Pemecahan Programa Linier dengan metode simpleks

1. 2014/9/24
1
PPRROOGGRRAAMM LLIINNIIEERR
- MMEETTOODDEE SSIIMMPPLLEEKKSS -
AAuuddiittyyaa PPuurrwwaannddiinnii SSuuttaarrttoo,, PPhhDD
METODE SSIIMMPPLLEEKKSS –
PPEENNDDAAHHUULLUUAANN & SSYYAARRAATT

2. 2014/9/24
2
MMEETTOODDEE SSIIMMPPLLEEKKSS
 Metode Simpleks merupakan upaya menerjemahkan definisi
geometris dari titik ekstrim/vertex menjadi definisi aljabar.
 Metode Simplek adalah suatu prosedur iterative/berulang.
 Berawal dari suatu vertex/titik pojok suatu daerah layak ,
setiap iterasi membawa kita menuju titik ekstrim layak lain
dengan nilai fungsi obyektif yang terus lebih baik (meningkat
untuk masalah maksimasi dan menurun untuk masalah
minimasi).
 Proses atau Iterasi berhenti sampai solusi optimal tercapai.
BBEENNTTUUKK BBAAKKUU MMAASSAALLAAHH LLPP
 Suatu masalah LP harus dibawa ke dalam
bentuk standar yang memiliki sifat sebagai
berikut:
1. Fungsi obyektifnya berbentuk maksimasi atau
minimasi
2. Semua variabel adalah non negatif.
3. Semua konstrain linier nya dapat ditulis sedemikian
rupa sehingga variabel yang terlibat kurang dari
atau sama dengan suatu konstanta non negatif.

3. 2014/9/24
3
AA.. KKOONNSSTTRRAAIINN//BBAATTAASSAANN//KKEENNDDAALLAA
 Suatu pertidaksamaan perlu diubah menjadi sebuah
persamaan dengan menambahkan variabel slack ke
(mengurangkan variabel surplus dari) sisi kiri konstrain
tersebut
Misal konstrain
Kita tambahkan slack s1 ≥ 0 ke sisi kiri untuk memperoleh
persamaan
Lalu konstrain
2 6 1 2 x  x 
2 6 0 1 2 1 1 x  x  s  s 
3 2 3 5 1 2 3 x  x  x 
Kita mengurangkan variabel surplus s2 ≤ 0 dari sisi kiri untuk
memperoleh persamaan
3 2 3 5, 0 1 2 3 2 2 x  x  x  s  s 
 Sisi kanan dari sebuah persamaan dapat selalu dibuat non
negatif dengan mengalikan kedua sisi dengan -1.
2 3 7 5 2 3 7 5 1 2 3 1 2 3 x  x  x     x  x  x 
 Arah pertidaksamaan dibalik ketika kedua sisi dikalikan
dengan -1
2 5 2 5 1 2 1 2 x  x     x  x 

4. 2014/9/24
4
Tinjauan Grafis Variabel Slack
KKoonnssttrraaiinn ke-3
x1 + x2 == 88 KKoonnssttrraaiinn
x1
7
Solusi Optimum
ppeerrttaammaa
x1 = 6
s1 = 1
KKoonnssttrraaiinn kedua:
2x1 + 3x2 = 19
s2 = 0
x1
x2
8
7
6
5
4
3
2
1
s3 = 0
SSoolluussii OOppttiimmuumm
(x1 = 5, x2 = 3)
11 22 33 44 55 66 77 8 99 1100
BB.. VVAARRIIAABBEELL
 Variabel yang tidak dibatasi (tidak terbatas) dapat
diekspresikan dalam bentuk dua variabel non negatif dengan
menggunakan substitusi
    ,   0 i i i i i y y y y y
 Substitusi harus diberlakukan di semua konstrain dan dalam
fungsi tujuan

