Dokumen tersebut membahas tentang stabilisasi dinamis sistem. Ada tiga definisi stabilisasi dinamis yaitu coefficient assignable, pole assignable, dan stabilizable. Diberikan lemma bahwa sistem (F,G) ekuivalen dengan sistem bentuk normal ketercapaian jika matriks kolom G invertibel. Kemudian dibuktikan bahwa sistem (F,G) tercapai jika dan hanya jika sistem coefficient assignable dinamis.

1. DYNAMIC STABILIZATION
Definisi
Misal (퐹,퐺) system berdimensi n atas ring komutatif R.
i. Sistem (퐹,퐺) merupakan coefficient assignable dinamis jika terdapat bilangan bulat nonnegatif r sedemikian hingga sistem berdimensi n+r :
(퐹̃,퐺̃ )=(( 퐹000),( 퐺00퐼 )) , dengan 퐼 matriks identitas berukuran 푟×푟, coefficient assignable.
ii. Sistem (퐹,퐺) merupakan pole assignable dinamis jika terdapat bilangan bulat nonnegatif r sedemikian hingga sistem berdimensi n+r :
(퐹̃,퐺̃ )=(( 퐹000),( 퐺00퐼 )) , dengan 퐼 matriks identitas berukuran 푟×푟, pole assignable.
iii. Sistem (퐹,퐺) merupakan stabilizable dinamis (dengan R merupakan ring fungsi- fungsi bernilai real atau kompleks), jika terdapat bilangan bulat nonnegatif r sedemikian hingga sistem berdimensi n+r :
(퐹̃,퐺̃ )=(( 퐹000),( 퐺00퐼 )) , dengan 퐼 matriks identitas berukuran 푟×푟, stabilizable (dengan R merupakan ring fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks).
Hasil yang diharapkan: Sistem (F,G) tercapai jika dan hanya jika (F,G) coefficient assignable dinamis. Sebelumnya, diberikan lemma berikut.
LEMMA :
Misal (퐹,퐺) sistem atas ring 푅 yang berdimensi 푛푠. Misal terdapat matriks invertibel 푉 dan kolom-kolom dari 퐺̅=퐺푉, yaitu 푔̅1,…,푔̅푠, sedemikian hingga matriks berukuran 푛푠×푛푠:
[퐹푛−1푔̅1,…,푔̅1,퐹푛−1푔̅2,…,푔̅2,…,퐹푛−1푔̅푠,…,푔̅푠] invertibel.
Maka sistem (퐹,퐺) ekuivalen dengan sistem (퐹̂ +퐺̂퐾,퐺̂), dimana 퐹̂ +퐺̂퐾 mempunyai vector siklik dalam image dari 퐺̂. Lebih lanjut sistem (퐹,퐺) merupakan coefficient assignable.

2. BUKTI:
Tinjau: sistem (퐹,퐺) ekuivalen dengan sistem (퐹,퐺̅).
Tanpa mengurangi perumuman, asumsikan 푉 matriks identitas dan [퐹푛−1푔1,…,푔1,퐹푛−1푔2,…,푔2,…,퐹푛−1푔푠,…,푔푠] invertibel dimana setiap 푔푖 merupakan kolom dari 퐺. Dengan asumsi ini, maka 푔푖=푔̅푖.
Selanjutnya, urutkan kembali basis standar dari 푅푚 sehingga diperoleh 푔1 kolom pertama dari 퐺, 푔2 kolom kedua dari 퐺, demikian seterusnya.
Karena matriks [퐹푛−1푔1,…,푔1,퐹푛−1푔2,…,푔2,…,퐹푛−1푔푠,…,푔푠] invertibel, maka 훽= {퐹푛−1푔1,…,푔1,퐹푛−1푔2,…,푔2,…,퐹푛−1푔푠,…,푔푠} merupakan basis dari 푅푛푠.
Matriks 퐹 ̃dan 퐺̃ matriks representasi dari 퐹 dan 퐺 terhadap basis 훽, yaitu: 퐹̃ 푛푠×푛푠=[퐹]훽 훽 =[[퐹(퐹푛−1푔1)]훽,…,[퐹(푔1)]훽,…,[퐹(퐹푛−1푔푠)]훽,…,[퐹(푔푠)]훽] = [ ∗10∗01⋯0⋯0⋮⋮⋮ ∗ ∗ 0000⋱⋮ ⋯ ⋯ 10∗0∗0⋯0⋯0⋮⋮ ∗ ∗ 00⋯⋮ ⋯ ⋯ 00∗00∗00⋯ 0⋯0⋮⋮⋮ ∗ ∗ 0000⋯⋮ ⋯ ⋯ 00∗1∗0⋯0⋯0⋮⋮ ∗ ∗ 00⋯⋮ ⋯ ⋯ 10⋱ ∗0∗0⋯0⋯0⋮⋮ ∗ ∗ 00⋯⋮ ⋯ ⋯ 00⋯ ∗0∗0⋯0⋯0⋮⋮ ∗ ∗ 00⋯⋮ ⋯ ⋯ 00⋮⋮ ∗00∗00⋯0⋯0⋮⋮⋮ ∗ ∗ 0000⋯⋮ ⋯ ⋯ 00∗0∗0⋯0⋯0⋮⋮ ∗ ∗ 00⋯⋮ ⋯ ⋮ 00⋯⋮ ⋯ ∗1∗0⋯0⋯0⋮⋮ ∗ ∗ 00⋯⋮ ⋯ ⋯ 10]
dan

