5. Definisi Turunan
Jika π(π§) bernilai tunggal dalam suatu daerah π di bidang π§, maka
turunan fungsi π(π§) didefinisikan sebagai
πβ²
π§ = πππ
βπ§β0
π π§+βπ§ βπ(π§)
βπ§
(1)
asalkan limit ini ada, yaitu tidak bergantung dari caranya βπ§ β 0. D
alam hal ini kita mengatakan bahwa π(π§) mempunyai turunan (diff
erentiable) di π§. Dalam definisi 1 kita seringkali menggunakan β s
ebagai pengganti βπ§.
7. Fungsi Analitik
Jika turunan πβ²(π§) ada di semua titik π§ dari suatu daerah
π , maka π(π§) dikatakan analitik dalam π dan dinyatakan
sebagai fungsi analitik dalam π . Istilah regular (teratur) d
an holomorfik (holomorphic) seringkali digunakan sebag
ai pengganti istilah analitik.
Suatu fungsi π π§ dikatakan analitik di suatu titik
π§0 jika terdapat suatu lingkungan π§ β π§0 < πΏ sehingga
πβ²(π§) ada di setiap titik pada lingkungan tersebut.
8. Contoh 5.2
Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut ini adalah analitik:
a. π π§ = 3π§4
b. π π§ = cos 2π§
a. 3π§4
= 3 π₯ + ππ¦ 4
= 3(π₯4
+ 4ππ₯3
π¦ β 6π₯2
π¦2
β 4ππ₯
b. π π§ = cos 2π§ =
π2 π₯+ππ¦ +πβ2 π₯+ππ¦
2
=
π2π₯
πππ 2π¦ + πβ2π₯
πππ (β2π¦)
2
=
π2π₯
(cos 2π¦ + π sin 2π¦) + πβ2π₯
(cos 2π¦ β π sin 2π¦)
2
=
(π2π₯
+πβ2π₯
) cos 2π¦ + π(π2π₯
β πβ2π₯
) sin 2π¦
2
Sehingga diperoleh fungsi :
π’ π₯, π¦ =
(π2π₯
+πβ2π₯
) cos 2π¦
2
π£ π₯, π¦ =
(π2π₯
βπβ2π₯
) sin 2π¦
2
ππ’
ππ₯
= π2π₯
β πβ2π₯
cos 2π¦ &
ππ’
ππ¦
= βπ2π₯
β πβ2π₯
sin 2π¦
ππ£
ππ₯
= π2π₯
+ πβ2π₯
sin 2π¦ &
ππ£
ππ¦
= π2π₯
β πβ2π₯
cos 2π¦
Jadi
ππ’
ππ₯
,
ππ’
ππ¦
,
ππ£
ππ₯
, dan
ππ£
ππ¦
kontinu di setiap titik (π₯, π¦).
Ternyata memenuhi syarat Cauchy-Riemann (C-R), yaitu:
ππ’
ππ₯
=
ππ£
ππ¦
dan
ππ’
ππ¦
= β
ππ£
ππ₯
Jadi π π§ = cos 2π§ adalah fungsi analitik
9. Persamaan Cauchy Riemann
Suatu syarat perlu agar π€ = π π§ = π’ π₯, π¦ + ππ£(π₯, π¦) analitik dalam suatu daerah π
adalah π’ dan π£ memenuhi persamaan Cauchy Riemann
ππ’
ππ₯
=
ππ£
ππ¦
,
ππ’
ππ¦
= β
ππ£
ππ₯
(2)
dan dapat dinyatakan πβ²
π§ = π’ π₯ + ππ£ π₯ = π£ π¦ β ππ’ π¦
Jika turunan parsial dalam (2) kontinu dalam π , maka persamaan Cauchy Riemann
adalah syarat cukup agar π(π§) analitik dalam π .
Fungsi π’ π₯, π¦ dan π£(π₯, π¦) seringkali dinamakan fungsi sekawan. Jika sal
ah satu dari padanya diberikan maka kita dapat menentukan yang lainnya (terlepas
dari suatu konstanta penjumlahan sebarang) sehigga π’ + ππ£ = π(π§) analitik.