5. 2014/9/24
5
CC.. FFUUNNGGSSII TTUUJJUUAANN
 Walaupun model LP standar dapat berbentuk maksimasi atau
minimasi, konversi dari satu bentuk ke bentuk lainnya
kadang-kadang berguna. Maksimasi sebuah fungsi adalah
setara dengan minimasi negatif dari fungsi yang sama, dan
dengan demikian pula sebaliknya
Maksimumkan
1 2 3 Z  5x  2x  3x
Secara matematis adalah setara dengan
Minimumkan
  1 2 3  Z  5x  2x  3x
CCoonnttoohh
 Ubahlah model LP berikut ke dalam bentuk baku
Maksimasi
Z  9x 18x
1 2 Subject to (dengan syarat)
6 3 18 1 2 x  x 
2 2 16 1 2 x  x 
, tidak terbatas, 0 1 2 x x 
 Maka bentuk baku nya adalah
Maksimasi
Subject to (dengan syarat)
1 1 2 1 2 Z  9x   9x  18x  0s  0s
     
6 x 6 x 3 x s
18
1 1 2 1
     
2 x 2 x 2 x s
16
1 1 2 2
  
, , , , 0
x x x s s
1 1 2 1 2

6. 2014/9/24
6
MMAASSAALLAAHHMMAAKKSSIIMMAASSII
Menyusun Tabel SSiimmpplleekk AAwwaall
1. Ubahlah pertidaksamaan sistem linier
kedalam suatu persamaan sistem linier
dengan menambahkan variabel slack.
2. Tulis ulang fungsi obyektif
1 1 2 2 n n P  c x  c x   c x
kedalam bentuk
1 1 2 2 0 n n c x  c x    c x  P 
dimana semua variabel di sisi kiri dan
koefisien Z adalah +1. Tulislah persamaan ini
dibawah persamaan dalam step 1.
3. Tuliskan augmented matrix (matriks
diperbesar) yang terkait dengan persamaan
sistem linier.

7. 2014/9/24
7
CCoonnttoohh:MMaassaallaahh PPrroodduukkssii
 Diberikan suatu masalah maksimasi sebagai berikut
Z  x 1,2x atau ekuivalen dengan Z  x  6 x
subject to
1 2 1 5 2
2 180 1 2 x  x 
3 300 1 2 x  x 
, 0 1 2 x x 
 Masalah di atas merupakan suatu masalah standar maksimasi
dan dapat dipecahkan menggunakan metode simpleks.
 Susunlah tabel simpleks awal untuk memecahkan masalah LP
ini.
Jawab
 Tambahkan variabel slack x1 dan x2 ke dalam pertidaksamaan
2 180 1 2 x  x 
3 300 1 2 x  x 
sehingga menjadi persamaan, sebagai berikut
2 180
300
x x s
  
1 2 1
x  x  s

1 2 2
 Lalu, tulis ulanglah fungsi obyektif ke dalam bentuk
0
6
1 2 Z  x  x 
5

8. 2014/9/24
8
JJaawwaabb
 Maka bentuk standar masalah LP diatas akan berubah menjadi
Maksimasi
Dengan konstrain
0
6
1 2 Z  x  x 
2 180
300
x x s
  
x x s
1 2 2
, , , 0
1 2 1 2
1 2 1

  
x x s s
5
 Tabel awal yang terkait dengan sistem LP diatas adalah
Variabel Non Basis
Basis x1 x2 s1 s2 Solusi
Z –1 – 6/5 0 0 0
s1 2 1 1 0 118800
s2 1 3 0 1 330000
R1
R2
R3

9. 2014/9/24
9
Metode Simpleks
1. Susunlah tabel simpleks awal.
2. Tentukan apakah solusi optimum telah tercapai dengan
memeriksa semua elemen dalam baris pertama.
a. Jika semua elemen non basis telah non negatif, maka
solusi optimum telah tercapai. Lanjutkan ke step 4.
b. Jika masih ada satu atau lebih elemen negatif, solusi
optimal belum tercapai. Lanjutkan ke step 3.
3. Lakukan operasi pivot. Kembali ke step 2.
4. Tentukan solusi optimum.
 Pada step 1 diperoleh tabel simpleks awal sebagai berikut:
BBaassiiss x1 x2 s1 s2 Solusi
Z –1 – 66//55 0 0 0
s1 2 1 1 0 118800
s2 1 3 0 1 330000
 SSeellaannjjuuttnnyyaa, solusi mmaassaallaahh tteerrsseebbuutt aaddaallaahh ...

