.

1. Company
LOGO
Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
§ Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β΄ ΒΑΘΜΟΥ
ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ

2. Δευτεροβάθμια εξίσωση
Company Logo
www.themegallery.com

3. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1
Άνοιξε το αρχείο:
Η ΒΕΡΑΝΤΑ.gsp

4. Company Logo
ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
Μια εξίσωση της μορφής:
αχ2
+ βχ + γ = 0 (α≠0)
λέγεται εξίσωση β΄ βαθμού.
Οι αριθμοί α,β,γ λέγονται συντελεστές, το γ
ειδικά λέγεται και σταθερός ορος ενώ πάντα
ισχύει ότι α≠0

5. Company Logo
ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ
Β΄ΒΑΘΜΟΥ
Η αχ2
+βχ+γ =0
(α≠0)
Α ΜΕΘΟΔΟΣ
ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ
ΓΙΝΟΜΕΝΟ
ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ
(Αν αβ=0 τότε
α=0 ή β = 0)
Β ΜΕΘΟΔΟΣ
ΜΕ
ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ
ΚΑΙ ΤΥΠΟ ΡΙΖΩΝ
(Δ = β2
– 4αγ)

6. Α΄ ΜΕΘΟΔΟΣ
Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο
πρώτο μέλος. Παραγοντοποιούμε την
εξίσωση και δημιουργούμε γινόμενο
παραγόντων. Με βάση την ιδιότητα:
Αν αβ = 0 τότε α=0 ή β=0
Βάζουμε κάθε παράγοντα ισο με το 0 και
λύνουμε την κάθε μια πρωτοβάθμια
εξίσωση που προκύπτει.

7. Company Logo
ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ
1 2 3
αχ2
+ βχ = 0 αχ2
+ γ = 0 αχ2
+βχ+γ = 0

8. 1. αχ2
+ βχ = 0
 αχ2
+ βχ = 0 → χ(αχ+β) = 0 →
χ=0 ή αχ+β=0 → χ=0 ή χ = -β/α
Παράδειγμα
3χ2
=6χ → 3χ2
- 6χ = 0 → χ(3χ-6)=0 →
χ=0 ή 3χ-6=0 → χ=0 ή χ= 6/3 →
χ=0 ή χ=2
▲

9. 2. αχ2
+γ = 0
 Αν α, γ ομοσημοι τότε η αχ2
+γ = 0 είναι
αδύνατη.
 Αν α, γ ετερόσημοι τότε η αχ2
+γ = 0
μετατρέπεται σε διαφορά τετραγώνων
και παραγοντοποιείται.
Παραδειγματα
1. χ2
+4 = 0 είναι αδύνατη
2. Χ2
-4 = 0→(χ-2)(χ+2) = 0→χ-2=0 ή χ+2=0
→χ=2 ή χ=-2
☻

10. 3. αχ2
+βχ+γ=0
Χρησιμοποιούμε την παραγοντοποιηση
τριωνύμου δηλ την ισότητα:
χ2
+ (α+β)χ +αβ = (χ+α)(χ+β)
και μετά κάθε παράγοντα ισο με μηδέν.
παράδειγμα
1. χ2
-8χ+12 = 0 →
(χ-2)∙(χ-6) = 0→
χ-2=0 ή χ-6=0→
χ = 2 ή χ = 6
Βρίσκω δυο αριθμούς ώστε
(-2)∙(-6)=12, (-2)+(-6)=-8 οπότε

11. Company Logo
ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ
1 2
3
4χ2
= 9
4χ2
-9 = 0
(2χ-3)(2χ+3)=0
2χ-3=0 ή
2χ+3=0 οποτε
χ = 3/2 ή
χ = -3/2
χ2
= 8χ
χ2
-8χ=0
χ(χ-8)=0
χ=0 ή χ-8=0
χ=0 ή χ=8
5χ2
– 15χ=0
5χ(χ-3)=0
5χ= 0 ή χ-3=0
χ=0 ή χ = 3

12. δ) χ2
-4χ = -4 ε) χ2
+5χ+6 = 0
χ2
-4χ + 4=0 χ2
+(2+3)χ+2∙3=0
(χ-2)2
=0 (χ+2)(χ+3) = 0
χ-2=0 χ+2 = 0 ή χ+3 = 0
χ = 2 χ = -2 ή χ = - 3

