Bahan Ajar Kelas X SMA Bangun Insan Mandiri Medan

1. BAB
Bentuk Pangkat, Akar,
dan Logaritma
Sendalku Mana (Ponten)
Tujuan
Peta
Konsep
Pangkat
Bulat
Notasi
Ilmiah
Pangkat
Pecahan
Bentuk
Akar
Logaritma
Sifat
Logaritma

2. Sendalku Mana (Ponten)
Tujuan
Memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma
sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan
diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya
Menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar
berupa eksponen dan logaritma serta menyelesaikannya
menggunakan sifat-sifat dan aturan yang telah terbukti
kebenarannya.
Bersikap religius, kerja sama dan peduli

3. PETA KONSEP
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
Pangkat
Pecahan
Bentuk
Akar
LogaritmaPangkat Bulat
Pangkat bulat positif
Pangkat bulat negatif
dan nol
Notasi ilmiah
Sifat-sifat bilangan
berpangkat
Persamaan
eksponen
Sifat-sifat
operasi aljabar
bentuk akar
Akar kuadarat
suatau bilangan
Menyederhanak
an bentuk akar
Defisi
logaritma
Sifat-sifat
logaritma
Sendalku Mana (Ponten)

4. 1.1.1 Pangkat Bulat Positif
Definisi
Jika 𝑎 bilangan real (𝑎 ∈ 𝑅)dan n bilangan bulat
positif (𝑎 ∈ 𝐵+
), maka 𝑎n ditentukan oleh:
𝑎n = 𝑎 x 𝑎 x 𝑎 x . . . x𝑎
n faktor yang sama
dengan 𝑎 disebut bilangan pokok dan n disebut
pangkat.
1.1 Pangkat Bulat
Sendalku Mana (Ponten)

5. Contoh 1
a. 6 x 6 x 6 x 6 x 6
b. (
2
5
) x (
2
5
) x (
2
5
)
Jawab:
a. 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 (karena angka 6 ada 5
buah)
b. (
2
5
) x (
2
5
) x (
2
5
) = (
2
5
)3
karena (
2
5
) ada 3 buah
Sendalku Mana (Ponten)

6. 1.1.2 Pangkat Bulat Negatif dan Nol
Secara umum bilangan bulat negatif dan nol ditentukan
sebagai berikut.
• Jika 𝑎 ≠ 0, 𝑎 bilangan real, dan n bilangan bulat
positif maka:
𝑎-n =
1
𝑎n = dan 𝑎0 = 1
• Untuk 𝑎 = 0, maka pangkat 0 tak mempunyai arti,
karena 0 0 tak terdefinisi.
Sendalku Mana (Ponten)

7. Contoh 4
Tuliskan bentuk berikut ini dalam bentuk tanpa
eksponen.
a. 40
b. (
1
4
)-2
Jawab:
a. 40
= 1 b. (
1
4
)
-2
=
1
1
4
2
= (4)
2
= 16
Sendalku Mana (Ponten)

8. Sendalku Mana (Ponten)
Siapa Berani ??
1. a3.a5
2. a7 : a2
3. (a3b6c4)2
4. (a8 : a6)3

9. 1.1.3 Notasi Ilmiah (Bentuk Baku)
Bentuk baku suatu bilangan dapat dituliskan dalam
bentuk:
𝑎 𝑋 10n , 1 ≤ 𝑎 < 10 dan n bilangan bulat tidak 0.
Contoh 7
a. 165.000.000.000 b. 0,0000000175
Jawab:
a.165.000.000.000 = 1,65 x 10
11
b. 0,0000000175 = 1,75 x 10
-8
Sendalku Mana (Ponten)

10. 1.1.4 Sifat-Sifat Operasi Hitung pada Bilangan Berpangkat
Bulat
Untuk sembarang bilangan real 𝑎 dan b serta sembarang
bilangan bulat 𝑚 dan n :berlaku sifat-sifat berikut ini:
1. 𝑎 𝑚
. 𝑎n = 𝑎 𝑚 + 𝑛
2. (𝑎𝑏) 𝑚
= 𝑎 𝑚
𝑏 𝑚
3. (𝑎n) 𝑚
= 𝑎 𝑛
.
𝑚
4.
𝑎
𝑚
𝑎
𝑛
.
= 𝑎 𝑚 − 𝑛
dengan 𝑚 > n dan 𝑎 ≠ 0
5.
𝑎
𝑚
𝑎
𝑛
.
=
1
𝑎
𝑚− 𝑛 dengan 𝑚 < n dan 𝑎 ≠ 0
6. (
𝑎
𝑏
) 𝑚
=
𝑎
𝑚
𝑏
𝑚
.
dengan 𝑏 ≠ 0
7. 𝑎0 = 1 dengan 𝑎 ≠ 0
8. 𝑎-n
=
1
𝑎
𝑛 dengan 𝑎 ≠ 0
Sendalku Mana (Ponten)