10. 2014/9/24
10
JJaawwaabb
BBaassiiss x1 x2 s1 s2 Solusi
Z –1 – 66//55 0 0 0
s1 2 1 1 0 118800
s2 1 33 0 1 330000
SStteepp 22.. Tentukan apakah solusi optimal telah tercapai.
✦ Karena baris atas (baris koefisien fungsi tujuan) masih
mengandung elemen negatif, maka solusi awal belum
optimal.
JJaawwaabb
BBaassiiss x1 x2 s1 s2 Solusi
Z –11 – 66//55 0 0 0
s1 2 1 1 0 118800
s2 1 33 0 1 330000
SStteepp 33.. LLaakkuukkaann Operasi Pivot.
✦ Karena elemen/entri– 6/5 adalah negatif terbesar maka x2
adalah variabel non basis yang menjadi entering variable
dan kolom terkait disebut kolom pivot (kolom masuk)
✦ Mengapa dipilih negatif terbesar (pada kasus maksimasi)?
Dengan mencari koefisien negatif terbesar pada fungsi
tujuan akan mempercepat tercapainya solusi optimal.

11. 2014/9/24
11
JJaawwaabb
BBaassiiss x1 x2 s1 s2 Solusi
Z –11 – 66//55 0 0 0
s1 2 1 1 0 118800
s2 1 33 0 1 330000
SStteepp 33.. Lakukan operasi pivot.
180
1
300
3
✦ Bagilah setiap nilai positif dalam kolom pivot dengan
180
100


entri/koefisien yang terkait dalam the kolom Solusi dan
bandingkan rasio yang diperoleh
✦ Kita lihat bahwa ratio 300/3 = 100 kurang dari sama dengan
rasio 180/1 = 180. Variabel basis yang memiliki rasio
terkecil (s2) disebut leaving variable dan baris 3 menjadi
persamaan pivot (pivot equation).
JJaawwaabb
BBaassiiss x1 x2 s1 s2 Solusi
Z –11 – 66//55 0 0 0
s1 2 1 1 0 118800
x2 1 3 0 1 330000
SStteepp 33.. Lakukan operasi pivot.
✦ Koefisien/entri 3 disebut elemen pivot karena berada di
dalam pivot kolom dan pivot baris

12. 2014/9/24
12
JJaawwaabb
Basis Z x1 x2 s1 s2 Solusi
1 –11 – 6/5 0 0 0
s1 0 2 1 1 0 118800
x2 0 1 3 0 1 330000 3 3
1 R
Step 3. Lakukan operasi pivot.
✦ Persamaan pivot akan berubah menjadi persamaan dengan
elemen baru dengan mengubah elemen pivot menjadi 1
(seluruh elemen lama dibagi elemen pivot lama)
Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama : elemen pivot
JJaawwaabb
BBaassiiss Z x1 x2 s1 s2 Solusi
1 –1 – 6/5 0 0 0
s1 0 2 1 1 0 118800
x2 0 11//33 1 0 1/3 110000 3 3
1 R

13. 2014/9/24
13
JJaawwaabb
BBaassiiss Z x1 x2 s1 s2 Solusi
1 –1 – 6/5 0 0 0
s1 0 2 1 1 0 118800
x2 0 1/3 11 0 11//33 110000
R  

6  R   1 5 3
   2 3 R  1 R
Step 3. Lakukan operasi pivot.
✦ Lakukan operasi baris elementer untuk mengubah kolom
pivot menjadi suatu kolom unit.


