Smart solution un matematika sma 2013 (skl 2.8 program linear)

1. Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang

2. Halaman 54 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 8. Menyelesaikan masalah program linear.
Program Linear
Definisi Langkah Penyelesaian
Sebuah metode yang digunakan untuk 1. Buat model matematika.
memecahkan masalah yang berkaitan 2. Lukis grafik model matematika.
dengan optimasi linear (nilai optimum) 3. Tentukan daerah penyelesaian.
4. Cari titik pojok daerah penyelesaian.
5. Substitusi titik pojok ke fungsi objektif.
6. Pilih nilai optimum.
Konsep yang dibutuhkan
Pertidaksamaan Linear Contoh Soal Program Linear
Dua Variabel dan Penyelesaiannya
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑎𝑏 Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2,
dan maksimal hanya dapat ditempati 300
kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus.
Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2,
biaya parkir sebuah sedan dan sebuah bus
adalah Rp2.000 dan Rp5.000, maka berapa
jumlah sedan dan bus yang parkir supaya
pendapatan parkirnya menjadi maksimal!
Sistem Pertidaksamaan Linear
Dua Variabel
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑎𝑏
𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 ≤ 𝑝𝑞
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
Model Matematika
Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2,
dan maksimal hanya dapat ditempati 300
kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus.
Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2,
maka tentukanlah model matematikanya !
{
𝑥 + 𝑦 ≤ 300
𝑥 + 3𝑦 ≤ 750,bentuk sederhana 5𝑥 + 15𝑦 ≤ 3750
𝑥 ≥ 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif
𝑦 ≥ 0, jumlah bus tidak mungkin negatif
𝑥, 𝑦 elemen bilangan cacah.
𝒂
𝒃
𝑥
𝑦
O
𝒑
𝒒
𝑥
𝑦
O
𝒂
𝒃
Sedan
(𝑥)
Bus
(𝑦)
Total
Banyak kendaraan 1 1 300
Luas kendaraan 5 15 3750
Sedan
(𝑥)
Bus
(𝑦)
Total
Banyak kendaraan 1 1 300
Luas kendaraan 5 15 3750
Biaya Parkir 2.000 5.000
Fungsi kendalanya:
{
𝑥 + 𝑦 ≤ 300
𝑥 + 3𝑦 ≤ 750, bentuk sederhana 5𝑥 + 15𝑦 ≤ 3750
𝑥 ≥ 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif
𝑦 ≥ 0, jumlah bus tidak mungkin negatif
𝑥, 𝑦 elemen bilangan cacah.
Fungsi Objektif:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 3.000𝑦
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:
Titik potong garis 𝑥 + 𝑦 = 300 dan 𝑥 + 3𝑦 = 750:
𝑥 = 225 dan 𝑦 = 75
Jadi titik pojoknya adalah:
(0, 0), (300, 0), (225, 75), dan (0, 250).
Uji titik pojok:
(𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 3.000𝑦
(0, 0) 2.000(0) + 3.000(0) = 0
(300, 0) 2.000(300) + 3.000(0) = 600.000
(225, 75) 2.000(225) + 3.000(75) = 675.000
(0, 250) 2.000(0) + 3.000(250) = 750.000
Jadi, pendapatan maksimal adalah Rp750.000 untuk
parkir 250 bus.
𝟐𝟓𝟎
𝟕𝟓𝟎
𝑥
𝑦
O
𝟑𝟎𝟎
𝟑𝟎𝟎

3. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 55
TRIK SUPERKILAT:
Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Program Linear memang tipe soal yang
menghabiskan banyak waktu.
Ya! Penyelesaian Program Linear ini membutuhkan perhitungan yang banyak dan perhitungannya harus
dilakukan dengan cermat karena membutuhkan ketelitian tinggi dalam menggambar sketsa grafik, menguji titik
untuk menemukan daerah penyelesaian pertidaksamaan, mencari titik potong dua garis, dan mensubstitusi titik
pojok ke fungsi objektif untuk menemukan nilai optimum. Padahal waktu yang diberikan untuk setiap soal UN
Matematika SMA itu hanya sekitar 3 menit saja!
