .
x x x x x x x x x
d
x x x
a
+ +
+ = −
 1 2 1 3 1 4 2 3
2 4 3 4
. . . .
. .
x x x x x x x x
c
x x x x
a
+ + +
+ + = −
1. Suku banyak f(x) dibagi (x – 1) sisanya 2, dibagi
(x – 2) sisanya 6. Bila f(x) dibagi (x – 1) (x – 2),
sisanya .…
(UN TAHUN 2003/2004)
A. 4x + 2
B. 4x – 2
C. 2x + 1
D. 2x - 1
E. 2x - 2
Penyelesaian:
f(x) = (x – 1)(x – 2).g(x) + ax + b
f(1) = 0 + a + b = 2 ……(×1)
f(2) = 0 + 2a + b = 6 …… (×2)
–
-a =-4 ® a = 4
Substitusi a pada (1):
a + b = 2 ® b = -2
Jadi, sisa pembaginya; S(x) = 4x – 2.
Jawaban: B
2. Sisa pembagian suku banyak x4
+ 5x2
– 3x + 7
oleh x2
– 5 adalah ....
(UN TAHUN 2004/2005)
A. -3x + 57
B. -3x – 43
C. -3x – 57
D. 3x – 43
E. 3x + 57
Penyelesaian:
Pembagian biasa:
x2
+ 10
x2
– 5 x4
+ 5x2
– 3x + 7
x4
– 5x2
–
10x2
– 3x + 7
10x2
– 50
–
-3x + 57 (sisa)
Sisa pembagian: -3x + 57
Jawaban: A
3. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya 10 dan
jika dibagi (2x – 3) sisanya 5. Jika suku banyak f(x)
dibagi (2x2
– x – 3), sisanya adalah ....
(UN TAHUN 2006/2007)
A. -2x + 8 D. -5x + 5
B. -2x + 12 E. -5x + 15
C. –x + 4
Penyelesaian:
Misal sisanya: S(x) = ax + b
f(x) = P(x)(x + 1)(2x – 3) + ax + b
f(-1) = 0 + (-a) + b = 10
f(
3
2
) = 0 +
3
2
a + b = 5
Eliminasi a:
3f(-1): -3a + 3b = 30
2f(
3
2
): 3a + 2b = 10
+
5b = 40  b = 8
Substitusi b: -a + b = 10
-a + 8 = 10  a = -2
Jadi, sisa pembagian: S(x) = -2x + 8
Jawaban: A
4. Salah satu faktor suku banyak
P(x) = x4
– 15x2
– 10x + n adalah (x + 2). Faktor
lainnya adalah ....
(UN TAHUN 2007/2008)
A. x – 4 D. x – 6
B. x + 4 E. x – 8
C. x + 6
Penyelesaian:
P(x) = x4
– 15x2
– 10x + n
Faktor = (x + 2)
Nilai n dapat ditentukan dengan metode Homer
berikut.
-2 1 0 -15 -10 n
-2 4 22 -24
1 -2 -11 12 0 ® n = 24
Hasil bagi : (x3
– 2x2
– 11x + 12)

48
Kemungkinan akar-akar lain = 2, 3, 4, dan
6 ® (faktor 12)
Misal x = 4
4 1 -2 -11 12
4 8 -12
1 2 -3 0
Sisa nol. Jadi, 4 adalah akar persamaan dan faktor
nya adalah (x – 4).
Jawaban: A
5. Suku banyak f(x) dibagi (x – 2) sisa 1, dibagi
(x + 3) sisa -8. Suku banyak g(x) dibagi (x – 2) sisa
9, dibagi (x + 3) sisa 2. Jika h(x) = f(x) . g(x) maka
sisa pembagian h(x) dibagi x2
+ x – 6 adalah ....
(UN TAHUN 2008/2009)
A. 7x – 1 D. 4x – 1
B. 6x – 1 E. 3x – 1
C. 5x – 1
Penyelesaian:
Teorema sisa: “Suku banyak f(x) dibagi (x – a)
memiliki sisa f(a),”
h(x) = f(x) . g(x) dibagi (x2
+ x – 6) = (x – 2)(x +
3)
sisanya ax + b
f(x) . g(x) = P(x) . (x – 2) . (x + 3) + ax + b
f(2) . g(2) = P(x) . 0 + 2a + b = 1. 9
2a + b = 9 .... (1)
f(-3) . g(-3) = P(x) . 0 + -3a + b = -8 . 2
3a – b = 16 .... (2)
Eliminasi b diperoleh:
(1) : 2a + b = 9
(2) : 3a – b = 16
+
5a = 25 ® a = 5
Substitusi a pada (1) :
2a + b = 9
2 . 5 + b = 9 ® b = -1
Jadi, sisa pembagian : S(x) = 5x – 1
Jawaban: C
LATIHAN SOAL
2. Agar F(x) = (p – 2)x2
– 2(2p – 3)x + 5p – 6 = 0
bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas
nilai p adalah ….
A. p 1 D. 1 p 2
B. 2 p 3 E. p 1 atau p 2
C. p 3
3. Suatu suku banyak dibagi (x – 5) sisanya 13,
sedang jika dibagi (x – 1) sisanya 5. Suku banyak
tersebut jika dibagi x2
– 6x + 5 sisanya adalah ….
A. 2x + 2 D. 3x + 2
B. 2x + 3 E. 3x + 3
C. 3x + 1
4. Jika x = 2 merupakan akar dari
2x4
+ 5x3
– ax2
– 20x + 12 = 0, maka akar yang
lainnya adalah ....
A. −{ }1
2
2 3, , D. − −{ }3 2
1
2
, ,
B. − − −{ }3 2
1
2
, , E. 2
1
2
3, ,{ }
C. −{ }2
1
2
3, ,
5. Banyaknya akar-akar yang rasional bulat dari persa
maan 4x4
– 15x2
+ 5x + 6 = 0 adalah ....
A. 0 D. 3
B. 1 E. 4
C. 2
6. Diketahui (x – 2) adalah faktor dari
f (x) = 2x3
+ ax2
+ 7x + 6. Salah satu faktor lain
nya adalah ....
A. (x + 3) D. (2x – 3)
B. (x – 3) E. (2x + 3)
C. (x – 1)
7. Diketahui persamaan 2x3
– 5x2
+ x + 2 = 0.
Jumlah akar-akarnya adalah . . . .
A.
1
3
D.
5
2
B.
2
3
D.
7
2
C.
3
2
8. Suku banyak P(x) dibagi dengan (x + 3) sisa –30,
dan jika dibagi oleh (x2
– 1) sisa (10x + 2). Sisa
pembagian suku banyak oleh (x2
+ 4x +3) adalah
....
A. 11x + 3 D. 30x + 8
B. 15x + 10 E. 22x – 3
C. 11x + 19
1. Suku banyak (x4
– 3x3
– 5x2
+ x – 6) dibagi oleh
(x2
– x – 2), sisanya sama dengan ....
A. 16x + 8 D. -8x - 16
B. 16x – 8 E. -8x - 24
C. -8x + 16