Persamaan baru = (persamaan lama) – (koefisien kolom pivot) x
(persamaan pivot baru)
SSoolluuttiioonn
BBaassiiss Z x1 x2 s1 s2 Solusi
1 –33//55 0 0 2/5 112200
s1 0 55//33 0 1 –1/3 8800
x2 0 11//33 11 0 1/3 110000
Step 3. Lakukan operasi pivot.
✦ Lakukan operasi baris elementer untuk mengubah kolom
pivot menjadi suatu kolom unit.

14. 2014/9/24
14
JJaawwaabb
BBaassiiss Z x1 x2 s1 s2 Solusi
1 –33//55 0 0 22//55 112200
s1 0 5/3 0 1 –11//33 8800
x2 0 1/3 1 0 11//33 110000
Step 3. Lakukan operasi pivot.
✦ Langkah ini mengakhiri suatu iterasi.
✦ Baris pertama tabel masih mengandung angka negatif,
sehingga solusi optimal belum tercapat.
✦ Oleh karena itu kita ulangi iterasi berikutnya.
JJaawwaabb
BBaassiiss Z x1 x2 s1 s2 Solusi
1 –33//55 0 0 22//55 112200
s1 0 5/3 0 1 –11//33 8800
x2 0 1/3 11 0 11//33 110000
SStteepp 33.. Lakukan operasi pivot.
✦ Karena elemen/entri– 3/5 adalah negatif terbesar maka x1
adalah variabel non basis yang menjadi entering variable
dan kolom terkait disebut kolom pivot (kolom masuk)

15. 2014/9/24
15
JJaawwaabb
BBaassiiss Z x1 x2 s1 s2 Solusi
1 –33//55 0 0 2/5 112200
s1 0 5/3 0 1 –1/3 80
x2 0 1/3 11 0 1/3 110000
Step 3. Lakukan operasi pivot.
Rasio
80
5/3
100
1/3
✦ Bagilah setiap angka positif dalam kolom pivot dengan


elemen terkait dalam kolom solusi dan bandingkan rasio
yang diperoleh.
✦ Rasio 80/(5/3) = 48 adalah kurang dari rasio 100/(1/3) =
48
300
300, maka baris 1 baris pivot (persamaan pivot) baru.
Variabel basis yang memiliki rasio terkecil (s1) disebut
leaving variable dan baris 2 menjadi persamaan pivot (pivot
equation).
JJaawwaabb
BBaassiiss Z x1 x2 s1 s2 Solusi
1 –33//55 0 0 22//55 112200
x1 0 5/3 0 1 –11//33 8800
x2 0 1/3 11 0 11//33 110000
SStteepp 33.. Lakukan operasi pivot.
✦ Elemen 5/3 disebut elemen pivot karena berada dalam
kolom pivot dan persamaan pivot

16. 2014/9/24
16
JJaawwaabb
BBaassiiss Z x1 x2 s1 s2 Solusi
1 –33//55 0 0 2/5 112200
x1 0 5/3 0 1 –1/3 8800
x2 0 1/3 11 0 1/3 110000
3 R
SStteepp 3. LLaakkuukkaann ooppeerraassii pivot.
✦ Persamaan pivot akan berubah menjadi persamaan dengan
elemen baru dengan mengubah elemen pivot menjadi 1
(seluruh elemen lama dibagi elemen pivot lama)
5 2
BBaassiiss Z x1 x2 s1 s2 Solusi
1 –33//55 0 0 2/5 112200
x1 0 1 0 33//55 –1/5 48
x2 0 1/3 11 0 1/3 110000
3 R
5 2
JJaawwaabb
Z x1 x2 s1 s2 Solusi
1 –33//55 0 0 2/5 112200
x1 0 1 0 33//55 –1/5 48
R  
3 
 R   1 5 2
 
  x2 0 1/3 1 0 1/3 110000 3 3 1
Step 3. Lakukan operasi pivot.
✦ Lakukan operasi baris elementer untuk mengubah kolom
pivot menjadi suatu kolom unit.