3. 퐺̃ 푛푠×푚=[[푔1]훽,[푔2]훽,…,[푔푠]훽,[푔푠+1]훽,…,[푔푚]훽]= [ 0000⋯0⋯0⋮⋮ 10⋯⋮ ⋯00000⋯0⋯0⋮⋮ 01⋯⋮ ⋯0∗⋯∗ ∗⋯∗ ∗⋯∗ ∗⋯∗ ∗⋯∗ ∗⋯∗ ∗⋯∗ ∗⋯∗ ⋱ 0000⋯0⋯0⋮⋮ 00⋯⋮ ⋯1⋱ ∗⋯∗ ∗⋯∗ ∗⋯∗ ∗⋯∗]
dimana ∗ menotasikan suatu elemen dalam 푅 yang mungkin tidak nol.
Sistem (퐹̃ ,퐺̃ ) merupakan bentuk normal ketercapaian.
Bagaimanapun, bentuk 퐹̃ belum cukup sederhana sehingga kita akan membuat matriks pertukaran basis yang lain pada 푅푛푠 untuk mendapatkan suatu bentuk kanonik ketercapaian dari 퐹.
Namakan matriks pertukaran basisnya dengan Φ.
Untuk mendeskripsikan Φ, misalkan 퐹푛푔푗=−ΣΣ훼푖푘푗퐹푛−푘푔푖 푛 푘=1 푠 푖=1,푗=1,…,푠 =−훼11푗퐹푛−1푔1−⋯−훼1푛푗푔1−훼21푗퐹푛−1푔2−⋯−훼2푛푗푔2−⋯−훼푠1푗퐹푛−1푔푠−⋯−훼푠푛푗푔푠
Maka −훼푖푘푗 merupakan pengganti elemen-elemen yang sebelumnya bertanda “∗” pada 퐹̃ .
Kolom (푗−1)푛+1 dari 퐹̃ adalah [−훼11푗,−훼12푗,…,−훼1푛푗,−훼21푗,…,−훼2푛푗,…,−훼푠푛푗] 푇
Dengan notasi ini, dimisalkan matriks transisi

4. Φ berukuran 푛푠 × 푛푠 yaitu :
111 112 11
121 111 122
1( 1)1 111 1( 1)2 112 1( 1)n 11
21 212 21
2( 1)1 11 2( 1)2 212 2( 1)n
11
n( 1)1 11
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0
1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0
0 1 0
0 0 0
0 0
n
n n n n
n n
n n n n
n
n n
  
  
     
  
    

 
  
  

 
12 1
n( 1)2 n( 1)n
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0
0
0 0 1
n n n
n n
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dengan masing-masing diagonal pada setiap blok diagonal adalah 1, dan masing-masing diagonal pada
blok yang lain adalah 0.
Klaim bahwa Φ invertibel dengan det Φ = 1 dan 퐹̂
= Φ−1퐹̃
Φ dengan 퐹̂
didefinisikan sebagai matriks
yang memiliki 푠2 blok yang berukuran 푛 × 푛 dengan blok 퐹̂
푖푗 yang sama dengan
[
0 훿푖푗
0 0
0
훿푖푗
⋯ 0
⋯ 0
⋮
0
⋮
0
−훼푖푛푗 −훼푖(푛−1)푗
⋮
0⋯
⋯
⋯
⋮
훿푖푗
⋯ −훼푖푗]
dan 훿푖푗 merupakan fungsi Kronecker delta.
Perhatikan bahwa 퐹̂
similar dengan 퐹̃
kecuali “∗” yang muncul pada baris ke 풏풊,푖 = 1, … , 푠,
menggantikan “∗” yang sebelumnya ada pada kolom 풏풋 + ퟏ, 푗 = 0, … , 푠 − 1.

