Dokumen tersebut membahas perbandingan vektor rata-rata dari dua populasi independen dan dua populasi tergantung. Secara ringkas, dokumen menjelaskan cara menguji hipotesis perbedaan rata-rata antar dua populasi, wilayah kepercayaan, dan selang kepercayaan hasil uji statistik. Contoh kasus diberikan untuk membandingkan hasil analisis kimia dari dua laboratorium berbeda.

1. Pertemuan 6
Inferensia Dua Vektor Rata - Rata
Dosen Pengampu : Rani Nooraeni, S.ST., M.Stat..

2. Author
Habib Ramadhanni
16.9159
Rezka Aji
16.9275
Cynthia Dwi Setyarini
16.9062
Erica Indryani
16.9105
Insan Maharani
16.9196
Politeknik Statistika STIS

3. Perbandingan Vektor Rata-Rata dari Dua
Populasi Independen
Pengujian Hipotesis (Hypothesis Testing)
• Asumsi : 𝑋𝐼~𝑁𝑝 𝜇𝐼 , 𝐼
𝑋𝐼𝐼~𝑁𝑝(𝜇𝐼𝐼 , 𝐼𝐼
)
• Hipotesis statistik : Ho : 𝜇𝐼 - 𝜇𝐼𝐼 = 𝛿 𝑜
𝐻1 ∶ 𝜇𝐼 - 𝜇𝐼𝐼 ≠ 𝛿 𝑜
• Asumsi : 𝐼 = 𝐼𝐼 = tidak diketahui nilainya
= 𝑆 𝑔 =
𝑛𝐼 − 1 𝑆𝐼 + 𝑛𝐼𝐼 − 1 𝑆𝐼𝐼
𝑛𝐼 + 𝑛𝐼𝐼 − 2
𝑆 𝑔 : matriks ragam-peragam sampel gabungan (pooled) dari kedua
populasi
SI dan SII : matriks ragam peragam Sampel dari populasi I dan populasi II
Politeknik Statistika STIS

4. Perbandingan Vektor Rata-Rata dari Dua Populasi
Independen
*) Statistik uji:
𝑇2 = 𝑥𝐼 − 𝑥𝐼𝐼 − 𝜹 𝒐
′
1
𝑛𝐼
+
1
𝑛𝐼𝐼
𝑆 𝑔
−1
𝑥𝐼 − 𝑥𝐼𝐼 − 𝜹 𝒐 ~ 𝑐2
𝑐2 =
𝑛𝐼 + 𝑛𝐼𝐼 − 2 𝑝
(𝑛𝐼 + 𝑛𝐼𝐼 − 𝑝 − 1)
𝐹𝑝,𝑛 𝐼+𝑛 𝐼𝐼−𝑝−1
• Tolak Ho, terima 𝐻1 : 𝜇𝐼 - 𝜇𝐼𝐼 ≠ 𝛿 𝑜, jika :
𝑇2
>
𝑛𝐼 + 𝑛𝐼𝐼 − 2 𝑝
(𝑛𝐼 + 𝑛𝐼𝐼 − 𝑝 − 1)
𝐹𝑝,𝑛 𝐼+𝑛 𝐼𝐼−𝑝−1
Politeknik Statistika STIS

5. Perbandingan Vektor Rata-Rata dari Dua
Populasi Independen
Wilayah Kepercayaan (Confidence Region)
Pernyataan peluang sebesar (1-𝛼) 100% untuk wilayah kepercayaan
yang akan memuat vektor (𝜇𝐼𝑜 - 𝜇𝐼𝐼𝑜) adalah :
𝑃 𝑇2
≤
𝑛𝐼 + 𝑛𝐼𝐼 − 2 𝑝
𝑛𝐼 + 𝑛𝐼𝐼 − 𝑝 − 1
𝐹𝑝,𝑛 𝐼+𝑛 𝐼𝐼−𝑝−1 = 1 − 𝛼
*) Selang kepercayaan ellipse sepanjang vektor ciri yang berpusat di
𝑥𝐼 − 𝑥𝐼𝐼 pada (1 – 𝛼)100% :
±√𝜆𝐼
1
𝑛𝐼
+
1
𝑛𝐼𝐼
𝑐2 𝑒𝑖
Politeknik Statistika STIS

