APG Pertemuan 1 dan 2 (3)

ANALISIS PEUBAH GANDA Pert I – POLSTAT STIS 2019
ANALISIS PEUBAH GANDA (I)
POLITEKNIK STATISTIKA STIS
2019
1
“Aspects of Multivariate Analysis”
DOSEN PENGAMPU : RANI NOORAENI, S.ST., M.STAT..

ASPECTS OF MULTIVARIATE ANALYSIS
1.1 Introduction
1.2 Applications of Multivariate Techniques
1.3 The Organization of Data
o Arrays
o Descriptive Statistics
o Graphical Techniques
1.4 Data Displays and Pictorial Representations
o Linking Multiple Two-Dimensional Scatter Plots
o Graphs of Growth Curves
o Stars
o Chernoff Faces
1.5 Distance
2

APA ITU ANALISIS PEUBAH GANDA?
• Metode Statistika yang digunakan untuk menganalisa data dari
beberapa variabel yang diukur secara simultan.
• Metode untuk menganalisis data yang diperoleh dari pengukuran
secara simultan pada setiap individu atau obyek yang sedang diteliti
dan antar variabel terdapat korelasi (data multivariat).
• Pengertian Multivariat didasarkan pada keberadaan variabel-variabel
random ganda (multiple random variables) yang diukur secara
serentak.
Analisis regresi berganda
apakah termasuk metode
multivariat ?
3
1.1 Introduction

ANALISIS PEUBAH GANDA Pert I – POLSTAT STIS 2019 4
Univariate Multivariate (2 variabel)
Com
pany
X1 = sales
(billion)
1 108
2 152
3 95
4 65
5 62
6 263
… …
n 165
Co
mp
any
X1 =
sales
(billion)
X2 =
profits
(billion)
1 108 17
2 152 16
3 95 10
4 65 14
5 62 9
6 263 25
… … …
n 165 11
𝐱 =
𝑥1
𝑥2x = 𝑥1
𝑺 𝒏=
𝑠11 𝑠12
𝑠21 𝑠22
𝑠2
= 𝑠1
2
= 𝑠11
1.1 Introduction (Illustrasi)

Metode analisis multivariate sering digunakan untuk
beberapa tujuan dalam investigasi ilmiah
Applications of
Multivariate
Techniques
1 Reduction & Simplification
2 Sorting & Grouping
3 Investigating Dependence Variable
4 Prediction
5 Hypothesis Testing
Pelajari : Richard A. Johnson (2-3)

Applications of Multivariate Techniques
Data reduction or structural simplication  Exercise 1.15
Fenomena yang dipelajari terwakilkan sesederhana [mungkin] tanpa banyak kehilangan
informasi yang berharga, serta diharapkan dapat membuat interpretasinya menjadi lebih
mudah. (Ex:reduksi dengan principal komponen)
Sorting and grouping  Exercise 1.14
Mengklasifikasikan objek atau individu dalam kelompok - kelompok tertentu berdasarkan
ke’mirip’an sejumlah karakteristik tertentu yang diukur. Mengelompokkan objek yang belum
jelas klasifikasinya, (ex:analisis cluster)
6

Applications of Multivariate Techniques(2)
Investigation of the dependence among variables
apakah seluruh variabel saling bebas? apakah satu atau lebih bergantung pada variabel
lainnya? Jika ya, bagaimana bentuk hubungan tersebut?
(Ex: Y banyak X banyak  regresi multivariate, regresi kanonik)
Prediction
Hubungan antar variabel harus ditentukan untuk keperluan memprediksi suatu nilai dari satu
atau lebih variabel berdasarkan pada pengamatan pada variabel lainnya
(Ex: Analisis diskriminan: tujuannya untuk memprediksi, dan kelompoknya sudah ada)
7

