Dokumen tersebut membahas tentang desain pengukuran berulang untuk membandingkan beberapa perlakuan. Secara singkat, dokumen menjelaskan bahwa MANOVA digunakan untuk menguji apakah vektor rata-rata populasi sama atau berbeda, kemudian memberikan contoh soal untuk memperjelas penerapannya.

1. REPEATED
MEASURES
DESIGNS FOR
COMPARING
TREATMENT

2. Politeknik Statistika STIS
Hello!1. Antonius Andri Geong
2. Fransisca Angelina Dirk
3. Kirana Aulia As-Zahra
4. Larasati Widyaningrum
5. Mei Lianawati Windiasari
2

3. Politeknik Statistika STIS3
Membandingkan
Beberapa Rata-rata
Populasi Multivariat
(One-Way MANOVA)

4. Politeknik Statistika STIS
REVIEW ANOVA
Hipotesis ANOVA :
𝐻0 ∶ 𝜇1 = 𝜇2 = … = 𝜇 𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑎
𝐻1 ∶ 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎
4
Johnson, Richard A, and Wichern, Dean W. “Applied
Multivariate Statistical Analysis”. Hal 297
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝜀𝑖𝑗
(respons) (rata-rata
umum)
(efek
perlakuan)
(galat
acak/residu)
𝑦𝑖𝑗 = 𝑦 + (𝑦𝑖 − 𝑦) + (𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖)
(respons) (taksiran
rata-rata
umum)
(taksiran
efek
perlakuan)
(taksiran
efek
perlakuan)

5. Politeknik Statistika STIS
REVIEW ANOVA
5
Johnson, Richard A, and Wichern, Dean W. “Applied
Multivariate Statistical Analysis”. Hal 301
Sumber
Variasi
db
Jumlah
Kuadrat
Rata-rata Jumlah
Kuadrat
F
Treatment g-1 SSTr 𝑀𝑆𝑇𝑟 =
𝑆𝑆𝑇𝑟
𝑔 − 1
𝐹 =
𝑀𝑆𝑇𝑟
𝑀𝑆𝐸
Residu N-g SSE 𝑀𝑆𝐸 =
𝑆𝑆𝐸
𝑁 − 𝑔
Total N-1 SST
Contoh Soal dapat dilihat di Referensi berikut
(Example 6.8).

6. Politeknik Statistika STIS
MANOVA digunakan untuk menyelidiki apakah vektor berarti populasi adalah
sama dan, jika tidak, yang berarti komponen berbeda secara signifikan.
6
Struktur Data untuk MANOVA
Populasi 1 : 𝑋11, 𝑋12, … , 𝑋1𝑛1
Populasi 2 : 𝑋21, 𝑋22, … , 𝑋2𝑛2
...
Populasi g : 𝑋 𝑔1, 𝑋 𝑔2, … , 𝑋 𝑔𝑛𝑔

7. “
Politeknik Statistika STIS77
⊷ 𝑋𝑙1, 𝑋𝑙2, … , 𝑋𝑙 𝑛1 adalah sampel acak berukuran
nl dari suatu populasi dengan rata-rata μl, untuk
l = 1,2,...,g. Sampel acak dari populasi yang
berbeda adalah saling bebas.
⊷ Seluruh populasi mempunyai matriks kovarians
sama yaitu ∑.
⊷ Masing-masing populasi mengikuti distribusi
normal multivariat.
Asumsi MANOVA

8. Politeknik Statistika STIS
Model One-Way MANOVA
8
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝜀𝑖𝑗
𝑦𝑖𝑗 = 𝑦 + (𝑦𝑖 − 𝑦) + (𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖)
dimana 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛𝑗 dan 𝑗 = 1, 2, … , 𝑔
𝜀𝑖𝑗 ~ 𝑁 𝑝(0, Σ)
(respons) (taksiran
rata-rata
umum)
(taksiran
efek
perlakuan)
(taksiran
efek
perlakuan)

