Metode numerik persamaan linier

1. LOGO
Sistem
Persamaan Linear
Oleh:
Swasti Maharani

2. SPL
Bentuk umum :
dimana x1, x2, . . . , xn variabel, aij , bij dengan
i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , nadalah bil. diketahui.
Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.
SPL
Mempunyai penyelesaian
disebut KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaian
disebut TIDAK KONSISTEN
TUNGGAL
BANYAK

3. Ilustrasi grafik
 SPL 2 variabel:
 Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya
adalah titik potong kedua garis ini.
kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan

4. Penyajian SPL dalam matriks
SPL BENTUK MATRIKS
STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:
mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai
penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang
lebih sederhana.
matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan
menambahkan vector B pada kolom terakhirnya disebut
augmented matrix. Augmented (A) = [A B]

5. Teorema
Suatu persamaan linier mempunyai penyelesaian tunggal
bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut.
 Ukuran persamaan linier bujursangkar, dimana jumlah
persamaan sama dengan jumlah variable bebas.
 Persamaan linier non-homogen dimana minimal ada
satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn  0.
 Determinan dari matrik koefisien persamaan linier tidak
sama dengan nol.

6. Metode Analitik
 Metode grafis
 Aturan Crammer
 Invers matrik
Metode Numerik
 Metode Eliminasi Gauss
 Metode Eliminasi Gauss-Jordan
 Metode Iterasi Jacobi
 Metode Iterasi Gauss-Seidel

7. Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang
dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilang-
kan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat
diperoleh nilai dari suatu variable bebas
SPL diubah menjadi augmented matrik :














nnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
...
...
............
...
...
2
1
2n1
22221
11211

8. Ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga
bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris
Elementer).
















nnnnnn
n
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
...
..................
...
...
...
321
33333231
22232221
11131211
















nnn
n
n
n
dc
dcc
dccc
baaaa
...000
..................
...00
...0
...
3333
222322
11131211
Metode Eliminasi Gauss

9. Operasi Baris Elementer
Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan
Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem
yang baru yang mempunyai himp solusi yang sama dan
lebih mudah untuk diselesaikan
Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang
menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi
Baris Elementer
1. Multiply an equation through by an nonzero constant.
2. Interchange two equation.
3. Add a multiple of one equation to another.

10. TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN
PENYELESAIAN SPL (OBE)
SPL
1. Mengalikan suatu persamaan
dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua persamaan
sebarang.
3. Penambahan suatu persamaan
yang telah dikalikan dengan
suatu konstanta ke persamaan
yang lain.
MATRIKS
1. Mengalikan suatu baris dengan
konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua baris
sebarang.
3. Penambahan suatu baris yang
telah dikalikan dengan suatu
konstanta ke baris yang lain.

11. Contoh :
Selesaikan sistem persamaan berikut:
Augmented matrik dari persamaan linier tersebut :
1022
22
6
321
321
321



xxx
xxx
xxx











10212
2121
6111

12. Lakukan operasi baris elementer
13
12
2BB
BB














2010
4210
6111
23 BB 












6200
4210
6111











10212
2121
6111

13. Penyelesaian :
 
  1326
1
1
x
23)2(4
1
1
x
3
2
6
x
1
2
3


















6200
4210
6111

14. Metode Eliminasi Gauss Jordan
Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi
Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri
diubah menjadi matrik diagonal
Penyelesaian dari persamaan linier di atas adalah nilai
d1,d2,d3,…,dn atau:
















nnnnnn
n
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
...
..................
...
...
...
321
33333231
22232221
11131211
















nd
d
d
d
1...000
..................
0...100
0...010
0...001
3
2
1
nn dxdxdxdx  ,....,,, 332211

15. Metode Iterasi Jacobi
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa



Persamaan pertama dari sistem di atas dapat digunakan untuk
menghitung x1 sebagai fungsi dari x2 dan x3. demikian juga persamaan
kedua dan ketiga untuk menghitung x2 dan x3, sehingga diperoleh:
Diketahui 3 persamaan berikut:
33
2321313
3
22
3231212
2
11
3132121
1
a
xaxab
x
a
xaxab
x
a
xaxab
x







16. Perhitungan dimulai dengan nilai perkiraan awal sebarang untuk
variabel yang dicari (biasanya semua variabel diambil samadengan
nol). Perkiraan awal tersebut disubstitusikan ke ruas kanan dari sistem
persamaan untuk mendapatkan nilai perkiraan kedua. Prosedur
tersebut diulangi (berhenti) sampai nilai setiap variabel pada
iterasi ke n mendekati nilai pada iterasi ke n-1 atau sampai
tingkat ketelitian yang diinginkan.
33
1
232
1
1313
3
22
1
323
1
1212
2
11
1
313
1
2121
1
a
xaxab
x
a
xaxab
x
a
xaxab
x
nn
n
nn
n
nn
n









Iterasi berhenti jika:
nnnnnn
xxxxxx 3
1
32
1
21
1
1 ,, 

atau
idikehendakyangketelitianbatas:
1
s
sn
i
n
i
n
i
a
ε
x
xx
 




17. Metode Iterasi Gauss Siedel
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa



Persamaan pertama dari sistem di atas dapat digunakan untuk
menghitung x1 sebagai fungsi dari x2 dan x3. demikian juga persamaan
kedua dan ketiga untuk menghitung x2 dan x3, sehingga diperoleh:
Diketahui 3 persamaan berikut:
33
2321313
3
22
3231212
2
11
3132121
1
a
xaxab
x
a
xaxab
x
a
xaxab
x







18. Perhitungan dimulai dengan nilai perkiraan awal sebarang untuk
variabel yang dicari (biasanya semua variabel diambil samadengan
nol). Berbeda dengan metode Jacobi, nilai x1 yang dihitung dari pers
pertama digunakan untuk menghitung nilai x2 dengan persamaan
kedua,dst.
33
1
232
1
13131
3
22
0
323
1
12121
2
11
0
313
0
21211
1
a
xaxab
x
a
xaxab
x
a
xaxab
x






Iterasi berhenti jika:
nnnnnn
xxxxxx 3
1
32
1
21
1
1 ,, 

atau
idikehendakyangketelitianbatas:
1
s
sn
i
n
i
n
i
a
ε
x
xx
 




19. Catatan
Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier
ketika menggunakan metode iterasi Jacobi dan
Gauss-Seidel ini.
Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi
pada semua persamaan di diagonal utama (aii).
Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk
setiap xi pada diagonal utama.
Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus
benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang
salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan
tidak diperoleh hasil yang benar.

20. Latihan
Diketahui SPL :
x – 2y + 5z = 12
x + 4y + 2z = 15
5x + y – z = 4
Hitunglah dengan:
a. Metode eliminasi Gauss
b. Metode Eliminasi Gauss-Jordan
c. Metode Jacobi dengan tingkat ketelitian 0.1
d. Metode Gauss-Seidel dengan tingkat ketelitian 0.1

21. Diketahui SPL :
x + 8y – 2z = -9
10x – 3y + 6z = 24,5
-2x + 4y – 9z = -50
Hitunglah dengan:
Metode eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Metode Jacobi dengan tingkat ketelitian 0.05
Metode Gauss-Seidel dengan tingkat ketelitian 0.05

22. LOGO