Matematika SMK
β’
16 likesβ’11,257 views
Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai rumus-rumus trigonometri dasar seperti jumlah dan selisih dua sudut, sudut rangkap, dan sudut setengah beserta cara menghafalnya dengan menggunakan konsep logika praktis dan trik superkilat.
Recommended
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
Viewers also liked (20)
Similar to Matematika SMK
Similar to Matematika SMK (20)
More from Catur Prasetyo
More from Catur Prasetyo (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Matematika SMK
- 1. Smart Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusun oleh : Pak Anang
- 2. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 167 4. 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangent serta jumlah dan selisih dua sudut. Trigonometri Kelas XI IPA Jumlah dan Selisih Dua Sudut Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut π΄, π΅, dan (β π΅). Diperoleh dua segitiga yaitu, βπππ dan βπππ dengan β πππ = β πππ sehingga, ππ = ππ Dengan membuktikan ππ = ππ, diperoleh: ππ¨π¬(π¨ + π©) = ππ¨π¬ π¨ ππ¨π¬ π© β π¬π’π§ π¨ π¬π’π§ π© ππ¨π¬(π¨ β π©) diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif ππ¨π¬(π¨ + (βπ©)) π¬π’π§(π¨ + π©) dan π¬π’π§(π¨ β π©) diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(π΄ Β± π΅) = sin π΄ cos π΅ Β± cos π΄ sin π΅ cos(π΄ Β± π΅) = cos π΄ cos π΅ β sin π΄ sin π΅ Substitusi π© = π¨ Eliminasi π¬π’π§(π¨ + π¨) = π¬π’π§ ππ¨ π¬π’π§(π¨ + π©) dengan π¬π’π§(π¨ β π©) ππ¨π¬(π¨ + π¨) = ππ¨π¬ ππ¨ ππ¨π¬(π¨ + π©) dengan ππ¨π¬(π¨ β π©) Trigonometri Sudut Rangkap Jumlah, Selisih dan Perkalian Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus Sin2π΄ = 2 sin π΄ cos π΄ cos 2π΄ = cos2 π΄ β sin2 π΄ π + π 2ππΆ π β π 2πΆπ Substitusi identitas trigonometri π¬π’π§ π π¨ + ππ¨π¬ π π¨ = π πΆ + πΆ 2πΆπΆ πΆ β πΆ β2ππββ β β Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos 2π΄ = 1 β 2 sin2 π΄ cos2π΄ = 2 cos2 π΄ β 1 Trigonometri Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut sin π΄ = β 1 β cos2π΄ 2 cos π΄ = β 1 + cos 2π΄ 2 1 2 β 1 2 β β β π΄ π΅ βπ΅ π π π π π π π ππ π π Khusus untuk tan( π΄ Β± π΅), tangen sudut rangkap dan tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas βTAN A = SINA DIPERKOSAβ
- 3. Halaman 168 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Jumlah Selisih Dua Sudut. Intisari dari masalah tentang jumlah selisih sinus kosinus tangen serta masalah tentang jumlah selisih dua sudut adalah kita harus memahami bagaimana konsep awal dari cos(π΄ + π΅). Begitu konsep awal ini dipahami, maka dengan menggunakan konsep-konsep dasar trigonometri di kelas X, maka semua konsep tentang trigonometri di kelas XI IPA akan segera muncul satu-persatu dengan sendirinya. Untuk mendampingi pemahaman konsep dasar yang sudah diperoleh lewat pembelajaran di sekolah, kali ini Pak Anang akan membagikan konsep LOGIKA PRAKTIS dalam menyusun rumus jumlah selisih dua sudut sebagai berikut: Konsep awal yang harus diingat adalah sin(π΄ Β± π΅) dan cos(π΄ Β± π΅). sin(π΄ Β± π΅) = sin π΄ cos π΅ Β± cos π΄ sin π΅ cos(π΄ Β± π΅) = cos π΄ cos π΅ β sin π΄ sin π΅ Perhatikan, untuk sin(π΄ Β± π΅), diawali huruf βSβ, yang secara kreatif