Penjabaran langkah dasarnya sebagai berikut:
Pertama, adik-adik harus mengubah soal cerita sehingga bisa dituliskan menjadi model matematika dari beberapa fungsi kendala
yang membentuk sistem pertidaksamaan linear dan sebuah fungsi objektif.
Kedua, adik-adik harus menggambarkan model matematika tersebut ke dalam bidang koordinat Cartesius.
Ketiga, dari gambar grafik model matematika, adik-adik harus bisa menentukan daerah penyelesaian dari fungsi kendala dalam
bidang koordinat Cartesius.
Keempat, daerah penyelesaian dari fungsi kendala berbentuk poligon, dimana titik-titik sudutnya adalah titik pojok. Adik-adik perlu
melihat apakah ada titik pojok yang berupa titik potong dua garis yang koordinatnya perlu dicari menggunakan teknik eliminasi dan
substitusi dari kedua persamaan garis tersebut.
Kelima, titik-titik pojok tersebut merupakan titik ekstrim yang akan kita periksa nilai fungsi objektifnya.
Terakhir, nilai terbesar dari fungsi objektif adalah nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil dari fungsi objektif adalah nilai
minimum. Nah, jika terdapat dua titik pojok yang menghasilkan nilai fungsi objektif yang sama, maka penyelesaian nilai optimum
terdapat pada sepanjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik pojok tersebut.
Perhatikan gambar di bawah:
TRIK SUPERKILAT
Model Matematika
Grafik Max itu YEX
Daerah Penyelesaian Urutkan perbandingan 𝑥 ∶ 𝑦
Titik Pojok Letak Fungsi Objektif
Substitusi Titik Pojok
Nilai Optimum
Nah, sebenarnya metode TRIK SUPERKILAT memotong langkah dasar sampai di model matematika saja.
Metode TRIK SUPERKILAT menggunakan modifikasi dari teori gradien untuk menyelesaikan program linear.
Pertama, apabila yang ditanyakan adalah nilai maksimum, maka tuliskan urutan Y-E-X.
(Ingat MAX itu huruf akhirnya X, jadi yang ditulis juga harus berakhiran X).
Kalau yang ditanyakan adalah nilai minimum, maka urutannya adalah X-E-Y.
Kedua, urutkan nilai dari perbandingan koefisien 𝑥 dan koefisien 𝑦 dari semua fungsi kendala maupun fungsi objektif.
Urutkan dari nilai yang terkecil menuju ke nilai terbesar.
Terakhir lihat dimana letak perbandingan koefisien 𝑥 dan koefisien 𝑦 dari fungsi objektif.
 Jika terletak di Y, maka nilai optimal berada di sumbu Y, substitusikan 𝑥 = 0 ke fungsi di sebelahnya.
 Jika terletak di E, maka nilai optimal berada di perpotongan antara kedua fungsi di sebelahnya.
 Jika terletak di X, maka nilai optimal berada di sumbu X, substitusikan 𝑦 = 0 ke fungsi di sebelahnya.

4. Halaman 56 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan nilai optimum fungsi objektif.
Contoh Soal:
Suatu perusahaan tas dan sepatu memerlukan 4 unsur A dan 6 unsur B perminggu untuk masing-masing
hasil produksinya. Setiap tas memerlukan satu unsur A dan dua unsur B, setiap sepatu memerlukan dua
unsur A dan dua unsur B. Bila setiap tas untungnya 3000 rupiah, setiap sepatu untungnya 2000 rupiah,
maka banyak tas dan sepatu yang dihasilkan per minggu agar diperoleh untung yang maksimal adalah ….
a. 2 sepatu
b. 3 sepatu
c. 3 tas
d. 4 tas
e. 2 tas dan 2 sepatu
Penyelesaian:
Model Matematika
Tas (𝑥) Sepatu (𝑦) Total
Unsur A 1 2 4
Unsur B 2 2 6
Untung 3000 2000
Fungsi kendala:
𝑥 + 2𝑦 ≤ 4 (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 1/2)
2𝑥 + 2𝑦 ≤ 6 (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 1)
Fungsi objektif:
maks 3000𝑥 + 2000𝑦 =…. (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 3/2)
LANGSUNG MASUK KE LANGKAH TRIK SUPERKILAT:
Memaksimumkan berarti Y-E-X!!!!!
