Inferensia Vektor Rata-rata 1 Populasi

1. INFERENSIA VEKTOR
RATA-RATA 1 POPULASI
Kelompok 4 – 3 SK 4

2. Uji Hipotesis Vektor Rata-rata Univariat
1 Populasi
Asumsi
Jika 𝑋1, 𝑋1, … , 𝑋1adalah sampel acak dari sebu
ah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata
μ dan varians 𝜎2
maka
𝑋 ~ 𝑁(𝜇 , 𝜎2
)
dan rata-rata sampel X akan berdistribusi
𝑋~ 𝑁 (𝜇,
𝜎2
𝑛
)
Statistik uji dari sampel X apabila 𝝈 𝟐
diketahui
adalah 𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
~ 𝑁(0,1)
sehingga statistik uji dari rata-rata sampel X
apabila 𝝈 𝟐
diketahui adalah
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎/ 𝑛
Apabila 𝝈 𝟐
tidak diketahui adalah
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝑠/ 𝑛
𝑡 =
𝑥 − 𝜇
𝑠/ 𝑛
𝐻0: 𝝁 = 𝝁 𝟎
𝐻1: 𝝁 ≠ 𝝁 𝟎
Asumsi
Sumber : Johnson hal. 210-211 (edisi 6)
Rizqi Aristya_16.9399
Sumber : Lee Bain hal 398-399
Hipotesis
Statistik Uji
untuk n > 30 untuk n < 30

3. Uji Hipotesis Vektor Rata-rata Multivariat
1 Populasi
Jika X1,X2,…,Xn adalah random sample dari
𝑁𝑝(𝝁, ) dan populasi kita asumsikan ∑ sudah
diketahui . Maka
𝑿(𝑝×1) =
1
2 𝑗=1
𝑛
𝑿𝑗 = μ dan
𝑆(𝑝×𝑝) =
1
(𝑛−1) 𝑗=1
𝑛
(𝑋𝑗 − 𝑿)(𝑋𝑗 − 𝑋 )’ = ∑.
𝑇2
= 𝑛 𝒙 − 𝝁 𝟎
′
𝑺−1
𝑥 − 𝜇0
𝑇2
disebut Hotteling’s 𝑇2
yang merupakan
pendekatan daridistribusi 𝑡2
pada kasus
univariat.
𝐻0 : μ=𝝁 𝟎
𝐻1 : Minimal ada satu variabel yang μ≠𝝁 𝟎 ,
dimana 𝝁0 𝑝×1 =
𝜇10
𝜇20
⋮
𝜇 𝑝0
Sumber: Johnson Hal. 212-213
Amalia D R _16.9001
𝑇2
= 𝑛 𝒙 − 𝝁 𝟎
′
𝑺−1
𝑥 − 𝜇0 >
𝑛−1 𝑝
𝑛−𝑝
𝐹𝑝,𝑛−𝑝 𝛼 Maka tolak 𝐻0
Dalam bentuk kuadrat , statistic uji t dalam
univariat dapat ditulis
𝑡2
=
( 𝑋 − 𝜇0)
𝑠2/𝑛
= 𝑛( 𝑋 − 𝜇0)′(𝑠2
)−1
( 𝑋 − 𝜇0)
Jika dianalogikan ke dalam uji multivariate
menjadi
𝑇2
= 𝑛( 𝒙 − 𝝁 𝟎)′(S)−1
( 𝒙 − 𝝁 𝟎)
Asumsi
Hipotesis
Critical Region
T- Hotteling’s
T- Hotteling’s