imajinatif dimaknai dengan: οΌ SELANG-SELING οΌ SIN οΌ SAMA βSELANG-SELINGβ dimulai dari SIN π¬π’π§( π¨ Β± π©) SAMA tanda plus minusnya sin( π΄ + π΅) = sin π΄ cos π΅ + cos π΄ sin π΅ sin( π΄ β π΅) = sin π΄ cos π΅ β cos π΄ sin π΅ Jadi, untuk cos(π΄ Β± π΅) tinggal membalik konsep menghafal rumus sin(π΄ Β± π΅) di atas. οΌ Tidak SELANG-SELING (KEMBAR) οΌ Bukan SIN (Jadi, dimulai dari cos) οΌ Tidak SAMA (Tanda plus minus berbeda) cos( π΄ + π΅) = cos π΄ cos π΅ β sin π΄ sin π΅ cos( π΄ β π΅) = cos π΄ cos π΅ + sin π΄ sin π΅ Keterangan: Selang-seling diambil dari bahasa Jawa, artinya adalah pola yang selalu bergantian. Tanda SAMA βSELANG-SELINGβ, bergantian SIN COS lalu COS SIN Dimulai dari SIN Tanda BEDA KEMBAR, bergantian COS COS lalu SIN SIN Dimulai dari COS Keterangan: Kalau cos(π΄ Β± π΅) berarti kebalikannya. οΌ SELANG-SELING diawali SIN >< Kembar diawali COS οΌ SAMA >< BERBEDA
- 4. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 169 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Sudut Rangkap. Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada halaman sebelumnyaβ¦β¦?? sin(π΄ + π΅) = sin π΄ cos π΅ + cos π΄ sin π΅ dan cos(π΄ + π΅) = cos π΄ cos π΅ β sin π΄ sin π΅ Asyikβ¦. Nah, konsep kedua yang harus melekat kuat di otak adalah tentang sin2π΄ dan cos 2π΄, diperoleh dari rumus sin(π΄ + π΅) dan cos(π΄ + π΅) dengan mengganti π΅ = π΄. sin(π΄ + π΅) dan cos(π΄ + π΅) Ganti π΅ = π΄ sin 2π΄ dan cos 2π΄ Konsep untuk mendapatkan sin2π΄ adalah: sin( π΄ + π΅) = sin π΄ cos π΅ + cos π΄ sin π΅ sin( π΄ + π΄) = sin π΄ cos π΄ + cos π΄ sin π΄ sin 2π΄ = 2 sin π΄ cos π΄ Konsep untuk mendapatkan cos 2π΄ adalah: cos( π΄ + π΅) = cos π΄ cos π΅ β sin π΄ sin π΅ cos( π΄ + π΄) = cos π΄ cos π΄ β sin π΄ sin π΄ cos 2π΄ = cos2 π΄ β sin2 π΄ Jadi, sin 2π΄ = 2 sin π΄ cos π΄ cos 2π΄ = cos2 π₯ β sin2 π₯
- 5. Halaman 170 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Kosinus Sudut Rangkap yang Lain. Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap pada halaman sebelumnyaβ¦β¦?? cos 2π΄ = cos2 π΄ β sin2 π΄ Asyikβ¦. Nah, konsep ketiga yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus cos 2π΄ yang lainnya. Rumus kosinus sudut rangkap yang lain diperoleh dari cos 2π΄ dengan mensubstitusikan identitas trigonometri Pythagoras. cos 2π΄ = cos2 π΄ β sin2 π΄ Substitusi sin2 π΄ + cos2 π΄ = 1 cos2π΄ = 2 cos2 π΄ β 1 cos2π΄ = 1 β 2 sin2 π΄ Konsep untuk mendapatkan cos 2π΄ = 2 cos2 π΄ β 1 adalah: cos 2π΄ = cos2 π΄ β sin2 π΄ cos 2π΄ = cos2 π΄ β (1 β cos2 π΄) cos 2π΄ = 2 cos2 π΄ β 1 Konsep untuk mendapatkan cos 2π΄ = 1 β 2 sin2 π΄ adalah: cos 2π΄ = cos2 π΄ β sin2 π΄ cos 2π΄ = (1 β sin2 π΄) β sin2 π΄ cos 2π΄ = 1 β 2 sin2 π΄ TRIK SUPERKILAT cara menghafalkannya adalah: Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada 2sin2 atau 2cos2. Polanya selalu bentuk pengurangan. cos 2π΄ = πͺ π° cos 2π΄ = 2 πos2 π΄ β π cos 2π΄ = πͺ π° πΊ cos 2π΄ = π° πΊ cos 2π΄ = π β 2 π¬in2 π΄ sin2 π΄ + cos2 π΄ = 1 β sin2 π΄ = 1 β cos2 π΄ sin2 π΄ + cos2 π΄ = 1 β cos2 π΄ = 1 β sin2 π΄ Keterangan TRIK SUPERKILAT: οΌ Ingat posisi huruf alfabet, posisi C lebih awal dari S. οΌ Gunakan singkatan CIS, jadi cos 2π΄ memiliki dua bentuk lain, yaitu CI dan IS.