R 1 
R 


Z x1 x2 s1 s2 Solusi
1 00 0 99//2255 77//2255 11448844//55
x1 0 1 0 3/5 –11//55 4488
x2 0 0 11 -1/5 22//55 8844
R  

3  R   1 5 2
R  
1 
R 
  3 3 1




17. 2014/9/24
17
JJaawwaabb
Z x1 x2 s1 s2 Solusi
1 00 0 99//2255 77//2255 11448844//55
x1 0 1 0 3/5 –11//55 4488
x2 0 0 11 -1/5 22//55 8844
SStteepp 33.. LLaakkuukkaann ooppeerraassii pivot.
✦ BBaarriiss ppeerrttaammaa ttaabbeell sudah ttiiddaakk mmeennggaanndduunngg aannggkkaa nneeggaattiiff,
sseehhiinnggggaa solusi ooppttiimmuumm tteellaahh tteerrccaappaaii.
JJaawwaabb
Z x1 x2 s1 s2 Solusi
1 0 0 99//2255 77//2255 114488 44//55
x1 0 1 0 3/5 –1/5 4488
x2 0 0 11 –1/5 2/5 8844
Step 4. Tentukan solusi optimum.
✦ Tetapkan mana variabel basis dalam tabel akhir.
Dalam kasus ini, variabel basisnya adalah x1, x2, dan Z.
 Nilai optimal x1 48.
 Nilai optimum x2 84.
 Nilai optimum Z 148.8.
✦ Dengan demikian, pabrik akan mendapatkan maksimasi
profit $148.80 dengan memproduksi tipe-A 48 buah dan 84
tipe-B.

18. 2014/9/24
18
MMAASSAALLAAHHMMIINNIIMMAASSII
MMAASSAALLAAHH MMIINNIIMMAASSII DDEENNGGAANN KKOONNSSTTRRAAIINN 
 Pada ppeemmbbaahhaassaann sseebbeelluummnnyyaa kita mmeenngggguunnaakkaann metode
ssiimmpplleekkss untuk mmeemmeeccaahhkkaann mmaassaallaahh LLPP yyaanngg memenuhi 3
kondisi:
1. FFuunnggssii oobbyyeekkttiiff aaddaallaahh mmaakkssiimmaassii.
2. Semua vvaarriiaabbeell yyaanngg tteerrlliibbaatt non nneeggaattiiff.
3. SSeettiiaapp kkoonnssttrraaiinn/kkeennddaallaa lliinniieerr ddaappaatt ddiittuulliiss ddaallaamm bbeennttuukk
sseeddeemmiikkiiaann rupa sseehhiinnggggaa vvaarriiaabbeellnnyyaa kurang dari aattaauu sama
ddeennggaann suatu kkoonnssttaannttaa non nneeggaattiiff
 SSeellaannjjuuttnnyyaa kita aakkaann melihat bbaaggaaiimmaannaa metode ssiimmpplleekkss
ddaappaatt ddiigguunnaakkaann untuk mmeemmeeccaahhkkaann mmaassaallaahh mmiinniimmaassii yyaanngg
memenuhi kondisi kedua dan ketiga ddaarrii ssyyaarraatt diatas .

19. 2014/9/24
19
CCOONNTTOOHH
 PPeeccaahhkkaann mmaassaallaahh pprrooggrraamm lliinniieerr bbeerriikkuutt :
1 2 Minimasi Z  2x  3x
5 4 32 1 2 x  x 
2 10 1 2 x  x 
, 0 1 2 x x 
 Untuk mmeemmeeccaahhkkaann mmaassaallaahh ini mmeenngggguunnaakkaann metode ssiimmpplleekkss,
kita mmeenngguubbaahh fungsi oobbyyeekkttiiff ddaarrii mmiinniimmaassii ke bentuk
maksimasi yyaanngg eekkuuiivvaalleenn dimana W = -Z .
1 2 Maksimasi W  2x  3x
5 4 32 1 2 x  x 
2 10 1 2 x  x 
, 0 1 2 x x 
JJaawwaabb
SStteepp 11.. Susun tabel simpleks awal.
✦ Ubahlah konstrain ke dalam persamaan dengan
menambahkan variables slack x1 dan x2 sehingga persamaan
LP standar menjadi
1 2 W  2x  3x
5 x  4 x  s