Applications of Multivariate Techniques(3)
Hypothesis construction and testing
Menyatakan hipotesis statitik yang dirumuskan dalam bentuk parameter dari populasi
multivariat, kemudian dilakukan pengujian hipotesis tersebut. Menguji beberapa variabel
secara bersama-sama.
8

The Organization of Data
Ilustrasi pengukuran karakteristik atau variabel (biasa disebut data) multivariate dapat ditampilkan dalam berbagai cara:
Tabel
Data multivariate
ditampilkan ke
dalam tabel
Matriks
Data multivariate dibentuk ke
dalam matriks, dapat
dibentuk pula matriks dari
deskriptif statistiknya
Grafik
Data multivariate
ditampilkan dalam scatter
plot & marginal plot, scatter
plot & boxplot, scatter plot
3d, stars, chernoff
Verbal
Data multivariate
diuraikan dengan
kata-kata
Richard A. Johnson (5-19)

TABEL
Sumber : Richard A. Johnson (14)

Matriks Data
Dalam multivariat data disusun dalam bentuk matriks.
𝑿 =
𝑥11 𝑥12 ⋯
𝑥21 𝑥22 ⋯
⋮ ⋮
𝑥1𝑘 ⋯ 𝑥1𝑝
𝑥2𝑘 ⋯ 𝑥2𝑝
⋮
𝑥𝑗1 𝑥𝑗2 ⋮
⋮ ⋮
𝑥 𝑛1 𝑥 𝑛2 ⋯
𝑥𝑗𝑘 ⋮ 𝑥𝑗𝑝
⋮
𝑥 𝑛𝑘 ⋯ 𝑥 𝑛𝑝
Amatan ke - 1
Amatan ke - 2
Amatan ke - j
Amatan ke - n
Variabel ke - 1 Variabel ke - k Variabel ke - p
1.3 The Organization of Data Pelajari : Richard A. Johnson (5)

Contoh :
Variabel 1 (dollar sales) : 42 52 48 58
Variabel 2 (number of books) : 4 5 4 3
Jadi,
𝑥11= 42 𝑥21 = 52 𝑥31 = 48 𝑥41 = 58
𝑥12= 4 𝑥22 = 5 𝑥32 = 4 𝑥42 = 3
Sehingga X =
𝑥11 𝑥12
𝑥21 𝑥22
𝑥31 𝑥32
𝑥41 𝑥42
=
42 4
52 5
48 4
58 3
Matriks Data (2)
12
Pelajari : Richard A. Johnson (6)

Populasi Sampel
 Rata-rata 𝝁 =
𝜇1
𝜇2
⋮
𝜇 𝑛
𝐱 =
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑛
Varians Kovarian =
𝜎11 𝜎12 … 𝜎1𝑝
𝜎21 𝜎22 … 𝜎2𝑝
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝜎 𝑝1 𝜎 𝑝2 … 𝜎 𝑝𝑝
𝑺 𝒏 =
𝑠11 𝑠12 … 𝑠1𝑝
𝑠21 𝑠22 … 𝑠2𝑝
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝2 … 𝑠 𝑝𝑝
Korelasi P =
1 𝑃12
𝑃21 1
⋯ 𝑃1𝑝
⋯ 𝑃2𝑝
⋮ ⋮
𝑃𝑝1 𝑃𝑝2
⋱ ⋮
… 1
R =
1 𝑟12
𝑟21 1
⋯ 𝑟1𝑝
⋯ 𝑟2𝑝
⋮ ⋮
𝑟𝑝1 𝑟𝑝2
⋱ ⋮
… 1
Statistik Deskriptif
Pelajari : Richard A. Johnson (7-11)1.3 The Organization of Data

Teknik grafik
Pelajari : Richard A. Johnson (11-14
1. Scatter plot and marginal dot (2 variabel)
Variabel 1 : 3 4 2 6 8 2 5
Variabel 2 : 5 5.5 4 7 10 5 7.5
2. Scatter plot 3D (3 variabel)
Sumber : Richard A.
Johnson (17-19)