- 6. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 171 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Setengah Sudut. Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap Pythagoras pada halaman sebelumnyaβ¦β¦?? cos 2π΄ = 2 cos2 π΄ β 1 cos 2π΄ = 1 β 2 sin2 π΄ Asyikβ¦. Nah, konsep keempat yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri setengah sudut. Rumus trigonometri setengah sudut diperoleh dari konsep βcos 2π΄ Pythagorasβ. Pak Anang menyebut rumus cos2π΄ Pythagoras untuk dua konsep atau rumus di atas. βcos 2π΄ Pythagorasβ cos2π΄ = 2 cos2 π΄ β 1 cos2π΄ = 1 β 2 sin2 π΄ Invers, βpindah ruasβ sampai diperoleh cos π΄ dan sin π΄ cos π΄ = β 1 + cos 2π΄ 2 sin π΄ = β 1 β cos 2π΄ 2 Konsep rumus trigonometri sudut setengah tersebut SEBENARNYA TIDAK PERLU DIHAFALβ¦β¦β¦! Kenapa? Karena sebenarnya yang perlu diingat dan dihafal adalah perubahan dari konsep βcos2π΄ Pythagorasβ menjadi konsep trigonometri sudut setengah hanya mengalami proses invers, alias βpindah ruasβ saja. Kesimpulannya, RUMUSNYA TIDAK BERUBAH MAKNA, HANYA BERUBAHFORMASI SAJAβ¦..!!!!! Jadi, misalkan lupa rumus trigonometri setengah sudut tidak jadi masalah, asalkan ingat pola di bawah ini: cos 2π΄ = 2 cos2 π΄ β 1 dan cos 2π΄ = 1 β 2 sin2 π΄ LOGIKA PRAKTIS cara menghafalkannya adalah: Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada angka 2, selalu ada cos2A. Polanya selalu bentuk akar. cos 2π΄ = 2 cos2 π΄ β 1 β cos π΄ = β 1 + cos 2π΄ 2 cos 2π΄ = 1 β 2 sin2 π΄ β sin π΄ = β 1 β cos 2π΄ 2 Konsep trigonometri sudut setengah Diketahui sudut rangkap, ditanya setengah sudut. Konsep trigonometri sudut setengah Diketahui sudut rangkap, ditanya setengah sudut. Konsep trigonometri sudut rangkap Diketahui suatu sudut, ditanya sudut rangkapnya. Konsep trigonometri sudut rangkap Diketahui suatu sudut, ditanya sudut rangkapnya. + Keterangan TRIK SUPERKILAT: οΌ Dihasilkan dari invers konsep βcos 2π΄ Pythagorasβ οΌ Tanda plus minus dilihat dari tanda koefisien trigonometri.
- 7. Halaman 172 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Jumlah, Selisih, dan Perkalian Trigonometri. Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada TRIK SUPERKILAT paling awal tadiβ¦β¦?? sin(π΄ Β± π΅) = sin π΄ cos π΅ Β± cos π΄ sin π΅ dan cos(π΄ Β± π΅) = cos π΄ cos π΅ β sin π΄ sin π΅ Asyikβ¦. Nah, konsep kelima yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri jumlah dan selisih sinus kosinus perkalian sinus kosinus. Konsep rumus ini diperoleh dengan mengeliminasi komponen yang sama pada sin(π΄ + π΅) dan sin(π΄ β π΅) serta mengeliminasi komponen yang sama pada cos(π΄ + π΅) dan cos(π΄ β π΅). Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(π΄ Β± π΅) cos(π΄ Β± π΅) Eliminasi Eliminasi sin(π΄ + π΅) dengan sin(π΄ β π΅) cos(π΄ + π΅) dengan cos(π΄ β π΅) sin(π΄ + π΅) sin(π΄ + π΅) cos(π΄ + π΅) cos(π΄ + π΅) sin(π΄ β π΅) sin(π΄ β π΅) cos(π΄ β π΅) cos(π΄ β π΅) 2 sin π΄ cos π΅ 2 cos π΄ sin π΅ 2 cos π΄ cos π΅ β2 sin π΄ sin π΅ Substitusi (π¨ + π©) = πΆ (π¨ β π©) = π· (π΄ + π΅) = πΌ (π΄ + π΅) = πΌ (π΄ β π΅) = π½ (π΄ β π΅) = π½ 2π΄ = (πΌ + π½) 2π΅ = (πΌ β π½) π¨ = π π (πΆ + π·) π© = π π (πΆ β π·) sin πΌ sin πΌ cos πΌ cos πΌ sin π½ sin π½ cos π½ cos π½ 2 sin 1 2 (πΌ + π½) cos 1 2 (πΌ β π½) 2 cos 1 2 (πΌ + π½) sin 1 2 (πΌ β π½) 2 cos 1 2 (πΌ + π½) cos 1 2 (πΌ β π½) β2 sin 1 2 (πΌ + π½) sin 1 2 (πΌ β π½) LOGIKA PRAKTIS cara membacanya: Keterangan cara membaca TRIK SUPERKILAT: S adalah sin dan C adalah cos. π¬π’π§(π¨ + π©) + π¬π’π§(π¨ β π©) = π π¬π’π§ π¨ ππ¨π¬ π© π + π 2ππΆ π β π 2πΆπ πΆ + πΆ 2πΆπΆ πΆ β πΆ β2ππββ β β π¬π’π§ π¨ + π¬π’π§ π© = π π¬π’π§ π π (π¨ + π©) ππ¨π¬ π π (π¨ β π©) 1 2 β 1 2 β β β S + S = 2 S C (π΄ + π΅) (π΄ β π΅) π΄ π΅ β β S + S = 2 S C 1 2 β 1 2 β 1 2 (π΄ + π΅) 1 2 (π΄ β π΅)π΄ π΅ + +β β + β dibagi 2 dibagi 2 + +β β
- 8. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 173 LOGIKA PRAKTIS cara menyusun rumus jumlah, selisih dan perkalian trigonometri: Keterangan cara menyusun TRIK SUPERKILAT: π + π 2ππΆ π β π 2πΆπ πΆ + πΆ 2πΆπΆ πΆ β πΆ β2ππββ β β Perhatikan cara membacanya: tanda β dibaca (π΄ + π΅) dan tanda β dibaca (π΄ β π΅) π + π 1 2 β 1 2 β β 2ππΆ dibaca: π¬π’π§ π¨ + π¬π’π§ π© = π π¬π’π§ π π (π¨ + π©) ππ¨π¬ π π (π¨ β π©) π + π ββ β 2ππΆ dibaca: π π¬π’π§ π¨ ππ¨π¬ π© = π¬π’π§(π¨ + π©) + π¬π’π§(π¨ β π©) JEMBATAN KELEDAI untuk menghafalkan rumus jumlah selisih dan perkalian trigonometri: Sayang ditambah sayang menjadi dua-duanya sangat cinta. Sayang dikurangi sayang menjadi dua-duanya cintanya sirna. Cinta ditambah cinta menjadi dua-duanya cinta-cintaan. Cinta dikurangi cinta menjadi aduhβ¦. dua-duanya sayangnya sirna. Keterangan: kata aduh dimaknai sebagai tanda negatif (β). 1 2 β 1 2 β β β Masih ingat dengan rumus jumlah dua sudut trigonometri kan? sin(π΄ + π΅) = sin π΄ cos π΅ + cos π΄ sin π΅ cos(π΄ + π΅) = cos π΄ cos π΅ β sin π΄ sin π΅ Ditulis ulang dengan singkat sebagai berikut: π+= ππΆ + πΆπ πΆ+= πΆπΆ β ππ Lihat ruas kiri ada π + dan πΆ +, Ini yang ditulis di kolom kiri dengan membubuhkan tanda + dan β bergantian. Tanda + dan β ini diperoleh dari proses eliminasi. Jadi, urutannya adalah π + π, lalu π β π, dan πΆ + πΆ lalu πΆ β πΆ. π + π π β π πΆ + πΆ πΆ β πΆ Lalu perhatikan ruas kanan, ada berturut-turut adalah ππΆ, πΆπ, πΆπΆ, dan β ππ. Itulah yang ditulis urut dari atas ke bawah dengan membubuhkan angka 2. Angka 2 tersebut diperoleh dari hasil eliminasi. 2ππΆ 2πΆπ 2πΆπΆ β2ππββ β β Nah, lalu dikonstruksi seperti pada TRIK SUPERKILAT menjadi bagan di bawah ini: π + π 2ππΆ π β π 2πΆπ πΆ + πΆ 2πΆπΆ πΆ β πΆ β2ππββ β β 1 2 β 1 2 β β β
- 9. Halaman 174 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rumus Jumlah Selisih Dua Sudut, Jumlah Selisih atau Perkalian untuk Tangen. Nah, konsep keenam atau konsep terakhir yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus jumlah selisih dua sudut untuk tangen, dilanjutkan dengan tangen sudut rangkap, tangen setengah sudut. Khusus untuk tangen sebenarnya jika lupa rumusnya, cukup ingat aja sifat perbandingan untuk tangen, yaitu: βTAN A adalah SINA