Sumbu 𝑌 Eliminasi Sumbu 𝑋
Urutkan Perbandingan Koefisien X:Y
Cari perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 untuk masing-masing fungsi kendala dan objektif, lalu urutkan
dari kecil ke besar.
Sumbu 𝑌 Eliminasi Sumbu 𝑋
1/2 1 3/2
Letak Fungsi Objektif
Perhatikan tabel tadi:
Sumbu 𝑌 Eliminasi Sumbu 𝑋
1/2 1 3/2
Karena fungsi objektif yang perbandingan koefisiennya adalah 3/2 terletak pada kolom Sumbu 𝑋,
maka artinya nilai optimum adalah terletak di sumbu X untuk persamaan yang berada disebelahnya
(yaitu persamaan dengan perbandingan koefisien bernilai 1)
Artinya substitusikan 𝑦 = 0 untuk persamaan 2𝑥 + 2𝑦 = 6
2𝑥 + 2𝑦 = 6
2𝑥 + 2(0) = 6
𝑥 = 3
Jadi, agar keuntungan maksimal maka perusahaan tersebut haruslah menjual 3 tas.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum keuntungan adalah Rp9.000,00.

5. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 57
Menentukan nilai optimum fungsi objektif, ada nilai perbandingan 𝒙 dan 𝒚 yang sama.
Contoh Soal :
Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari.
Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B.
Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B.
Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B.
Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian
tablet per hari adalah ….
Penyelesaian Cara Biasa:
Model Matematika
Fungsi kendala:
5𝑥 + 10𝑦 ≥ 25;
3𝑥 + 𝑦 ≥ 5;
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0, 𝑥, 𝑦 elemen bilangan cacah.
Fungsi objektif:
Minimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000𝑥 + 8.000𝑦
Grafik dan Daerah Penyelesaian
Titik Pojok
Dua dari tiga titik pojok sudah bisa dilihat pada grafik yaitu (5, 0) dan (0, 5).
Sementara satu titik pojok belum diketahui yaitu titik potong kedua garis.
Menentukan titik potong kedua garis menggunakan metode eliminasi substitusi:
5𝑥 + 10𝑦 = 25
3𝑥 + 10𝑦 = 25
Substitusi 𝑦 = 2 ke salah satu persamaan:
3𝑥 + 𝑦 = 5
3𝑥 + 2 = 5
3𝑥 = 5 − 2
3𝑥 = 3
𝑥 =
3
3
𝑥 = 1
Jadi titik potong kedua kurva adalah di titik (1, 2)
Sehingga titik pojok adalah (5, 0), (1, 2), dan (0,5)
Substitusi Titik Pojok
Substitusikan titik-titik pojok tersebut ke fungsi objektif untuk mencari titik manakah yang memiliki nilai objektif
paling kecil.
Titik pojok (𝑥, 𝑦) Fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000𝑥 + 8.000𝑦
(5, 0) 4.000(5) + 8.000(0) = 20.000 + 12.000 = 20.000
(1, 2) 4.000(1) + 8.000(2) = 04.000 + 16.000 = 20.000
(0, 5) 4.000(0) + 8.000(5) = 20.000 + 40.000 = 40.000
Nilai Optimum
Dari tabel tersebut diperoleh nilai minimum fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) terjadi pada titik (5, 0) dan (1, 2) yaitu
dengan pengeluaran sebesar Rp20.000,00.
5
X
Y
5
3
5
2,5
× 3
× 5
15𝑥 + 30𝑦 = 75
15𝑥 + 35𝑦 = 25
25𝑦 = 50
𝑦 =
50
25
𝑦 = 2
TRIK SUPERKILAT:
Tablet
I
Tablet
II
Jumlah Perbandingan
koef 𝑥 dan 𝑦
Vitamin
A
5 10 25 1/2
Vitamin
B
3 1 5 3/1
Harga 4.000 8.000 1/2
Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.