3. Scatter plot and marginal dot (3 variabel)
Sumber : Richard A. Johnson (15-16)
15

Data Display and Pictorial Representations
16
1. Menghubungkan scatter plot 2D (3 variabel) 2. Grafik kurva pertumbuhan (multivariate series)

Sumber : Richard A.
Johnson (26-27)
3. Stars 4. Chernoff Face
Setiap variabel digambarkan oleh kondisi suatu
komponen wajah.
• Non negative observation
• P>2
• standardisasi

ANALISIS PEUBAH GANDA Pert 2 – POLSTAT STIS 2019
ANALISIS PEUBAH GANDA (II)
POLITEKNIK STATISTIKA STIS
2019
1
“Matrix Algebra and Random Vectors”

MATRIX ALGEBRA AND RANDOM VECTORS
2.1 Introduction
2.2 Some Basics of Matrix and Vector Algebra
 Vectors
 Matrices
2.3 Positive Definite Matrices
2.4 A Square-Root Matrix
2.5 Random Vectors and Matrices
2.6 Mean Vectors and Covariance Matrices
 Partitioning the Covariance Matrix
 The Mean Vector and Covariance Matrix fo r Linear
Combinations of Random Variables
 Partitioning the Sample Mean Vector and Covariance
Matrix
2.7 Matrix Inequalities and Maximization
ANALISIS PEUBAH GANDA Pert 2 – POLSTAT STIS 2019 2

ANALISIS PEUBAH GANDA Pert 2 – POLSTAT STIS 2019
Some Basics of Matrix and Vector Algebra
Matriks
Rectangular way of storing
data
Vektor
A matrix where one
dimension is equal to size
one
Richard A. Johnson (49-60)
1
1 Basic (definition, mult, add
2 Vector Length
3 Vector Angle
4 Vector Projection
5 Linear Dependencies
6 Orthogonal Vector
7 Othonormal Vector
8 Vector Projection1
Basic (definition, add, mult)
Matix properties
Definite Positif Matrices
Determinant Matrix
Invers Matrix
Orthogonal Matrix
Eigen Value, Eigen Vector
Spectral Decomp, Quadratic F
1
2
3
4
5
6
7
8
3

Vector
1. Vektor 3. Represented Geometrically
An array x of n real number 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛
is called a vector, written as
2. Operasi Dasar
Scalar multiplication addition
Vector has direction

Vector
4. Vector Length 6. Vector Projection
A vector has length
5. Vector Angle
2 vector make angle between them
Projection vector x on a vector y

Vector
7. Orthogonal Vector 9. Linear Dependencies
A set vectors orthogonal if they perpendicular to each
other. Dot product = 0
8. Orthonormal Vector
A set of vector are liniearly dependent if
A set vectors orthonormal if every vector has length 1
and mutually orthogonal

Matriks
1. Matriks
Any rectangular array of real numbers. n
rows p colums.
Sumber :
Richard A.
Johnson (54)
2. Operasi Dasar
Transpose
addition
Matriks mult
Scalar mult
Dst… pelajari di buku…
𝑨
(𝑛𝑥𝑝)
+ 𝑩
(𝑛𝑥𝑝)
= 𝑪
(𝑛𝑥𝑝)
𝑨
(𝑛𝑥𝑘)
x 𝑩
(𝑘𝑥𝑝)
= 𝑪
(𝑛𝑥𝑝)

Matriks
3. Matriks Properties
Dst…
4. Matriks Orthogonal
QQʹ = QʹQ = I atau Qʹ = Q‫¹־‬

Matriks Definit Positif
1. Eigenvalue dan eigenvector
2.3 Positive Definite Matrices
Dst…
λ = eigenvalue
x = eigenvector
Ax = λx
2. Matriks definit positif
Matrik simetris A dikatakan definit positif jika
xʹAx > 0
Spectral decomposition
𝑨 = 𝑖=1
𝑘
λ𝑖 𝑒𝑖 𝑒𝑖
ʹ
bentuk kuadratik  xʹAx
Matrik definit nonnegative  xʹAx ≥ 0