11. Contoh 8
Sederhanakanlah setiap bentuk aljabar berikut ini.
Jawab
a. 𝑥5 . 𝑥−1 = 𝑥5+ −1
= 𝑥4
b. (𝑎
2
𝑏
− 3
)
-4
= (𝑎
2
)
−4
(𝑏
− 3
)
-4
=𝑎 −
8
𝑏
12
=
𝑏
12
𝑎
8
.
C .
𝑥8
𝑥4 = 𝑥8−4
= 𝑥5
a. 𝑥5 . 𝑥−1
b. (𝑎
2
𝑏
− 3
)
-4
c.
𝑥8
𝑥4
Sendalku Mana (Ponten)

12. Contoh 12
(Penyederhanaan bentuk aljabar)
Sederhanakan.
𝑚
-2
+ n - k -1
Jawab:
𝑚-2 + n - k -1
=
1
𝑚
2
.
+ n -
1
𝑘
.
= k + 𝑚2n k -𝑚2
𝑚2k
Sendalku Mana (Ponten)

13. 1.1.5 Persamaan bentuk Eksponen Sederhana
Untuk 𝑎 ∈ himpunan bilangan real tidak nol, selalu
berlaku:
(i) 𝑎f( 𝑥)
= 𝑎p
, maka f( 𝑥) = P.
(ii) 𝑎
f( 𝑥)
= 𝑎
g( 𝑥)
, maka f( 𝑥) = g( 𝑥).
Contoh 17
Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan:
a. 7
𝑥
= 49
Jawab:
a. 7
𝑥
= 49 7
𝑥
= 7
2
∴ 𝑥 = 2Sendalku Mana (Ponten)

14. Contoh 18
Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut.
a. 9
3𝑥 − 4
=
1
812𝑥−5
Jawab:
a. 9
3𝑥 − 4
=
1
812𝑥−5
9
3𝑥 − 4
= 812𝑥 − 5
9
3𝑥 − 4
= (9
2
)
5-2 𝑥
3 𝑥 – 4 = 10 -4 𝑥
3 𝑥 +4 𝑥 = 10 + 4
7 𝑥 = 14
𝑥 = 2
Jadi, penyelesaiannya adalah 𝑥 = 2Sendalku Mana (Ponten)

15. 1.2 Pangkat Pecahan
Pangkat Pecahan
Jika nilai 𝑛
𝑎 ada sebagai bilangan real,
maka:
𝑎
𝑚
𝑛 = 𝑛
𝑎 𝑚 = ( 𝑛
𝑎)
𝑚
dengan 𝑚 dan n bilangan bulat positif.
Sendalku Mana (Ponten)

16. Contoh 19
Hitunglah.
a. 27
2
3
Jawab:
a. 27
2
3 = (33
)
2
3
= 32
= 9
Sendalku Mana (Ponten)

17. Contoh 21
b.
5
32
Jawab:
b.
5
32 = (32)
1
5
= (2
5
)
1
5
= 21
∴ .
5
32 = 2
Sendalku Mana (Ponten)

18. 1.3 Bentuk Akar
1.3.1 Notasi Ilmiah (Bentuk Baku)
Untuk bilangan positif 𝑚 dan n , selalu
berlaku:
1. 𝑛
𝑎 𝑛 = 𝑎 untuk 𝑎 ≥ 0
2. 𝑛
𝑎 ∙
𝑛
𝑏 = 𝑛
𝑎b untuk 𝑎 , 𝑏 ≥ 0
3.
𝑚 𝑛
𝑎 = 𝑚𝑛
𝑎
4.
𝑛 𝑎
𝑏
=
𝑛
𝑎
𝑛
𝑏
dengan 𝑏 ≠ 0
Sendalku Mana (Ponten)

19. 1.3.2 Akar Kuadrat Suatau Bilangan
A. Menarik akar kuadrat
Untuk menarik akar kuadrat suatu bilangan dapat dilakukan
dengan faktorissi prima atau metode umum.
Contoh 25
1. Faktorisasi prima
Hitunglah : 4624
Jawab:
Bilangan 4624 dijadikan perklaian faktor bilangan prima, yaitu:
4624 = 2
2
x 2
2
x 17
2
4624 = (2 x 2 x 17)
2
4624 = 2 x 2 x 17= 68
Sendalku Mana (Ponten)