9. Politeknik Statistika STIS
Sehingga jumlah kuadratnya dapat didekomposisi menjadi :
𝑖=1
𝑔
𝑗=1
𝑛𝑖
(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦)(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦)′
=
𝑖=1
𝑔
𝑛𝑖 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑦𝑖 − 𝑦 +
𝑖=1
𝑔
𝑗=1
𝑛𝑖
( 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖)( 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖)′
9
Dekomposisi Jumlah Kuadrat
One-Way MANOVA
Hipotesis:
𝐻0: 𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 0
𝐻1: 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝜏𝑖 ≠ 0

10. Politeknik Statistika STIS
TABEL ONE-WAY
MANOVA
1010
Sumber Variasi Matriks Jumlah Kuadrat db
Perlakuan
Residu
𝑩 =
𝑙=1
𝑔
𝑛𝑙 𝑥𝑙 − 𝑥 𝑥𝑙 − 𝑥 ′
𝑾 =
𝑙=1
𝑔
𝑗=1
𝑛 𝑖
𝑥𝑙𝑗 − 𝑥𝑙 (𝑥𝑙𝑗 − 𝑥𝑙)′
𝑔 − 1
𝑙=1
𝑔
𝑛𝑙 − 𝑔
Total 𝑩 + 𝑾 =
𝑙=1
𝑔
𝑗=1
𝑛 𝑖
𝑥𝑙𝑗 − 𝑥 (𝑥0 − 𝑥)′
𝑙=1
𝑔
𝑛𝑙 − 1

11. Politeknik Statistika STIS
Untuk menguji 𝐻0 digunakan statistik yang disebut dengan
Wilk’s Lamda dengan formula sebagai berikut:
11
Λ =
|𝑊|
|𝐵 + 𝑊|
=
| 𝑖=1
𝑔
𝑗=1
𝑛 𝑖
( 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖)( 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖)′ |
| 𝑖=1
𝑔
𝑗=1
𝑛 𝑖
𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦
′
|

12. Politeknik Statistika STIS
TABEL DISTRIBUSI WILKS’ LAMDA
12
Banyaknya
Variabel
Banyaknya
Kelompok
Distribusi Sampling untuk Data Normal
Mutlivariat
𝑝 = 1 𝑔 ≥ 2
𝑛𝑖 − 𝑔
𝑔 − 1
1 − Λ
Λ
: 𝐹 𝑔−1, 𝑛 𝑖−𝑔
𝑝 = 2 𝑔 ≥ 2
𝑛𝑖 − 𝑔 − 1
𝑔 − 1
1 − Λ
Λ
: 𝐹2(𝑔−1),2( 𝑛 𝑖−𝑔−1)
𝑝 ≥ 1 𝑔 = 2
𝑛𝑖 − 𝑝 − 1
𝑝
1 − Λ
Λ
: 𝐹 𝑔, 𝑛 𝑖−𝑝−1
𝑝 ≥ 1 𝑔 = 3
𝑛𝑖 − 𝑝 − 1
𝑝
1 − Λ
Λ
: 𝐹2𝑝,2( 𝑛 𝑖−𝑝−1)

13. Politeknik Statistika STIS
Desain Repeated Measures untuk
Membandingkan Beberapa Perlakuan
13
Bentuk umum lain dari statistik-t berpasangan satu
populasi muncul ketika q perlakuan dibandingkan
dengan variabel respon tunggal. Tiap subjek atau unit
eksperimental menerima setiap perlakuan satu kali
selama periode waktu berturut turut.
Dimana 𝑋𝑗𝑖 adalah respons terhadap perlakuan ke-i pada unit ke-j.
Repeated measures berasal dari fakta bahwa semua perlakuan
diberikan untuk setiap unit.

14. Politeknik Statistika STIS14
Untuk tujuan komparatif, kita membandingkan komponen 𝜇 =
E(𝑋𝑗)
𝐶1 dan 𝐶2 → matriks kontras, karena (𝑞 − 1) baris nya secara linier
independen dan masing-masing adalah vektor perbandingan.