X E Y
1/2 1/2 2/2
Kesimpulan:
Perhatikan perbandingan fungsi objektif yang bernilai 1/2
terdapat di X dan E,
Di X, artinya nilai optimum diperoleh di perpotongan sumbu X
dengan fungsi di dekatnya, yaitu fungsi kendala dengan
perbandingan 1/2 .
Di E, artinya nilai optimum juga diperoleh dari hasil titik
potong antara fungsi kendala dengan perbandingan 1/2 dan
3/1.

6. Halaman 58 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30
gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr
kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp.1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp.800,00, maka
biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah ....
A. Rp12.000,00
B. Rp14.000,00
C. Rp18.000,00
D. Rp24.000,00
E. Rp36.000,00
2. Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung
dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia
merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda
gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang
diterima pedagang adalah ....
A. Rp13.400.000,00
B. Rp12.600.000,00
C. Rp12.500.000,00
D. Rp10.400.000,00
E. Rp8.400.000,00
3. Seorang ibu hendak membuat dua jenis kue. Kue jenis I memerlukan 40 gram tepung dan 30 gram gula.
Kue jenis II memerlukan 20 gram tepung dan 10 gram gula. Ibu hanya memiliki persediaan tepung
sebanyak 6 kg dan gula 4 kg. jika kue jenis I dijual dengan harga Rp4.000,00 dan kue jenis II dijual
dengan harga Rp1.600,00, maka pendapatan maksimum yang diperoleh ibu adalah ....
A. Rp30.400,00
B. Rp48.000,00
C. Rp56.000,00
D. Rp59.200,00
E. Rp72.000,00
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
TRIK SUPERKILAT:
Kapsul Tablet Jumlah Perbandingan
koef 𝑥 dan 𝑦
Kalsium 5 2 60 5/2
Zat Besi 2 2 30 2/2
Harga 1.000 800 10/8
Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.
X E Y
2/2 10/8 5/2
Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E.
Artinya titik minimumnya berada di hasil
eliminasi kedua fungsi kendala. (Gunakan metode
determinan matriks)
𝑥 =
|
60 2
30 2
|
|
5 2
2 2
|
=
60
6
= 10; 𝑦 =
|
5 60
2 30
|
|
5 2
2 2
|
=
30
6
= 5
Jadi nilai minimumnya adalah:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 1.000(10) + 800(5) = Rp14.000,00
TRIK SUPERKILAT: (harga dalam ribuan rupiah)
Sepeda
gunung
Sepeda
balap
Jumlah Perbandingan
koef 𝑥 dan 𝑦
Jumlah 1 1 25 1/1
Harga 1.500 2.000 42.000 3/4
Untung 500 600 5/6
Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.
Y E X
3/4 5/8 1/1
Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada
di E (titik potong atau hasil eliminasi
substitusi dua fungsi kendala)
Gunakan metode determinan matriks
𝑥 =
|
25 1
42.000 2.000
|
|
1 1
1.500 2.000
|
=
8.000
500
= 16;
𝑥 + 𝑦 = 25 ⇒ 16 + 𝑦 = 25 ⇒ 𝑦 = 9;
Jadi nilai maksimum adalah:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 500(16) + 600(9) = Rp13.400
TRIK SUPERKILAT:
Kue
jenis I
Kue
jenis II
Jumlah Perbandingan
koef 𝑥 dan 𝑦
Tepung 40 20 6.000 4/2
Gula 30 10 4.000 3/1
Harga 4.000 1.600 40/16
Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.
Y E X
4/2 40/16 3/1
Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E
(titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua
fungsi kendala)
Gunakan metode determinan matriks
𝑥 =
|
6.000 20
4.000 10
|
|
40 20
30 10
|
=
−20.000
−200
= 100;
30𝑥 + 10𝑦 = 4.000 ⇒ 3.000 + 10𝑦 = 4.000 ⇒ 𝑦 = 100;
Jadi nilai maksimum adalah:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000(100) + 1.600(100) = Rp560.000
Soal ini tidak ada
jawabannya,
mungkin maksudnya
pilihan jawaban A, B,
C, D, dan E kurang
satu angka nol.