DEMONSTRASI KONTEKSTUAL MODUL 1.3 PENDIDIKAN GURU PENGGERAK
Β
Smart solution un matematika sma 2013 (skl 2.11 sudut antara dua vektor)
1. Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
3. Halaman 74 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT:
Tentukan dua vektor
Cek
Perkalian titik
Perkalian titik = 0 Perkalian titik β 0
πΌ = 90Β° Gunakan rumus cos πΌ
Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal sudut antara dua vektor, jelas
bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah besar sudut yang dibentuk antara dua vektor. Nah, vektor yang
diketahui ada tiga jenis, pertama diketahui komponen vektor, kedua diketahui vektor yang dibentuk oleh dua
titik, dan yang terakhir adalah panjang atau resultan vektor.
Langkah TRIK SUPERKILAT:
ο· Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua vektor yang membentuk sudut πΌ.
ο· Kedua, segera tentukan apakah perkalian titik kedua vektor tersebut nol. Jika benar, maka sudut πΌ pasti 90Β°! Kalau
perkalian titiknya tidak nol, maka segera tentukan panjang kedua vektor dan gunakan rumus cos πΌ yang sesuai
dengan kondisi soal.
4. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 75
LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras:
Masih ingat tripel Pythagoras?
Asyikβ¦.!
Misal vektor πβ = 3πββ 4πβ + 12πββ, maka tentukan panjang vektor πβ?
Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:
|πβ| = β32 + (β4)2 + 122 = β9 + 16 + 144 = β169 = 13
Apabila kita ingat bagaimana pola bilangan pada tripel Pythagoras, maka pengerjaan kita seperti berikut:
πβ = ππβ β ππβ + πππββ
3 4 12 (ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5)
5 12 (ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13)
13
Keterangan:
ο· Pertama, abaikan tanda negatif pada setiap komponen vektor.
Jadi kita hanya fokus untuk melihat komponen vektor πβ yaitu 3, 4, 12.
ο· Karena kita ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5. Maka 3, 4 kita sederhanakan menjadi 5.
ο· Jadi, sekarang komponen vektor semula 3, 4, 5 kini menjadi 5, 12.
Nah, karena kita ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13. Maka 5 dan 12 bisa kita sederhanakan menjadi 13.
ο· Selesai! Panjang vektor πβ adalah 13!
Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras yang sering muncul
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
8 15 17
Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras
Khusus bilangan ganjil seperti 3, 5, 7, 9, dst⦠maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut
dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!
Contoh:
32 = 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5.
Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.
52
= 25 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13,
sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13
3
4
5
5
12
13
5. Halaman 76 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar:
Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar?
Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini.
Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan.
Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu?????
Lihat konsepnya pada gambar di bawah:
Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah πβπ dan πβ π, dan misal sisi miring segitiga siku-siku
adalah π₯, maka nilai π₯ bisa ditentukan oleh:
π₯2
= (πβπ)
2
+ (πβ π)
2
β π₯ = β π2 π + π2 π
β π₯ = βπ2(π + π)
β π₯ = β π2βπ + π
β π₯ = πβπ + π
Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:
Tripel Pythagoras bentuk akar
π βπ π β π π βπ + π
Contoh:
Sekarang mari cermati contoh soal panjang vektor di bawah ini!
Misal vektor πβ = 4πββ 2πβ + 6πββ, maka tentukan panjang vektor πβ?
Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:
|πβ| = β42 + (β2)2 + 62 = β16 + 4 + 36 = β56 = β4β14 = 2β14
Apabila kita ingat pola bilangan pada tripel Pythagoras bentuk akar, maka pengerjaan kita seperti berikut:
πβ = ππβ β ππβ + ππββ (hanya lihat pada komponen vektor saja, abaikan tanda negatif)
4 2 6 (FPB dari 4, 2, dan 6 adalah 2. Ubah bilangan 4, 2, 6 menjadi 2 dikali akar berapa gituβ¦)
πβπ πβπ πβπ (jumlahkan 4 + 1 + 9)
πβ π + π + π
πβππ
π β π
π βπ
π βπ + π
bilangannya harus sama,
kalau nggak sama cari FPBnya
jumlahkan saja bilangan di dalam akar
π β π
π βπ
π₯
4β4
4β9
4β13
8
12
ο· Cari FPB dari 12 dan 8.