DIPERKOSAβ atau dituliskan sebagai: πππ§ π¨ = π¬π’π§ π¨ ππ¨π¬ π¨ Sehingga, tan(π΄ + π΅) = sin(π΄ + π΅) cos(π΄ + π΅) β tan(π΄ + π΅) = sin π΄ cos π΅ + cos π΄ sin π΅ cos π΄ cos π΅ β sin π΄ sin π΅ Γ 1 cos π΄ cos π΅ 1 cos π΄ cos π΅ = sin π΄ cos π΅ cos π΄ cos π΅ + cos π΄ sin π΅ cos π΄ cos π΅ cos π΄ cos π΅ cos π΄ cos π΅ β sin π΄ sin π΅ cos π΄ cos π΅ = sin π΄ cos π΄ + sin π΅ cos π΅ 1 β sin π΄ cos π΄ sin π΅ cos π΅ = tan π΄ + tan π΅ 1 β tan π΄ tan π΅ Jadi, tan(π΄ Β± π΅) = tan π΄ Β± tan π΅ 1 β tan π΄ tan π΅ Sehingga jika π΅ = π΄, akan diperoleh: tan(π΄ + π΄) = tan π΄ + tan π΄ 1 β tan π΄ tan π΄ β tan 2π΄ = 2 tan π΄ 1 β tan2 π΄ Tangen setengah sudut diperoleh dari rumus sinus dan kosinus setengah sudut: sin π΄ = β 1 β cos 2π΄ 2 cos π΄ = β 1 + cos2π΄ 2 } tan π΄ = sin π΄ cos π΄ = β1 β cos 2π΄ 2 β1 + cos 2π΄ 2 = β 1 β cos 2π΄ 2 Γ β 2 1 + cos 2π΄ = β 1 β cos2π΄ 1 + cos2π΄ Jadi, tan π΄ = β 1 β cos 2π΄ 1 + cos 2π΄
- 10. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 175 Rumus Khusus untuk Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut Jumlah dan Selisih Dua Sudut Tangen sin(π΄ Β± π΅) = sin π΄ cos π΅ Β± cos π΄ sin π΅ cos(π΄ Β± π΅) = cos π΄ cos π΅ β sin π΄ sin π΅ tan(π΄ Β± π΅) = sin(π΄Β±π΅) cos(π΄Β±π΅) = tan π΄Β±tan π΅ 1βtan π΄ tan π΅ Substitusi π© = π¨ Substitusi π© = π¨ π¬π’π§(π¨ + π¨) = π¬π’π§ ππ¨ ππ¨π¬(π¨ + π¨) = ππ¨π¬ ππ¨ Trigonometri Sudut Rangkap Tangen Sudut Rangkap Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus Sin2π΄ = 2 sin π΄ cos π΄ cos 2π΄ = cos2 π΄ β sin2 π΄ Substitusi identitas trigonometri π¬π’π§ π π¨ + ππ¨π¬ π π¨ = π β β Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos 2π΄ = 1 β 2 sin2 π΄ cos2π΄ = 2 cos2 π΄ β 1 Trigonometri Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut sin π΄ = β 1 β cos2π΄ 2 cos π΄ = β 1 + cos 2π΄ 2 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang lain akan segera diupdate dan dipublishβ¦. Jadi, kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update terbaru TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS nya. Khusus untuk tan( π΄ Β± π΅), tangen sudut rangkap dan tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas βTAN A = SINA DIPERKOSAβ πππ§(π¨ + π¨) = πππ§ ππ¨ tan 2π΄ = 2 tan π΄ 1 β tan2 π΄ tan π΄ = sin π΄ cos π΄ = β 1 β cos2π΄ 1 + cos2π΄
- 11. Halaman 176 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Tipe Soal yang Sering Muncul Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut. Contoh Soal: Diketahui dari sin75Β° + cos 75Β° adalah β¦. a. 1 4 β6 b. 1 2 β2 c. 1 2 β3 d. 1 e. 1 2 β6 Penyelesaian: Ingat, sin(π΄ + π΅) = sin π΄ cos π΅ + cos π΄ sin π΅ dan cos(π΄ + π΅) = cos π΄ cos π΅ β sin π΄ sin π΅. Perhatikan juga bahwa 75Β° = (45Β° + 30Β°). Sehingga, sin 75Β° + cos 75Β° = sin(45Β° + 30Β°) + cos(45Β° + 30Β°) = (sin45Β° cos30Β° + cos 45Β° sin 30Β°) + (cos 45Β° cos 30Β° β sin45Β° sin 30Β°) = ( 1 2 β2 β 1 2 β3 + 1 2 β2 β 1 2 ) + ( 1 2 β2 β 1 2 β3 β 1 2 β2 β 1 2 ) = 1 4 β6 + 1 4 β6 = 1 2 β6 Cara lain untuk soal ini menggunakan TRIK SUPERKILAT ada di halaman 184.