Matriks Square-Root
2.4 A Square-Root Matrix
Dst…
Jika A adalah matrik definit positif dengan spectrum decomposition
𝑨 = 𝑖=1
𝑘
ʹ
maka P= 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒 𝑘
Sehingga
𝑨
(𝑘𝑥𝑘)
= 𝑖=1
𝑘
λ𝑖 𝑒𝑖
(𝑘𝑥1)
𝑒𝑖
ʹ
(1𝑥𝑘)
= 𝑷
(𝑘𝑥𝑘)
Ʌ 𝑷ʹ
(𝑘𝑥𝑘)
Dimana
𝑷𝑷ʹ
= 𝑷ʹ
𝑷 = 𝑰 dan Ʌ adalah diagonal matrik
Ʌ =
λ1 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ λ 𝑘
Square-root matrik dari matrik positif A
𝑨½ = 𝑖=1
𝑘
ʹ
= 𝑷Ʌ½ 𝑷ʹ

Random Vectors and Matrices
2.5 Random Vectors and Matrices
Dst…
Random vector : vector yang elemennya merupakan random variabel
Random matrik : matrik yang elemennya merupakan random variabel
𝑿 = 𝑋𝑖𝑗 
𝐸 𝑿 =
𝐸(𝑋11) ⋯ 𝐸(𝑋1𝑝)
⋮ ⋱ ⋮
𝐸(𝑋 𝑛1) ⋯ 𝐸(𝑋 𝑛𝑝)
, 𝐸 𝑋𝑖𝑗 = −∞
∞
𝑥𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 𝑑𝑥𝑖𝑗 → 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢
𝑎𝑙𝑙 𝑥 𝑖𝑗
𝑥𝑖𝑗 𝑝𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 → 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡
merupakan random matrik berukuran 𝑛𝑥𝑝, maka nilai
ekspektasi dari X adalah E(X)

Mean Vectors and Covarian Matrices
∑ = E(𝐗 − 𝝁)(𝐗 − 𝛍)ʹ
∑ = 𝐶𝑜𝑣 𝑿 =
𝜎11 𝜎12
𝜎21 𝜎22
⋯ 𝜎1𝑝
⋯ 𝜎2𝑝
⋮ ⋮
𝜎 𝑝1 𝜎 𝑝2
⋱ ⋮
⋯ 𝜎 𝑝𝑝
𝐸 𝑿 =
𝐸(𝑋1)
𝐸(𝑋2)
⋮
𝐸(𝑋 𝑝)
=
𝜇1
𝜇2
⋮
𝜇 𝑝
= 𝝁
𝜌𝑖𝑘 =
𝜎𝑖𝑘
𝜎𝑖𝑖 𝜎 𝑘𝑘
𝝆 =
1 𝜌12
𝜌12 1
⋯ 𝜌1𝑝
⋯ 𝜌2𝑝
⋮ ⋮
𝜌1𝑝 𝜌2𝑝
⋱ ⋮
⋯ 1
, 𝑽½
=
𝜎11 0
0 𝜎22
⋯ 0
⋯ 0
⋮ ⋮
0 0
⋱ ⋮
⋯ 𝜎 𝑝𝑝
Sehingga 𝑽½
= 𝝆𝑽½
= dan 𝝆 = (𝑽½
)−𝟏
(𝑽½
)