ο· FPBnya adalah 4.
ο· Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.
ο· Artinya 12 = 4β9 dan 8 = 4β4,
ο· Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah 4β9 + 4 = 4β13
6. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 77
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui komponen dua vektor.
Contoh Soal:
Diketahui vektor πβ = 4πβ + 2πβ + 2πββ dan πββ = 3πβ + 3πβ. Besar sudut antara vektor πβ dan πββ adalah β¦.
a. 30ο°
b. 45ο°
c. 60ο°
d. 90ο°
e. 120ο°
Penyelesaian:
πβ = 4πβ+ 2πβ + 2πββ = (
4
2
2
) β |πβ| = β42 + 22 + 22 = β16 + 4 + 4 = β24 = β4β6 = 2β6
πββ = 3πβ+ 3πβ = (
3
3
0
) β |πββ| = β32 + 32 + 02 = β9 + 9 + 0 = β18 = β9β2 = 3β2
Dengan demikian diperoleh:
cos πΌ =
πβ β πββ
|πβ||πββ|
=
(
4
2
2
) β (
3
3
0
)
2β6 β 3β2
=
(4)(3) + (2)(3) + (2)(0)
6β12
=
12 + 6 + 0
6β4β3
=
18
12β3
=
18
12β3
Γ
β3
β3
=
18β3
36
=
1
2
β3
Jadi karena cos πΌ =
1
2
β3, maka besar sudut πΌ = 30Β°
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Lihat bahwa πβ β πββ β 0, maka jelas jawaban D (90Β°) pasti salah!
Segera cari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:
πβ = 4πβ+ 2πβ + 2πββ = (
4
2
2
) = (
2β4
2β1
2β1
) β |πβ| = 2β4 + 1 + 1 = 2β6
πββ = 3πβ+ 3πβ = (
3
3
0
) = (
3β1
3β1
0
) β |πββ| = 3β1 + 1 = 3β2
Lanjutkan dengan menghitung nilai cos πΌ menggunakan rumus:
cos πΌ =
πβ β πββ
|πβ||πββ|
=
(
4
2
2
) β (
3
3
0
)
2β6 β 3β2
= ππ π‘ ππ π‘ ππ π‘ β¦
7. Halaman 78 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui beberapa titik koordinat.
Contoh Soal:
Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika π’ββ mewakili π΄π΅ββββββ dan π£β mewakili π΄πΆββββββ,
maka sudut yang dibentuk oleh vektor π’ββ dan π£β adalah β¦
a. 30ο°
b. 45ο°
c. 60ο°
d. 90ο°
e. 120ο°
Penyelesaian:
π΄π΅ββββββ = πββ β πβ = (
6
1
2
) β (
2
1
2
) = (
4
0
0
) β |π΄π΅ββββββ| = β42 + 02 + 02 = β16 + 0 + 0 = β16 = 4
π΄πΆββββββ = πβ β πβ = (
6
5
2
) β (
2
1
2
) = (
4
4
0
) β |π΄πΆββββββ| = β42 + 42 + 02 = β16 + 16 + 0 = β32 = 4β2
Dengan demikian diperoleh:
cos πΌ =
π΄π΅ββββββ β π΄πΆββββββ
|π΄π΅ββββββ||π΄πΆββββββ|
=
(
4
0
0
) β (
4
4
0
)
4 β 4β2
=
(4)(4) + (0)(4) + (0)(0)
16β2
=
16 + 0 + 0
16β2
=
16
16β2
=
1
β2
=
1
β2
Γ
β2
β2
=
1
2
β2
Jadi karena cos πΌ =
1
2
β2, maka besar sudut πΌ = 45Β°
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Lihat bahwa π΄π΅ββββββ β π΄πΆββββββ β 0, maka jelas jawaban D (90Β°) pasti salah!