6. Perbandingan Vektor Rata-Rata dari Dua
Populasi Independen
Selang Kepercayaan (Confidence Interval)
Selang Kepercayaan simultan (μIi – μIIi) pada (1- α)100%:
𝑙′( 𝑥𝐼 − 𝑥𝐼𝐼) ± √𝑐2 𝑙′
1
𝑛𝐼
+
1
𝑛𝐼𝐼
𝑆 𝑔 𝑙
Selang Kepercayaan simultan (μIi – μIIi) pada (1- α)100%:
( Metode Bonferroni )
𝑙′( 𝑥𝐼 − 𝑥𝐼𝐼) ± 𝑡 𝛼
2𝑝
;𝑛 𝐼 +𝑛 𝐼𝐼 −2
√𝑙′
1
𝑛𝐼
+
1
𝑛𝐼𝐼
𝑆 𝑔 𝑙
Politeknik Statistika STIS

7. Perbandingan Vektor Rata-Rata dari Dua
Populasi Independen
Asumsi : 𝐼
≠ 𝐼𝐼
dan tidak diketahui nilainya
Gunakan ukuran contoh besar : (𝑛𝐼 – 𝑝) 𝑑𝑎𝑛 (𝑛𝐼𝐼 – 𝑝) besar
*) statistik uji :
𝑥𝐼 − 𝑥𝐼𝐼 − 𝜹 𝒐
′
1
𝑛𝐼
𝑆𝐼 +
1
𝑛𝐼𝐼
𝑆𝐼𝐼
−1
𝑥𝐼 − 𝑥𝐼𝐼 − 𝜹 𝒐 ~ 𝜒2
𝑝
Tolak Ho, terima H1 : 𝜇𝐼 - 𝜇𝐼𝐼 ≠ 𝛿 𝑜 jika :
Nilai statistik uji > 𝜒2
𝛼;𝑝
Apabila Ho tidak ditolak, dapat diartikan bahwa pada tingkat
kepercayaan sebesar (1- 𝛼) 100% vektor 𝜇𝐼 - 𝜇𝐼𝐼 = 𝛿 𝑜 berada dalam
wilayah ellipse
Politeknik Statistika STIS

8. Perbandingan Vektor Rata-Rata dari Dua
Populasi Independen
*) Selang Kepercayaan simultan (μIi – μIIi) pada (1- α)100%:
𝑙′( 𝑥𝐼 − 𝑥𝐼𝐼) ± √𝜒2
𝛼;𝑝 𝑙′
1
𝑛𝐼
𝑆𝐼 +
1
𝑛𝐼𝐼
𝑆𝐼𝐼 𝑙
Untuk penggunaan sampel yang sama besar dari masing-masing
populasi : nI = nII = n
*) Statistik Uji :
𝑥𝐼 − 𝑥𝐼𝐼 − 𝜹 𝒐
′
2
𝑛
𝑆 𝑔
−1
𝑥𝐼 − 𝑥𝐼𝐼 − 𝜹 𝒐 ~ 𝜒2
𝑝
Tolak Ho , terima H1 : 𝜇𝐼 - 𝜇𝐼𝐼 ≠ 𝛿 𝑜 jika :
Nilai statistik uji > 𝜒2
𝛼;𝑝
Politeknik Statistika STIS

9. Perbandingan Vektor Rata-Rata dari Dua
Populasi Dependen
• Pengukuran sering dicatat dalam beberapa set
kondisi eksperimen yang berbeda untuk melihat
apakah secara signifikan terdapat perbedaan
respon. Dua atau lebih perlakuan dapat
diberikan pada unit eksperimental yang sama,
dan respon dapat dibandingkan untuk menilai
efek dari adanya perlakuan. Inferensia dua
vector rata-rata dapat dilakukan dengan
manganalisis komponen perbedaan atau
differencesnya (Dij).
Politeknik Statistika STIS