32
1 2 1
2 10
x x s
  
1 2 2
, , , 0
x x s s
1 2 1 2

✦ Tulis koefisien tersebut dalam tabel simpleks awal
BBaassiiss W x1 x2 s1 s2 Solusi
Maximize P  2x  3y
1 -2 -3 0 0 0
s1 0 5 4 11 0 32
s2 0 1 2 0 1 10

20. 2014/9/24
20
JJaawwaabb
BBaassiiss W x1 x2 s1 s2 Solusi
1 -2 -3 0 0 0
s1 0 5 4 1 0 3322
s2 0 1 22 0 1 1100
SStteepp 22.. Tentukan apakah solusi optimal telah tercapai.
✦ Karena baris atas (baris koefisien fungsi tujuan) masih
mengandung elemen negatif, maka solusi awal belum
optimal.
JJaawwaabb
BBaassiiss MWaximizxe1 Px2 2x s13y s2 Solusi
1 -2 -3 0 0 0
s1 0 5 4 1 0 3322
s2 0 1 2 0 1 1100
Step 3. Lakukan operasi pivot.
Maximize P  2x  3y
Rasio
32
4
10
2
8
5


BBaassiiss W x1 x2 s1 s2 Solusi
1 -2 -3 0 0 0
s1 0 5 4 1 0 3322
s2 0 1 2 0 1 1100

21. 2014/9/24
21
BBaassiiss WMaximx1 ize x 2 P  2s1x  3ys2 Solusi
1 -2 -3 0 0 0
s1 0 5 4 11 0 3322
s2 0 1 2 0 1 1100
BBaassiiss MWaximixz1e Px2  2xs1 3y s2 Solusi
1 -2 -3 0 0 0
s1 0 5 4 11 0 3322
1 R
2 3 s2 0 1 2 0 1 1100
BBaassiiss MWaximxiz1 e xP2  2xs1 3y s2 Solusi
1 -2 -3 0 0 0
s1 0 5 4 1 0 3322
1 R
2 3 s2 0 11//22 1 0 11//22 5

22. 2014/9/24
22
Maximize P  2x  3y
   2 3 R  4 R
W x1 x2 s1 s2 Solusi
1 -2 -3 0 0 0
s1 0 5 4 11 0 32
x2 0 1/2 11 0 11//22 5
   1 3 R  3 R
MaWximizxe1 Px2 2x s13y s2 Solusi
1 -11//22 0 0 33//22 1155
s1 0 3 0 1 -2 1122
x2 0 11//22 1 0 11//22 5
   1 3 R  3 R
   2 3 R  4 R
BBaassiiss WMaximx1ize x 2 P  2s1x  3ys2 Solusi
1 -1/2 0 0 33//22 1155
s1 0 3 0 1 -2 1122
x2 0 11//22 1 0 11//22 5
BBaassiiss MWaximxiz1 e xP2  2xs1 3y s2 Solusi
1 -11//22 0 0 33//22 1155
s1 0 3 0 1 -2 1122
x2 0 11//22 1 0 11//22 5