Lanjutkan segera dengan mencari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:
π΄π΅ββββββ = πββ β πβ = (
6
1
2
) β (
2
1
2
) = (
4
0
0
) β |π΄π΅ββββββ| = 4 (karena komponen yang lain nol)
π΄πΆββββββ = πβ β πβ = (
6
5
2
) β (
2
1
2
) = (
4
4
0
) = (
4β1
4β1
0
) β |π΄πΆββββββ| = 4β1 + 1 = 4β2
serta hasil kali titik dari π΄π΅ββββββ β π΄πΆββββββ tidak mungkin memuat bilangan bentuk akar.
Karena panjang π΄πΆ memuat bilangan β2. Jadi feeling kita mengatakan bahwa nilai cos πΌ =
1
2
β2, dan satu-
satunya jawaban yang mengakibatkan nilai cos πΌ =
1
2
β2 adalahπΌ = 45Β°.
8. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 79
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui panjang dan resultan vektor.
Contoh Soal:
Diketahui|πβ| = 2, |πββ| = 3, dan |πβ + πββ| = β19. Besar sudut antara vektor πβ dan πββ adalah β¦.
a. 30ο°
b. 45ο°
c. 60ο°
d. 90ο°
e. 120ο°
Penyelesaian:
Ingat |πβ + πββ|
2
= |πβ|
2
+ |πββ|
2
+ 2|πβ||πββ| cos πΌ
Dengan demikian diperoleh:
| πββ + πββ|
2
= | πββ|
2
+ | πββ|
2
+ 2| πββ|| πββ| cos πΌ
β (β19)
2
= (2)2
+ (3)2
+ 2(2)(3) cos πΌ
β 19 = 4 + 9 + 12 cos πΌ
β 19 = 13 + 12 cos πΌ
β 19 β 13 = 12 cos πΌ
β 6 = 12 cos πΌ
β
6
12
= cos πΌ
β
1
2
= cos πΌ
β cos πΌ =
1
2
Jadi, karena cos πΌ =
1
2
, maka besar sudut πΌ = 60Β°
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Ingat kalau diketahui jumlah kedua vektor maka kosinus sudut antara dua vektor adalah:
cos πΌ =
|πβ + πββ|
2
β (|πβ|
2
+ |πββ|
2
)
2|πβ||πββ|
=
19 β (4 + 9)
12
=
19 β 13
12
=
6
12
=
1
2
Jadi, karena cos πΌ =
1
2
, maka besar sudut πΌ = 60Β°
9. Halaman 80 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui vektor
ο·
ο·
ο·
οΈ
οΆ
ο§
ο§
ο§
ο¨
ο¦
οο½
3
3
2
a
ο²
dan .
4
2
3
ο·
ο·
ο·
οΈ
οΆ
ο§
ο§
ο§
ο¨
ο¦
ο
οο½b
ο²
Sudut antara vektor a dan b adalah ....
A. 135Β°
B. 120Β°
C. 90Β°
D. 60Β°
E. 45Β°
2. Diketahui titik A (1, 0, β2), B (2, 1, β1), C (2, 0, β3). Sudut antara vektor AB dengan AC adalah ....
A. 30Β°
B. 45Β°
C. 60Β°
D. 90Β°
E. 120Β°
Jika adik-adik butuh βbocoranβ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
cos β (πβ, πββ) =
πβ β πββ
|π||π|
=
6 + 6 β 12
β22β29
= 0
β΄ cos π = 0 β π = 90Β°
π΄π΅ββββββ = π΅ β π΄ = (1, 0, 1)
π΄πΆββββββ = πΆ β π΄ = (1, 0, β1
cos β (π΄π΅ββββββ, π΄πΆββββββ) =
π΄π΅ββββββ β π΄πΆββββββββββββ
|π΄π΅ββββββ||π΄πΆββββββ|
=
1 + 0 β 1
β2β2
= 0
β΄ cos π = 0 β π = 90Β°
TRIK SUPERKILAT:
Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?.
Kalau nol pasti siku-siku.
Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor
sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.
ο
TRIK SUPERKILAT:
Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?.
Kalau nol pasti siku-siku.
Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor
sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.
ο