SAMPLE GEOMETRI AND RANDOM SAMPLING

1. CHAPTER 3
KELOMPOK 2 KELAS 3SE1
POLITEKNIK
STATISTIKA STIS
Dosen Pengampu : Rani Nooraeni, S.ST., M.Stat..

2. SAMPLE GEOMETRI
AND RANDOM
SAMPLING
POLITEKNIK STATISTIKA STIS

3. Mind map
3
3.1
introduction
3.2
The
geometri of
the sample
3.3
Random
Samples and
The Expected
Values of The
Sample Mean
and Covariance
Matrix
3.4
Generalized
varians
3.5
SAMPLE
MEAN,
COVARIANCE,
AND
CORRELATION
AS MATRIX
OPERATIONS
3.6
Sample
Values of
Linear
Combinations
of Variables
LATIHAN

4. Introduction
• “Interpretasi geometrik dari deskriptif statistik
𝒙, 𝑺 𝒏, and 𝐑 pada bagian 3.2
• Pada bagian 3.3 akan membahas tentang asumsi observasi
sebuah sampel acak.
• Bagian 3.4 membahas single number, yang disebut generalized
variance untuk menjelaskan variabilitas
Sampel geometri:
𝑿 =
𝑥11 𝑥12 ⋯ 𝑥1𝑝
𝑥21 𝑥22 ⋯ 𝑥2𝑝
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑥 𝑛1 𝑥 𝑛2 ⋯ 𝑥 𝑛𝑝
=
𝑥′1
𝑥′2
⋮
𝑥′ 𝑛
Generalized variance:
𝑺 =
𝑠11 𝑠12 ⋯ 𝑠1𝑝
𝑠21 𝑠22 ⋯ 𝑠2𝑝
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑠1𝑝 𝑠2𝑝 ⋯ 𝑠 𝑝𝑝
= 𝑠𝑖𝑘 =
1
𝑛−1 𝑗=1
𝑛
𝑥𝑗𝑖 + 𝑥𝑖 𝑥𝑗𝑘 + 𝑥 𝑘
4
By: Gunawan Zulfi

5. The geometri of the sample
X =
𝑥11 ⋯ 𝑥1𝑝
⋮ ⋱ ⋮
𝑥 𝑛1 ⋯ 𝑥 𝑛𝑝
, Vektor X dalam
ordo n x p
=
𝑥1
′
⋮
𝑥 𝑛
′
(3-1)
= 𝑦1 … 𝑦𝑝 (3-2)
NB:
 𝑥𝑖
′
adalah vektor observasi
(multivariat) ke-i untuk p
variabel (dalam vektor
baris).
 𝑦𝑖 adalah vektor variabel
ke-i yang mengandung
nilai-nilai observasi
(dalam vektor kolom).
 Persamaan 3-1 berada
pada halaman 112 dan
persamaan 3-2 berada
pada halaman 113.
5
By: Luh Lisna R

6. The geometri of the sample
Contoh 3.1
𝑋 =
4 1
−1 3
3 5
Vektor rata-rata
𝑥 =
4−1+3
3
1+3+5
3
=
2
3
Contoh 3.3
Dekomposisi sebuah vektor menjadi
komponen rata-rata dan deviasinya.
(𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑎𝑠𝑖) 2
=
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑎𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡
𝐿 𝑑 𝑖
2
= 𝑑𝑖
,
𝑑𝑖 = 𝑗=1
𝑛
(𝑥𝑗𝑖 − 𝑥𝑖 )2
(3-5)
6
Terdapat pada halaman 115 dengan vektor rata-rata
pada contoh 3.1
Persamaan (3-5) untuk deviasi 1 vector, dapat disebut
varians dari variable ke-i. Panjang vector tersebut
adalah standar deviasi.
By: Luh Lisna R

7. The geometri of the sample
𝑑𝑖 𝑑 𝑘 = 𝑗=1
𝑛
(𝑥𝑗𝑖 − 𝑥𝑖)(𝑥𝑗𝑘 − 𝑥 𝑘) (3-6)
= 𝐿 𝑑 𝑖
𝐿 𝑑 𝑘
cos 𝜃 𝑖𝑘
𝑟𝑖𝑘 =
𝑠 𝑖𝑘
𝑠 𝑖𝑖 𝑠 𝑘𝑘
= cos 𝜃 𝑖𝑘 (3-7)
 Pada persamaan (3-6) adalah deviasi untuk 2 vector.
Persamaan tersebut didapatkan dari persamaan (2-6)
di bab 2.
 Sudut kosinus adalah koefisien korelasi sampel. Jika 2
variable memiliki korelasi yang kuat, maka hasil dari
𝑟𝑖𝑘 akan mendekati 1.
7
By: Luh Lisna R

