Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan real, pertidaksamaan bilangan real, dan cara menyelesaikan pertidaksamaan bilangan real termasuk yang menggunakan nilai mutlak. Secara khusus, dibahas tujuan pembelajaran yaitu memahami sistem bilangan real dan mampu menyelesaikan pertidaksamaan bilangan real dan dengan nilai mutlak.

2. Tujuan PEMBELAJARAN
0 Memahami sistem bilangan real
0 Mampu menyelesaikan pertaksamaan bilangan real
0 Mampu menyelesaikan pertaksamaan bilangan real
dengan tanda mutlak

3. Sistem bilangan
3
N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
R : bilangan real
N :
1,2,3,….
Z :
…,-2,-1,0,1,2,..
0
,
,
, 

 b
Z
b
a
b
a
q
Q :
Irasional
Q
R 


,
3
,
2
Contoh Bil Irasional

4. Garis Bilangan
• Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebu
dengan garis bilangan(real)
• Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
0 1
-3
2


5. Selang
5
Himpunan selang
{ }
a
x
x < ( )
a
,

-
{ }
a
x
x  ( ]
a
,

-
{ }
b
x
a
x <
< ( )
b
a,
{ }
b
x
a
x 
 [ ]
b
a,
{ }
b
x
x > ( )

,
b
{ }
b
x
x  [ )

,
b
{ }


x
x ( )

,
• Jenis-jenis selang
Grafik
a
a
a b
a b
b
b

6. Sifat–sifat Bilangan Real
• Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah
satu dari x < y atau x > y atau x = y
• Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
• Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan
bila z bilangan negatif, maka xz > yz
6

7. Pertidaksamaan
0 Bentuk umum pertidaksamaan :
0 dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak
(polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
7
( )
( )
( )
( )
x
E
x
D
x
B
x
A
<

8. Pertidaksamaan (lanj)
0 Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari
semua himpunan bilangan real yang membuat
pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini
disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)
0 Cara menentukan HP :
1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
8
0
)
(
)
(
<
x
Q
x
P

9. 2. Faktorkan P(x) dan Q(x) menjadi faktor-faktor
linier dan/ atau kuadrat
2. Tentukan titik pemecah (pembuat nol faktor
linear) . Gambarkan titik-titik pemecah tersebut
pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda
(+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian
yang muncul
9
Pertidaksamaan (lanj)

10. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan
berikut :
1.
Penyelesaian :
HP =
10
5
3
2
13 
-
 x
3
5
2
3
13 


 x
8
2
16 
 x
4
8 
 x
8
4 
 x
[ ]
8
,
4
4 8
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan

11. 2.
Penyelesaian :
HP
11
8
4
6
2 
-
<
- x
2
4
8 
-
<
- x
2
4
8 -

> x
8
4
2 <

- x
2
2
1
<

- x






-
 2
,
2
1
2
2
1
-
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan (lanj)

12. 3.
Faktorkan menjadi
Titik Pemecah (TP) untuk pertidaksamaan tersebut
adalah dan






- 3
,
2
1
12
0
3
5
2 2
<
-
- x
x
( )( ) 0
3
1
2 <
-
 x
x
2
1
-

x 3

x
3
++ ++
--
2
1
-
Hp =
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan (lanj)

13. 4.
Penyelesaian
dan
dan
dan
dan
dan
HP =
Jadi, HP = 13
6
3
7
6
4
2 

-

- x
x
x
x
x 7
6
4
2 -

- 6
3
7
6 

- x
x
4
6
7
2 

 x
x 6
6
3
7 
-

-
- x
x
10
9 
x 0
10 
- x
9
10

x
0
10 
x
9
10

x
0

x
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan (lanj)
[ )









- ,
0
9
10
,
0 9
10






9
10
,
0

14. 5.
Penyelesaian :
TP- nya adalah -1,
1
3
dan 3
( )( )
0
1
3
1
3
<
-

-
x
x
x
14
1
3
2
1
1
-
<
 x
x
0
1
3
2
1
1
<
-
-
 x
x
( ) ( )
( )( )
0
1
3
1
2
2
1
3
<
-


