Smart solution un matematika sma 2013 (skl 5 pengayaan integral trigonometri)

1. Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang

2. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 243
Pengayaan Konsep Dasar Integral Trigonometri
Integral Trigonometri
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝒙 ⅆ𝒙
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝒙 ⅆ𝒙
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒎
𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙?
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝒎
𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝒎
𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙?
Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri?
Bagaimana Pola Penyelesaian Integral menggunakan Rumus Reduksi?
Dan masih banyak yang lainnya….

3. Halaman 244 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝒙 ⅆ𝒙
Untuk bentuk ∫ tan 𝑥 ⅆ𝑥 dan ∫ cot 𝑥 ⅆ𝑥, maka ubah bentuk tan 𝑥 dan cot 𝑥 menggunakan identitas trigonometri
perbandingan.
tan 𝑥 =
sin 𝑥
cos 𝑥
cot 𝑥 =
cos 𝑥
sin 𝑥
Ternyata sudah menjadi sebuah bentuk integral substitusi berikut:
∫
sin 𝑥
cos 𝑛 𝑥
ⅆ𝑥
∫
cos 𝑥
sin 𝑛 𝑥
ⅆ𝑥
Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:
∫
1
𝑥
ⅆ𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶
Serta ingat juga sifat logaritma (ln 𝑥 = 𝑒
log 𝑥 = logaritma natural) berikut:
ln
1
𝑥
= − ln 𝑥
Contoh Soal 1:
∫ tan 𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ tan 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫
sin 𝑥
cos 𝑥
ⅆ𝑥
= ∫
sin 𝑥
cos 𝑥
ⅆ(cos 𝑥)
− sin 𝑥
= − ∫
1
cos 𝑥
ⅆ(cos 𝑥)
= − ln|cos 𝑥| + 𝐶= − ln |
1
sec 𝑥
| + 𝐶 = ln|sec 𝑥| + 𝐶
Contoh Soal 2:
∫ tan 3𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ tan 3𝑥 ⅆ𝑥 = ∫
sin 3𝑥
cos 3𝑥
ⅆ𝑥
= ∫
sin 3𝑥
cos 3𝑥
ⅆ(cos 3𝑥)
−3 sin 3𝑥
= −
1
3
∫
1
cos3𝑥
ⅆ(cos 3𝑥)
= −
1
3
ln|cos 3𝑥| + 𝐶= −
1
3
ln |
1
sec 3𝑥
| + 𝐶 =
1
3
ln|sec 3𝑥| + 𝐶

4. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 245
Contoh Soal 3:
∫ cot 𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ cot 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫
cos 𝑥
sin 𝑥
ⅆ𝑥
= ∫
cos 𝑥
sin 𝑥
ⅆ(sin 𝑥)
cos 𝑥
= ∫
1
sin 𝑥
ⅆ(sin 𝑥)
= ln|sin 𝑥| + 𝐶
Contoh Soal 4:
∫ cot 5𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ cot 5𝑥 ⅆ𝑥 = ∫
cot 5𝑥
sin 5𝑥
ⅆ𝑥
= ∫
cos 5𝑥
sin 5𝑥
ⅆ(sin 5𝑥)
5 sin 5𝑥
=
1
5
∫
1
cos 5𝑥
ⅆ(cos 5𝑥)
=
1
5
ln|sin5𝑥| + 𝐶

5. Halaman 246 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝒙 ⅆ𝒙
Untuk bentuk ∫ sec 𝑥 ⅆ𝑥 dan ∫ csc 𝑥 ⅆ𝑥, maka ubah bentuk sec 𝑥 dan csc 𝑥 menggunakan identitas trigonometri
perbandingan.
sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
csc 𝑥 =
1
sin 𝑥
Lalu kita upayakan supaya menjadi bentuk integral substitusi berikut:
∫
sec2
𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥
sec 𝑥 + tan 𝑥
ⅆ𝑥
Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:
∫
1
𝑥
ⅆ𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶
Contoh Soal 1:
∫ sec 𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ sec 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sec 𝑥 × (
sec 𝑥 + tan 𝑥
sec 𝑥 + tan 𝑥
) ⅆ𝑥
= ∫
sec2
𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥
sec 𝑥 + tan 𝑥
ⅆ𝑥
= ∫
sec2
𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥
sec 𝑥 + tan 𝑥
ⅆ(sec 𝑥 + tan 𝑥)
sec 𝑥 tan 𝑥 + sec2 𝑥
= ∫
1
sec 𝑥 + tan 𝑥
ⅆ(sec 𝑥 + tan 𝑥)
= ln|sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝐶
Contoh Soal 2:
∫ sec 2𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ sec 2𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sec 2𝑥 × (
sec 2𝑥 + tan 2𝑥
sec 2𝑥 + tan 2𝑥
)ⅆ𝑥
= ∫
sec2
2𝑥 + sec2𝑥 tan 2𝑥
sec 2𝑥 + tan 2𝑥
ⅆ𝑥
= ∫
sec2
2𝑥 + sec2𝑥 tan 2𝑥
sec 2𝑥 + tan 2𝑥
ⅆ(sec 2𝑥 + tan 2𝑥)
2 sec 2𝑥 tan 2𝑥 + 2 sec2 2𝑥
= ∫
sec2
2𝑥 + sec2𝑥 tan 2𝑥
sec 2𝑥 + tan 2𝑥
ⅆ(sec 2𝑥 + tan 2𝑥)
2(sec 2𝑥 tan 2𝑥 + sec2 2𝑥)
=
1
2
∫
1
sec 2𝑥 + tan 2𝑥
ⅆ(sec2𝑥 + tan 2𝑥)
=
1
2
ln|sec 2𝑥 + tan 2𝑥| + 𝐶

6. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 247
Contoh Soal 3:
∫ csc 𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ csc 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ csc 𝑥 × (
csc 𝑥 − cot 𝑥
csc 𝑥 − cot 𝑥
) ⅆ𝑥
= ∫
csc2
𝑥 − csc 𝑥 cot 𝑥
csc 𝑥 − cot 𝑥
ⅆ𝑥
= ∫
csc2
𝑥 − csc 𝑥 cot 𝑥
csc 𝑥 − cot 𝑥
ⅆ(csc 𝑥 − cot 𝑥)
− csc 𝑥 cot 𝑥 + csc2 𝑥
= ∫
csc2
𝑥 − csc 𝑥 cot 𝑥
csc 𝑥 − cot 𝑥
ⅆ(csc 𝑥 − cot 𝑥)
csc2 𝑥 − csc 𝑥 cot 𝑥
= − ∫
1
csc 𝑥 − cot 𝑥
ⅆ(csc 𝑥 − cot 𝑥)
= ln|csc 𝑥 − cot 𝑥| + 𝐶
Contoh Soal 4:
∫ csc4𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ csc4𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ csc 4𝑥 × (
csc 4𝑥 − cot 4𝑥
csc 4𝑥 − cot 4𝑥
) ⅆ𝑥
= ∫
csc2
4𝑥 − csc 4𝑥 cot 4𝑥
csc 4𝑥 − cot 4𝑥
ⅆ𝑥
= ∫
csc2
4𝑥 − csc 4𝑥 cot 4𝑥
csc 4𝑥 − cot 4𝑥
ⅆ(csc 4𝑥 − cot 4𝑥)
−4 csc4𝑥 cot 4𝑥 + 4 csc2 4𝑥
= ∫
csc2
4𝑥 − csc 4𝑥 cot 4𝑥
csc 4𝑥 − cot 4𝑥
ⅆ(csc 4𝑥 + cot 4𝑥)
4(csc2 4𝑥 − csc 4𝑥 cot 4𝑥)
=
1
4
∫
1
csc 4𝑥 − cot 4𝑥
ⅆ(csc 4𝑥 − cot 4𝑥)
= −
1
4
ln|csc 4𝑥 − cot 4𝑥| + 𝐶

7. Halaman 248 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan ganjil?
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan ganjil?
Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas
trigonometri Pythagoras, yaitu.
sin2
𝑥 + cos2
𝑥 = 1 ⇒ sin2
𝑥 = 1 − cos2
𝑥
⇒ cos2
𝑥 = 1 − sin2
𝑥
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
∫ sin 𝑛
𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥
∫ cos 𝑛
𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥
Contoh Soal 1:
∫ sin3
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ sin3
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sin2
𝑥 ∙ sin 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(1 − cos2
𝑥) sin 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(sin 𝑥 − cos2
𝑥 sin 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ sin 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ cos2
𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥
= − cos 𝑥 − ∫ cos2
𝑥 sin 𝑥
ⅆ(cos 𝑥)
− sin 𝑥
= − cos 𝑥 + ∫ cos2
𝑥 ⅆ(cos 𝑥)
= − cos 𝑥 +
1
3
cos3
𝑥 + 𝐶
Contoh Soal 2:
∫ sin5
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ sin5
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sin4
𝑥 ∙ sin 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(sin2
𝑥)2
∙ sin 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(1 − cos2
𝑥)2
sin 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(1 − 2 cos2
𝑥 + cos4
𝑥) sin 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(sin 𝑥 − 2 cos2
𝑥 sin 𝑥 + cos4
𝑥 sin 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ sin 𝑥 ⅆ𝑥 − 2 ∫ cos2
𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ cos4
𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥
= − cos 𝑥 − 2 ∫ cos2
𝑥 sin 𝑥
ⅆ(cos 𝑥)
− sin 𝑥
+ ∫ cos4
𝑥 sin 𝑥
ⅆ(cos 𝑥)
− sin 𝑥
= − cos 𝑥 + ∫ cos2
𝑥 ⅆ(cos 𝑥) − ∫ cos4
𝑥 ⅆ(cos 𝑥)
= − cos 𝑥 +
2
3
cos3
𝑥 −
1
5
cos5
𝑥 + 𝐶

8. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 249
Contoh Soal 3:
∫ cos3
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ cos3
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cos2
𝑥 ∙ cos 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(1 − sin2
𝑥) cos 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(cos 𝑥 − sin2
𝑥 cos 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ cos 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ sin2
𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥
= sin 𝑥 − ∫ sin2
𝑥 cos 𝑥
ⅆ(sin 𝑥)
cos 𝑥
= sin 𝑥 − ∫ sin2
𝑥 ⅆ(sin 𝑥)
= sin 𝑥 −
1
3
sin3
𝑥 + 𝐶
Contoh Soal 4:
∫ cos5
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ cos5
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cos4
𝑥 ∙ cos 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(cos2
𝑥)2
∙ cos 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(1 − sin2
𝑥)2
cos 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(1 − 2 sin2
𝑥 + sin4
𝑥) cos 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(cos 𝑥 − 2 sin2
𝑥 cos 𝑥 + sin4
𝑥 cos 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ cos 𝑥 ⅆ𝑥 − 2 ∫ sin2
𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ sin4
𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥
= sin 𝑥 − 2 ∫ sin2
𝑥 cos 𝑥
ⅆ(sin 𝑥)
cos 𝑥
+ ∫ sin4
𝑥 cos 𝑥
ⅆ(sin 𝑥)
cos 𝑥
= sin 𝑥 + ∫ sin2
𝑥 ⅆ(sin 𝑥) − ∫ sin4
𝑥 ⅆ(sin 𝑥)
= sin 𝑥 −
2
3
sin3
𝑥 +
1
5
sin5
𝑥 + 𝐶