Adapun bentuk polar dari persamaan Cauchy-Riemann, sebagai berikut:
Misalkan terdapat suatu fungsi kompleks π π§ = π’ π, π + ππ£(π, π) dengan π§ = ππ ππ
=
π(cos π + π sin π), dimana π’ = π, π = π cos π dan π£ = π sin π. Sehingga
ππ’
ππ
= cos π dan
ππ£
ππ
= π cos π
ππ£
ππ
= sin π dan
ππ’
ππ
= βπ sin π
Maka
ππ’
ππ
=
1
π
ππ£
ππ
dan
1
π
ππ’
ππ
= β
ππ£
ππ
, π β 0
Dan πβ²
π§ = (cos π0 β π sin π0) π’ π π0, π0 + π π£π(π0, π0)
10. Contoh 5.3
Buktikan bahwa fungsi πβ²(π§) ada untuk setiap z dari fungsi berikut :
a. π π§ = ππ§ + 5 b. π π§ = π§2
+ 5ππ§ + 3 β π
a. π π§ = ππ§ + 5 = π π₯ + ππ¦ + 5 = 5 β π¦ + π π₯ , sehing
ga π’ π₯ = 0, π’ π¦ = β1 dan π£ π₯ = 1, π£ π¦ = 0
Jadi π’ π₯, π’ π¦, π£ π₯, πππ π£ π¦ ada dan kontinu di setiap titik (x, y
).
Syarat Cauchi-Riemann(C-R), yaitu:
π’ π₯ = π£ π¦ dan π’ π¦ = βπ£ π₯ juga dipenuhi. Sehingga menurut
teorema, maka πβ²(π§) ada untuk setiap π§, yaitu πβ²
π§ =
π’ π₯ + ππ£ π₯ = 0 + π. 1 = π.
b. π π₯, π¦ = π₯ + ππ¦ 2
+ 5π π₯ + ππ¦ + 3 β π
= π₯2
β π¦2
+ 2π₯ππ¦ + 5ππ₯ β 5π¦ + 3 β π
= π₯2
β π¦2
β 5π¦ + 3 + π(2π₯π¦ + 5π₯ β 1),
Sehingga diperoleh fungsi:
π’ π₯, π¦ = π₯2
β π¦2
β 5π¦ + 3 dan π£ π₯, π¦ = 2π₯π¦ + 5π₯
β 1
ππ’
ππ₯
= 2π₯ dan
ππ’
ππ¦
= β2π¦ β 5
ππ£
ππ₯
= 2π¦ + 5 dan
ππ’
ππ¦
= 2π₯
Jadi
ππ’
ππ₯
,
ππ’
ππ¦
,
ππ£
ππ₯
, dan
ππ£
ππ¦
ada dan kontinu di setiap titik
(x,y).
Memenuhi syarat Cauchy-Riemann(C-R), yaitu:
ππ’
ππ₯
=
ππ£
ππ¦
dan
ππ’
ππ¦
= β
ππ£
ππ₯
Jadi πβ²
π§ =
ππ’
ππ₯
+ π
ππ£
ππ₯
= 2π₯ + π 2π¦ + 5 = 2π§ + 5π.
11. Contoh 5.3
Diketahui π π§ = π§β3
. Tentukan πβ²(π§) dalam bentuk koordinat kutub!
Cara penyelesaian:
π π§ = π§β3
= πβ3
(cos 3π β π sin 3π), maka :
π’ = πβ3
cos 3π, sehingga
ππ’
ππ
= β3πβ4
cos 3π
ππ’
ππ
= β3πβ3
sin 3π
π£ = βπβ3
sin 3π, sehingga β
ππ£
ππ
= β3πβ4
sin 3π
ππ£
ππ
= β3πβ3
cos 3π
Sehingga fungsi ini kontinu dan syarat Cauchy Riemann dipenuhi untuk semua
π§ β 0.
Jadi π π§ = π§β3
terdeferensial untuk π§ β 0.
Dengan demikian πβ²(π§) dalam koordinat kutub adalah :
πβ²
π§ = (cos 3π β π sin 3π)(β3π4
cos 3π β π 3πβ4
sin 3π)
= πππ β3π β3πβ4
πππ β3π
= β3πβ4
πππ (β6π)
12. β’ FUNGSI HARMONIK
02
π(π§) disebut fungsi harmonik di π· jika berlaku:
π2
π’
ππ₯2
+
π2
π’
ππ¦2
= 0 , πππ
π2
π£
ππ₯2
+
π2
π£
ππ¦2
= 0
Hubungan fungsi harmonik dengan Cauchy Riemann
Misal π π§ = π’ + ππ£ analitik di D
Karena π(π§) analitik maka berlaku
ππ’
ππ₯
=
ππ£
ππ¦
dan
ππ£
ππ₯
= β
ππ’
ππ¦
ππ’
ππ₯
=
ππ£
ππ¦
π
ππ₯
ππ’
ππ₯
=
π
ππ₯
ππ£
ππ¦
π2 π’
ππ₯2 =
π2 π£
ππ₯π¦
.........(1)
ππ£
ππ₯
= β
ππ’
ππ¦
π
ππ¦
ππ£
ππ₯
= β
π
ππ¦
ππ’
ππ¦
π2 π£
ππ₯π¦
=
π2 π’
ππ¦2 .........(2)
Maka, subtitusi (1) ke (2)
π2 π’
ππ₯2 = β
π2 π’
ππ¦2
π2 π’
ππ₯2 +
π2 π’
ππ¦2 = 0 (Terbukti)
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa
π2 π£
ππ₯2 +
π2 π£
ππ¦2 = 0
23. TITIK SINGULAR
οDefinisi :
Suatu titik dimana π(π§) tidak analitik dinamakan titik singular atau kesingularan π(π§).