10. Perbandingan Vektor Rata-Rata dari Dua
Populasi Dependen
• Asumsi :
𝑥𝑙𝑗1 − 𝑥𝑙𝑗2 = 𝐷𝑖𝑗~𝑁𝑝(𝛿, 𝛴 𝑑)
• Keterangan:
Dij : Perbedaan
i = 1,…, p (variabel)
j = 1,…,n (observasi)
• Hipotesis :
H0 : 𝛿 = 0 (tidak ada efek dari adanya perlakuan)
H1 : 𝛿 ≠ 0
Politeknik Statistika STIS

11. Perbandingan Vektor Rata-Rata dari Dua
Populasi Dependen
Statistik Uji (Multivariate):
• 𝑍2 = 𝑛 ( 𝐷 − 𝛿)′𝛴 𝑑
−1
( 𝐷 − 𝛿)
• 𝑇2 = 𝑛 ( 𝐷 − 𝛿)′𝑆−1( 𝐷 − 𝛿)
• Jika n dan n-p keduanya besar, T2 kira-kira
didistribusikan sebagai variabel acak 𝜒 𝑝
2
,
terlepas dari bentuk populasi perbedaan yang
mendasarinya (Proof-Applied Multivariate
Statistical Analysis page 274)
Politeknik Statistika STIS

12. Perbandingan Vektor Rata-Rata dari Dua
Populasi Dependen
• Keputusan :
• Tolak H0 jika :
• 𝑍ℎ𝑖𝑡
2
> 𝜒 𝑝
2
(𝛼) 𝑇ℎ𝑖𝑡
2
>
𝑝(𝑛−1)
𝑛−𝑝
𝐹𝑝,𝑛−𝑝(𝛼)
• Selang Kepercayaan
• 𝑑𝑖 ±
𝑝 𝑛−1
𝑛−𝑝
𝐹𝑝,𝑛−𝑝(𝛼)
𝑠 𝑑 𝑖
2
𝑛
Politeknik Statistika STIS

13. Contoh 6.1
Politeknik Statistika STIS
• Penanggulangan terhadap limbah air pabrik diperlukan untuk
menjaga kondisi sungai agar tetap sesuai kondisi normalnya.
Kekhawatiran terhadap tingkat kepercayaan data pengamatan
kandungan limbah yang diperoleh dari program pengamatan
langsung memicu diadakannya penelitian lanjutan dimana
sampel dari beberapa sungai dibagi dan dikirim ke dua
laboratorium berbeda untuk dilakukan pengecekan.
• Sampel dikirim ke dua laboratorium. Sampel dikirim ke
Wisconsin State Laboratory of Hygiene dan dikirim ke
laboratorium komersial yang biasanya rutin dipakai untuk
program pengawasan. Pengukuran biochemical oxygen
demand (BOD) dan suspended solids (SS) akan dilakukan
untuk 11 sampel di masing - masing laboratorium.
• Data ditampilkan dalam tabel 6.1.

14. Contoh 6.1
Politeknik Statistika STIS
• . Table 6.1 Effluent Data
Sample j
Commercial Lab State Lab of Hyiene
x1j1(BOD) x1j2(SS) x2j1 (BOD) x2j2 (SS)
1 6 27 25 15
2 6 23 28 13
3 18 64 36 22
4 8 44 35 29
5 11 30 15 31
6 34 75 44 64
7 28 26 42 30
8 71 124 54 64
9 43 54 34 56
10 33 30 29 20
11 20 14 39 21
Source : Data courtesy of S. Weber

15. Contoh 6.1
Politeknik Statistika STIS
• Apakah analisis kimia dari dua laboratorium sama ?
• T2 statistik untuk pengecekan 𝐻0: 𝛿′
= 𝛿1 , 𝛿2 = 0,0 dibangun dari
dua pengamatan yang berpasangan namun berbeda
𝑑𝑗1 = 𝑥1𝑗1 − 𝑥2𝑗1
𝑑𝑗2 = 𝑥1𝑗2 − 𝑥2𝑗2
-19 -22 -18 -27 -4 -10 -14 17 9 4 -19
12 10 42 15 -1 11 -4 60 -2 10 -7
• 𝒅 =
𝑑1
𝑑2
=
−9.36
13.27
𝑆 𝑑 =
199.26 88.38
88.38 418.61