4. Contoh :
Latihan
5.1
Evaluasi nilai 𝑇2
dari data matriks berikut , untuk menguji 𝐻0 : 𝜇 = 7 11
𝑋 =
2 12
8 9
6 9
8 10
Jawab :
dan
Maka,
sehingga
memiliki nilai kritis 
Sumber : Johnson hal. 261(edisi 6)
𝐱 =
x1
x2
=
2 + 8 + 6 + 8
4
12 + 9 + 9 + 10
4
=
6
10
s11 =
(2 − 6)2
+ (8 − 6)2
+ (6 − 6)2
+ (8 − 6)2
2
= 12
s12 =
(2−6)(12−10)+(8−6)(9−10)+(6−6)(9−10)+(8−6)(10−10)
2
= −5
s22 =
(12 − 10)2
+ (9 − 10)2
+ (9 − 10)2
+ (10 − 10)2
2
= 3
𝐒 =
12 −5
−5 3
𝐒−1
=
1
(12)(3) − (−5)(−5)
3 5
5 12
=
3
11
5
11
5
11
12
11
T2
= 4 6 − 7 , 10 − 11
3
11
5
11
5
11
12
11
6 − 7
10 − 11
= 4 −1 , −1
−
8
11
−
17
11
=
25
11
2(4 − 1)
(4 − 2)
F2,4−2 = 3F2,2𝑇2
Rizqi Aristya_16.9399

5. Contoh :
Contoh
5.2
Keringat dari 20 perempuan sehat dianalisa. Terdapat 3 komponen yang diukur,
yaitu X1 = rata-rata keringat, X2 = kandungan sodium, dan X3 = kandungan potassi
um yang kemudian disajikan dalam Sweat Data yang ditampilkan dalam tabel
5.1. Buku Applied Multivariate Statistical Analysis.Uji hipotesis .
dan
Jawab :
dan Ttabel : 8,18
Keputusan
> 8,18 sehingga keputusannya tolak H0 . Artinya terdapat minimal satu
nilai μ yang berbeda dengan nilai μ0.
Sumber : Johnson hal. 214-215 (edisi 6)
𝐻0: 𝛍′
= [ 4, 50 , 10 ]
𝐻1: 𝛍′
≠ [ 4 , 50 , 10 ]
𝛼 = 0.10
𝐱 =
4.640
45.400
9.965
𝐒 =
2.879 10.010 −1.810
10.010 199.788 −5.640
−1.810 −5.640 3.628
𝐒−1
=
0.586 −0.022 0.258
−0.022 0.006 −0.002
0.258 −0.002 0.402
T2
= 20 4.640 − 4 , 45.400 − 50 , 9.965 − 10
0.586 −0.022 0.258
−0.022 0.006 −0.002
0.258 −0.002 0.402
4.640 − 4
45.400 − 50
9.965 − 10
= 20 0.640, −4.600 , −0.035
0.467
−0.042
0.160
= 9.74
𝑇2
= 9.74
Amalia D R _16.9001

6. Selang Kepercayaan
Multivariat
Wilayah Kepercayaan Multivariat
Univariat
Selang kepercayan univariat
Add Contents Title
Confidence Interval
Confidence Region
𝐵𝐵 < 𝜇𝑖 < 𝐵𝐴
𝑥𝑖 ± critical value . Se
𝝀
𝝀
𝑥
Cindira_16.9055

7. Confidence Interval Simultan
Add Contents Title
𝑋1, 𝑋2, ..., 𝑋 𝑛 merupakan random sample dari suatu populasi 𝑁𝑝(μ, Ʃ) dengan Ʃ merupakan definit positif,
interval simultan :
𝒂′ 𝑿 ± (
𝒑(𝒏−𝟏)
𝒏−𝒑
𝑭 𝒑, 𝒏−𝒑 (𝜶) 𝒂′ 𝑺𝒂 )
𝑇2
-intervals dimungkinkan untuk menjadi :
𝒙𝒊 ± (
𝒑(𝒏−𝟏)
𝒏−𝒑
𝑭 𝒑, 𝒏−𝒑 (𝜶)
𝑺𝒊𝒊
𝒏
)
Atau
𝓵′ 𝒙 ±
𝒑 𝒏 − 𝟏
𝒏 𝒏 − 𝒑
𝑭 𝜶; 𝒑,𝒏−𝒑 𝓵′
𝐒 𝓵 𝟏/𝟐
Cindira_16.9055
Sumber : Johnson Hal.220-221(edisi 6)