23. 2014/9/24
23
Maximize P  2x  3y
12
3
5
1/ 2
4
10


BBaassiiss W x1 x2 s1 s2 Solusi
1 -11//22 0 0 33//22 1155
x1 0 3 0 1 -2 1122
x2 0 1/2 1 0 11//22 5
BBaassiiss W x1 x2 s1 s2 Solusi
1 -11//22 0 0 33//22 1155
x1 0 3 0 1 -2 1122
x2 0 1/2 1 0 11//22 5
BBaassiiss W x1 x2 s1 s2 Solusi
1 -1/2 0 0 33//22 1155
x1 0 3 0 1 -2 1122
x2 0 1/2 1 0 11//22 5
1 R
3 2
BBaassiiss W x1 x2 s1 s2 Solusi
1 -11//22 0 0 33//22 1155
x1 0 1 0 11//33 -22//33 4
x2 0 11//22 1 0 11//22 5
1 R
3 2

24. 2014/9/24
24
BBaassiiss W x1 x2 s1 s2 Solusi
1 -11//22 0 0 33//22 15
x1 0 1 0 1/3 -22//33 4
x2 0 11//22 1 0 11//22 5
R  
1 
R 
  1 2 2

R 
1 
R 
  3 2 2

BBaassiiss W x1 x2 s1 s2 Solusi
1 0 0 1/6 77//66 1177
x1 0 1 0 1/3 –2/3 4
x2 0 0 1 –11//66 55//66 3
R  
1 
R 
  1 2 2

R 
1 
R 
  3 2 2

BBaassiiss W x1 x2 s1 s2 Solusi
1 0 0 1/6 77//66 1177
x1 0 1 0 1/3 –2/3 4
x2 0 0 1 –11//66 55//66 3

25. 2014/9/24
25
JJaawwaabb
W x1 x2 s1 s2 Solusi
1 0 0 1/6 77//66 1177
0 1 0 1/3 –22//33 4
0 0 1 –11//66 55//66 3
Step 4. Tentukan solusi optimum.
✦ Tetapkan maka variabel basis dalam tabel final.
Dalam kasus ini, variabel basisnya adalah x1, x2, dan W.
 Nilai optimum untuk x1 adalah 4.
 Nilai optimum untuk x2 adalah 3.
 Nilai optimum untuk W adalah 17, yang berarti nilai
minimum untuk Z= –17.
PPEEMMEECCAAHHAANN AAWWAALL BBUUAATTAANN
UUNNTTUUKK MMEETTOODDEE SSIIMMPPLLEEKKSS
PRIMAL

26. 2014/9/24
26
 Pada kasus-kasus sseebbeelluummnnyyaa, semua konstrain bbeerrbbeennttuukk ≤ .
Kondisi sseeppeerrttii ini tidak ddaappaatt dipenuhi oleh semua mmooddeell LLPP,
sehingga menimbulkan kkeebbuuttuuhhaann untuk mmeerraannccaanngg sseebbuuaahh
pprroosseedduurr ppeerrhhiittuunnggaann otomatis untuk memulai iitteerraassii
ssiimmpplleekkss.. KKiittaa mmeellaakkuukkaann ini ddeennggaann mmeennaammbbaahhkkaann vvaarriiaabbeell
bbuuaattaann (aarrttiiffiicciiaall vvaarriiaabbllee) yyaanngg ddiippeerrlluukkaann untuk mmeemmaaiinnkkaann
ppeerraann sseebbaaggaaii vvaarriiaabbeell slack. KKaarreennaa vvaarriiaabbeell ini tidak
mmeemmiilliikkii makna fisik ddaallaamm model maka hhaarruuss dibuat menjadi
nol di iitteerraassii ooppttiimmuumm. DDeennggaann kata lain, kita mmeenngggguunnaakkaann
aarrttiiffiicciiaall vvaarriiaabbllee untuk memulai ppeemmeeccaahhaann dan tteerraakkhhiirryyaa
kita tinggalkan sseetteellaahh mmiissii tteerrccaappaaii.
 Untuk mmeennccaappaaii hal ini kita ppeerrlluu mmeennggeennaakkaann ppeennaallttii pada
vvaarriiaabbeell bbuuaattaann ini ddaallaamm fungsi tujuan yyaanngg ddaappaatt dilakukan
ddeennggaann 2 ccaarraa
1. MMeettooddeeM
2. MMeettooddee DDuuaa Tahap (tidak dibahas)
MMEETTOODDEE MM
 Tinjau masalah berikut
 dengan konstrain
3 x  x