9. Halaman 250 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 5:
∫ 2 sin3
3𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ 2 sin3
3𝑥 ⅆ𝑥 = 2 ∫ sin3
3𝑥
ⅆ(3𝑥)
3
=
2
3
∫ sin3
3𝑥 ⅆ(3𝑥)
=
2
3
∫ sin2
3𝑥 ∙ sin3𝑥 ⅆ(3𝑥)
=
2
3
∫(1 − cos2
3𝑥) sin3𝑥 ⅆ(3𝑥)
=
2
3
∫(sin3𝑥 − cos2
3𝑥 sin 3𝑥) ⅆ(3𝑥)
=
2
3
[∫ sin3𝑥 ⅆ(3𝑥) − ∫ cos2
3𝑥 sin 3𝑥 ⅆ(3𝑥)]
=
2
3
[(− cos 3𝑥) − ∫ cos2
3𝑥 sin 3𝑥
ⅆ(cos 3𝑥)
− sin 3𝑥
]
=
2
3
[− cos3𝑥 + ∫ cos2
3𝑥 ⅆ(cos 3𝑥)]
= −
2
3
cos 3𝑥 +
2
3
∫ cos2
3𝑥 ⅆ(cos 3𝑥)
= −
2
3
cos 3𝑥 +
2
3
∙
1
3
cos3
3𝑥 + 𝐶
= −
2
3
cos 3𝑥 +
2
9
cos3
3𝑥 + 𝐶
Contoh Soal 6:
∫ 3 cos3
5𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ 3 cos3
5𝑥 ⅆ𝑥 = 3 ∫ cos3
5𝑥
ⅆ(5𝑥)
5
=
3
5
∫ cos3
5𝑥 ⅆ(5𝑥)
=
3
5
∫ cos2
5𝑥 ∙ cos 5𝑥 ⅆ(5𝑥)
=
3
5
∫(1 − sin2
3𝑥) cos5𝑥 ⅆ(5𝑥)
=
3
5
∫(cos 5𝑥 − sin2
5𝑥 cos 5𝑥) ⅆ(5𝑥)
=
3
5
[∫ cos 5𝑥 ⅆ(5𝑥) − ∫ sin2
5𝑥 cos 5𝑥 ⅆ(5𝑥)]
=
3
5
[(sin 5𝑥) − ∫ sin2
5𝑥 cos 5𝑥
ⅆ(sin 5𝑥)
cos 5𝑥
]
=
3
5
[sin5𝑥 − ∫ sin2
5𝑥 ⅆ(sin 5𝑥)]
=
3
5
sin 5𝑥 −
3
5
∫ sin2
5𝑥 ⅆ(sin 5𝑥)
=
3
5
sin 5𝑥 −
3
5
∙
1
3
sin3
3𝑥 + 𝐶
=
3
5
sin 5𝑥 −
3
15
sin3
3𝑥 + 𝐶

10. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 251
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan ganjil?
∫ sin 𝑛
𝑥 ⅆ𝑥 = (Karena n bilangan ganjil maka 𝑛 = 2𝑘 + 1)
= ∫ sin2𝑘+1
𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat sifat pangkat sin2𝑘+1
= sin2𝑘
𝑥 sin 𝑥)
= ∫ sin2𝑘
𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat sifat pangkat sin2𝑘
𝑥 = (sin2
𝑥) 𝑘
)
= ∫(sin2
𝑥) 𝑘
sin 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat identitas trigonometrisin2
𝑥 = 1 − cos2
𝑥)
= ∫(1 − cos2
𝑥) 𝑘
sin 𝑥 ⅆ𝑥 (Samakan dulu operator integralnya)
= ∫(1 − cos2
𝑥) 𝑘
sin 𝑥
ⅆ(cos 𝑥)
− sin 𝑥
= − ∫(1 − cos2
𝑥) 𝑘
ⅆ(cos 𝑥)
Ingat Binomial Newton:
(𝑎 + 𝑏) 𝑛
= ∑ 𝑛 𝐶𝑟 ∙ 𝑎 𝑛−𝑟
∙ 𝑏 𝑟
𝑛
𝑟=1
(1 − cos2
𝑥) 𝑘
= ∑ 𝑘 𝐶𝑟 ∙ 1
𝑘−𝑟
∙ (− cos2
𝑥)
𝑟
𝑘
𝑟=0
= − ∫ ∑ 𝑘 𝐶𝑟 ∙ 1
𝑘−𝑟
∙ (− cos2
𝑥)
𝑟
𝑘
𝑟=0
ⅆ(cos 𝑥) (Ingat 1 𝑘−𝑟
= 1 jadi coret saja)
= − ∫ ∑ 𝑘 𝐶𝑟 ∙ (− cos2
𝑥)
𝑟
𝑘
𝑟=0
ⅆ(cos 𝑥) (Keluarkan konstanta dari integral)
= − ∑ 𝑘 𝐶𝑟 ∫(− cos2
𝑥)
𝑟
ⅆ(cos 𝑥)
𝑘
𝑟=0
(Ingat (− cos2
𝑥) 𝑟
= ((−1) ∙ cos2
𝑥)
𝑟
)
= − ∑ 𝑘 𝐶𝑟 ∫((−1) ∙ cos2
𝑥)
𝑟
ⅆ(cos 𝑥)
𝑘
𝑟=0
(Ingat ((−1) ∙ cos2
𝑥)
𝑟
= (−1)
𝑟
(cos2
𝑥)
𝑟
)
= − ∑ 𝑘 𝐶𝑟 ∫(−1)
𝑟
(cos2
𝑥)
𝑟
ⅆ(cos 𝑥)
𝑘
𝑟=0
(Keluarkan konstanta dan (cos2
𝑥)
𝑟
= cos2𝑟
𝑥)
= − ∑ 𝑘 𝐶𝑟 ∙ (−1)
𝑟
∫ cos2𝑟
𝑥 ⅆ(cos 𝑥)
𝑘
𝑟=0
(Masukkan tanda negatif ke dalam bentuk sigma)
= ∑(−1) ∙ 𝑘 𝐶𝑟 ∙ (−1)
𝑟
∫ cos2𝑟
𝑥 ⅆ(cos 𝑥)
𝑘
𝑟=0
(Ingat (−1) ∙ 𝑘 𝐶𝑟 ∙ (−1)
𝑟
= (−1) 𝑟+1
)
= ∑(−1) 𝑟+1
∙ 𝑘 𝐶𝑟 ∫ cos2𝑟
𝑥 ⅆ(cos 𝑥)
𝑘
𝑟=0
(Ingat ∫ cos2𝑟
𝑥 ⅆ(cos 𝑥) =
1
2𝑟 + 1
cos2𝑟+1
𝑥)
= ∑(−1) 𝑟+1
∙ 𝑘 𝐶𝑟 ∙
1
2𝑟 + 1
cos2𝑟+1
𝑥
𝑘
𝑟=0
(Rapikan bentuknya)
= ∑
(−1) 𝑟+1
∙ 𝑘 𝐶𝑟
2𝑟 + 1
cos2𝑟+1
𝑥
𝑘
𝑟=0
(Hore! Selesai)
Bilangan segitiga pascal
Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari kosinus selalu dalam urutan naik dengan pola
bilangan ganjil berawal dari angka 1.
Berawal dari negatif, lalu bergantian negatif positif negatif positif dst….