Kombinasi Linear
Kombinasi linier cʹX = 𝑐1 𝑋1 + … + 𝑐 𝑝 𝑋 𝑝
mempunyai
mean = E(cʹX) = cʹ𝜇
varian = Var(cʹX) = cʹ∑c
Dimana 𝜇 = E(X) dan ∑ = Cov(X)
𝒁 =
𝑍1
𝑍2
⋮
𝑍 𝑞
=
𝑐11 𝑐12
𝑐21 𝑐22
⋯ 𝑐1𝑝
⋯ 𝑐2𝑝
⋮ ⋮
𝑐 𝑞1 𝑐 𝑞2
⋱ ⋮
⋯ 𝑐 𝑞𝑝
𝑋1
𝑋2
⋮
𝑋 𝑝
= 𝑪𝑿
Kombinasi linier Z=CX mempunyai
𝝁 𝒛 = 𝐸 𝒁 = 𝐸 𝑪𝑿 = 𝑪𝝁 𝑿
𝒁 = 𝐶𝑜𝑣 𝒁 = 𝐶𝑜𝑣 𝑪𝑿 = 𝑪 𝑿 𝑪ʹ

Contoh Soal Pertemuan 1 & 2
1. Diketahui v = (3, 9, -4, -2) merupakan
kombinasi linear u1 = (1, -2, 0, 3), u2 = (2, 3, 0,
-1) dan u3 = (2, -1, 2, 1). Buktikan bahwa v
merupakan kombinasi linear dari u1, u2, dan
u3?
2. Let A =
9 −2
−2 6
a) Is A symmetric?
b) Show that A positive definite
1. JAWABAN
v = xu1 + yu2 + zu3
(3, 9, -4, -2) = x(1, -2, 0, 3) + y(2, 3, 0, -1) + z(2, -1, 2, 1)
[ 𝑥 𝑦 𝑧]
1 −2 0 3
2 3 0 −1
2 −1 2 1
=
3
9
−4
2
Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 3
−2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 9
2𝑧 = −4
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −2
Penyelesaian dari persamaan diatas adalah x = 1, y = 3, dan
z = -2
Jadi v = u1 + 3u2 – 2u3 .
Karena sistem persamaan diatas memiliki penyelesaian,
makan v terbukti merupakan kombinasi linear dari u1, u2,
dan u3.

2. JAWABAN
a) A =
9 −2
−2 6
A’ =
9 −2
−2 6
b) Syarat definite positif:
• x’Ax > 0
1. Mencari nilai eigen
Det(λI – A) = 0
𝜆 0
0 𝜆
−
9 −2
−2 6
= 0
(λ – 9) (λ – 6) – 4 = 0
λ2 - 15λ + 50 = 0
(λ – 5) (λ – 10) = 0
2. Mencari vektor eigen
λ = 5
det((λI – A))(v) = 0
𝜆 0
0 𝜆
−
9 −2
−2 6
(
𝑣1
𝑣2
) = 0
-4v1 + 2v2 = 0
2v1 – v2 = 0
v1 = 0.5
v2 = 1
x =
0.5
1
λ = 10
det((λI – A))(v) = 0
𝜆 0
0 𝜆
−
9 −2
−2 6
(
𝑣1
𝑣2
) = 0
v1 + 2v2 = 0 2v1 + 4v2 = 0
v1 = -2 v2 = 1
x =
−2
1
3. Menghitung x’Ax > 0
(0.5 1) 9 −2
−2 6
(
0.5
1
) > 0
(1.25 5) > 0 (terbukti)
• Spectral Decomposition
𝑨 =
𝑖=1
𝑘
𝜆𝑖 𝑒𝑖 𝑒𝑖
ʹ
A = 10
−2
5
1
5
(
−2
5
1
5
) + 5
1
5
2
5
(
1
5
2
5
)
9 −2
−2 6
= 10
4
5
−2
5
−2
5
1
5
+ 5
1
5
2
5
2
5
4
5
(terbukti)
• Kesimpulan : Matriks definite positif 15

APG Pertemuan 1 dan 2 (3)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to APG Pertemuan 1 dan 2 (3)

Similar to APG Pertemuan 1 dan 2 (3) (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (12)

APG Pertemuan 1 dan 2 (3)