5. Dengan melakukan induksi pada 푛 dan ekspansi berturut-turut pada baris 1, 푛 + 1. … , 푛(푠 − 1) + 1,
dengan mereduksi blok berukuran 푛 − 1 dengan tetap mempertahankan bentuk matriks Φ, sehingga
diperoleh det Φ = 1.
Dengan kata lain, Φ invertibel.
Akan ditunjukkan bahwa 푭̂
= 횽−ퟏ푭̃
횽.
Karena Φ invertibel maka cukup ditunjukkan 푭̃
횽 = 횽푭̂
menggunakan perkalian blok.
Notasikan 퐴푖푗 sebagai blok berukuran 푛 × 푛 ke-푖푗 dari matriks A yang berukuran 푛푠 × 푛푠.
Akan ditunjukkan
Σ 퐹̃
푖푘Φkj
푠
푘=1
= Σ Φik퐹̂
푘푗
푠
푘=1
Perhatikan bahwa:
Φ푖푘퐹̂
푘푗 =
[
훿푖푘 0
훼푖1푘 훿푖푘
0
0
⋯ 0
⋯ 0
훼푖2푘 푎푖1푘
⋮ ⋮
훼푖(푛−1)푘 훼푖(푛−2)푘
훿푖푘
⋮
훼푖(푛−2)푘
⋯ 0
⋯ ⋮
⋯ 훿푖푘 ]
[
0 훿푘푗
0 0
0
훿푘푗
⋯ 0
⋯ 0
⋮ ⋮
0 0
−훼푘푛푗 −훼푘(푛−1)푗
⋮
0
−훼푘(푛−2)푗
⋯ ⋮
⋯ 훿푘푗
⋯ −훼푘1푗]
=
[
0 훿푖푘훿푘푗
0 훼푖1푘 훿푘푗
0
훿푖푘 훿푘푗
⋯ 0
⋯ 0
0 푎푖2푘 훿푘푗
⋮ ⋮
훿푖푘 (−훼푘푛푗) (
훼푖(푛−1)푘 훿푘푗
+훿푖푘(−훼푘(푛−1)푗)
)
훼푖1푘 훿푘푗
⋮
⋯
⋯ 0
⋯ ⋮
⋯ (
훼푖1푘 훿푘푗
+훿푖푘(−훼푘1푗)
)
]
,
sehingga,
 
1
2 1
i
1
k
0 0 0
Φ
0 0
ˆ
0
0 0 0
n
n
ij
i j ij
s
k
i j i j ij
i j
kj F

 
  



 
 
 
  
 
 
 
 

Demikian juga,

6.  
 
1
2 1
3 1 1
1
1 1
1 1
2 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0
n
n
n
i k ik kj
i k ik k j kj
i k k j k j kj
ik kj
i k ik
k j k j kj
i k
i k kj ik k j ik kj
i k kj ik k j
F
  
   
   
 
   
     
   


    
  
   
    
     
  
  
   
        
    
    

     
1
1 1 2 1
0
0 0 0
n n n
n
ik k j ik kj
i k kj ik k j ik k j ik k j ik kj
i k kj
   
         
 
  
 
 
 
 
 
 
   
  
  
Dari sini diperoleh:
 
1
2 1
1
k
1
i
0 0
Φ
0
0 0
0
0 0 0
ˆ
n
n
ij
i j ij
s
ik kj
k
i j i j i
kj
j
i j
s
k
F
F

 
  




 
 
 
   
 
 
 
 



Terbukti bahwa 푭̂
= 횽−ퟏ푭̃
횽.
Misalkan 퐺̂
= Φ−1퐺̃
. Karena Φ invertibel maka 퐺̃
= Φ퐺̂
.
Karena Φenj = 푒푛푗 dengan 푒푛푗 = [0, … ,1,0, … ,0]푇 ( 1 pada baris ke-푛푗) yang merupakan elemen basis
standar pada 푅푛푠, maka diperoleh sebanyak 푠 kolom pertama dari 퐺̂
adalah sama dengan sebanyak
푠 kolom pertama dari 퐺̃
.
Dengan demikian, 퐺̂ memiliki bentuk yang sama seperti halnya 퐺̃
.
Klaim bahwa dapat dicari matriks 퐾 dan vektor 푢 sedemikian sehingga 퐺̂
푢 siklik untuk 퐹̂
+퐺̂
퐾.
Perhatikan matriks 퐺̂
퐾 dengan 퐾 matriks berukuran 푚 × 푛푠.

7. Dengan memperhatikan bentuk 퐺̂ , jika kita memilih matriks 퐾 dengan semua barisnya adalah nol setelah baris ke-푠 maka baris 푛,2푛,…,푠푛 dari 퐺̂ 퐾 adalah sama dengan baris 1,2,…,푠 pada 퐾.
Selanjutnya, dengan memilih sebanyak 푠 baris pertama dari 퐾, 퐹̂ +퐺̂ 퐾 dapat dibuat menjadi matriks yang elemen superdiagonal pertamanya adalah 1 dan 0 pada yang lain.
Dengan demikian, 퐺̂ 푒푠=푒푛푠 adalah vektor siklik untuk 퐹̂ +퐺̂ 퐾.
Berdasarkan teorema 3.3 maka sistem (퐹̂ +퐺̂ 퐾, 퐺̂ ) coefficient assignable, yang berarti bahwa sistem (퐹,퐺) coefficient assignable.