- 12. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 177 Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui perbandingan trigonometri dari dua sudut tersebut. Contoh Soal 1: Diketahui sin π΄ = 4 5 dan sin π΅ = 7 25 , dengan π΄ sudut lancip dan π΅ sudut tumpul. Nilai dari cos(π΄ β π΅) = β¦. a. β 117 125 b. β 100 125 c. β 75 125 d. β 44 125 e. β 21 25 Penyelesaian: Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin π΄ = 4 5 adalah: (Ingat π΄ adalah sudut lancip) Sehingga, cos π΄ = 3 5 Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin π΅ = 7 25 adalah: (Ingat π΅ adalah sudut tumpul) Sehingga, cos π΅ = β 24 25 (Ingat nilai cos sudut tumpul adalah negatif) Jadi, cos(π΄ β π΅) = cos π΄ cos π΅ + sin π΄ sin π΅ = 3 5 β (β 24 25 ) + 4 5 β 7 25 = β 72 125 + 28 125 = β 44 125 4 3 5 π΄ 7 24 25 π΅
- 13. Halaman 178 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Contoh Soal 2: Pada segitiga π΄π΅πΆ lancip, diketahui cos π΄ = 4 5 dan sin π΅ = 12 13 , maka sin πΆ = β¦. a. 20 65 b. 36 65 c. 56 65 d. 60 65 e. 63 65 Penyelesaian: Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku untuk menyatakan cos π΄ = 4 5 adalah: (Ingat π΄ adalah sudut lancip) Sehingga, sin π΄ = 3 5 Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin π΅ = 12 13 adalah: (Ingat π΅ adalah sudut lancip) Sehingga, cos π΅ = 5 13 Ingat, besar sudut dalam segitiga π΄π΅πΆ = 180Β°. β π΄ + π΅ + πΆ = 180Β° β πΆ = 180 β (π΄ + π΅) Sehingga, sin πΆ = sin(180Β° β (π΄ + π΅)) (Ingat sifat relasi sudut antar kuadran sin(180Β° β πΌ) = sin πΌ) β sin πΆ = sin(π΄ + π΅) Jadi, sin πΆ = sin(π΄ + π΅) = sin π΄ cos π΅ + cos π΄ sin π΅ = 3 5 β 5 13 + 4 5 β 12 13 = 15 65 + 48 65 = 63 65 3 4 5 π΄ 13 5 12 π΅
- 14. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 179 Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui pola rumusnya. Contoh Soal: Nilai sin45Β° cos15Β° + cos 45Β° sin 15Β° sama dengan β¦. a. 1 2 b. 1 2 β2 c. 1 2 β3 d. 1 2 β6 e. 1 3 β3 Penyelesaian: Ingat, sin π΄ cos π΅ + cos π΄ sin π΅ = sin(π΄ + π΅) Sehingga, sin 45Β° cos 15Β° + cos 45Β° sin15Β° = sin(45Β° + 15Β°) = sin60Β° = 1 2 β3
- 15. Halaman 180 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu komponen rumusnya. Contoh Soal: Diketahui π dan π adalah sudut lancip dan π β π = 30Β°. Jika cos π sin π = 1 6 , maka nilai dari sin π cos π = β¦. a. 1 6 b. 2 6 c. 3 6 d. 4 6 e. 5 6 Penyelesaian: Lihat pada soal, diketahui selisih dua sudut π β π, dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni cos π sin π. Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian SELANG-SELING, maka rumus yang digunakan adalah sin(π β π). Jadi, sin(π β π) = sin π cos π β cos π sin π β sin 30Β° = sin π cos π β 1 6 β 1 2 = sin π cos π β 1 6 β 1 2 + 1 6 = sin π cos π β 3 6 + 1 6 = sin π cos π β 4 6 = sin π cos π