8. LAtihan soal The geometri of the sample
Given the data matrix
𝑿 =
3 4
6 −2
3 1
Graph the scatter plot p=2
dimensions, and locate the sample
mean on your diagram.
Answer.
Known: 𝑿 =
3 4
6 −2
3 1
Ask : Graph the scatter plot p=2
dimensions, and locate the sample
mean on your diagram.
Answer:
𝒙′1 = 3 4 = A
𝒙′2 = 6 −2 = B
𝒙′3 = 3 1 = C
𝒙 =
3+6+3
3
1+3+5
3
=
2
3
= D
8
By: Luh Lisna R

9. Latihan soal The geometri of the sample
Known: 𝑿 =
3 4
6 −2
3 1
Ask:
Sketch the n=3
dimensions representation
of the data, and plot the
deviation vectors 𝒚1 − 𝑥1 𝟏
and 𝒚2 − 𝑥2 𝟏.
Answer:
𝒚1 =
3
6
3
, 𝒚2 =
4
−2
1
The graph
𝒅1 = 𝒚1 − 𝑥1 𝟏 =
3 − 4
6 − 4
3 − 4
=
−1
2
−1
𝒅2 = 𝒚2 − 𝑥2 𝟏 =
4 − 1
−2 − 1
1 − 1
=
3
−3
0
9
By: Luh Lisna R

10. Random Samples and The Expected Values of The Sample Mean
and Covariance MatriX
Untuk mempelajari variabilitas
sampling seperti 𝑥 dan 𝑆 𝑛 dengan
tujuan akhir membuat kesimpulan,
kita perlu membuat asumsi tentang
variabel yang nilai pengamatannya
merupakan kumpulan data X.
Dimana,
𝑿(𝑛x𝑝)=
𝑋11 ⋯ 𝑋1𝑝
⋮ ⋱ ⋮
𝑋 𝑛1 ⋯ 𝑋 𝑛𝑝
=
𝑋1′
⋮
𝑋 𝑛′
Dua poin yang terhubung dengan
definisi sampel acak patut mendapat
perhatian khusus:
1. Pengukuran variabel p dalam satu
percobaan, seperti
𝑋′𝑗= 𝑋𝑗1, 𝑋𝑗2, … , 𝑋𝑗𝑝 , biasanya akan
dikorelasikan. Pengukuran dari
percobaan yang berbeda harus
independen.
2. Independensi pengukuran dari
percobaan ke percobaan mungkin
tidak akan berlaku ketika variabel
akan berubah dari waktu ke
waktu. Pelanggaran terhadap
asumsi tentatif independensi
dapat berdampak serius pada
kualitas kesimpulan statistik.
10
By: Fatima Fajar Y

11. Random Samples and The Expected Values of The Sample Mean
and Covariance MatriX
Misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑛 random sampel dari joint distribution
yang memiliki vektor rata-rata 𝜇 dan matriks kovarians Σ.
𝑋 adalah unbiased estimator dari 𝜇 dan covarian matriks nya
adalah
1
𝑛
Σ
E( 𝑋) = 𝜇 (vektor populasi rata-rata)
Cov ( 𝑋) =
1
𝑛
Σ (populasi varians-kovarians matriks dibagi
banyak sampel)
11
By: Fatima Fajar Y

12. Random Samples and The Expected Values of The Sample Mean
and Covariance MatriX
Untuk kovarians matriks 𝑆 𝑛,
𝐸 𝑆 𝑛 =
𝑛 − 1
𝑛
= −
1
𝑛
Maka
E
𝑛
𝑛−1
𝑆 𝑛 = Σ
𝑛
𝑛−1
𝑆 𝑛 merupakan unbiased estimator dari Σ
𝑆 𝑛 merupakan bias estimator dengan bias 𝐸 𝑆 𝑛 − = −
1
𝑛
UNBIASED SAMPLE MATRIKS VARIANS-KOVARIANS
S =
𝑛
𝑛−1
𝑆 𝑛 =
1
𝑛−1 𝑗=1
𝑛
𝑋𝑗 − 𝑋 𝑋𝑗 − 𝑋 ′
12
By: Fatima Fajar Y