οJenis :
1. Kesingularan terpencil (isolated singularities)
Titik π§ = π§0 dinamakan kesingularan terpencil dari π(π§) jika βπΏ > 0 sehingga
lingkaran pada π§ β π§0 = πΏ tidak memuat lagi titik singular selain π§0.
Contoh :
π π§ =
1
π§
maka π§ = π§0 = 0 merupakan titik singular terisolasi.
2. Pole
Titik π§ = π§0 dinamakan suatu pole bertingkat n jika
lim
π§βπ§0
π§ β π§0
π
π(π§) β 0 .
Jika n = 1, maka π§0 dinamakan suatu pole sederhana.
Contoh :
π π§ =
1
(π§β2)3 memiliki pole bertingkat 3 di π§ = 2.
24. TITIK SINGULAR
4. Kesingularan yang dapat dihapus
kan
Titik π§ = π§0 dinamakan kesingulara
n yang dapat dihapuskan dari π π§
jika lim
π§βπ§0
π π§ ada.
Contoh :
π π§ =
sin π§
π§
maka π π§ memiliki titi
k singular π§ = 0 .
π π§ dapat diubah menjadi fungsi
analitik sebagai berikut :
π π§ =
sin π§
π§
, π’ππ‘π’π π§ β 0
1 , π’ππ‘π’π π§ = 0
Hal tersebut dikarenakan
lim
π§β0
sin π§
π§
= 1 .
5. Kesingularan esensial
Titik π§ = π§0 yang bukan suatu
pole, titik cabang atau
kesingularan yang dapat
dihapuskan dinamakan
kesingularan esensial.
Contoh :
π π§ = π
1
(π§β2) memiliki suatu
kesingularan esensial di π§ = 2 .
3. Titik Cabang
Titik π§ = π§0 dari fungsi bernilai banyak
dinamakan titik cabang.
Contoh :
π π§ = (π§ β 3)
1
2 memiliki suatu titik cabang
di π§ = 3 .
25. TITIK SINGULAR
6. Kesingularan di tak berhingga
Titik π§ = β merupakan jenis kesingularan dari π π§ yang dinamakan dengan kesingularan
di tak berhingga, yang sama dengan π
1
π€
di π€ = 0 .
Contoh :
π π§ = π§3
memiliki suatu pole bertingkat 3 di π§ = β ,
karena π
1
π€
=
1
π€3 memiliki suatu pole bertingkat 3 di π€ = 0 .
26. Jika β π‘ dan π π‘ adalah fungsi peubah riil dengan perubah π‘
yang diandaikan kontinu pada π‘1 β€ π‘ β€ π‘2 , maka persamaan parameter
π§ = π₯ + ππ¦ = β π‘ + ππ π‘ = π§(π‘), π‘1 β€ π‘ β€ π‘2
mendefinisikan suatu kurva kontinu atau busur dalam bidang π§ , yang
menghubungkan titik-titik π = π§(π‘1) , dan π = π§(π‘2) .
KURVA
27. Jika π‘1 β π‘2 , sedangkan π§(π‘1) = π§(π‘2) , yaitu π = π , mak
a titik-titik ujungnya berimpit dan kurvanya dinamakan tertutup.
Suatu kurva tertutup yang tidak beririsan dengan dirinya sendiri
di setiap titiknya dinamakan suatu kurva tertutup sederhana.
28. CONTOH SOAL
1. Tentukan letak dan nama kesingularannya dari π π§ = sec
1
π§
dalam bidang z berhingga dan tentukan apakah kesingularannya
terpencil atau tidak.
Penyelesaian :
Karena π π§ = sec
1
π§
=
1
cos(
1
π§
)
, maka kesingularannya terjadi
bilamana cos
1
π§
= 0 , yaitu
1
π§
= 2π + 1
π
2
atau π§ =
2
(2π+1)π
dimana n = 0,Β±1, Β±2, Β±3, β¦ Juga karena π π§ tidak terdefinisi di z
= 0 maka z = 0 juga suatu kesingularan.
29. Menurut aturan LβHospital,
Jadi kesingularan π§ =
2
(2π+1)π
dimana n = 0,Β±1, Β±2, Β±3, β¦ adalah
pole bertingkat 1, yaitu pole sederhana. Perhatikan bahwa pole ini
terletak pada sumbu riil di z = π§ = Β±
2
π
, Β±
2
3π
, Β±
2
5π
, β¦ dan terdapat tak
berhingga banyaknya dalam suatu selang berhingga yang memuat
nol [lihat Gambar 3.9].