8. Confidence Interval Simultan
Add Contents Title
Jika p ≥ 4, menggunakan confidences ellipsoid. Dengan :
𝒙𝒊 ± (
𝒑 𝒏−𝟏
𝒏−𝒑
𝑭 𝒑, 𝒏−𝒑 𝜶 𝜆𝑖 𝒆𝒊)
𝑋1, 𝑋2, ..., 𝑋 𝑛, dimana n – p ⟶ ∾ dengan Ʃ diketahui definit positif :
𝒙𝒊 ± ( 𝝌 𝒑(𝜶)
𝑺 𝒊𝒊
𝒏
) hal:235
Atau
𝓵′
𝒙 ±
𝟏
𝒏
𝓵′
𝐒 𝓵 𝝌 𝜶;𝒑
𝟐 𝟏/𝟐
𝑋1, 𝑋2, ..., 𝑋 𝑛 dimana
i : 1, 2, ..., p
𝜆𝑖 : eigenvalues
𝒆𝒊 : eigenvectors
𝑥𝑖 ± ( 𝜒 𝑝(𝛼) 𝜆𝑖 𝒆𝒊 )
Cindira _16.9055
Sumber : Johnson Hal.220-221(edisi 6)

9. Selang Kepercayaan 1 Populasi
Confidence Interval : Poin Estimasi ± Z α/2 Standard Error
Jika Poin Estimasi x lainnya
x ± Z α/2
𝜎
𝑛
Z α/2=-Z 1-α/2
Jika 𝜎2 tidak diketahui and n kecil maka
x ± t 1-α/2
𝑠
𝑛
t 1-α/2= t (n-1)1-α/2
x − Z α/2
𝜎
𝑛
x + Z α/2
𝜎
𝑛
x − t 1-α/2
𝑠
𝑛
x + t 1-α/2
𝑠
𝑛
Ary Vebryan_16.9027
Sumber : Lee Bain hal 362 dan 365

10. Metode Bonferroni
If the number m of specified component means μi or linear combinatio
n a’μ= ꭤ1μ1+ ꭤ2μ2 + . . . + ꭤpμp is small,simultaneos confidence interval
can be developed that are short and developed from a probability
inequality
P[all Ci True] = 1 - P[ at least one Ci false ≥ 1 - 𝑖=1
𝑚
𝑃 𝐶𝑖 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒
= 1 − 𝑖=1
𝑚
(1 − 𝑃 𝐶𝑖 𝑡𝑟𝑢𝑒 )
= 1 - (α1+ α2+. . . + αm)
Sumber : Johnson Hal. 232-234 ( edisi 6)
Ary Vebryan_16.9027

11. Metode Bonferroni
Ci = Confidence statement
xi ± tn-1(
𝛼𝑖
2
)
𝑠𝑖𝑖
𝑛
i=1,2,…,m
Dengan 𝛼𝑖= 𝛼/m. karena P[xi ± tn-1(𝛼/2m)
𝑆𝑖𝑖
𝑛
contains μi = 1- 𝛼/m, i = 1,2, .
. . ,m
P[xi ± tn-1(
𝛼𝑖
2𝑀
)
𝑠𝑖𝑖
𝑛
contains 𝜇𝑖, all i ≥ 1- (
𝛼
𝑀
+
𝛼
𝑀
+ ⋯ +
𝛼
𝑀
)
= 1- 𝛼
x1 − tn-1(
𝛼
2𝑝
)
𝑠11
𝑛
≤ μ1 ≤ x1 + tn-1(
𝛼
2𝑝
)
𝑠11
𝑛
x2 − tn-1(
𝛼
2𝑝
)
𝑠22
𝑛
≤ μ2 ≤ x2 + tn-1(
𝛼
2𝑝
)
𝑠22
𝑛
. .. .. .
xp − tn-1(
𝛼
2𝑝
)
𝑠 𝑝𝑝
𝑛
≤ μ2 ≤ xp + tn-1(
𝛼
2𝑝
)
𝑠 𝑝𝑝
𝑛
Amalia D R _16.9001
Sumber : Lee Bain hal 362 dan 365