20. Contoh 26
2. Metode umum
Hitunglah : 4624
Jawab:
4624 = 68
Jawab:
√46 24 = 68
6 x 6 = 36
1024
128 x 8 = 1024
0 (stop)
∴ 4624 = 68
Sendalku Mana (Ponten)

21. A. Operasi akar kuadrat suatu bilangan
sifat-sifat akar kuadrat
(i) 𝑎𝑏 = 𝑎 x 𝑏
(ii)
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
Contoh 29
Hitunglah :
a. 27 x 12
Jawab :
a. 27 x 12 = 27 𝑥 12
= 9 𝑥 3 𝑥 12
= 9 𝑥 36
= 3 x 6
∴ 27 x 12 = 18 Sendalku Mana (Ponten)

22. 1.3.3 Menyederhanakan Bentuk Akar
Contoh 34
Sederhanakan bentuk 72,
Jawab:
72 = 22 𝑥 32 𝑥 2
= 4 𝑥 9 𝑥 2
= 36 𝑥 2
= 36 x 2
∴ 72 = 6 2
Sendalku Mana (Ponten)

23. A. Bentuk akar di dalam akar
Contoh 36
Sederhanakan:
b. 3 𝑚
Jawab:
b. 3 𝑚 = 32 𝑚
= 9𝑚
=
4
9𝑚
Sendalku Mana (Ponten)

24. B. Merasionalkan penyebut berbentuk akar tunggal
Formula yang dipergunakan untuk merasionalkan penyebut berbentuk
akar tunggal adalah sebagai berikut.
(i)
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
x
𝑏
𝑏
=
𝑎 𝑏
𝑏
(ii)
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
x
𝑏
𝑏
=
𝑎𝑏
𝑏Contoh 38
Sederhanakan:
a.
6
2
b.
3
2
Jawab:
a.
6
2
=
6
2
x
2
2
b.
3
2
=
3
2
=
6 2
2
=
3
2
x
2
2
∴
6
2
= 3 2 ∴
3
2
=
1
2
x 6
Sendalku Mana (Ponten)

25. 1.3.4 Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
A. Bentuk akar di dalam akar
Radikan adalah bilangan yang diakarkan
b 𝑚
𝑎 ± c 𝑚
𝑎 = (b ± c ) 𝑚
𝑎
Dengan 𝑎, b dan c bilangan rasional positif
Indeks sama
Radikan sama Hasil
Contoh 40
Hitunglah:
a. 4 8 + 5 18
Jawab:
a. 4 8 + 5 18 = 4 22 ∙ 2 + 5 32 ∙ 2
= 4 ∙ 2∙ 2 + 5∙ 3 2
= (8+5) 2
∴ 4 8 + 5 18 = 23 2 Sendalku Mana (Ponten)

26. B. Perkalian antarbentuk akar
Dalam melakukan perkalian antarbentuk akar, kita
dapat menggunakan beberapa formula berikut ini.
(i) 𝑛
𝑎 . 𝑛
𝑎 =
𝑛
𝑎𝑏 , untuk 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0, dan 𝑛 ≥ 0
(ii) (𝑎 + 𝑏 )(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2
(iii) (𝑎 + 𝑏 )2 = (𝑎 +𝑏 ) (𝑎+𝑏 ) = 𝑎2+ 𝑏2 + 2 𝑎𝑏
(iv) (𝑎 − 𝑏 )2 = (𝑎 − 𝑏 ) (𝑎 − 𝑏 ) = 𝑎2+ 𝑏2 - 2 𝑎𝑏
(v) (𝑎 + 𝑏 )3 = 𝑎3+3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 = 𝑎3+𝑏3 + 3𝑎𝑏 (𝑎 + 𝑏 )
(vi) (𝑎 − 𝑏 )3 = 𝑎3−3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 = 𝑎3−𝑏3 - 3𝑎𝑏 (𝑎 − 𝑏 )
Sendalku Mana (Ponten)

27. Contoh 44
Sederhanakan:
a.
3
6 .
3
2
Jawab:
a.
3
6 .
3
2 =
3
6.2 =
3
12
Contoh 46
Sederhanakan:
b. ( 5 - 1) ( 5 + 3)
Jawab:
b. ( 5 - 1) ( 5 + 3) = 5 ∙ 5 + 5 ∙ 3 – 1∙ 5 - 1∙3
= 5 + 3 5 - 5 - 3
∴ ( 5 - 1) ( 5 + 3) = 2+2 5
Sendalku Mana (Ponten)

