Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai konsep-konsep pangkat, akar, dan logaritma beserta sifat-sifat dan contoh soal yang sering muncul pada ujian nasional. Diberikan pula tips dan trik cepat dalam menyelesaikan soal-soal terkait konsep-konsep tersebut.

1. Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang

2. Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
SKL 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana,
fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers, sistem persamaan linear,
persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan garis singgungnya, suku banyak, algoritma
sisa dan teorema pembagian, program linear, matriks dan determinan,vektor, transformasi geometri dan
komposisinya, barisan dan deret, serta mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah.
2. 1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma.
Pangkat
Definisi Sifat
𝑎 𝑛
= 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎⏟
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
“Bilangan Pokok Sama” “Kurung”
untuk 𝑎 ≠ 0, berlaku:
𝑎0
= 1
𝑎−𝑛
=
1
𝑎 𝑛
𝑎 𝑚
× 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛
; 𝑎 ≠ 0
(𝑎 𝑚) 𝑛
= 𝑎 𝑚×𝑛
(𝑎 × 𝑏) 𝑛
= 𝑎 𝑛
× 𝑏 𝑛
(
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛 ; 𝑏 ≠ 0
Pangkat Pecahan
Bentuk Akar
Definisi Sifat
“Invers Pangkat” “Bentuk Akar Sama” “Kurung”
𝑎 = 𝑏 𝑛
⇔ √ 𝑎
𝑛
= 𝑏
"Pangkat Pecahan"
√ 𝑎
𝑛
= 𝑎
1
𝑛
𝑝 √ 𝑎
𝑛
+ 𝑞 √ 𝑎
𝑛
= (𝑝 + 𝑞) √ 𝑎
𝑛
𝑝 √ 𝑎
𝑛
− 𝑞 √ 𝑎
𝑛
= (𝑝 − 𝑞) √ 𝑎
𝑛
√ √ 𝑎
𝑛𝑚
= √ 𝑎
𝑚×𝑛
√𝑎𝑏
𝑛
= √ 𝑎
𝑛
× √𝑏
𝑛
√
𝑎
𝑏
𝑛
=
√ 𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 ; 𝑏 ≠ 0
Haram menjadi penyebut pecahan
Rasionalisasi
“kalikan sekawan penyebut”
𝑎
√𝑏
=
𝑎
√𝑏
×
√𝑏
√𝑏
𝑎
√𝑏+√𝑐
=
𝑎
√𝑏+√𝑐
×
√𝑏−√𝑐
√𝑏−√𝑐
Syarat:
𝑎 ∈ 𝑅
𝑛 ∈ ℤ +
"Bentuk Akar Beda"
Untuk 𝑎 > 𝑏, berlaku:
√ 𝑎 + √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) + 2√𝑎𝑏
√ 𝑎 − √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) − 2√𝑎𝑏
Syarat:
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
𝑛 ∈ ℤ +

3. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 5
Logaritma
Definisi Sifat
𝑎 𝑏
= 𝑐 ⇔ 𝑎
log 𝑐 = 𝑏
Sehingga diperoleh:
𝑎0
= 1 ⇔ 𝑎
log 1 = 0
𝑎1
= 𝑎 ⇔ 𝑎
log 𝑎 = 1
𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑛
⇔ 𝑎
log 𝑎 𝑛
= 𝑛
"Penjumlahan Pengurangan"
𝑎
log(𝑏𝑐) = 𝑎
log 𝑏 + 𝑎
log 𝑐
𝑎
log (
𝑏
𝑐
) = 𝑎
log 𝑏 − 𝑎
log 𝑐
𝑎
log 𝑏 𝑛
= 𝑛 ⋅ 𝑎
log 𝑏
"Perbandingan"
𝑎
log 𝑏 =
𝑐 log 𝑏
𝑐 log 𝑎
=
1
𝑏 log 𝑎
𝑎
log 𝑏 = 𝑎
log 𝑐 ⋅ 𝑐
log 𝑏
𝑎 𝑚
log 𝑏 𝑛
=
𝑛
𝑚
⋅ 𝑎
log 𝑏
Tipe soal yang sering keluar
Pangkat
Menyederhanakan bentuk pangkat
Bilangan pokok berupa angka, ubah ke bentuk bilangan pokok yang paling sederhana.
Bilangan pokok berupa variabel, lakukan operasi pangkat tiap variabel.
Contoh:
Tentukan bentuk sederhana dari:
2
5
12 ⋅ 12
5
6
8
3
4 ⋅ 6
1
3
= ….
Penyelesaian:
2
5
12 ⋅ 12
5
6
8
3
4 ⋅ 6
1
3
=
2
5
12 ⋅ (22
⋅ 3)
5
6
(23)
3
4 ⋅ (2 ⋅ 3)
1
3
=
2
5
12 ⋅ 2
5
3 ⋅ 3
5
6
2
9
4 ⋅ 2
1
3 ⋅ 3
1
3
= 2
5
12
+
5
3
−
9
4
−
1
3 ⋅ 3
5
6
−
1
3
= 2−
1
2 ⋅ 3
1
2
=
3
1
2
2
1
2
= (
3
2
)
1
2
𝑎
log 𝑏 = 𝑎
log 𝑏 ⇔ 𝑎
𝑎 log 𝑏
= 𝑏
Syarat:
𝑎, 𝑝 > 0
𝑝 ≠ 1
Contoh:
Tentukan bentuk sederhana dari:
24𝑎−7
𝑏−2
𝑐1
6𝑎−2 𝑏−3 𝑐−6
= ….
Penyelesaian:
24𝑎−7
𝑏−2
𝑐1
6𝑎−2 𝑏−3 𝑐−6
= 8 ⋅ 𝑎−7−(−2)
⋅ 𝑏−2−(−3)
⋅ 𝑐1−(−6)
= 8𝑎−5
𝑏𝑐7
=
8𝑏𝑐7
𝑎5

4. Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bentuk Akar
Menyederhanakan Bentuk Akar
Cari faktor bilangan tersebut yang dapat diakar, sehingga mendapatkan bentuk akar paling sederhana.
Contoh:
√72 = √36√2 = 6√2
√54
3
= √27
3
√2
3
= 3√2
3
Menyederhanakan bentuk akar dengan konsep √(𝒂 + 𝒃) ± 𝟐√𝒂𝒃 = √ 𝒂 ± √𝒃
Pastikan bilangan di depan akar adalah harus angka 2. Jika bukan 2, maka ubahlah menjadi 2.
Contoh:
√5 + √24 = ….
Penyelesaian:
√5 + √24 = √5 + √4√6 = √5 + 𝟐√6 = √(3 + 2) + 2√3 ∙ 2 = √3 + √2
Menyederhanakan bentuk akar dengan merasionalisasi penyebut pecahan bentuk akar
Kalikan dengan 1 (pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah sekawan bentuk akar tersebut)
Sekawan dari √ 𝑎 adalah √ 𝑎.
Sekawan dari √ 𝑎 + √𝑏 adalah √ 𝑎 − √𝑏.
Sekawan dari √ 𝑎 − √𝑏 adalah √ 𝑎 + √𝑏.
Contoh:
Bentuk sederhana dari
3√3 + √7
√7 − 2√3
adalah ….
Penyelesaian:
3√3 + √7
√7 − 2√3
=
3√3 + √7
√7 − 2√3
×
√7 + 2√3
√7 + 2√3
=
3√21 + 18 + 7 + 2√21
7 − 12
=
25 + 5√21
−5
= −5 − √21
Logaritma
Menyederhanakan bentuk logaritma
Gunakan definisi dan sifat logaritma untuk menyederhanakan logaritma.
Contoh:
5 ∙ 2
log 3 + 2
log 5 − 2
log 15
2 log 9
= ….
Penyelesaian:
5 ∙ 2
log 3 + 2
log 5 − 2
log 15
2 log 9
=
2
log 35
+ 2
log 5 − 2
log 15
2 log 9
=
2
log (
35
∙ 5
15
)
2 log 9
=
2
log 34
2 log 9
= 9
log 34
= 9
log(32)2
= 9
log 92
= 2 ∙ 9
log 9
= 2 ∙ 1
= 2

5. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 7
Menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain.
Gunakan definisi untuk menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain.
Contoh:
Jika 2
log 3 = 𝑎 dan 3
log 5 = 𝑏. Nilai dari 12
log 150 = ….
Penyelesaian:
12
log 150 =
3
log 150
3 log 12
=
3
log(2 ∙ 3 ∙ 52)
3 log(22 ∙ 3)
=
3
log 2 + 3
log 3 + 3
log 52
3 log 22 + 3 log 3
=
3
log 2 + 3
log 3 + 2 ∙ 3
log 5
2 ∙ 3 log 2 + 3 log 3
=
1
𝑎 + 1 + 2𝑏
2
𝑎 + 1
=
1
𝑎 + 1 + 2𝑏
2
𝑎 + 1
×
𝑎
𝑎
=
1 + 𝑎 + 2𝑎𝑏
2 + 𝑎
Cara tersebut cukup menyita waktu kalau digunakan saat mengerjakan soal UN, karena kita harus menuliskan panjang
lebar konsep definisi dan sifat logaritma. Nah, perhatikan urutan mengerjakannya:
Pertama, ubah logaritma menjadi perbandingan.
Kedua, faktorkan numerus kedua logaritma tersebut sehingga memuat bilangan pada logaritma yang diketahui.
Ketiga, menjabarkan kedua logaritma tersebut dengan menggunakan sifat penjumlahan logaritma.
Keempat, mengubah bentuk logaritma ke dalam variabel yang diketahui pada soal.
Kelima, apabila masih terdapat bentuk pecahan, bulatkan dengan mengalikan KPK penyebut.
Selesai.
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang diketahui.
𝟐
log 𝟑 = 𝑎 dan 𝟑
log 𝟓 = 𝑏.
Ternyata bilangannya adalah 2, 3, dan 5.
Lalu, cari bilangan yang sama.
Ternyata bilangan yang sama adalah 3.
Semua bilangan akan menjadi numerus dari bentuk logaritma yang akan menjadi acuan kita nanti,
sedangkan bilangan yang sama akan menjadi basis dari logaritma tersebut.
𝟑
log 2 =
1
𝑎
𝟑
log 5 = 𝑏
𝟑
log 3 = 1
Cara membacanya:
Bilangan 2 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan
1
𝑎
.
Bilangan 5 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan b.
Bilangan 3 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 1.
Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang ditanyakan. Ubah menjadi pecahan (
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑢𝑠
𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠
).
𝟏𝟐
log 𝟏𝟓𝟎 ⇒
𝟏𝟓𝟎
𝟏𝟐
Faktorkan kedua bilangan tersebut dengan memperhatikan ketiga angka tadi (2, 3, dan 5).
Segera substitusikan faktor dari kedua bilangan tersebut seperti cara membaca ketiga logaritma acuan tadi.
Jangan lupa untuk mengubah tanda perkalian menjadi penjumlahan.
150
12
=
2 × 3 × 5 × 5
2 × 2 × 3
=
1
𝑎
+ 1 + 𝑏 + 𝑏
1
𝑎
+
1
𝑎
+ 1
=
1
𝑎
+ 1 + 2𝑏
2
𝑎
+ 1
Jadi,
𝟏𝟐
log 𝟏𝟓𝟎 =
1
𝑎
+ 1 + 2𝑏
2
𝑎
+ 1

6. Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui ,2,
2
1
 ba dan .1c Nilai dari 12
32
..
..


cba
cba
adalah ....
A. 1
B. 4
C. 16
D. 64
E. 96
2. Diketahui ,2,4  ba dan .
2
1
c Nilai 3
4
21
)( 


c
b
a adalah ....
A.
2
1
B.
4
1
C.
8
1
D.
16
1
E.
32
1
3. Jika diketahui ,
5
1
,
3
1
 yx dan .2z Nilai 423
24


zyx
yzx
adalah ....
A. 32
B. 60
C. 100
D. 320
E. 640
(𝑎−1)2
×
𝑏4
𝑐−3
= (4−1)2
×
24
(
1
2
)
−3
=
1
16
×
16
8
=
1
8
𝑥−4
𝑦𝑧−2
𝑥−3 𝑦2 𝑧−4
= 𝑥−4−(−3)
𝑦(1−2)
𝑧−2−(−4)
= 𝑥−1
𝑦−1
𝑧2
= (
1
3
)
−1
(
1
5
)
−1
(2)2
= 3 ∙ 5 ∙ 4
= 60
𝑎−2
𝑏𝑐3
𝑎𝑏2 𝑐−1
=
𝑐4
𝑎3 𝑏
=
14
(
1
2
)
3
2
=
1
1
4
= 4

7. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 9
4. Bentuk
327
733


dapat disederhanakan menjadi bentuk ....
A. 21525 
B. 21525 
C. 2155 
D. 215 
E. 215 
5. Bentuk
32
322


dapat disederhanakan menjadi bentuk ....
A. 634 
B. 64 
C. 64 
D. 64 
E. 64 
6. Bentuk
52
532


dapat disederhanakan menjadi bentuk ....
A.  10417
3
1

B.  10415
3
2

C.  10415
3
2

D.  10417
3
1

E.  10417
3
1

3√3 + √7
√7 − 2√3
=
3√3 + √7
√7 − 2√3
×
√7 + 2√3
√7 + 2√3
=
3√21 + 18 + 7 + 2√21
7 − 12
=
25 + 5√21
−5
= −5 − √21
LOGIKA PRAKTIS:
Pembilang positif semua tandanya.
Sekawan penyebut juga positif semua.
Pasti pembilang hasil rasionalisasi
positif juga (plus plus).
Lihat bentuk bilangan negatif lebih besar
dari bilangan positif, artinya perkalian
penyebut dengan sekawan penyebut
pasti negatif.
Pola jawabannya pasti negatif semua
(min min).
Duh, tapi sayang ada dua jawaban yang
seperti kriteria tsb. (A dan E).