13. Generelized variance
Generalized population variance= Σ
Generalized sample variance= 𝑆
𝑺 =
𝑠11 ⋯ 𝑠 𝑛1
⋮ ⋱ ⋮
𝑠 𝑝1 ⋯ 𝑠 𝑛𝑝
{𝑆𝑖𝑘=
1
𝑛 − 1
𝑗=1
𝑛
𝑋𝑗𝑖 − 𝑋𝑖 (𝑋𝑗𝑘 − 𝑋 𝑘)}
 Generalized sample variance = 𝑺
 Ketika p>1 maka ada beberapa informsi dari sample
yang hilang dari proses sehingga 𝑆 dapat digunakan
sebagai solusi untuk menunjukan tentang kelemahan
dan kelebihan dari descriptive summary
13
By: Aditya Faizal

14. Generelized variance
𝑑1 = 𝑦1 − 𝑥11
𝑑2 = 𝑦2 − 𝑥21
𝐿 𝑑1
= 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑑1
𝐿 𝑑2
= 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑑2
Gambar disamping
merupakan area yang
dihasilkan dalam 2
deviation vector
Area = 𝐿 𝑑1
𝐿 𝑑2
1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)
14
By: Aditya Faizal

15. Generelized variance
𝐿 𝑑1
=
𝑗=1
𝑛
𝑋𝑗1 − 𝑋1
2
= 𝑛 − 1 𝑠11
𝐿 𝑑2
=
𝑗=1
𝑛
𝑋𝑗2 − 𝑋2
2
= 𝑛 − 1 𝑠22
cos 𝜃 = 𝑟12
𝑎𝑟𝑒𝑎 = 𝑛 − 1 𝑠11 𝑠22 𝑟12
2
𝑆 =
𝑠11 𝑠12
𝑠21 𝑠22
=
𝑠11 𝑠11 𝑠22 𝑟12
𝑠11 𝑠22 𝑟12 𝑠22
𝑠11 𝑠22 − 𝑠11 𝑠22 𝑟12
2
= 𝑠11 𝑠22 1 − 𝑟12
2
15
By: Aditya Faizal

16. Generelized variance
Dari persamaan diatas kita bisa
tuliskan
𝑆 =
𝑎𝑟𝑒𝑎 2
𝑛 − 1 2
Maka dari itu kita bisa menuliskan
untuk p deviation :
𝑆 = 𝑛 − 1 −𝑝
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 2
16
.
By: Aditya Faizal

17. Generelized variance
𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑒𝑑 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒
𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑑𝑖𝑧𝑒𝑑 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
= 𝑹 = 𝑛 − 1 −𝑝(𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒)2
Hubungan antara 𝑺 dan 𝑹
𝑺 = 𝑠11 𝑠22 … 𝑠 𝑝𝑝 𝑹
𝑛 − 1 𝑝 𝑺 = 𝑛 − 1 𝑝 𝑠11 𝑠22 … 𝑠 𝑝𝑝 𝑹
Generalisasi varians lainnya:
Total sample variance = 𝑠11 + 𝑠22 + ⋯ + 𝑠 𝑝𝑝
17
By: Sri Indriyani

18. Latihan soal Generelized variance
Contoh 3.11
Berikut ilustrasi hubungan generalized variances |S| dan |R| ketika p = 3
Anggap 𝐒(3×3) =
4 3 1
3 9 2
1 2 1
, sehingga s11 = 4, s22 = 9, dan s33 = 1. Selanjutnya, 𝑹 =
1
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
2
3
1
Akan kita peroleh
𝐒 = 4
9 2
2 1
(−1)2
+3
3 2
1 1
(−1)3
+1
3 9
1 2
(−1)4
= 4 9 − 4 − 3 3 − 2 + 1 6 − 9 = 14
𝐑 = 1
1
2
3
2
3
1
−1 2
+
1
2
1
2
2
3
1
2
1
−1 3
+
1
2
1
2
1
1
2
2
3
−1 4
= 1 −
4
9
−
1
2
1
2
−
1
3
+
1
2
1
3
−
1
2
=
7
18
Dapat dibuktikan bahwa
14 = |S|= s11 s22 s33 |R| = (4)(9)(1)
7
18
= 14 (terbukti)
18
By: Sri Indriyani