12. Daerah Penerimaan T2 VS Bonferroni
Interval Bonferoni untuk kombinasi linear
a’𝝁 dan analogi T2-interval secara umum
a’ 𝐱 ± (critical value)
a′
𝒔a
𝑛
Dimana a1’ = 1 0 0 ... 0; a2’= 0 1 0 ... 0 dst
ap’= 0 0 … 0 1
𝑳𝒆𝒏𝒈𝒕𝒉 𝒐𝒇 𝑩𝒐𝒏𝒇𝒆𝒓𝒓𝒐𝒏𝒊 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍
𝑳𝒆𝒏𝒈𝒕𝒉 𝒐𝒇 𝑻 𝟐
−𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍
=
𝒕 𝒏− 𝟏( 𝛼
𝟐𝒎
)
𝒑(𝒏−𝟏)
𝑛−𝑝
𝐹 𝑝, 𝑛− 𝑝(𝛼)
Amalia D R _16.9001

13. Metode Bonferroni
Amalia D R _16.9001

14. Large Sample Inferences
Add Contents Title
All large sample inferences about μ are based on a 𝟀 𝟐 𝐰𝐢𝐭𝐡 𝐩. 𝐝. 𝐟 𝐚𝐧𝐝 𝐭𝐡𝐮𝐬,
P[n( 𝐱 - μ )’S-1( 𝐱 - μ ) ≤ 𝟀2
p(𝜶)] = 1 - 𝜶
𝟀2
p(𝜶) is the upper (100 𝜶)th percentile of the 𝟀2
p distribution
X1,X2,. . . Xn a random sample from population with mean μ and positive definite covariance
Σ. If n-p is large
a’ 𝐱 ± 𝟀2
p(𝜶)
a′
𝒔a
𝒏
Will contain a’ μ, for every a, with probability approximately 1-𝜶. Consequently, we can make the 100(1 - 𝜶)% simultane
ous confidence statements
𝐱 𝟏 ± 𝟀2
p(𝜶)
𝒔 𝟏𝟏
𝒏
contains μ1
𝐱 𝟐 ± 𝟀2
p(𝜶)
𝒔 𝟐𝟐
𝒏
contains μ2
. .. .
. .
𝐱 𝒑 ± 𝟀2
p(𝜶)
𝒔 𝒑𝒑
𝒏
contains μp
All pairs (μi, μk) I,k = 1,2,…p. The sample mean centered ellipses
n[ 𝐱 𝒊 - μ, 𝐱 𝒌 - μ]
𝒔𝒊𝒊 𝒔𝒊𝒌
𝒔𝒊𝒌 𝒔 𝒌𝒌
-1
𝐱 𝒊− μi
𝐱 𝒌− μk
≤ 𝟀2
p(𝜶)] contain (μi, μk)
Ary Vebryan_16.9027

15. Large Sample Inferences
Ketika ukuran sampel besar , selang keprcayaan untuk masin
g masing rata-rata adalah
xi −𝑧(
𝛼
2
)
𝑠𝑖𝑖
𝑛
≤ μ𝑖 ≤ xi +𝑧(
𝛼
2
)
𝑠𝑖𝑖
𝑛
i = 1,2,. . .p
Menggunakan modifikasi persentil 𝑧(
𝛼
2𝑝
)
xi −𝑧(
𝛼
2𝑝
)
𝑠𝑖𝑖
𝑛
≤ μ𝑖 ≤ xi +𝑧(
𝛼
2𝑝
)
𝑠𝑖𝑖
𝑛
i = 1,2,. . .p
Ary Vebryan_16.9027
Sumber : Johnson Hal. 232-237 (edisi 6)

16. PAIRED COMPARISONS AND A REPEATED MEASURE DESIGN
a. Paired Comparisons
Untuk kasus univariate, Misal Xj1 adalah respond unt
uk treatment pertama (sebelum diberi perlakuan) dan Xj2 ada
lah respond untuk treatment kedua (setelah diberi perlakuan)
untuk percobaan ke j. (Xj1, Xj2) adalah measurement recorde
d dari unit ke j atau pasangan ke j dari unit.
Dj= Xj1-Xj2, j=1,2,...,n (6-1)
Wahyu D H_16.9461
Sumber : Johnson Hal. 232-237 (edisi 6)

17. PAIRED COMPARISONS AND A REPEATED MEASURE DESIGN
100(1-α)% confidence region for δ consist of all δsuch that
100(1-α)% simultaneous confidence interval for individual
mean differences δi
Dimana = elemen ke i dari dan adalah elemen diagonal ke i dari
Untuk n-p besar, dan tidak membutuhkan asumsi normalitas
Bonferroni 100(1-α)% simultaneous confidence interval for
individual mean differences δi
Wahyu D H_16.9461
Sumber : Johnson hal.276 (edisi 6)