3
1 2
4 x  3 x

6
1 2
2 4
x x
 
1 2
 Bentuk standar masalah LP di atas menjadi
 Dengan konstrain
1 2 Minimasi z  4x  x
, 0
1 2

x x
1 2 Minimasi z  4x  x
3 x  x

3
1 2
4 x  3 x  s

6
1 2 1
2 4
x x s
  
1 2 2
, , , 0
1 2 1 2

x x s s

27. 2014/9/24
27
 Karena persamaan pertama dan kedua tidak memiliki variabel
yang berperan sebagai variabel slack maka kita tambahkan
variabel buatan A1 dan A2 dalam kedua persamaan tersebut
3 x  x  A

3
1 2 1
4 x  3 x  x  A

6
1 2 3 2
 Kita dapat mengenakan penalti pada A1 dan A2 dalam fungsi
tujuan dengan memberikan koefisien yang sangat besar dalam
fungsi tujuan. Anggap M > 0 adalah konstanta yang sangat
besar, jadi model LP dengan variabel buatan ini akan berubah
menjadi
3 x  x  A

3
1 2 1
4 x  3 x  s A

6
1 2 1 2
2 4
x x s
  
1 2 2
, , , , , 0
1 2 1 1 2 2

x x s A A s
 Fu==
A   x 
x
A x x s
 Fungsi Tujuan menjadi
3 3
1 1 2
6 4 3
   
2 1 2 1
   
4 3 3 6 4 3
z  x  x  M  x  x  M  x  x 
s
1 2 1 2 1 2 1
 4 7 Mx  1 4 x Ms 9
M
     
1 2 1
z 4 7Mx 1 4x Ms 9M 1 2 1      

28. 2014/9/24
28
TTaabbeell SSiimmpplleekkss
Basis x1 x2 s1 A1 A2 s2 Solusi
Z -44 ++ 77MM -11++44MM -M 0 0 0 99MM
A1 3 1 0 1 0 0 3
A2 4 3 -1 0 1 0 6
s2 1 2 0 0 0 1 4
Basis x1 x2 s1 A1 A2 s2 Solusi
Z -44 ++ 77MM -11++44MM -M 0 0 0 9M
x1 3 1 0 1 0 0 3
A2 4 3 -1 0 1 0 6
s2 1 2 0 0 0 1 4
Basis x1 x2 s1 A1 A2 s2 Solusi
Z 0 ((11++55MM))//
3
-M (4-77MM))//33 0 0 44++22MM
x1 1 1/3 0 11//33 0 0 1
A2 0 5/3 -1 -44//33 1 0 2
s2 0 5/3 0 -11//33 0 1 3
Basis x1 x2 s1 A1 A2 s2 Solusi
Z 0 0 11//55 88//55 – M -11//55 – M 0 1188//55
x1 1 0 11//55 33//55 -11//55 0 33//55
x2 0 1 -33//55 -44//55 33//55 0 66//55
s2 0 0 1 1 -1 1 1

29. 2014/9/24
29
Basis x1 x2 s1 A1 A2 s2 Solusi
Z 0 0 0 77//55 – M -M -11//55 1177//55
x1 1 0 0 22//55 0 -11//55 22//55
x2 0 1 0 -11//55 0 33//55 99//55
s1 0 0 1 1 -1 1 1
 Iterasi selesai karena sudah tidak ada variabel yang memiliki
elemen positif
 Dalam kasus ini, variabel basisnya adalah x1, x2, s1 , dan Z.
 Nilai optimum untuk x1 adalah 2/5.
 Nilai optimum untuk x2 adalah 9/5
 Nilai optimum untuk s1 adalah 1.
 Nilai optimum untuk Z adalah 17/5