30. Karena tidak dapat ditentukan suatu bilangan bulat positif n sehingga
lim
π§βπ§0
π§ β π§0
π
π(π§) β 0 maka z = 0 memuat titik singular lain selain dari
pada z = 0 walaupun bagaimana kecilnya pengambilan πΏ , maka kita
melihat bahwa z = 0 adalah suatu kesingularan tak terpencil.
31. 2. Buktikan bahwa π π§ =
π ππ π§
π§
di z = 0 tidak dapat menjadi suatu titik
cabang dan fungsi tersebut memiliki jenis kesingularan yang dapat dih
apuskan.
Penyelesaian :
Dilihat sepintas, mungkin z = 0 adalah suatu titik cabang. Untuk mengu
ji ini, misalkan π§ = ππ ππ = ππ π(π+2π) dimana 0 β€ π < 2π .
Jika π§ = ππ ππ , maka π π§ =
sin( ππ
ππ
2 )
ππ
ππ
2
Jika π§ = ππ π(π+2π)
, maka π π§ =
sin( ππ
ππ
2 π ππ)
ππ
ππ
2 π ππ
=
sin(β ππ
ππ
2 )
β ππ
ππ
2
=
sin( ππ
ππ
2 )
ππ
ππ
2
32. Jadi terdapat hanya tepat satu cabang untuk fungsi tersebut, dan z
= 0 tidak dapat menjadi suatu titik cabang.
Karena lim
π§β0
sin π§
π§
= 1 , maka ini mengakibatkan z = 0 adalah suatu
kesingularan yang dapat di hapuskan.
33. 3. Tunjukkan bahwa π π§2
memiliki suatu kesingularan esensial di tak
berhingga.
Penyelesaian :
π π§ = π π§2
memiliki suatu kesingularan esensial di π§ = β , karena
π
1
π€
= π(
1
π€
)2
= π
1
π€2 singular (bukan fungsi analitik) di π€ = 0 .
34. OPERASI β OPERASI YANG MENGGUNAKAN OPERATOR
Operator β (del) dan (del bar) didefinisikan sebagai berikut :
39. SIFAT-SIFAT OPERATOR DIFERENSIAL KOMPLEKS
1. grad (Aβ+Aβ) = grad Aβ + grad Aβ
2. div (Aβ+Aβ) = div Aβ + div Aβ
3. curl (Aβ+Aβ) = curl Aβ + curl Aβ
4. grad (AβAβ) = Aβ (grad Aβ)+ Aβ grad Aβ
5. curl (grad A) = 0, jika A riil atau lebih umum lagi jika I
m(A) harmonik
6. div (grad A) = 0, jika A imajiner atau lebih umum lagi
jika Re(A) harmonik
40. CONTOH SOAL
1.
Jika F(x,y) = c adalah suatu kurva di bidang xy, dimana c
adalah suatu konstanta dan F mempunyai turunan kontinu
, maka tunjukkan bahwa
adalah suatu vektor normal pada kurva tersebut.
41. Penyelesaian :
Karena F(x,y) = C maka ππΉ =
ππΉ
ππ₯
ππ₯ +
ππΉ
ππ¦
ππ¦ = 0 . per
nyataan ini dapat dituliskan dalam bentuk
ππΉ
ππ₯
+ π
ππΉ
ππ¦
β
ππ₯ + πππ¦ = 0. Hal ini menunjukkan bahwa kedua ko
mponen tersebut saling tegak lurus dimana ( ππ₯
42. 2.
Misalkan C adalah kurva dalam bidang xy
yang didefinisikan 3x2y - 2y3 = 5x4y2- 6x2.
Tentukan suatu vektor normal satuan pada
C di titik (1,-1).
43. Penyelesaian :
Misalkan F(x,y) = 3x2y - 2y3 - 5x4y2+ 6x2 = 0
Vektor normal di titik (1,-1) adalah
π»F =
ππΉ
ππ₯
+ π
ππΉ
ππ¦
=
π 3xΒ²
y β 2yΒ³
β 5xβ΄
yΒ²
+ 6xΒ²
ππ₯
+ π
π 3xΒ²
y β 2yΒ³
β 5xβ΄
yΒ²
+ 6xΒ²
ππ¦
= 6π₯π¦ β 20π₯Β³π¦Β² + 12π₯ + π 3π₯Β² β 6π¦Β² β 10π₯β΄π¦
π»F 1, β1 = β14 + 7i
Vektor satuan normal di titik (1,-1) adalah
β14+7i
β14+7i
=
β14+7i
7 5
=
β2+π
5