13. Company Logo
Β΄ ΜΕΘΟΔΟΣ
Δ>0 Δ=0 Δ<0
ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ: Δ = β2
– 4αγ
Η εξίσωση
έχει δυο
ρίζες άνισες
Η εξίσωση
έχει δυο
ρίζες ίσες
(διπλή ρίζα)
Η εξίσωση
δεν έχει
ρίζες
(αδύνατη)

14. Company Logo
- β + √Δ
Χ1 = ----------------
2α
Αν Δ = β2
– 4αγ > 0
οι ρίζες είναι:
ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ
- β - √Δ
Χ2 = ----------------
2α

15. Company Logo
- β
χ1 = χ2 = ---------
2α
Αν Δ = β2
– 4αγ = 0
Η διπλή ρίζα είναι:
ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ

16. Company Logo
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
5. χ(8-χ) – (3χ+1)(χ+2) = 1
4. 3χ2
– 12(χ-1) = 12
3. 3χ2
– 2(χ-1) = 2χ+1
2. -2χ2
+ χ + 6 = 0
1. 2χ2
– 3χ + 1 = 0

17. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. 2χ2
– 3χ + 1 = 0
ΛΥΣΗ
Δ= (-3)2
– 4∙2∙1 = 9-8 = 1 > 0
Οπότε έχουμε τις λύσεις
⇒
±
=
⋅
±
=
4
13
22
13
2,1x
χ1 = 4/4 = 1
χ2 = 2/4 = 1/2

18. 2. -2χ2
+ χ + 6 = 0
ΛΥΣΗ
Δ = 12
– 4∙(-2)∙6 = 1+48 = 49 > 0
οπότε έχουμε τις λύσεις:
⇒
−
±−
=
−⋅
±−
=
4
71
)2(2
491
2,1x
χ1= 6/(-4) = -3/2
χ2= -8(-4) = 2

19. 3. 3χ2
– 2(χ-1) = 2χ+1
ΛΥΣΗ
3χ2
– 2(χ-1) = 2χ+1
3χ2
-2χ+2-2χ-1 = 0
3χ2
-4χ+1=0 και Δ=(-4)2
-4∙3∙1=16-12 = 4
Οπότε έχουμε τις λύσεις:
⇒
±
=
⋅
±
=
6
24
32
44
2,1x
χ1 = 6/6 = 1
χ2 =2/6 = 1/3

20. 4. 3χ2
– 12(χ-1) = 12
ΛΥΣΗ
3χ2
– 12(χ-1) = 12
3χ2
– 12χ + 12 -12 = 0
3χ2
– 12χ = 0
3χ(χ-4) = 0
3χ=0 ή χ-4 = 0
χ =0 ή χ = 4

21. 5. χ(8-χ) – (3χ+1)(χ+2) = 1
ΛΥΣΗ
χ(8-χ) – (3χ+1)(χ+2) = 1
8χ –χ2
–(3χ2
+6χ+χ+2) = 1
8χ –χ2
–3χ2
-6χ-χ-2 -1 = 0
-4χ2
+χ – 3 = 0
4χ2
-χ+3=0 έχει
Δ = (-1)2
– 4∙4∙3 = 1-48 = -47 < 0
ΑΡΑ είναι αδύνατη

22. Το συντριβανι
Ανοίξτε το αρχείο: ΣΥΝΤΡΙΒΑΝΙ.gsp
Company Logo
www.themegallery.com

23. Company Logo
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
ΚΑΝΟΝΑΣ
Αν ρ1, ρ2 είναι οι λύσεις
της εξίσωσης:
αχ2
+βχ+γ=0 με α≠0 τότε
το τριώνυμο
παραγοντοποιείται
σύμφωνα με τον τύπο:
αχ2
+βχ+γ =α(χ-ρ1)(χ-ρ2)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
3χ2
–8χ +5 = 3(χ-2)(χ-2/3)
Αφού έχει ρίζες το 2 και
το 2/3
2χ2
+5χ+3 = 2(χ+1)(χ+3/2)
Αφου εχει ριζες το -1 και
το -3/2

24. ΤΕΛΟΣ