18. B . Repeated Measures Design for Comparing Treatments
Add Contents Title
Setiap unit penelitian menerima sekali treatment
pada successive periods of time
j=1,2,...,n
Q = jumlah treatment
Xij = respond pada treatment ke i pada unit ke j.
Uji Kesamaan Perlakuan pada Repeated
Measures Design
Populasi Nq(μ,∑) dengan C adalah matiks konstan.
Hipotesis
Statistik Uji
Wahyu D H_16.9461
Sumber :Johnson hal.279-281(edisi 6)
Dimana
Tolak Ho jika
Confidence region for contrasts Cμ
Simultaneous 100(1-α)% confidence intervals
for single contrasts c’μ

19. Contoh :
Contoh
6.2
Perbaikan anastesi sering dikembangkan dengan terlebih dahulu mempelajari efe
knya terhadap hewan. Dalam suatu penelitian, 19 anjing diberi pentobarbitol kem
udian diberi CO2 pada masing-masing dari dua tingkat tekanan. Lalu, halothane d
itambahkan, dan diberikan CO2 kembali. Hasil yang dicatat adalah waktu (milllise
conds) detak jantung dari kombinasi empat perlakuan tersebut yang kemudian di
sajikan dalam Sleeping-Dog Data yang ditampilkan dalam tabel 6.2.
Treatment 1 = high CO2 pressure without H
Treatment 2 = low CO2 pressure without H
Treatment 3 = high CO2 pressure with H
Treatment 4 = low CO2 pressure with HAda tiga perlakuan kontras yang menarik
dalam eksperimen tersebut, Sumber : Johnson hal. 281-283
(edisi 6)
Rizqi Aristya_16.9399
( 𝜇3 + 𝜇4) − ( 𝜇1 + 𝜇2) =
Halothane contrast representing the difference
between the presence and absence of halothane
( 𝜇1 + 𝜇3) − ( 𝜇2 + 𝜇4) =
CO2 contrast representing the difference
between high and low of CO2
( 𝜇1 + 𝜇4) − ( 𝜇2 + 𝜇3) = (H − CO2 pressure "interaction")

20. Contoh :
Contoh
6.2
Sumber : Johnson hal. 281-283
(edisi 6)
Rizqi Aristya_16.9399
Berdasarkan data yang ada, diperoleh
Dapat diverifikasi dengan
= 116 > 10.94 sehingga keputusannya tolak
dengan 𝛍′
= 𝜇1, 𝜇2, 𝜇3, 𝜇4 , matriks kontras C adalah
𝐂 =
−1 −1 1 1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1
𝐱 =
368.21
404.63
479.26
502.89
dan 𝐒 =
2819.29
3568.42 7963.14
2943.49
2295.35
5303.98
4065.44
6851.32
4499.63 4878.99
𝐂𝐱 =
209.31
−60.05
−12.79
𝐂𝐒𝐂′ =
9432.32 1098.92 927.62
1098.92 5195.84 914.54
927.62 914.54 7557.44
𝑇2
= 𝑛( 𝑪𝒙)′
(𝑪𝑺𝑪)−1( 𝑪𝒙) = 19(6.11) = 116 dengan α = 0.05
(19 − 1)(4 − 1)
(19 − 4 + 1)
F4−1,19−4+1(0.05) = 10.94
𝑇2
𝐻0: 𝐂𝛍′
= 0

21. Contoh :
Contoh
6.2
Sumber : Johnson hal. 281-283
(edisi 6)
Rizqi Aristya_16.9399
Berdasarkan data yang ada, diperoleh
Dapat diverifikasi dengan
= 116 > 10.94 sehingga keputusannya tolak
dengan 𝛍′
= 𝜇1, 𝜇2, 𝜇3, 𝜇4 , matriks kontras C adalah
𝐂 =
−1 −1 1 1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1
𝐱 =
368.21
404.63
479.26
502.89
dan 𝐒 =
2819.29
3568.42 7963.14
2943.49
2295.35
5303.98
4065.44
6851.32
4499.63 4878.99
𝐂𝐱 =
209.31
−60.05
−12.79
𝐂𝐒𝐂′ =
9432.32 1098.92 927.62
1098.92 5195.84 914.54
927.62 914.54 7557.44
𝑇2
= 𝑛( 𝑪𝒙)′
(𝑪𝑺𝑪)−1( 𝑪𝒙) = 19(6.11) = 116 dengan α = 0.05
(19 − 1)(4 − 1)
(19 − 4 + 1)
F4−1,19−4+1(0.05) = 10.94
𝑇2
𝐻0: 𝐂𝛍′
= 0