19. SAMPLE MEAN, COVARIANCE, AND CORRELATION AS MATRIX
OPERATIONS
Matrix of means
𝟏 𝒙′
=
1
𝑛
𝟏𝟏′
𝑿 =
𝑥1 𝑥2 … 𝑥 𝑝
𝑥1 𝑥2 … 𝑥 𝑝
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑥1 𝑥2 … 𝑥 𝑝
Matrix of deviations (residuals)
𝑿 −
1
𝑛
𝟏𝟏′
𝑿 =
𝑥11 − 𝑥1 𝑥12 − 𝑥2 … 𝑥1𝑝 − 𝑥 𝑝
𝑥21 − 𝑥1 𝑥22 − 𝑥2 … 𝑥2𝑝 − 𝑥 𝑝
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑥 𝑛1 − 𝑥1 𝑥 𝑛2 − 𝑥2 … 𝑥 𝑛𝑝 − 𝑥 𝑝
Matriks 𝒙 dan 𝑺 dengan data set 𝑿 dapat dinyatakan
dengan
𝒙 =
1
𝑛
𝑿′
𝟏
𝑺 =
1
𝑛 − 1
𝑿′
𝑰 −
1
𝑛
𝟏𝟏′
𝑿
19
By: Sri Indriyani

20. SAMPLE MEAN, COVARIANCE, AND CORRELATION
AS MATRIX OPERATIONS
Matriks standar deviasi sampel dan inversnya
𝑫(𝑝×𝑝)
1/2
=
𝑠11 0 … 0
0 𝑠22 … 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 … 𝑠 𝑝𝑝
𝑫(𝑝×𝑝)
−1/2
=
1
𝑠11
0 … 0
0
1
𝑠22
… 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 …
1
𝑠 𝑝𝑝
𝑹 = 𝑫−1/2
𝑺𝑫−1/2
𝑺 = 𝑫1/2
𝑹𝑫1/2
20
By: Sri Indriyani

21. Latihan soal SAMPLE MEAN, COVARIANCE, AND CORRELATION AS
MATRIX OPERATIONS
Contoh 3.12
Hitunglah total sample variance untuk matriks varians-kovarians S
pada contoh 3.7 dan 3.9
Dari contoh 3.7
𝐒 =
252.04 −68.43
−68.43 123.67
Total sample variance = s11 + s22 = 252.04 + 123.67 = 375.71
Dari contoh 3.9
𝐒 =
3 −
3
2
0
−
3
2
1
1
2
0
1
2
1
Total sample variance = s11 + s22 + s33 = 3 + 1 + 1 = 5
21
By: Sri Indriyani

22. Sample Values of Linear Combinations of
Variables
Seperti yang sudah di jelaskan dalam Section 2.6. Dalam prosedur
multivariate, kita harus mendapatkan kombinasi linier dari bentuk :
𝑐′
𝑋 = 𝑐1 𝑋1 + 𝑐2 𝑋2+. . . + 𝑐 𝑃 𝑋 𝑃
Atau dengan nilai pengamatan j menjadi:
𝑐′
𝑥𝑗 = 𝑐1 𝑥𝑗1 + 𝑐2 𝑥𝑗2+. . . +𝑐 𝑃 𝑥𝑗𝑃 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑛 (3 − 31)
Dan diperoleh nilai observasi n:
Rata-rata sampel =
(𝑐′ 𝑥1+𝑐′ 𝑥2+ . . . +𝑐′ 𝑥 𝑛)
𝑛
= 𝑐′
(𝑥1 + 𝑥1+ . . . +𝑥1)
1
𝑛
= 𝑐′
𝑥 3 − 32
Varians sampel dari 𝑐′
𝑋= 𝑐′
𝑆𝑐 3 − 33
Equations (3-32) dan (3-33) merupakan sampel dari (2-43). Sesuai
dengan substitusi dari sampel 𝑥 dan S untuk populasi 𝜇 dan 𝛴.
22
By: Mulyana