- 16. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 181 Menentukan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu komponen rumusnya Contoh Soal: Diketahui (π΄ + π΅) = π 3 dan sin π΄ sin π΅ = 1 4 . Nilai dari cos(π΄ β π΅) = β¦. a. β1 b. β 1 2 c. 1 2 d. 3 4 e. 1 Penyelesaian: Lihat pada soal, diketahui jumlah dua sudut π΄ + π΅, dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni sin π΄ sin π΅. Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian KEMBAR, maka rumus yang digunakan adalah cos(π΄ + π΅). Sehingga untuk mencari nilai cos(π΄ β π΅) maka harus komplit terlebih dahulu komponen dari rumusnya, SIN SIN udah ada, tinggal COS COS yang belum ada. Nilai COS COS dicari menggunakan rumus cos(π΄ β π΅): cos(π΄ + π΅) = cos π΄ cos π΅ β sin π΄ sin π΅ β cos π 3 = cos π΄ cos π΅ β 1 4 β 1 2 = cos π΄ cos π΅ β 1 4 β 1 2 + 1 4 = cos π΄ cos π΅ β 2 4 + 1 4 = cos π΄ cos π΅ β 3 4 = cos π΄ cos π΅ Jadi, cos(π΄ β π΅) = cos π΄ cos π΅ + sin π΄ sin π΅ = 3 4 + 1 4 = 1
- 17. Halaman 182 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Menggunakan rumus perkalian sinus kosinus. Contoh Soal: Nilai dari cos 10Β° cos 40Β° cos 50Β° adalah β¦. a. 3 b. 2 c. 1 d. 1 2 e. 1 4 Penyelesaian: Sudut yang digunakan pada soal bukan sudut istimewa. Pada soal terdapat perkalian antara COS dengan COS, maka berlaku konsep perkalian dua kosinus. Jadi, cos 10Β° cos 40Β° cos 50Β° = cos10Β° 1 2 Γ 2 cos40Β° cos 50Β° (munculkan bentuk 2 cos π΄ cos π΅ = cos(π΄ + π΅) + cos(π΄ β π΅)) = cos10Β° 1 2 Γ (cos(40Β° + 50Β°) + cos(40Β° β 50Β°)) (dibagi 1 2 = dikali 2 1 ) = cos10Β° cos 90Β° + cos(β10Β°) Γ 2 1 (ingat relasi sudut negatif, cos(βπΌ) = cos πΌ) = 2 cos10Β° 0 + cos10Β° = 2 cos10Β° cos10Β° = 2
- 18. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 183 Menggunakan rumus jumlah atau selisih sinus kosinus. Contoh Soal: Nilai dari cos 195Β° + cos 105Β° adalah β¦. a. 1 2 β6 b. 1 2 β3 c. 1 2 β2 d. 0 e. β 1 2 β6 Penyelesaian: Ingat cos π΄ + cos π΅ = 2 cos 1 2 (π΄ + π΅) cos 1 2 (π΄ β π΅) Jadi, cos 195Β° + cos 105Β° = 2 cos 1 2 (195Β° + 105Β°) cos 1 2 (195Β° β 105Β°) = 2 cos 1 2 (300Β°) cos 1 2 (90Β°) = 2 cos 150Β° cos45Β° = 2 (β 1 2 β3) ( 1 2 β2) = β 1 2 β6
- 19. Halaman 184 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) TRIK SUPERKILAT Memanipulasi rumus sin + cos atau sin β cos menggunakan relasi sudut antar kuadran. Contoh Soal: Nilai dari sin 75Β° + cos 75Β° adalah β¦. a. 1 4 β6 b. 1 2 β2 c. 1 2 β3 d. 1 e. 1 2 β6 Penyelesaian: Ingat, nggak ada rumus jadi untuk sinus ditambah kosinus. Yang ada hanyalah sin + sin, sin β sin, cos + cos, dan cos β cos. Nah, supaya bisa menggunakan rumus jumlah selisih sinus kosinus, maka gunakan relasi sudut antar kuadran untuk mengubah sin + cos, menjadi sin + sin atau cos + cos. Ingat, sin(90Β° β πΌ) = cos πΌ atau cos(90Β° β πΌ) = sin πΌ. Jadi, sin 75Β° + cos 75Β° = sin75Β° + cos(90Β° β 15Β°) = sin75Β° + sin 15Β° = 2 sin 1 2 (75Β° + 15Β°) cos 1 2 (75Β° β 15Β°) = 2 sin 1 2 (90Β°) cos 1 2 (60Β°) = 2 sin45Β° cos30Β° = 2 ( 1 2 β2) ( 1 2 β3) = 1 2 β6 Kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS terbarunya.