15. Politeknik Statistika STIS15
Bila perlakuannya sama, 𝐶1𝜇 = 𝐶2𝜇 = 0
Asumsi: 𝑋𝑗 ~ 𝑁𝑞(μ, ) ,
Hipotesisnya menjadi:
𝐻0: 𝐶𝜇 = 0 (tidak ada perbedaan perlakuan)
𝐻0: 𝐶𝜇 ≠ 0
Berdasarkan kontras 𝐶𝑥𝑗 pada observasi,
didapatkan C 𝑥 dan kovarian matriks CSC’ dan akan
diuji 𝐶𝜇 = 0 menggunakan statistik 𝑇2
Tolak 𝐻0 jika,

16. Politeknik Statistika STIS
Wilayah kepercayaan untuk kontras 𝐶𝜇, dimana 𝜇
merupakan rata rata dari populasi normal,
ditentukan oleh set dari seluruh 𝐶𝜇 :
16
Dimana 𝑥 dan S telah didefinisikan dalam (6-16)
Referensi : Johnson, Richard A, Wichern,Dean W. Applied Multivariate
Statistical Analysis Sixth Edition, halaman 280).

17. Politeknik Statistika STIS
CONTOH SOAL dalam buku Applied Multivariate Statistical Analysis Sixth Edition,
Johnson, Richard A. Wichern,Dean W. ,Halaman 281).
Akibatnya, selang kepercayaan simultan 100 (1 - a)% untuk satu
perbandingan c’𝜇 untuk setiap perbandingan vektor terkait
dinyatakan dengan
17

18. Politeknik Statistika STIS
CONTOH SOAL 1
18
Data pada Tabel disamping merupakan satu
sampel desain tindakan berulang
pengukuran kecepatan perhitungan dengan
dua faktor. Faktor A adalah perbandingan
dua tugas dan faktor B adalah perbandingan
dua jenis kalkulator. Ujilah apakah terdapat
perbedaan perlakuan pada kasus tersebut.
Jawab :
Hipotesis :
𝐻0: 𝐶𝜇 = 0 (tidak ada perbedaan perlakuan)
𝐻0: 𝐶𝜇 ≠ 0

19. Politeknik Statistika STIS
CONTOH SOAL 1
19
Matriks C di mana baris pertama membandingkan dua level A, baris
kedua membandingkan dua level B, dan baris ketiga berhubungan
dengan interaksi AB. Sehingga :
Dari tabel diperoleh :
Statistik uji : Kesimpulan : Dengan tingkat signifikansi
95%, dapat disimpulkan bahwa belum
cukup bukti untuk menyatakan bahwa
terdapat perbedaan perlakuan kecepatan
perhitungan untuk dua jenis kalkulator
pada dua jenis tugas
Daerah kritis : tolak Ho jika 𝑇2
> 𝑇0.05,3,4
2
= 114,986
Keputusan : 29.736 < 114,988 maka Gagal Tolak Ho

20. Politeknik Statistika STIS
CONTOH SOAL 2
20
Sebuah perusahaan membuka usaha dua jenis
roti. Perusahaan tersebut memproduksi roti merk
A dan merk B. Kedua merk roti tersebut dijual di 5
Kota dengan harga yang sama. Telah dikumpulkan
data jumlah roti terjual kedua merk tersebut pada
hari pertama dan kedua penjualan. Ujilah apakah
terdapat perbedaan rata-rata jumlah roti yang
terjual antar merk?
Kota
Jumlah roti terjual
Merk A
Jumlah roti terjual
Merk B
Hari ke-1 Hari ke-2 Hari ke-1 Hari ke-2
Semarang 11 7 12 10
Solo 9 13 7 12
Yogyakarta 8 10 13 9
Bandung 7 8 8 6
Jakarta 9 4 6 12
Jawab :
𝑛 𝐴 = 5 𝑛 𝐵 = 5 n = 10
𝑦 𝐴=
8,75
9,5
𝑦 𝐵 =
9,2
9,8
𝑦 =
9
9,67
𝑆𝐴 =
2.2 −0,9
−0,9 11,3
𝑆 𝐵 =
9,7 −2,45
−2,45 6,2