23. Sample Values of Linear Combinations of
Variables
Diberikan kombinasi linier
𝑏′
𝑋 = 𝑏1 𝑋1 + 𝑏2 𝑋2+ . . . +𝑏 𝑝 𝑋 𝑝
𝑐′
𝑋 = 𝑐1 𝑋1 + 𝑐2 𝑋2+ . . . +𝑐 𝑝 𝑋 𝑝
Memiliki sampel rata-rata, varians, dan kovarian
yang ditunjukkan dengan 𝑥 dan S
 Rata-rata sampel dari 𝑏′
𝑋 = 𝑏′
𝑥
 Rata-rata sampel dari 𝑐′ 𝑋 = 𝑐′ 𝑥
 Varians sampel dari 𝑏′ 𝑋 = 𝑏′ 𝑆𝑏
 Varians sampel dari 𝑐′ 𝑋 = 𝑐′ 𝑆𝑐
 Kovarians sampel dari 𝑏′ 𝑋 dan 𝑐′ 𝑋 = 𝑏′ 𝑆𝑐
23
By: Mulyana

24. Latihan Sample Values of Linear
Combinations of Variables
Contoh 3.13 (Rata-rata dan kovarians untuk kombinasi linier)
𝑋 =
𝑥11 𝑥12 𝑥13
𝑥21 𝑥22 𝑥23
𝑥31 𝑥32 𝑥33
=
1 2 4
4 1 6
4 0 4
Diberikan dua kombinasi linier
𝑏′ 𝑋 = 2 2 −1
𝑋1
𝑋2
𝑋3
= 2𝑋1+2 𝑋2- 𝑋3dan 𝑐′ 𝑋 = 1 −1 3
𝑋1
𝑋2
𝑋3
= 2𝑋1 −
𝑋2 + 3𝑋3
Rata-rata sampel dari 𝑏′
𝑋 = 3 Varians sampel dari 𝑏′
𝑋 = 3
Rata-rata sampel dari 𝑐′
𝑋 = 17 Varians sampel dari 𝑐′
𝑋= 13
24
By: Mulyana

25. Latihan Sample Values of Linear
Combinations of Variables
Kovarians sampel dari 𝑏′ 𝑋 dan 𝑐′ 𝑋 =
9
2
Dari contoh 3.9 didapatkan 𝑥 =
3
1
5
𝑑𝑎𝑛 𝑆 =
3 −
3
2
0
−
3
2
1
1
2
0
1
2
1
Dengan menggunakan (3-36), kita dapat mencari
dua rata-rata sampel untuk observasi
Rata-rata sampel dari 𝑏′
𝑋 = 𝑏′
𝑥 = 2 2 −1
3
1
5
= 3
25
By: Mulyana

26. Latihan Sample Values of Linear
Combinations of Variables
Rata-rata sampel dari 𝑐′
𝑋 = 𝑐′
𝑥 = 1 −1 3
3
1
5
= 17
Varians sampel dari 𝑏′
𝑋 = 𝑏′
𝑆𝑏 = 2 2 −1
3 −
3
2
0
−
3
2
1
1
2
0
1
2
1
2
2
−1
= 3
Varians sampel dari 𝑏′
𝑋 = 𝑐′
𝑆𝑐 = 1 −1 3
3 −
3
2
0
−
3
2
1
1
2
0
1
2
1
1
−1
3
= 13
Kovarians sampel dari 𝑏′
𝑋 dan 𝑐′
𝑋 = 𝑏′
𝑆𝑐 = 2 2 −1
3 −
3
2
0
−
3
2
1
1
2
0
1
2
1
2
−1
3
=
9
2
26
By: Mulyana

27. Latihan bab 3
1. Table 3.3 gives partial data from
Kramer and Jensen (1969a). Three
variables were measured (in
milliequivalents per 100 g) at 10
different locations in the South. The
variables are
y1 = available soil calcium,
y2 = exchangeable soil calcium
y3 = turnip green calcium.
Use the calcium data in Table
3.3:
a) Calculate S using the data
matrix Y
b) Find R
c) Find the generalized sample
variance |S|
27

28. Latihan bab 3
2. For the variables in Table 3.3, define
z = 3y1 − y2 + 2y3 = (3,−1, 2)y.
a)Find 𝑧 and sz
2 in two ways:Evaluate z for each row of
Table 3.3 and find 𝑧 and sz
2 directly from z1, z2, . . . , z10.
b)Use 𝑧 = 𝒂′ 𝒚 and 𝑠𝑧
2
= 𝒂′
𝑺𝒂
3. For the variables in Table 3.3, define w = −2y1 + 3y2 + y3
and define z as in Problem 2. Find rzw !
28

29. 29
terima
kasih