22. Contoh :
Contoh
6.2
Sumber : Johnson hal. 281-283
(edisi 6)
Rizqi Aristya_16.9399
Untuk melihat kontras mana yang bertanggung jawab atas penolakan H0,
dibentuk interval kepercayaan simultan 95% untuk kontras tersebut, kontras
diestimasi oleh interval
di mana adalah baris pertama dari C. Sama halnya, kontras yang lainnya
diestimasi oleh
𝐜 𝟏
′
𝛍 = ( 𝜇3 + 𝜇4) − ( 𝜇1 + 𝜇2) = pengaruh halothane
( 𝑥3 + 𝑥4) − ( 𝑥1 + 𝑥2) ±
18(3)
(16)
𝐹3,16(0.05)
𝐜 𝟏′𝐒𝐜1
19
= 209.31 ± 10.94
9432.32
19
CO2 pressure infuence = ( 𝜇1 + 𝜇3) − ( 𝜇2 + 𝜇4):
= −60.05 ± 54.70
H − CO2 pressure "interaction" = ( 𝜇1 + 𝜇4) − ( 𝜇2 + 𝜇3):
= −12.79 ± 65.97

23. Latihan
Soal :
Exercise
7.10
Wolfgang Hardle –
Multivariate Statistics
Cindira_16.9055
• Consider X ∼ N3 (μ,Σ). An iid sample of size
n = 10 provides:
• 𝑥 =
1
0
2
and 𝑆 =
3 2 1
2 3 1
1 1 4
• Knowing that the eigenvalues of S are integ
ers, describe a 95% confidence region for μ.
• Calculate the simultaneous confidence inter
vals for μ1, μ2 and μ3.

24. Latihan
Soal :
Exercise
7.10
Wolfgang Hardle –
Multivariate Statistics
Cindira_16.9055
Penyelesaian :
• S − λI = 0
•
3 2 1
2 3 1
1 1 4
−
λ 0 0
0 λ 0
0 0 λ
= 0
•
3 − λ 2 1
2 3 − λ 1
1 1 4 − λ
= 0
• (3 − λ)2 (4 − λ) + 2 + 2 - (3 − λ) - (3 − λ) – 4(4 − λ) = 0
• (λ − 6) (λ − 3) (−λ + 1) = 0

25. Latihan
Soal :
Exercise
7.10
Wolfgang Hardle –
Multivariate Statistics
Cindira_16.9055
• 95% Confidence Region :
•
𝑥1
𝑥2
𝑥3
±
𝑝(𝑛−1)
𝑛−𝑝
𝐹𝑝;𝑛−𝑝,1−𝛼. λ𝑖. 𝑒𝑖 
1
0
2
±
3𝑥9
7
. 𝐹3;7,0,95 . λ𝑖. 𝑒𝑖
• 1 ± 100,671.
1 3
1 3
1 3
• 0 ± 50,336.
1 6
1 6
−2 6
• 2 ± 16,779.
−1 2
1 2
0

26. Latihan
Soal :
Exercise
7.10
Wolfgang Hardle –
Multivariate Statistics
Cindira_16.9055
• Simultaneous confidence intervals untuk μ1,
μ2, dan μ3
• Confidence intervals : 𝑥𝑖 ±
𝑝(𝑛−1)
𝑛−𝑝
𝐹𝑝;𝑛−𝑝,0,95.
s 𝑖𝑖
(𝑛−1)
• −1,364 < 𝜇1 < 3,364
• −2,364 < 𝜇2 < 2,364
• −0,729 < 𝜇3 < 4,730

27. Thank you
Editor : Amalia D R_16.9001