math_g_kat_08_-_03_apant

1. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2014-2015
Σελίδα 1 από 4
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Θεώρηµα Fermat Σχολικό Βιβλίο σελ 260
Α2. Σχολικό Βιβλίο σελ 247
Α3. α) Λ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ
ΘΕΜΑ Β
Β1. Υπολογίζουµε την f′ και έχουµε: 1e)x('f x
−= .
( ) x x x 0
f x 0 e 1 0 e 1 e e x 0′ > ⇔ − > ⇔ > ⇔ > ⇔ >
Εποµένως η f είναι γν. φθίνουσα στο ( ], 0−∞ και γν. αύξουσα στο [ )0,+∞ .
Παρουσιάζει ελάχιστο στο ) το ( )f 0 1=
Β2. ⇔−<α−β⇔β−<α−⇔β<α⇒β<α< αββα
eeee)(f)(f0
⇔
α−β
−
<⇔
α−β
−
<
αβαβ
ee
n1n
ee
1 ℓℓ 0
ee
n >
α−β
− αβ
ℓ
Β3. ( ) 0e1e)x(f xx
>=
′
−=′′ , άρα f είναι κυρτή στο ℝ
Β4. Ψάχνουµε την εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο ( )( )0,f 0
( )( )y f(0) f (0) x 0 y f(0) 0 y 1 0 y 1′ε − = − ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
Β5. Κατακόρυφη ασύµπτωτη δεν έχει αφού η f είναι συνεχής στο ℝ , εξετάζουµε για πλάγια
Ασύµπτωτη καθώς x → +∞ και x → −∞
• +∞=





−=
+∞→+∞→
1
x
e
lim
x
)x(f
lim
x
xx
, άρα δεν έχει πλάγια ασύµπτωτη καθώς x → +∞
• 11
x
e
lim
x
)x(f
lim
x
xx
−=





−=
−∞→−∞→
και [ ]=+
−∞→
x)x(flim
x
( )x
x
lim e x x 0
→−∞
− + = εποµένως y -x=
η πλάγια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f καθώς x → −∞
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ
ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ / 1Η
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8/3/2015
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΠΑΠΑΝΑΓΙΩΤΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

2. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2014-2015
Σελίδα 2 από 4
ΘΕΜΑ Γ
Γ1.
2 2 2
x x x
12 2
x f (x) f(x) e f(x) e f(x) e
c
x x x 2 x 2
′
 ′
′⋅ − −    = ⇔ = ⇔ = +      
 
για x = 2 έχουµε:
2
2
1 1 1
f (2) e e e
c c c 0
2 2 2 2
= + ⇔ = + ⇔ =
άρα
2
x
f (x) xe
x 2
= , x > 0
Γ2. ( )
2 2
x x
2 2
x x
2
1 1 2 1 x 2
f x x e e x e e
2 2 x 2 x
′
   − −
′ = ⋅ = + ⋅ =   
  
( )
2 x 0
x
1 x 2
f x 0 e 0 x 2 0 x 2
2 x
>−
′ > ⇔ > ⇔ − > ⇔ > Εποµένως έχουµε:
0 2 +∞
f΄(x) - +
f(x)
)A(f 1 min f(2) = e )A(f 2
[ )== +
→
)x(flim),2(f)A(f
0x
1 [ )+∞=








+
→
,e
2
xe
lim,e
x
2
0x
αφού f συνεχής και γν. φθίνουσα στο ( ]1A 0,2=
[ )==
+∞→
)x(flim),2(f)A(f
x
2 [ )+∞=








+∞→
,e
2
xe
lim,e
x
2
x
αφού f συνεχής και γν. αύξουσα στο [ )2A 2,= +∞
•
( )
( )
2 2
x x
2
u
x u
u
u ux 0 x 0
exe e
lim lim lim lim e
22 u
x
+ +
=
→+∞ →+∞→ →
′
= = = = +∞
′
•
2 2
x x
x x x
x x
lim e lim lim e
2 2→+∞ →+∞ →+∞
⋅ = ⋅ = +∞
Έτσι έχουµε τελικά : [ )+∞=∪= ,e)A(f)A(f)A(f 21

3. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2014-2015
Σελίδα 2 από 4
ΘΕΜΑ Γ
Γ1.
2 2 2
x x x
12 2
x f (x) f(x) e f(x) e f(x) e
c
x x x 2 x 2
′
 ′
′⋅ − −    = ⇔ = ⇔ = +      
 
για x = 2 έχουµε:
2
2
1 1 1
f (2) e e e
c c c 0
2 2 2 2
= + ⇔ = + ⇔ =
άρα
2
x
f (x) xe
x 2
= , x > 0
Γ2. ( )
2 2
x x
2 2
x x
2
1 1 2 1 x 2
f x x e e x e e
2 2 x 2 x
′
   − −
′ = ⋅ = + ⋅ =   
  
( )
2 x 0
x
1 x 2
f x 0 e 0 x 2 0 x 2
2 x
>−
′ > ⇔ > ⇔ − > ⇔ > Εποµένως έχουµε:
0 2 +∞
f΄(x) - +
f(x)
)A(f 1 min f(2) = e )A(f 2
[ )== +
→
)x(flim),2(f)A(f
0x
1 [ )+∞=








+
→
,e
2
xe
lim,e
x
2
0x
αφού f συνεχής και γν. φθίνουσα στο ( ]1A 0,2=
[ )==
+∞→
)x(flim),2(f)A(f
x
2 [ )+∞=








+∞→
,e
2
xe
lim,e
x
2
x
αφού f συνεχής και γν. αύξουσα στο [ )2A 2,= +∞
•
( )
( )
2 2
x x
2
u
x u
u
u ux 0 x 0
exe e
lim lim lim lim e
22 u
x
+ +
=
→+∞ →+∞→ →
′
= = = = +∞
′
•
2 2
x x
x x x
x x
lim e lim lim e
2 2→+∞ →+∞ →+∞
⋅ = ⋅ = +∞
Έτσι έχουµε τελικά : [ )+∞=∪= ,e)A(f)A(f)A(f 21

4. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2014-2015
Σελίδα 2 από 4
ΘΕΜΑ Γ
Γ1.
2 2 2
x x x
12 2
x f (x) f(x) e f(x) e f(x) e
c
x x x 2 x 2
′
 ′
′⋅ − −    = ⇔ = ⇔ = +      
 
για x = 2 έχουµε:
2
2
1 1 1
f (2) e e e
c c c 0
2 2 2 2
= + ⇔ = + ⇔ =
άρα
2
x
f (x) xe
x 2
= , x > 0
Γ2. ( )
2 2
x x
2 2
x x
2
1 1 2 1 x 2
f x x e e x e e
2 2 x 2 x
′
   − −
′ = ⋅ = + ⋅ =   
  
( )
2 x 0
x
1 x 2
f x 0 e 0 x 2 0 x 2
2 x
>−
′ > ⇔ > ⇔ − > ⇔ > Εποµένως έχουµε:
0 2 +∞
f΄(x) - +
f(x)
)A(f 1 min f(2) = e )A(f 2
[ )== +
→
)x(flim),2(f)A(f
0x
1 [ )+∞=








+
→
,e
2
xe
lim,e
x
2
0x
αφού f συνεχής και γν. φθίνουσα στο ( ]1A 0,2=
[ )==
+∞→
)x(flim),2(f)A(f
x
2 [ )+∞=








+∞→
,e
2
xe
lim,e
x
2
x
αφού f συνεχής και γν. αύξουσα στο [ )2A 2,= +∞
•
( )
( )
2 2
x x
2
u
x u
u
u ux 0 x 0
exe e
lim lim lim lim e
22 u
x
+ +
=
→+∞ →+∞→ →
′
= = = = +∞
′
•
2 2
x x
x x x
x x
lim e lim lim e
2 2→+∞ →+∞ →+∞
⋅ = ⋅ = +∞
Έτσι έχουµε τελικά : [ )+∞=∪= ,e)A(f)A(f)A(f 21