49
9. Suku banyak f (x) dibagi (x + 1) sisa –2 dan dibagi
(x – 3) sisa 7, suku banyak g(x) dibagi (x + 1) sisa
3 dan dibagi (x – 3) sisa 2. Diketahui
h(x) = f (x) . g(x). Jika h(x) dibagi x2
– x – 3, sisanya
adalah ....
A. S(x) = 3x – 1
B. S(x) = 4x – 1
C. S(x) = 5x – 1
D. S(x) = 6x – 1
E. S(x) = 7x + 2
10. Suku banyak (x4
– 7x3
+ 9x2
+ 13x – 7) dibagi
(x + 1)(x – 3) menghasilkan sisa . . . .
A. x – 1
B. x – 3
C. 2x – 1
D. 2x + 1
E. 2x – 3

50
LIMIT
B A B
XI
 Pengertian Limit
 Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati nilai
a adalah harga yang paling dekat dari f(x) pada
saat x mendekati nilai a.
 Jika lim ( )
x a
f x L
→
= , artinya L adalah nilai pende-
katan untuk x di sekitar a.
 Teorema Limit
 Jika f(x) = x, maka lim ( )
x a
f x a
→
=
 Jika c konstanta, maka lim . ( ) .lim ( )
x a x a
c f x c f x
→ →
=
 { }lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
± = ±
 { }lim ( ). ( ) lim ( ).lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
=

lim ( )( )
lim
( ) lim ( )
x a
x a
x a
f xf x
g x g x
→
→
→
= , untuk lim ( ) 0
x a
g x
→
≠
 lim ( ) lim ( ) lim ( )
x a
n
x a
n
x a
n
f x fx fx
→ → →
= { } = { } , untuk n
bilangan asli
 Limit Fungsi Aljabar
Langkah umum penyelesaian limit fungsi aljabar
lim ( )
x a
f x
→
sebagai berikut:
 Substitusi nilai x = a ke f(x).
 Jika hasilnya bentuk tak tentu
0
, , ,
0
∞ 
∞ − ∞ ∞ 
,
f(x) harus diuraikan.
 Jika hasilnya bentuk tertentu, itulah nilai limit
nya.
 Jenis Limit untuk x  c
 Jika x  c dan c adalah konstanta, fungsi f(x)
diuraikan dengan cara faktorisasi.
 Untuk fungsi f(x) yang mengandung bentuk akar,
kalikan dengan sekawannya terlebih dahulu,
baru masukkan nilai limitnya.
 Jika x  ∞ dan hasilnya ∞
∞
atau
0
0
, fungsi f(x)
diuraikan dengan cara membagi pembilang dan
penyebut dengan x pangkat tertinggi.
lim
...
...
,
,
x
a x
m
a x
m
b x
n
b x
n
untuk m n
a
b
untuk m
→∞
+
−
+
+
−
+
=
∞
1 2
1
1 2
1
1
1
==







n
untuk m n0,
 Jika x  ∞ dengan hasil ∞ atau – ∞, fungsi f(x)
diuraikan dengan cara dikali sekawan untuk fungsi
yang mengandung bentuk akar, kemudian mem-
bagi pembilang dan penyebut dengan x pangkat
tertinggi.
 Rumus jumlah dan selisih akar
lim
,
,
,
x
ax b cx d
untuk a c
untuk a c
untuk a c
→∞
+ + +( ) =
∞
=
−∞





0
lim
,
,
,
x
ax b cx d
untuk a c
untuk a c
untuk a c
→∞
+ − +( ) =
∞
=
−∞





0
 Rumus selisih akar kuadrat

lim
,
,
,
x
ax bx c px qx r
untuk a p
b q
a
untuk a p
untuk
→∞
+ + − + + =
∞
−
=
−∞
( )2 2
2
aa p





1. Nilai lim
x
x x
x→
− − +
−6
3 2 2 4
6
= ….
A. 1
4
− C. 0 E. 1
4
B.
1
8
− D.
1
8

MATEMATIKA SEKOLAH

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to MATEMATIKA SEKOLAH

Similar to MATEMATIKA SEKOLAH (20)

MATEMATIKA SEKOLAH