28. C. Pembagian bentuk akar
Untuk melakukan pembagian kita akan menggunakan sifat di
bawah ini.
𝑛
𝑎
𝑛
𝑏
=
𝑛 𝑎
𝑏
dengan b ≠ 0
Contoh 49
Hitunglah hasil operasi pembagian di bawah ini.
a.
42
7
Jawab:
a.
42
7
=
42
49
=
6
7
=
6
7 Sendalku Mana (Ponten)

29. C. Menarik akar dalam akar suku dua
Jika 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0, dan 𝑐 ≥ 0, maka:
(i) 𝑎 + 𝑏 + 2 𝑎𝑏 = 𝑎 + 𝑏
(ii) 𝑎 + 𝑏 − 2 𝑎𝑏 = 𝑎 - 𝑏 dengan 𝑎 > 𝑏
(iii) 𝑎 + 𝑏 𝑐 =
𝑎+𝑛
2
+
𝑎−𝑛
2
dengan 𝑛= 𝑎2 − (𝑏 𝑐)2
(iv) 𝑎 − 𝑏 𝑐 =
𝑎+𝑛
2
-
𝑎−𝑛
2
Sendalku Mana (Ponten)

30. Contoh 51
Sederhanakan:
a. 8 + 2 15
Jawab:
a. 8 + 2 15
Berdasarkan formula di atas, diperoleh:
𝑎 + 𝑏 = 8 𝑎 = 5 dan 𝑏 = 3 yang memenuhi
𝑎𝑏 = 15 kedua persamaan tersebut.
𝑎. 𝑏 = 5.3
8 + 2 15 = 5 + 3 + 2 5.3
= 5 + 3
8 + 2 15 = 5 + 3
Sendalku Mana (Ponten)

31. 1.3.5 Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan
Untuk merasionalkan penyebut, maka pembilang dan
penyebut dari pecahan itu dikalikan dengan bentuk senama
atau sekawan dari penyebut yang berbentuk akar.
1.
𝑐
𝑎+ 𝑏
=
𝑐
𝑎+ 𝑏
.
𝑎− 𝑏
𝑎− 𝑏
=
𝑐 (𝑎− 𝑏 )
𝑎2
− 𝑏
2.
𝑐
𝑎− 𝑏
=
𝑐
𝑎− 𝑏
.
𝑎+ 𝑏
𝑎+ 𝑏
=
𝑐 (𝑎+ 𝑏 )
𝑎2
− 𝑏
3.
𝑐
𝑎− 𝑏
=
𝑐
𝑎− 𝑏
.
𝑎+ 𝑏
𝑎+ 𝑏
=
𝑐 ( 𝑎+ 𝑏 )
𝑎−𝑏
4.
𝑐
𝑎+ 𝑏
=
𝑐
𝑎+ 𝑏
.
𝑎− 𝑏
𝑎− 𝑏
=
𝑐 ( 𝑎+ 𝑏 )
𝑎−𝑏
Sendalku Mana (Ponten)

32. Contoh 53
Rasionalkan penyebut masing-masing pecahan berikut ini.
a.
7
3+2
Jawab:
a.
7
3+2
=
7
3+2
.
3−2
3−2
=
7( 3−2)
3−4
= −7( 3 − 2)
∴
7
3+2
= −7 3 − 14
Sendalku Mana (Ponten)

33. Contoh 54
b.
3+ 2
3− 2
Jawab:
b.
3+ 2
3− 2
=
3+ 2
3− 2
.
3+ 2
3+ 2
=
( 3+ 2)( 3+ 2)
3−2
=
3+ 2+2+ 6
1
∴
3+ 2
3− 2
= 5+2 6
Sendalku Mana (Ponten)

34. 1.4 Logaritma
1.4.1 Definisi Logaritma
𝑦 = 𝑏 𝑥 𝑏log 𝑦, dibaca:
𝑦 = 𝑏 𝑥, jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑏log 𝑦, dengan 𝑥, 𝑏, dan 𝑦
Sembarang bilangan real, 𝑏 ≠ 1, 𝑏 > 1, dan 𝑦 > 0
Pada penulisan 𝑏log 𝑦, 𝑏 disebut bilangan pokok logaritma
dan 𝑦 disebut bilangan yang dilogaritma. Jika bilangan
pokok bernilai 10, maka bilangan pokok 10 biasanya tidak
ditulis, misalnya 10 log 𝑦 = log 𝑦 . Jika bilangan pokoknya 𝑒
(bilangan Euler, 𝑒= 2,718281828….), maka logaritmanya
ditulis In (dibaca “ion” merupakan logaritma natural),
misalnya 𝑒 log 𝑦 = In 𝑦.
Sendalku Mana (Ponten)

35. Contoh 58
Ubahlah ke bentuk logaritma.
a. 34 = 81
Jawab:
a. 34 = 81 3log 81 = 4
Tulislah persamaan di bawah ini dalam bentuk eksponen
a.4 log 16 = 2
Jawab:
a. 4 log 16 = 2 42 = 16
Hitunglah:
a. 2 log 32
Jawab:
a.2 log 32 = 𝑚 2 𝑚 = 32
2 𝑚 = 32
𝑚 = 5
Jadi, 2 log 32 = 5
Contoh 59
Contoh 60
Sendalku Mana (Ponten)

36. 1.4.2 Sifat-Sifat Logaritma
A. Logaritma dari perkalian (The multiplication rule)
𝑏 log (𝑥. 𝑦) = 𝑏 log 𝑥 + 𝑏 log 𝑦
Dengan 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, 𝑥 > 0, dan 𝑦 > 0
B. Logaritma dari pembagian (The division rule)
𝑏 log (𝑥. 𝑦) = 𝑏 log 𝑥 + 𝑏 log 𝑦
Dengan 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, 𝑥 > 0, dan 𝑦 > 0
Sendalku Mana (Ponten)

37. Contoh 61
Hitunglah nilai dari log 20 + log 30 – log 6.
Jawab:
log 20 + log 30 –log 6 = log
20.30
6
= log 100
= 2
Contoh 62
Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, hitunglah:
a. log 50
Jawab:
a. log 50 = log
100
2
= log 100 – log 2
= 2 - 0,3010
= 1,6990
Sendalku Mana (Ponten)

38. C. Logaritma dari perpanjangan (The power rule)
𝑏 log 𝑥 𝑝 = 𝑝 . 𝑏 log 𝑥 dengan 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ dan1, 𝑥 > 0
Lima sifat logaritma
Untuk 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, dan 𝑐> 0 , selalu berlak
(i) 𝑏log 𝑏 𝑛 = 𝑛 (iv) 𝑏
𝑚
log 𝑐 𝑛 =
𝑛
𝑚
𝑏log 𝑐
(ii) 𝑏log 𝑏 = 1 (v) 𝑏log 𝑎 = 𝑏
𝑚
log 𝑎 𝑛
(iii) 𝑏log 1= 0
Sendalku Mana (Ponten)

39. Contoh 67
Hitunglah.
a. 3log (27 . 243)
Jawab:
a. 3log(27 . 243) = 3log (33 . 35)
= 3log 33+5
= 3log 38
= 8.3log 3
= 8.1
= 8
Sendalku Mana (Ponten)

40. D. Mengubah basis logaritma
(i) 𝑏 log 𝑥 =
1
𝑥
log𝑏
dengan 𝑏 ≠ 1, 𝑥 ≠ 1,𝑎 > 0, 𝑏 > 0 dan 𝑥 > 0.
(ii) 𝑎 log 𝑏. 𝑏 log 𝑐 = 𝑎 log 𝑐 dengan 𝑎 ≠ 1, 𝑏 ≠ 1, 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0
Berdasarkan sifat di atas dapat pula diturunkan sifat berikut ini.
𝑏 log 𝑥 =
𝑎
log 𝑥
𝑎
log 𝑏
dengan 𝑎 ≠ 1, 𝑎 > 0, 𝑏 ≠ 1, 𝑏 > 0 dan 𝑥 > 0
Sendalku Mana (Ponten)

41. Contoh 73
Jika 9 log 8 = 𝑎 , tentukan 4 log 3
Jawab:
9log 8 = 𝑎
log 8
log 9
= 𝑎
3 log 2
2 log 3
= 𝑎
log 2
log 3
=
2𝑎
3
log 3
log 2
=
3
2𝑎
4log 3 =
log 3
log 4
=
log 3
2 log 2
=
1
2
.
log 3
log 2
=
1
2
.
3
2 𝑎
=
1
4 𝑎
∴ 4log 3 =
3
4 𝑎 Sendalku Mana (Ponten)

42. E. Perpangkatan dengan logaritma
𝑏
𝑏log 𝑥
=𝑥 dengan 𝑏 > 0,𝑏 ≠ 1 dan 𝑥 > 0
Contoh 76
Hitunglah:
c. 3
9log5
Jawab:
c. 3
9log5
= 3
32log5
= 3
3log5
1
2
= 5
1
2
∴ 3
9log5
= 5
Sendalku Mana (Ponten)

43. Sendalku Mana (Ponten)
Siapa Berani ??
a. 55log 8
b. 42log 3
c. 93log 4

44. Sendalku Mana (Ponten)