11. Halaman 252 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 1:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ sin5
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 5 = 2𝑟 − 1
⇔ 5 + 1 = 2𝑟
⇔ 6 = 2𝑟
⇔ 𝑟 = 3
Jadi kita perlu 3 suku saja…… OK!!!!!
∫ sin5
𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu.
2. Bilangan segitiga pascal.
3. Bilangan ganjil (cos 𝑥 berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif ∫ sin5
𝑥 ⅆ𝑥 = − + − + 𝐶
Bilangan segitiga pascal ∫ sin5
𝑥 ⅆ𝑥 = − 𝟏 + 𝟐 − 𝟏 + 𝐶
Bilangan ganjil ∫ sin5
𝑥 ⅆ𝑥 = − 𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝟏
𝒙
𝟏
+ 𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝒙
𝟑
− 𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝟓
𝒙
𝟓
+ 𝐶
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ sin5
𝑥 ⅆ𝑥 = − cos 𝑥 +
2
3
cos3
𝑥 −
1
5
cos5
𝑥 + 𝐶

12. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 253
Contoh Soal 2:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ sin7
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 7 = 2𝑟 − 1
⇔ 7 + 1 = 2𝑟
⇔ 7 = 2𝑟
⇔ 𝑟 = 4
Jadi kita perlu 4 suku saja…… OK!!!!!
∫ sin7
𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu.
2. Bilangan segitiga pascal.
3. Bilangan ganjil (cos 𝑥 berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif ∫ sin7
𝑥 ⅆ𝑥 = − + − + +𝐶
Bilangan segitiga pascal ∫ sin7
𝑥 ⅆ𝑥 = − 𝟏 + 𝟑 − 𝟑 + 𝟏 + 𝐶
Bilangan ganjil ∫ sin7
𝑥 ⅆ𝑥 = − 𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝟏
𝒙
𝟏
+ 𝟑
𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝒙
𝟑
− 𝟑
𝐜𝐨𝐬 𝟓
𝒙
𝟓
+ 𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝟕
𝒙
𝟕
+ 𝐶
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ sin7
𝑥 ⅆ𝑥 = − cos 𝑥 + cos3
𝑥 −
3
5
cos5
𝑥 +
1
7
cos7
𝑥 + 𝐶

13. Halaman 254 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ sin3
5𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 3 = 2𝑟 − 1
⇔ 3 + 1 = 2𝑟
⇔ 4 = 2𝑟
⇔ 𝑟 = 2
Jadi kita perlu 2 suku saja…… OK!!!!!
∫ sin3
5𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶
Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan
menggunakan teknik integral substitusi dulu.
Lihat sudutnya sinus 5𝑥, sedangkan operatornya ⅆ𝑥. Jadi ⅆ𝑥 harus disesuaikan menjadi
𝑑(5𝑥)
5
.
Sehingga,
∫ sin3
5𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sin3
5𝑥
ⅆ(5𝑥)
5
=
1
5
∫ sin3
5𝑥 ⅆ(5𝑥)
Artinya,
∫ sin3
5𝑥 ⅆ𝑥 =
1
5
∫ sin3
5𝑥 ⅆ(5𝑥)
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu.
2. Bilangan segitiga pascal.
3. Bilangan ganjil (cos 𝑥 berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif ∫ sin3
5𝑥 ⅆ(5𝑥) = − + +𝐶
Bilangan segitiga pascal ∫ sin3
5𝑥 ⅆ(5𝑥) = − 𝟏 + 𝟏 + 𝐶
Bilangan ganjil ∫ sin3
5𝑥 ⅆ(5𝑥) = − 𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝟏
𝟓𝒙
𝟏
+ 𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝟓𝒙
𝟑
+ 𝐶
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ sin3
5𝑥 ⅆ𝑥 =
1
5
∫ sin3
5𝑥 ⅆ(5𝑥) =
1
5
( – cos 5𝑥 +
1
3
cos3
5𝑥 + 𝐶)
= −
1
5
cos 5𝑥 +
1
15
cos3
5𝑥 + 𝐶

14. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 255
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan ganjil?
∫ cos 𝑛
𝑥 ⅆ𝑥 = (Karena n bilangan ganjil maka 𝑛 = 2𝑘 + 1)
= ∫ cos2𝑘+1
𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat sifat pangkat cos2𝑘+1
= cos2𝑘
𝑥 cos 𝑥)
= ∫ cos2𝑘
𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat sifat pangkat cos2𝑘
𝑥 = (cos2
𝑥) 𝑘
)
= ∫(cos2
𝑥) 𝑘
cos 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat identitas trigonometricos2
𝑥 = 1 − sin2
𝑥)
= ∫(1 − sin2
𝑥) 𝑘
cos 𝑥 ⅆ𝑥 (Samakan dulu operator integralnya)
= ∫(1 − sin2
𝑥) 𝑘
cos 𝑥
ⅆ(sin 𝑥)
cos 𝑥
= ∫(1 − sin2
𝑥) 𝑘
ⅆ(sin 𝑥)
Ingat Binomial Newton:
(𝑎 + 𝑏) 𝑛
= ∑ 𝑛 𝐶𝑟 ∙ 𝑎 𝑛−𝑟
∙ 𝑏 𝑟
𝑛
𝑟=1
(1 − sin2
𝑥) 𝑘
= ∑ 𝑘 𝐶𝑟 ∙ 1
𝑘−𝑟
∙ (− sin2
𝑥)
𝑟
𝑘
𝑟=0
= ∫ ∑ 𝑘 𝐶𝑟 ∙ 1
𝑘−𝑟
∙ (− sin2
𝑥)
𝑟
𝑘
𝑟=0
ⅆ(sin 𝑥) (Ingat 1 𝑘−𝑟
= 1 jadi coret saja)
= ∫ ∑ 𝑘 𝐶𝑟 ∙ (− sin2
𝑥)
𝑟
𝑘
𝑟=0
ⅆ(sin 𝑥) (Keluarkan konstanta dari integral)
= ∑ 𝑘 𝐶𝑟 ∫(− sin2
𝑥)
𝑟
ⅆ(sin 𝑥)
𝑘
𝑟=0
(Ingat (− sin2
𝑥) 𝑟
= ((−1) ∙ sin2
𝑥)
𝑟
)
= ∑ 𝑘 𝐶𝑟 ∫((−1) ∙ sin2
𝑥)
𝑟
ⅆ(sin 𝑥)
𝑘
𝑟=0
(Ingat ((−1) ∙ sin2
𝑥)
𝑟
= (−1)
𝑟
(sin2
𝑥)
𝑟
)
= ∑ 𝑘 𝐶𝑟 ∫(−1)
𝑟
(sin2
𝑥)
𝑟
ⅆ(sin 𝑥)
𝑘
𝑟=0
(Keluarkan konstanta dan (cos2
𝑥)
𝑟
= cos2𝑟
𝑥)
= ∑ 𝑘 𝐶𝑟 ∙ (−1)
𝑟
∫ sin2𝑟
𝑥 ⅆ(sin 𝑥)
𝑘
𝑟=0
(Ingat (−1) ∙ 𝑘 𝐶𝑟 ∙ (−1)
𝑟
= (−1) 𝑟+1
)
= ∑(−1) 𝑟
∙ 𝑘 𝐶𝑟 ∫ sin2𝑟
𝑥 ⅆ(sin 𝑥)
𝑘
𝑟=0
(Ingat ∫ sin2𝑟
𝑥 ⅆ(sin 𝑥) =
1
2𝑟 + 1
sin2𝑟+1
𝑥)
= ∑(−1) 𝑟
∙ 𝑘 𝐶𝑟 ∙
1
2𝑟 + 1
sin2𝑟+1
𝑥
𝑘
𝑟=0
(Rapikan bentuknya)
= ∑
(−1) 𝑟
∙ 𝑘 𝐶𝑟
2𝑟 + 1
sin2𝑟+1
𝑥
𝑘
𝑟=0
(Hore! Selesai)
Bilangan segitiga pascal
Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari sinus selalu dalam urutan naik dengan pola
bilangan ganjil berawal dari angka 1.
Berawal dari positif, lalu bergantian positif negatif positif negatif dst….

15. Halaman 256 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 1:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ cos5
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 5 = 2𝑟 − 1
⇔ 5 + 1 = 2𝑟
⇔ 6 = 2𝑟
⇔ 𝑟 = 3
Jadi kita perlu 3 suku saja…… OK!!!!!
∫ cos5
𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu.
2. Bilangan segitiga pascal.
3. Bilangan ganjil (sin 𝑥 berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif ∫ cos5
𝑥 ⅆ𝑥 = + − + + 𝐶
Bilangan segitiga pascal ∫ cos5
𝑥 ⅆ𝑥 = + 𝟏 − 𝟐 + 𝟏 + 𝐶
Bilangan ganjil ∫ cos5
𝑥 ⅆ𝑥 = + 𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝟏
𝒙
𝟏
− 𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝟑
𝒙
𝟑
+ 𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝟓
𝒙
𝟓
+ 𝐶
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ cos5
𝑥 ⅆ𝑥 = sin 𝑥 +
2
3
sin3
𝑥 −
1
5
sin5
𝑥 + 𝐶

16. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 257
Contoh Soal 2:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ cos7
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 7 = 2𝑟 − 1
⇔ 7 + 1 = 2𝑟
⇔ 7 = 2𝑟
⇔ 𝑟 = 4
Jadi kita perlu 4 suku saja…… OK!!!!!
∫ cos7
𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu.
2. Bilangan segitiga pascal.
3. Bilangan ganjil (sin 𝑥 berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif ∫ cos7
𝑥 ⅆ𝑥 = + − + − +𝐶
Bilangan segitiga pascal ∫ cos7
𝑥 ⅆ𝑥 = + 𝟏 − 𝟑 + 𝟑 − 𝟏 + 𝐶
Bilangan ganjil ∫ cos7
𝑥 ⅆ𝑥 = + 𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝟏
𝒙
𝟏
− 𝟑
𝐬𝐢𝐧 𝟑
𝒙
𝟑
+ 𝟑
𝐬𝐢𝐧 𝟓
𝒙
𝟓
− 𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝟕
𝒙
𝟕
+ 𝐶
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ cos7
𝑥 ⅆ𝑥 = sin 𝑥 − sin3
𝑥 +
3
5
sin5
𝑥 −
1
7
sin7
𝑥 + 𝐶

17. Halaman 258 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ cos3
5𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 3 = 2𝑟 − 1
⇔ 3 + 1 = 2𝑟
⇔ 4 = 2𝑟
⇔ 𝑟 = 2
Jadi kita perlu 2 suku saja…… OK!!!!!
∫ cos3
5𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶
Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan
menggunakan teknik integral substitusi dulu.
Lihat sudutnya sinus 5𝑥, sedangkan operatornya ⅆ𝑥. Jadi ⅆ𝑥 harus disesuaikan menjadi
𝑑(5𝑥)
5
.
Sehingga,
∫ cos3
5𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cos3
5𝑥
ⅆ(5𝑥)
5
=
1
5
∫ cos3
5𝑥 ⅆ(5𝑥)
Artinya,
∫ cos3
5𝑥 ⅆ𝑥 =
1
5
∫ cos3
5𝑥 ⅆ(5𝑥)
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu.
2. Bilangan segitiga pascal.
3. Bilangan ganjil (sin 𝑥 berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif ∫ cos3
5𝑥 ⅆ(5𝑥) = + − +𝐶
Bilangan segitiga pascal ∫ cos3
5𝑥 ⅆ(5𝑥) = + 𝟏 − 𝟏 + 𝐶
Bilangan ganjil ∫ cos3
5𝑥 ⅆ(5𝑥) = + 𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝟏
𝟓𝒙
𝟏
− 𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝟑
𝟓𝒙
𝟑
+ 𝐶
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ cos3
5𝑥 ⅆ𝑥 =
1
5
∫ cos3
5𝑥 ⅆ(5𝑥) =
1
5
( sin 5𝑥 −
1
3
sin3
5𝑥 + 𝐶)
=
1
5
sin 5𝑥 −
1
15
sin3
5𝑥 + 𝐶

18. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 259
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan genap?
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan genap?
Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas
trigonometri kosinus sudut rangkap, yaitu.
cos 2𝑥 = 2 cos2
𝑥 − 1 ⇒ cos2
𝑥 =
1
2
cos2𝑥 −
1
2
cos 2𝑥 = 1 − 2 sin2
𝑥 ⇒ sin2
𝑥 =
1
2
−
1
2
cos 2𝑥
Contoh Soal 1:
∫ sin2
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ sin2
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ (
1
2
−
1
2
cos 2𝑥)ⅆ𝑥
=
1
2
𝑥 −
1
2
∫ cos 2𝑥 ⅆ𝑥
=
1
2
𝑥 −
1
2
∫ cos 2𝑥
ⅆ(2𝑥)
2
=
1
2
𝑥 −
1
2
∙
1
2
∫ cos 2𝑥 ⅆ(2𝑥)
=
1
2
𝑥 −
1
4
sin2𝑥 + 𝐶
Contoh Soal 2:
∫ sin4
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ sin4
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫(sin2
𝑥)2
ⅆ𝑥
= ∫ (
1
2
−
1
2
cos 2𝑥)
2
ⅆ𝑥
= ∫ (
1
4
−
1
2
cos 2𝑥 +
1
4
cos2
2𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ (
1
4
−
1
2
cos 2𝑥 +
1
4
(
1
2
+
1
2
cos 4𝑥)) ⅆ𝑥
= ∫ (
1
4
−
1
2
cos 2𝑥 +
1
8
+
1
8
cos 4𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ (
3
8
−
1
2
cos 2𝑥 +
1
8
cos 4𝑥) ⅆ𝑥
= ∫
3
8
ⅆ𝑥 − ∫
1
2
cos2𝑥 ⅆ𝑥 + ∫
1
8
cos 4𝑥 ⅆ𝑥
=
3
8
𝑥 −
1
4
sin2𝑥 +
1
32
sin4𝑥

19. Halaman 260 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒎
𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙?
Nah, untuk bentuk integral ∫ sin 𝑚
𝑥 cos 𝑛
𝑥 ⅆ𝑥, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri
Pythagoras, yaitu.
sin2
𝑥 + cos2
𝑥 = 1 ⇒ sin2
𝑥 = 1 − cos2
𝑥
⇒ cos2
𝑥 = 1 − sin2
𝑥
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
∫ sin 𝑛
𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥
∫ cos 𝑛
𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥
Contoh Soal 1:
∫ sin3
𝑥 cos2
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ sin3
𝑥 cos2
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cos2
𝑥 sin2
𝑥 ∙ sin 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫ cos2
𝑥 (1 − cos2
𝑥) sin 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(1 − cos4
𝑥) sin 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(sin 𝑥 − cos4
𝑥 sin 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ sin 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ cos4
𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥
= − cos 𝑥 − ∫ cos4
𝑥 sin 𝑥
ⅆ(cos 𝑥)
− sin 𝑥
= − cos 𝑥 + ∫ cos4
𝑥 ⅆ(cos 𝑥)
= − cos 𝑥 +
1
5
cos5
𝑥 + 𝐶
Contoh Soal 2:
∫ sin2
𝑥 cos3
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
∫ sin2
𝑥 cos3
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sin2
𝑥 cos2
𝑥 ∙ cos 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫ sin2
𝑥 (1 − sin2
𝑥) cos 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(1 − sin4
𝑥) cos 𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(cos 𝑥 − sin4
𝑥 cos 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ cos 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ sin4
𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥
= sin 𝑥 − ∫ sin4
𝑥 cos 𝑥
ⅆ(sin 𝑥)
cos 𝑥
= sin 𝑥 + ∫ sin4
𝑥 ⅆ(sin 𝑥)
= sin 𝑥 +
1
5
sin5
𝑥 + 𝐶

20. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 261
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝒏
𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙?
Nah, untuk bentuk integral ∫ tan 𝑚
𝑥 sec 𝑛
𝑥 ⅆ𝑥, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri
Pythagoras, yaitu.
sin2
𝑥 + cos2
𝑥 = 1 ⇒ tan2
𝑥 + 1 = sec2
𝑥
⇒ 1 + cot2
𝑥 = csc2
𝑥
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
∫ tan 𝑛
𝑥 sec2
𝑥 ⅆ𝑥, jika pangkat sec 𝑥 genap.
∫ sec 𝑛
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥, jika pangkat sec 𝑥 ganjil, atau pangkat tan 𝑥 ganjil.
Contoh Soal 1:
∫ tan2
𝑥 sec2
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
Karena pangkat sec 𝑥 genap, maka sisakan bentuk sec2
𝑥.
Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ tan 𝑛
𝑥 sec2
𝑥 ⅆ𝑥.
Okelah kalau begitu. Langsung saja!
∫ tan2
𝑥 sec2
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan2
𝑥 sec2
𝑥
ⅆ(tan 𝑥)
sec2 𝑥
= ∫ tan2
𝑥 ⅆ(tan 𝑥)
=
1
3
tan3
𝑥 + 𝐶
Contoh Soal 2:
∫ tan2
𝑥 sec4
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
Karena pangkat sec 𝑥 genap, maka sisakan bentuk sec2
𝑥.
Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2
𝑥 + 1 = sec2
𝑥
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ tan 𝑛
𝑥 sec2
𝑥 ⅆ𝑥.
∫ tan2
𝑥 sec4
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan2
𝑥 sec2
𝑥 sec2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫ tan2
𝑥 (tan2
𝑥 + 1) sec2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(tan4
𝑥 + tan2
𝑥) sec2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(tan4
𝑥 sec2
𝑥 + tan2
𝑥 sec2
𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ tan4
𝑥 sec2
𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ tan2
𝑥 sec2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫ tan4
𝑥 sec2
𝑥
ⅆ(tan 𝑥)
sec2 𝑥
+ ∫ tan2
𝑥 sec2
𝑥
ⅆ(tan 𝑥)
sec2 𝑥
= ∫ tan4
𝑥 ⅆ(tan 𝑥) + ∫ tan2
𝑥 ⅆ(tan 𝑥)
=
1
5
tan5
𝑥 +
1
3
tan3
𝑥 + 𝐶

21. Halaman 262 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
∫ tan3
𝑥 sec4
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
Cara 1:
Karena pangkat sec 𝑥 genap, maka sisakan bentuk sec2
𝑥.
Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2
𝑥 + 1 = sec2
𝑥
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ tan 𝑛
𝑥 sec2
𝑥 ⅆ𝑥.
∫ tan3
𝑥 sec4
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan3
𝑥 sec2
𝑥 sec2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫ tan3
𝑥 (tan2
𝑥 + 1) sec2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(tan5
𝑥 + tan3
𝑥) sec2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(tan5
𝑥 sec2
𝑥 + tan3
𝑥 sec2
𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ tan5
𝑥 sec2
𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ tan3
𝑥 sec2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫ tan5
𝑥 sec2
𝑥
ⅆ(tan 𝑥)
sec2 𝑥
+ ∫ tan3
𝑥 sec2
𝑥
ⅆ(tan 𝑥)
sec2 𝑥
= ∫ tan5
𝑥 ⅆ(tan 𝑥) + ∫ tan3
𝑥 ⅆ(tan 𝑥)
=
1
6
tan6
𝑥 +
1
4
tan4
𝑥 + 𝐶
Cara 2:
Karena pangkat tan 𝑥 ganjil, maka sisakan bentuk sec 𝑥 tan 𝑥.
Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2
𝑥 + 1 = sec2
𝑥
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ sec 𝑛
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥.
∫ tan3
𝑥 sec4
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan2
𝑥 sec3
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫(sec2
𝑥 − 1) sec3
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫(sec5
𝑥 − sec3
𝑥) (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ (sec5
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) − sec3
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥)) ⅆ𝑥
= ∫ sec5
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥 − ∫ sec3
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ sec5
𝑥 (tan 𝑥 sec 𝑥)
ⅆ(sec 𝑥)
sec 𝑥 tan 𝑥
− ∫ sec3
𝑥 (tan 𝑥 sec 𝑥)
ⅆ(sec 𝑥)
sec 𝑥 tan 𝑥
= ∫ sec5
𝑥 ⅆ(sec 𝑥) − ∫ sec3
𝑥 ⅆ(sec 𝑥)
=
1
6
sec6
𝑥 −
1
4
sec4
𝑥 + 𝐶

22. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 263
Contoh Soal 4:
∫ tan3
𝑥 sec3
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
Karena pangkat sec 𝑥 ganjil, maka sisakan bentuk sec 𝑥 tan 𝑥.
Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2
𝑥 + 1 = sec2
𝑥
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ sec 𝑛
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥.
∫ tan3
𝑥 sec3
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan2
𝑥 sec2
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫(sec2
𝑥 − 1) sec2
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫(sec4
𝑥 − sec2
𝑥) (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫(sec4
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) − sec2
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥)) ⅆ𝑥
= ∫ sec4
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥 − ∫ sec2
𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ sec4
𝑥 (tan 𝑥 sec 𝑥)
ⅆ(sec 𝑥)
sec 𝑥 tan 𝑥
− ∫ sec2
𝑥 (tan 𝑥 sec 𝑥)
ⅆ(sec 𝑥)
sec 𝑥 tan 𝑥
= ∫ sec4
𝑥 ⅆ(sec 𝑥) − ∫ sec2
𝑥 ⅆ(sec 𝑥)
=
1
5
sec5
𝑥 −
1
3
sec3
𝑥 + 𝐶

23. Halaman 264 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝒏
𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒏
𝒙 ⅆ𝒙?
Nah, untuk bentuk integral ∫ cot 𝑚
𝑥 csc 𝑛
𝑥 ⅆ𝑥, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri
Pythagoras, yaitu.
sin2
𝑥 + cos2
𝑥 = 1 ⇒ tan2
𝑥 + 1 = sec2
𝑥
⇒ 1 + cot2
𝑥 = csc2
𝑥
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
∫ cot 𝑛
𝑥 csc2
𝑥 ⅆ𝑥, jika pangkat csc 𝑥 genap.
∫ csc 𝑛
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥, jika pangkat csc 𝑥 ganjil, atau pangkat cot 𝑥 ganjil.
Contoh Soal 1:
∫ cot2
𝑥 csc2
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
Karena pangkat csc 𝑥 genap, maka sisakan bentuk csc2
𝑥.
Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ cot 𝑛
𝑥 csc2
𝑥 ⅆ𝑥.
Okelah kalau begitu. Langsung saja!
∫ cot2
𝑥 csc2
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot2
𝑥 csc2
𝑥
ⅆ(cot 𝑥)
− csc2 𝑥
= − ∫ cot2
𝑥 ⅆ(cot 𝑥)
= −
1
3
cot3
𝑥 + 𝐶
Contoh Soal 2:
∫ cot2
𝑥 csc4
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
Karena pangkat csc 𝑥 genap, maka sisakan bentuk csc2
𝑥.
Gunakan bantuan identitas trigonometri cot2
𝑥 + 1 = csc2
𝑥
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ cot 𝑛
𝑥 csc2
𝑥 ⅆ𝑥.
∫ cot2
𝑥 csc4
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot2
𝑥 csc2
𝑥 csc2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫ cot2
𝑥 (1 + cot2
𝑥) csc2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(cot2
𝑥 + cot4
𝑥) csc2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(cot2
𝑥 csc2
𝑥 + cot4
𝑥 csc2
𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ cot2
𝑥 csc2
𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ cot4
𝑥 csc2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫ cot2
𝑥 csc2
𝑥
ⅆ(cot 𝑥)
− csc2 𝑥
+ ∫ cot4
𝑥 csc2
𝑥
ⅆ(cot 𝑥)
− csc2 𝑥
= − ∫ cot2
𝑥 ⅆ(cot 𝑥) − ∫ cot2
𝑥 ⅆ(cot 𝑥)
= −
1
3
cot3
𝑥 −
1
5
tan5
𝑥 + 𝐶

24. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 265
Contoh Soal 3:
∫ cot3
𝑥 csc4
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
Cara 1:
Karena pangkat csc 𝑥 genap, maka sisakan bentuk csc2
𝑥.
Gunakan bantuan identitas trigonometri 1 + cot2
𝑥 = csc2
𝑥
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ cot 𝑛
𝑥 csc2
𝑥 ⅆ𝑥.
∫ cot3
𝑥 csc4
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot3
𝑥 csc2
𝑥 csc2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫ cot3
𝑥 (1 + cot2
𝑥) csc2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(cot3
𝑥 + cot5
𝑥) csc2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫(cot3
𝑥 csc2
𝑥 + cot5
𝑥 csc2
𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ cot3
𝑥 csc2
𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ cot5
𝑥 csc2
𝑥 ⅆ𝑥
= ∫ cot3
𝑥 csc2
𝑥
ⅆ(cot 𝑥)
− csc2 𝑥
+ ∫ cot5
𝑥 csc2
𝑥
ⅆ(cot 𝑥)
− csc2 𝑥
= − ∫ cot3
𝑥 ⅆ(cot 𝑥) − ∫ cot5
𝑥 ⅆ(cot 𝑥)
= −
1
4
cot4
𝑥 −
1
6
cot6
𝑥 + 𝐶
Cara 2:
Karena pangkat cot 𝑥 ganjil, maka sisakan bentuk csc 𝑥 cot 𝑥.
Gunakan bantuan identitas trigonometri cot2
𝑥 + 1 = csc2
𝑥
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ csc 𝑛
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥.
∫ cot3
𝑥 csc4
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot2
𝑥 csc3
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫(csc2
𝑥 − 1) csc3
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫(csc5
𝑥 − csc3
𝑥) (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ (csc5
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) − csc3
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥)) ⅆ𝑥
= ∫ csc5
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥 − ∫ csc3
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ csc5
𝑥 (cot 𝑥 csc 𝑥)
ⅆ(csc 𝑥)
− csc 𝑥 cot 𝑥
− ∫ csc3
𝑥 (cot 𝑥 csc 𝑥)
ⅆ(csc 𝑥)
− csc 𝑥 cot 𝑥
= − ∫ csc5
𝑥 ⅆ(csc 𝑥) + ∫ csc3
𝑥 ⅆ(csc 𝑥)
= −
1
6
csc6
𝑥 +
1
4
csc4
𝑥 + 𝐶

25. Halaman 266 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 4:
∫ cot3
𝑥 csc3
𝑥 ⅆ𝑥 = ….
Pembahasan:
Karena pangkat csc 𝑥 ganjil, maka sisakan bentuk csc 𝑥 cot 𝑥.
Gunakan bantuan identitas trigonometri 1 + cot2
𝑥 = csc2
𝑥
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ csc 𝑛
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥.
∫ cot3
𝑥 csc3
𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot2
𝑥 csc2
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫(csc2
𝑥 − 1) csc2
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫(csc4
𝑥 − csc2
𝑥) (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫(csc4
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) − csc2
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥)) ⅆ𝑥
= ∫ csc4
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥 − ∫ csc2
𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥
= ∫ csc4
𝑥 (cot 𝑥 csc 𝑥)
ⅆ(csc 𝑥)
− csc 𝑥 cot 𝑥
− ∫ csc2
𝑥 (cot 𝑥 csc 𝑥)
ⅆ(csc 𝑥)
− csc 𝑥 cot 𝑥
= − ∫ csc4
𝑥 ⅆ(csc 𝑥) + ∫ csc2
𝑥 ⅆ(csc 𝑥)
= −
1
5
csc5
𝑥 +
1
3
csc3
𝑥 + 𝐶

26. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 267
Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri?
Bentuk Substitusi Turunan Hasil
√ 𝑎2 − 𝑥2 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃 ⅆ𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 ⅆ𝜃 √ 𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎 cos 𝜃
√ 𝑎2 + 𝑥2 𝑥 = 𝑎 tan 𝜃 ⅆ𝑥 = 𝑎 sec2
𝜃 ⅆ𝜃 √ 𝑎2 + 𝑥2 = 𝑎 sec 𝜃
√ 𝑥2 − 𝑎2 𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 ⅆ𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 tan 𝜃 ⅆ𝜃 √ 𝑥2 − 𝑎2 = 𝑎 tan 𝜃

27. Halaman 268 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Dan masih banyak yang lainnya….
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di
http://pak-anang.blogspot.com. :)
Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:
http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html
untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru dari suplemen modul TRIK SUPERKILAT UN Matematika
SMA 2013 pada bab Pengayaan Integral Trigonometri ini….

28. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 269
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengayaan Integral Trigonometri.
Modul Pengayaan Integral Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART
SOLUTION UN Matematika SMA 2013. Mengingat materi Integral khususnya yang menyangkut Trigonometri
memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan.
Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga
adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokok
bahasan Integral Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengayaan Integral Trigonometri sebagai bukti
bahwa Integral Trigonometri itu mudah dipahami dan dikerjakan dengan metode TRIK SUPERKILAT dan
SMART SOLUTION yang menyenangkan sambil menyelami konsep dasar Integral Trigonometri itu sendiri…
Untuk sementara hanya beberapa tipe soal integral trigonometri plus integral substitusi trigonometri yang
dibahas. Untuk tipe soal yang lain akan segera diupload dan dibagikan. Jadi selalu tunggu di blog Pak Anang ya :)
Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html
untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengayaan Integral Trigonometri ini… :)
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.