√2 − 2√3
√2 − √3
=
√2 − 2√3
√2 − √3
×
√2 + √3
√2 + √3
=
2 + √6 − 2√6 − 6
2 − 3
=
−4 − √6
−1
= 4 + √6
√2 + 3√5
√2 − √5
=
√2 + 3√5
√2 − √5
×
√2 + √5
√2 + √5
=
2 + √10 + 3√10 + 15
2 − 5
=
17 + 4√10
−3
=
1
−3
(17 + 4√10)
= −
1
3
(17 + 4√10)

8. Halaman 10 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
7. Diketahui a3log5
dan .4log3
b Nilai 15log4
....
A.
ab
a1
B.
b
a


1
1
C.
a
b


1
1
D.
a
ab
1
E.
b
ab
1
8. Diketahui ,6log3
p .2log3
q Nilai 288log24
....
A.
qp
qp
2
32


B.
qp
qp
2
23


C.
qp
qp
32
2


D.
qp
qp
23
2


E.
qp
pq
32
2


9. Diketahui ,3log2
x .10log2
y Nilai 120log6
....
A.
1
2


x
yx
B.
2
1


yx
x
C.
2xy
x
D.
x
xy 2
E.
1
2
x
xy
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
4
log 15 =
3
log 15
3 log 4
=
3
log 15
3 log 4
=
3
log(3 × 5)
3 log 4
=
3
log 3 + 3
log 5
3 log 4
=
1 +
1
𝑎
𝑏
×
𝑎
𝑎
=
𝑎 + 1
𝑎𝑏
TRIK SUPERKILAT:
Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka
itu menjadi basis logaritma!
5
log 3 = 𝑎 ⇒ 3
log 5 =
1
𝑎
3
log 4 = 𝑏
3
log 3 = 1 }
bertemu 5 tulis
1
𝑎
bertemu 4 tulis 𝑏
bertemu 3 tulis 1
Ingat tanda kali diganti tambah ya.
Cara cepat ini meringkas pengerjaan ini lho! Lihat angka
berwarna biru pada cara biasa di samping!
Jadi,
4
log 15
jadikan
pecahan
⇒
15
4
faktorkan
sehingga
muncul
angka warna
biru di atas
⇒
3 × 5
4
ubah tanda
kali menjadi
tambah,dan
⇒
1 +
1
𝑎
𝑏
= 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡

24
log 288
⇒
3
log 288
3 log 24
⇔
3
log(23
× 62)
3 log(22 × 6)
⇔
3
log 23
+ 3
log 62
3 log 22 + 3 log 6
⇔
3 ∙ 3
log 2 + 2 ∙ 3
log 6
2 ∙ 3 log 2 + 3 log 6
⇔
3𝑞 + 2𝑝
2𝑞 + 𝑝
TRIK SUPERKILAT:
Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu
menjadi basis logaritma!
3
log 6 = 𝑝
3
log 2 = 𝑞
3
log 3 = 1
}
bertemu 6 tulis 𝑝
bertemu 2 tulis 𝑞
bertemu 3 tulis 1
Ingat tanda kali diganti tambah ya.
Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho!
Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping!
Jadi,
24
log 288
jadikan
pecahan
⇒
288
24
faktorkan
sehingga
muncul
angka warna
biru di atas
⇒
23
× 62
22 × 6
ubah tanda
kali menjadi
tambah,dan
⇒
3𝑞 + 2𝑝
2𝑞 + 𝑝
= 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡

6
log 120
⇒
2
log 120
2 log 6
⇔
2
log(22
× 3 × 10)
2 log(2 × 3)
⇔
2
log 22
+ 2
log 3 + 2
log 10
2 log 2 + 2 log 3
⇔
2 ∙ 2
log 2 + 2
log 3 + 2
log 10
2 log 2 + 2 log 3
⇔
2 + 𝑥 + 𝑦
1 + 𝑥
TRIK SUPERKILAT:
Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama.
Paksakan angka itu menjadi basis logaritma!
2
log 3 = 𝑥
2
log 10 = 𝑦
2
log 2 = 1
}
bertemu 3 tulis 𝑥
bertemu 10 tulis 𝑦
bertemu 2 tulis 1
Ingat tanda kali diganti tambah ya.
Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru
disamping lho!
Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping!
Jadi,
6
log 120
jadikan
pecahan
⇒
120
6
faktorkan
sehingga
muncul
angka warna
biru di atas
⇒
22
× 3 × 10
2 × 3
ubah tanda
kali menjadi
tambah,dan
⇒
2 + 𝑥 + 𝑦
1 + 𝑥
= 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡
