Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang penggunaan aturan sinus dan kosinus dalam menyelesaikan masalah geometri segitiga, termasuk contoh soal dan penyelesaiannya. Diberikan pula rumus untuk menghitung luas segitiga, luas dan keliling segi-n beraturan, serta contoh soal terkait.
Smart solution un matematika sma 2013 (skl 4.1 aturan sinus atau aturan kosinus)
1. Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
2. Halaman 152 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
SKL 4. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, identitas, dan rumus trigonometri dalam pemecahan masalah.
4. 1. Menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus atau kosinus.
Nilai Perbandingan Trigonometri
Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku
Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana?
π adalah sisi di depan sudut π΄
π adalah sisi di depan sudut π΅
πβ adalah sisi di depan sudut πΆ
Aturan Sinus dan Kosinus
Aturan Sinus Aturan Kosinus
βAda dua pasangan sudutβsisi yang berhadapanβ βDiketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudutβ
sisi β sudut β sudut
(diketahui satu sisi dan
dua sudut)
sisi β sisi β sudut
(diketahui dua sisi dan
satu sudut di depannya)
sisi β sudut β sisi
(diketahui dua sisi dan
sudut yang diapitnya)
sisi β sisi β sisi
(diketahui ketiga sisi
segitiga)
π
sin π΄
=
π
sin π΅
=
π
sin πΆ
π2
= π2
+ π2
β 2ππ cos π΄
β cos π΄ =
π2
+ π2
β π2
2ππ
Luas Segitiga
alas β tinggi
πΏ =
1
2
(π Γ π‘)
sisi β sudut β sisi
πΏ =
1
2
ππ sin πΆ
satu sisi dan semua sudut
πΏ =
1
2
π2 sin π΅ sin πΆ
sin π΄
sisi β sisi β sisi
πΏ = βπ (π β π)(π β π)(π β π)
dimana π =
1
2
(π + π + π)
sin πΆ =
π‘
π
β π‘ = π sin πΆ
a
sin A
=
b
sin B
β π =
π sin π΅
sin π΄
πΆπ΅
ππ
π
π΄
π‘
π
ππ
π
πΆ
π
π
πΆπ΅
π
π΄
πΆπ΅
π
π΅
π π
?
? π
?
π
π΄
ππ
π
?
3. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 153
Luas Segitiga
sisi β sudut β sisi
πΏ =
1
2
ππ sin πΆ
Luas Segi-n Beraturan
Misal segidelapan beraturan.
Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki.
Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar
360Β°
8
= 45Β°.
Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.
Luas dan Keliling
Segi-n Beraturan
sudut pusat =
πππΒ°
π
πΏ = π β
1
2
π2
sin (
360Β°
π
)
πΎ = ππβ2 (1 β cos (
360Β°
π
))
πΆ
π
π
ππ
360Β°
π
ππ
4. Halaman 154 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Aturan Sinus dan Aturan Kosinus:
Segitiga punya tiga unsur atau komponen penyusun, yaitu 3 sisi dan 3 sudut. Untuk menyelesaikan masalah
segitiga dengan aturan sinus atau kosinus maka perlu diperhatikan acuan sebagai berikut:
Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 3 sisi dan 1 sudut, maka penyelesaiannya adalah
harus menggunakan aturan kosinus.
Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 2 sisi dan 2 sudut, maka penyelesaiannya adalah:
- Jika masing-masing sisi dan sudut saling berhadapan, maka harus menggunakan aturan sinus.
- Jika masing-masing sisi dan sudut tidak saling berhadapan, maka periksa dulu apakah:
o Diketahui dua sudut, maka penyelesaiannya harus mencari sudut ketiga dulu menggunakan sifat
sudut segitiga 180Β°, dan dilanjutkan menggunakan aturan sinus.
o Diketahui satu sudut, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari satu
sisi yang lain, lalu dilanjutkan dengan aturan sinus. (Atau apabila ada satu pasangan sisi sudut yang
berhadapan, bisa menggunakan aturan sinus dulu untuk menentukan pasangan sudut yang lain, lalu
menggunakan sifat sudut segitiga 180Β°)
Atau bisa digambarkan seperti berikut:
Periksa jumlah komponen
yang diketahui dan ditanyakan
3 sisi dan 1 sudut 2 sisi dan 2 sudut
Periksa!
Gunakan aturan kosinus Apakah kedua pasangan
sisi dan sudut tersebut
saling berhadapan
Saling berhadapan Ada yang tidak berhadapan
Periksa!
Gunakan aturan sinus Berapa jumlah sudut
yang diketahui
Dua sudut Satu sudut
Cari sudut ketiga, lalu Gunakan aturan kosinus
gunakan aturan sinus dilanjutkan dengan
aturan sinus
6. Halaman 156 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan luas segi-n beraturan.
Contoh Soal:
Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah β¦.
a. 192 cm2
b. 172 cm2
c. 162 cm2
d. 148 cm2
e. 144 cm2
Penyelesaian:
Ingat luas segitiga:
sisi β sudut β sisi
πΏ =
1
2
ππ sin πΆ
Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari luas salah satu segitiga
penyusun segi-12 beraturan tersebut.
Perhatikan βπ΄ππ΅,
πΏβπ΄ππ΅ =
1
2
ππ΄ ππ΅ sin β π΄ππ΅
=
1
2
β 8 β 8 β sin30Β°
= 32 β
1
2
= 16 cm2
Jadi, luas segi-12 beraturan adalah:
πΏ π πππβ12 πππππ‘π’πππ = 12 Γ πΏβπ΄ππ΅
= 12 β 16
= 192 cm2
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Ingat luas segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar π adalah:
πΏ π πππβπ πππππ‘π’πππ = π β
1
2
π2
sin
360Β°
π
= 12 β
1
2
β 82
β sin 30Β° = 192 cm2
8
8
π
O
A
B
πΆ
π
π
7. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 157
Menentukan keliling segi-n beraturan.
Contoh Soal:
Keliling segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah β¦.
a. 96β2 + β3 cm
b. 96β2 β β3 cm
c. 8β2 + β3 cm
d. 8β2 β β3 cm
e. β128 β β3 cm
Penyelesaian:
Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari panjang keliling pada
salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut, yaitu panjang sisi π΄π΅.
Perhatikan βπ΄ππ΅,
Diketahui 2 sisi dan 1 sudut ditanyakan 1 sisi π΄π΅. (3 sisi dan 1 sudut)
Pasti berlaku aturan kosinus:
π΄π΅2
= π2
+ π2
β 2 π π cos π
= (8)2
+ (8)2
β 2(8)(8) cos 30
= 64 + 64 β 128 β
1
2
β3
= 128 β 64β3 cm
Jadi,
π΄π΅ = β128 β 64β3 cm
Sehingga, keliling segi-12 beraturan adalah
πΎπ πππβ12 πππππ‘π’πππ = 12 Γ π΄π΅
= 12β128 β 64β3 cm
= 12 Γ β64β2 β β3 cm
= 12 Γ 8β2 β β3 cm
= 96β2 β β3 cm
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Ingat keliling segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar π adalah:
πΎπ πππβπ πππππ‘π’πππ = ππβ2(1 β cos π) = 12 β 8 β β2 (1 β
1
2
β3) = 96β2 β β3 cm
π = 8
π = 8
π
O
A
B
8. Halaman 158 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan volume bangun ruang menggunakan aturan sinus atau kosinus.
Contoh Soal:
Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan
panjang rusuk π΄π΅ = 6 cm, π΅πΆ = 3β7 cm, dan π΄πΆ = 3 cm.
Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah β¦.
a. 55β2 cm3
b. 60β2 cm3
c. 75β3 cm3
d. 90β3 cm3
e. 120β3 cm3
Penyelesaian:
Perhatikan prisma tegak segitiga ABC.DEF berikut:
Perhatikan βπ΄π΅πΆ,
Ingat lagi tentang luas segitiga,
alas β tinggi
πΏ =
1
2
(π Γ π‘)
sisi β sudut β sisi
πΏ =
1
2
ππ sin πΆ
satu sisi dan semua sudut
πΏ =
1
2
π2 sin π΅ sin πΆ
sin π΄
sisi β sisi β sisi
πΏ = βπ (π β π)(π β π)(π β π)
dimana π =
1
2
(π + π + π)
Ternyata kita bisa menggunakan rumus πΏ = βπ (π β π)(π β π)(π β π).
Yang jadi masalah adalah ada sisi yang memuat bentuk akar. Repot deh perkaliannya nanti.
Pilih saja rumus luas segitiga yang πΏ =
1
2
ππ sin πΆ, dengan catatan kita harus tahu salah satu sudut dari
segitiga tersebut.
Akan dicari salah satu sudut segitiga (misalkan β π΅), dengan diketahui 3 sisi segitiga. (3 sisi dan 1 sudut)
Pasti berlaku aturan kosinus, yaitu:
π΄πΆ2
= π΄π΅2
+ π΅πΆ2
β 2 π΄π΅ π΅πΆ cos π΄π΅
FD
E
B
C
A
FD
E
B
C
A
A
B
C
6 cm
3 cm
3β7 cm
π‘
π
ππ
π
πΆ
π
π
πΆπ΅
π
π΄
9. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 159
Sehingga,
π΄πΆ2
= π΄π΅2
+ π΅πΆ2
β 2 π΄π΅ π΅πΆ cos π΅ β cos π΅ =
π΄π΅2
+ π΅πΆ2
β π΄πΆ2
2 β π΄π΅ β π΄πΆ
=
(6)2
+ (3β7)
2
β (3)2
2(6)(3β7)
=
36 + 63 β 9
36β7
=
90
36β7
=
5
2β7
Jadi,
cos π΅ =
5
2β7
Nilai kosinus tersebut bisa dinyatakan pada segitiga siku-siku berikut,
Sehingga akan diperoleh nilai sinus dari β π΅,
sin π΅ =
β3
2β7
Dari nilai sinus β π΅ dan panjang sisi π΄π΅ dan π΅πΆ dan rumus luas segitiga πΏ =
1
2
ππ sin πΆ diperoleh luas
segitiga π΄π΅πΆ, yaitu:
πΏβπ΄π΅πΆ =
1
2
π΄π΅ π΅πΆ sinβ π΅
=
1
2
(6)(3β7) (
β3
2β7
)
=
9
2
β3 cm2
Jadi, volum prisma tersebut adalah:
π = πΏπ Γ π‘
= πΏβπ΄π΅πΆ Γ π‘
=
9
2
β3 Γ 20
= 90β3 cm3
B
5
2β7
β3
10. Halaman 160 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, maka
luas segienam beraturan tersebut adalah ....
A. 150 satuan luas
B. 2150 satuan luas
C. 3150 satuan luas
D. 300 satuan luas
E. 2300 satuan luas
2. Panjang jari-jari lingkaran luar segidelapan beraturan adalah 6 cm. keliling segidelapan tersebut adalah ....
A. 06 22 ο cm
B. 12 22 ο cm
C. 36 22 ο cm
D. 48 22 ο cm
E. 72 22 ο cm
3. Luas segi-12 beraturan adalah 192 cm2
. Keliling segi-12 beraturan tersebut adalah ....
A. 96 32 ο« cm
B. 96 32 ο cm
C. 8 32 ο« cm
D. 8 32 ο cm
E. 3128ο cm
4. Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ....
A. 3432 cm
B. 432 cm
C. 3216 cm
D. 2216 cm
E. 216 cm
Jika adik-adik butuh βbocoranβ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
πΏ π πππβπ =
π
2
π2
sin
360Β°
π
β πΏ π πππβ6 =
6
2
(10)2
sin
360Β°
6
= 3 β 100 β sin 60Β°
= 300 β
1
2
β3
= 150β3
TRIK SUPERKILAT:
Karena bangunnya adalah segienam, berarti
sudut pusatnya 60Β°, sementara jari-jari
lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa
bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat
β3 yang berasal dari nilai sin 60Β°. Dari sini
tanpa menghitung kita akan tahu bahwa
jawaban yang benar hanya C saja.
π₯ = β π2 + π2 β 2 β π β π β cos
360Β°
π
πΎπ πππβπ = π β π₯ = π β (β π2 + π2 β 2 β π β π β cos
360Β°
π
) = π β (β2π2 (1 β cos
360Β°
π
))
β πΎπ πππβ8 = 8 β 6 (β2 (1 β
1
2
β2) )
= 48β2 β β2 cm
π₯
66
πΏ = 12 β
1
2
β π2
β sin(
2π
12
) β 192 = 3π2
β π2
= 64 β π = 8 cm
π₯ = β π2 + π2 β 2 β π β π β cos
360Β°
π
πΎπ πππβπ = π β π₯ = π β (β π2 + π2 β 2 β π β π β cos
360Β°
π
) = π β (β2π2 (1 β cos
360Β°
π
))
β πΎπ πππβ8 = 12 β 6 (β2(1 β
1
2
β3) )
= 96β2 β β3 cm
π₯
88
Karena bangun
segienam, maka
segitiga yang
terbentuk adalah
segitiga sama sisi.
Akibatnya semua sisi
segitiga adalah 12 cm.
12
1212
πΏ π πππβπ =
π
2
π2
sin
360Β°
π
β πΏ π πππβ6 =
6
2
(12)2
sin
360Β°
6
= 3 β 144 β sin 60Β°
= 432 β
1
2
β3
= 216β3 cm2
TRIK SUPERKILAT:
Karena segienam, berarti sudut
pusatnya 60Β°, sementara jari-jari
lingkaran luar adalah bilangan
bulat tanpa bentuk akar, jadi
jawabannya pasti memuat β3
yang berasal dari nilai sin60Β°. Dari
sini tanpa menghitung kita akan
tahu bahwa jawaban yang benar
hanya A atau C saja.