21. Politeknik Statistika STIS
CONTOH SOAL 2
21
Hipotesis :
H0 : τa τb
H0 : τa ≠ τb
F obs =
𝑛𝑙 −𝑝 −1
𝑝
1−
Λ
=
10−2−1
2
1−0,986
0,986
= 0,049
Daerah kritis : tolak Ho jika F obs > 𝐹 𝑝, 𝑛 𝑙−𝑝−1, dimana F0,5 ; 2,7 = 0,052
Keputusan : Gagal tolak Ho karena 0,049 < 0,052
Kesimpulan : Dengan tingkat signifikansi 95%, dapat disimpulkan bahwa belum cukup bukti
untuk menyatakan bahwa rata-rata jumlah roti yang terjual berbeda antar merk.
Statistik uji :
W = (𝑛 𝐴 - 1) 𝑆𝐴 + (𝑛 𝐵 - 1) 𝑆 𝐵 =
47,6 −13,4
−13,4 70
B = 𝑙=1
𝑔
nl 𝑥𝑙 − 𝑥 𝑥𝑙 − 𝑥 ′
=
0,41 0,274
0,274 0,1832
Λ =
|𝑾|
|𝑩 + 𝑾|
=
3152,44
3197,203
= 0,986

22. Latihan Soal 1
Diadaptasi dari Latiahn 6.8 di buku Johnson
a) Uraikan pengamatan tersebut
menjadi komponen mean,
treatment, dan residual.
Lakukan untuk masing-
masing variabel. (Lihat Contoh
6.9 di buku Johnson)
b) Gunakan informasi pada poin
a) untuk membuat tabeL
MANOVA
c) Lakukan uji Wilks’ Lambda
untuk melihat efek dari
masing-masing perlakuan
(perhatikan table 6.3). Berikan
kesimpulan Anda
Pengamatan terhadap dua jenis respon dari
tiga perlakuan yang berbeda diberikan dalam
vector
𝒙 𝟏
𝒙 𝟐
sebagai berikut.
Perlakuan 1:
𝟔
𝟕
,
𝟓
𝟗
,
𝟖
𝟔
,
𝟒
𝟗
,
𝟕
𝟗
Perlakuan 2:
3
3
,
1
6
,
2
3
Perlakuan 3:
2
3
,
5
1
,
3
1
,
2
3
22
16
Politeknik Statistika STIS22

23. ⊷ 𝑺𝑺 𝒐𝒃𝒔 = 𝑺𝑺 𝒎𝒆𝒂𝒏 + 𝑺𝑺 𝒕𝒓 + 𝑺𝑺 𝒓𝒆𝒔
⊷ 𝟐𝟒𝟔 = 𝟏𝟗𝟐 + 𝟑𝟔 + 𝟏𝟖
⊷ 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑺𝑺 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕𝒆𝒅 = 𝑺𝑺 𝒐𝒃𝒔 − 𝑺𝑺 𝒎𝒆𝒂𝒏 = 𝟐𝟒𝟔 − 𝟏𝟗𝟐 = 𝟓𝟒
23
Variabel Pertama
𝒙 𝟏 =
𝟔
𝟖
, 𝒙 𝟐 =
𝟐
𝟒
, 𝒙 𝟑 =
𝟑
𝟐
𝒙 =
𝟒
𝟓
a). PENGURAIAN AMATAN
JAWAB
Politeknik Statistika STIS23

24. ⊷ 𝑺𝑺 𝒐𝒃𝒔 = 𝑺𝑺 𝒎𝒆𝒂𝒏 + 𝑺𝑺 𝒕𝒓 + 𝑺𝑺 𝒓𝒆𝒔
⊷ 𝟒𝟎𝟐 = 𝟑𝟎𝟎 + 𝟖𝟒 + 𝟏𝟖
⊷ 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑺𝑺 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕𝒆𝒅 = 𝑺𝑺 𝒐𝒃𝒔 − 𝑺𝑺 𝒎𝒆𝒂𝒏 = 𝟒𝟎𝟐 − 𝟑𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟐
24
Variabel Kedua
x1 =
6
8
, x2 =
2
4
, x3 =
3
2
x =
4
5
Politeknik Statistika STIS24