-
-
x
x
x
x
3
++ ++
--
-1
--
3
1
Hp = ( ) 






-

- 3
,
3
1
1
,
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan (lanj)

15. 15
x
x
x
x


-

3
2
1
0
3
2
1


-
-

x
x
x
x
( )( ) ( )
( )( )
0
3
2
2
3
1


-
-
-


x
x
x
x
x
x
( )( )
0
3
2
3
2
2 2


-


x
x
x
x
6.
Penyelesaian :
Perhatikan bahwa “bagian pembilang” dari
pertidaksamaan tersebut 2𝑥2 + 2𝑥 + 3 selalu bernilai positif
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan (lanj)

16. 16
Ditandai juga dengan nilai diskriminan (D) < 0.
Karena itu, “bagian pembilang” tidak menghasilkan
titik pemecah.
Dengan demikian, TP untuk pertidaksamaan tersebut
adalah 2 dan -3
Gambarkan garis bilangan
Maka, himpunan penyelesaiannya adalah
-3 2
-- ++ --
( ) ( )


-
 ,
2
3
,

17. Pertidaksamaan dgn nilai mutlak
0 Definisi :
17



<
-


0
,
0
,
x
x
x
x
x
Arti Geometris |x| adalah Jarak dari x ke titik 0(asal)
Karena maknanya jarak, maka nilainya selalu positif

18. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
0 Sifat-sifat nilai mutlak:
1
2
3
4
5
6 Ketaksamaan segitiga
a. b.
y
x
y
x

y
x
y
x 


18
2
x
x 
a
x
a
a
a
x 

-


 0
,
a
x
a
a
x 


 0
, atau a
x -


 y
x 2
2
y
x 
y
x
y
x -

-

19. Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak
19
4
1 <
<
 x
( )
4
,
1
3
5
2 <
-
x
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3
5
2
3 <
-
<
-
 x
5
3
2
3
5 
<
<
-
 x
8
2
2 <
<
 x
Hp =
1 4
1.
3
5
2 <
-
x
a
x
a
a
a
x 

-


 0
,

20. 20
( )( ) 0
4
2
2 <
-
-
 x
x
3
5
2 <
-
x
2.
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
( ) 9
5
2
2
<
-
 x
9
25
20
4 2
<

-
 x
x
0
16
20
4 2
<

-
 x
x
0
8
10
2 2
<

-
 x
x
1 4
++
--
++
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak (lanj)
3
5
2 <
-
x
Titik pemecahnya adalah 1 dan 4
HP = (1,4)

 y
x 2
2
y
x 

21. 21
5
4
3
2 

 x
x
3.
Penyelesaian :
Kita bisa menggunakan sifat 4
Didapatkan titik pemecah dari pertidaksamaan tersebut
adalah dan
( ) ( )2
2
5
4
3
2 


 x
x
25
40
16
9
12
4 2
2





 x
x
x
x
0
16
28
12 2

-
-
-
 x
x
0
4
7
3 2



 x
x
3
4
-
-1
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak (lanj)
5
4
3
2 

 x
x
0
)
1
)(
4
3
( 


 x
x

 y
x 2
2
y
x 

22. Jika digambar pada garis bilangan :
Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah
22
]
1
,
3
4
[ -
-
-1
3
4
-
++
--
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak (lanj)

23. 23
2
7
2


x
2
7
2



x
2
7
2
-


x
5
2
-


x
9
2
-

x
10
-

 x 18
-

x
[ ) ( ]
18
,
,
10 -

-


-
4.
Penyelesaian :
Dengan menggunakan sifat ke 3
atau
atau
atau
Hp =
-18 -10
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak (lanj)
a
x
a
a
x 


 0
, atau a
x -


24. Soal Latihan
24
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
berikut, gambarlah grafik himpunan ini pada garis
bilangan real dan nyatakan himpunan ini dalam notasi
selang!
1. 3 − 2𝑥 ≤ 4𝑥 + 1 < 2𝑥 + 7
2.
3
1−𝑥
≤ 2
3. x2-5x-6>0
4. 4𝑥 + 2 ≥ 2
5. 𝑥 − 1 ≥ 2 𝑥 − 3