- 20. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 185 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Diketahui 3 Ο Ξ²Ξ± ο½ο dan 4 1 Ξ²sinΞ±sin ο½ο dengan Ξ± dan Ξ² merupakan sudut lancip. Nilai ο½ο« Ξ²)cos(Ξ± .... A. 1 B. 4 3 C. 2 1 D. 4 1 E. 0 2. Diketahui nilai 5 1 Ξ²cosΞ±sin ο½ο dan 5 3 Ξ²)(Ξ±sin ο½ο untuk ο°ο£ο£ο° 180Ξ±0 dan .90Ξ²0 ο°ο£ο£ο° Nilai ο½ο« Ξ²)(Ξ±sin .... A. 5 3 ο B. 5 2 ο C. 5 1 ο D. 5 1 E. 5 3 3. Diketahui 5 3 Ξ±sin ο½ dan 13 12 cos ο½ο’ lancip)sudutdan( ο’ο‘ . Nilai ο½ο« Ξ²)(Ξ±sin .... A. 65 56 B. 65 48 C. 65 36 D. 65 20 E. 65 16 4. Jika 3 Ο BA ο½ο« dan , 8 5 BcosAcos ο½ maka ο½ο B)cos(A .... A. 4 1 B. 2 1 C. 4 3 D. 1 E. 4 5 cos(πΌ β π½) = cos πΌ cos π½ + sin πΌ sin π½ (diketahui dari soal sin πΌ β sin π½ = 1 4 dan πΌ β π½ = π 3 ) β 1 2 = cos πΌ cos π½ + 1 4 β cos πΌ cos π½ = 1 4 cos(πΌ + π½) = cos πΌ cos π½ β sin πΌ sin π½ β cos(πΌ + π½) = 1 4 β 1 4 β cos(πΌ + π½) = 0 sin(πΌ β π½) = sin πΌ cos π½ β cos πΌ sin π½ (diketahui dari soal sin πΌ β cos π½ = 1 5 dan sin(πΌ β π½) = 3 5 ) β 3 5 = 1 5 β cos πΌ sin π½ β cos πΌ sin π½ = β 2 5 sin(πΌ + π½) = sin πΌ cos π½ + cos πΌ sin π½ β sin(πΌ + π½) = 1 5 + (β 2 5 ) β sin(πΌ + π½) = β 1 5 sin(πΌ + π½) = sin πΌ cos π½ + cos πΌ sin π½ β sin(πΌ + π½) = 3 5 β 12 13 + 4 5 β 5 13 β sin(πΌ + π½) = 36 65 + 20 65 β sin(πΌ + π½) = 56 65 πΌ 3 5 4 π½ 5 13 12 sin πΌ = 3 5 β cos πΌ = 4 5 cos π½ = 12 13 β sin π½ = 5 13 cos(π΄ + π΅) = cos π΄ cos π΅ β sin π΄ sin π΅ (diketahui dari soal cos π΄ cos π΅ = 5 8 dan πΌ + π½ = π 3 ) β 1 2 = 5 8 β sin π΄ sin π΅ β sin π΄ sin π΅ = 1 8 cos(π΄ β π΅) = cos π΄ cos π΅ + sin π΄ sin π΅ β cos(π΄ β π΅) = 5 8 + 1 8 β cos(π΄ β π΅) = 6 8 = 3 4
- 21. Halaman 186 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) 5. Nilai dari ο°οο° 165sin75sin adalah .... A. 2 4 1 B. 3 4 1 C. 6 4 1 D. 2 2 1 E. 6 2 1 Jika adik-adik butuh βbocoranβ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. sin π΄ β sin π΅ = 2 cos ( π΄ + π΅ 2 ) sin ( π΄ β π΅ 2 ) β sin 75Β° β sin 165Β° = 2 cos ( 75Β° + 165Β° 2 ) sin ( 75Β° β 165Β° 2 ) = 2 cos 120Β° sin(β45Β°) (ingat sin(βπ₯) = β sin π₯) = β2 cos 120Β° sin 45Β° = β2 cos(180Β° β 60Β°) sin 45Β° (ingat cos(180Β° β π₯) = β cos π₯) = β2 (βcos 60Β°) sin 45Β° = 2 cos 60Β° sin 45 = 2 β 1 2 β 1 2 β2 = 1 2 β2