25. 25
Mean = 12(4) (5) = 240
Treatment = 5(2)(3) + 3(-2)(-1) + 4(-1)(-3) = 51
Residual = (0)(-1) + (-1)(1) + (2)(-2) + … +(-1)(1) = -13
Total = (6)(7) + (5)(9) + (8)(6) + … + (2)(3) = 275
Total (corrected) cross-product = total product – mean cross product
= 275 – 240 = 35
Politeknik Statistika STIS25

26. “
b). Tabel MANOVA Satu Arah
26
Source of
Variation
Matrix of sum
of squares
and cross
products
Degrees of
freedom
Treatment 36 51
51 84
3 - 1= 2
Residual 18 −13
−13 18
12 – 3= 9
Total
(corrected)
54 35
35 102
12 – 1= 11
Politeknik Statistika STIS26

27. ⊷ H0: 𝐓1 = 𝐓2 = 𝐓3 = 0
⊷ H1: 𝐓𝑙 ≠ 0
c). Wilks’ Lambda
Nilai hasil perhitungan
di atas jika
dibandingkan dengan
table F dengan α= 0,01
dan v1= 2(3 – 1)= 4 dan
v2 = 12 – 3 – 1 = 8 yang
sebesar 7,01 kita
menolak H0 dan
menyimpulkan bahwa
ada perbedaan efek
dari tiap treatment yang
diberikan.
27
Ʌ*=
𝐖
𝐁+𝐖
=
18 −13
−13 18
54 35
35 102
=
18 18 −(−13)(−13)
54 102 −(35)(35)
=
155
4283
= 0.0362
1 − Ʌ∗
Ʌ∗
Σn𝑙 − 𝑔 − 1
𝑔 − 1
=
1 − 0.0362
0.0362
12 − 3 − 1
3 − 1
= 17,0235
Politeknik Statistika STIS27

28. Latihan 2
Dikutip dari Latihan 6.5 di Buku Johnson
Seorang peneliti mempertimbangkan
tiga indeks yang mengukur tingkat
keparahan serangan jantung. Nilai
indeks-indeks tersebut yang diukur
pada untuk n = 40 pasien serangan
jantung yang masuk ruang gawat
darurat sebuah rumah sakit
menghasilkan ringkasan statistik
sebagai berikut.
𝐱 =
𝟒𝟔, 𝟏
𝟓𝟕, 𝟑
𝟓𝟎, 𝟒
𝑺 =
𝟏𝟎𝟏, 𝟑 𝟔𝟑, 𝟎 𝟕𝟏, 𝟎
𝟔𝟑, 𝟎 𝟖𝟎, 𝟐 𝟓𝟓, 𝟔
𝟕𝟏, 𝟎 𝟓𝟓, 𝟔 𝟗𝟕, 𝟒
a) Ketiga indeks tersebut dievaluasi
untuk setiap pasien. Ujilah
kesamaan indeks rata-rata
menggunakan persamaan 6.16 (di
buku Johnson dengan α= 0,05.
b) Nilailah perbedaan dalam
pasangan dari indeks rata-rata
menggunakan interval
kepercayaan simultan 95%. [Lihat
persamaan (6.18) pada buku
Johnson]
28 Politeknik Statistika STIS28

29. Jawab
a) 𝐓 𝟐 = 𝐧 𝐂 𝐱 ′ 𝐂𝐒𝐂′ −𝟏 𝐂 𝐱
29 Politeknik Statistika STIS
Hasil perhitungan yang
diperoleh jika dibandingkan
dengan nilai F table maka kita
akan menolak hipotesis nol
yang menyatakan bahwa tidak
ada perbedaan rata-rata dari
ketiga indicator yang diukur
terhadap ke-40 pasien
serangan jantung tersebut.
29

30. b) Interval Kepercayaan Simultan 95%
𝒄′
μ: 𝐜′
𝐱 ±
(𝑛 − 1)(𝑞 − 1)
(𝑛 − 𝑞 − 1)
F 𝑞−1,𝑛−𝑞+1(𝛼)
𝒄′ 𝑺𝒄
𝒏
Diperoleh:
30 Politeknik Statistika STIS30

31. 31
Thanks!ANY QUESTIONS?
Politeknik Statistika STIS31