16. Contoh 6.1
Politeknik Statistika STIS
• 𝑇2
= 11 −9.36,13.27
0.0055 −0.0012
−0.0012 0.0026
−9.36
13.27
= 13.6
• Dengan 𝛼 = 0.05 maka 𝑝 𝑛 − 1 𝑛 − 𝑝 𝐹2.9 0.05 = 9.47
• Karena 𝑇2
= 13.6 > 9.47 Maka keputusannya adalah Tolak 𝐻0 dan
dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan rata – rata antara hasil
pengukuran di dua laboratorium tersebut.
• Bisa dilihat dari pengamatan data bahwa laboratorium komersial
memiliki kecenderungan pengukuran angka BOD yang lebih kecil dan
pengukuran SS yang lebih besar dibandingkan State Lab of Hygiene.
• Selang kepercayaan 95% untuk perbedaan dua rata – rata dihitung
melalui persamaan di slide selanjutnya.

17. Contoh 6.1
Politeknik Statistika STIS
𝛿1: 𝑑1 ±
( 𝑛 − 1)𝑝
𝑛 − 𝑝
𝐹 )𝑃,𝑛−𝑝(𝛼
𝑠 𝑑
2
𝑛
= −9.36 ± 9.47
199.26
11 or (−22.46 , 3.74)
𝛿2: 13.27 ± 9.47
418.61
11
𝑜𝑟 (−5.71 , 32.25)
• Selang kepercayan 95% mengandung angka 0, padahal 𝐻0: 𝛿′
=
𝛿1 , 𝛿2 = 0,0 keputusannya adalah Tolak. Apa kesimpulannya?
• Titik 𝛿 = 0 jatuh diluar area kepercayaan 95% untuk 𝛿 dan hasil ini
konsisten dengan pengujian T2.Selang kepercayaan (95%) ini
seluruh bagian nya dapat dibangun menjadi kombinasi linier dengan
bentuk 𝑎1 𝛿1 + 𝑎2 𝛿2
• Bagian interval ini berhubungan dengan (𝑎1 = 1, 𝑎2 = 0) dan (𝑎1 =
0, 𝑎2 = 1) yang mengandung 0. Pilihan lain dari 𝑎1 dan 𝑎2 secara
bersamaan akan menghasilkan selang yang tidak mengandung 0 (
Jika 𝐻0: 𝛿′
= 𝛿1 , 𝛿2 = 0,0 keputusannya adalah Gagal Tolak maka
semua selangnya secara bersamaan akan mengandung 0)

18. Contoh 6.3
• Membangun confidence region untuk perbedaan dari two mean
vectors
• Lima puluh batang sabun diproduksi dengan dua cara yang
berbeda. Dua karakteristik yang digunakan X1 = berbusa X2 =
kelembutan. Statistik ringkasan untuk batang sabun yang diproduksi
dengan metode 1 dan metode 2 adalah sebagai berikut;
• Menghitung confidence region 95% untuk 𝜇1 − 𝜇2.
• Pertama kita tahu bahwa S1 dan S2 adalah ikurang lebih
bernilai sama, jadi mereka dapat digabungkan (pool),
x1 =
8.3
4.1
, 𝑆1 =
2 1
1 6
x2 =
10.2
3.9
, 𝑆2 =
2 1
1 4
Politeknik Statistika STIS

19. Contoh 6.3
• Jadi confidence ellipsenya terpusat di [-1.9,0.2]. eigenvalue dan eigenvector
dari Spooled didapatkan dari perhitungan berikut
• Jadi 𝜆 = (7 ± 49 − 36)/2 karena itu, 𝜆1 = 5.303 and 𝜆2 = 1.697, dan
eigenvector yang sesuai, e1 dan e2 ditentukan dari
• 𝑆 𝑝𝑜𝑜𝑙𝑒𝑑 𝑒𝑖 = 𝜆𝑖 𝑒𝑖, 𝑖 = 1,2
• Adalah
• 𝑒𝑖 =
0.290
0.957
dan 𝑒2 =
0.957
−0.290
𝑆 𝑝𝑜𝑜𝑙𝑒𝑑 =
49
98
𝑆1 +
49
98
𝑆2 =
2 1
1 5
,
𝑥1 − 𝑥2 =
−1.9
0.2
0 = 𝑆 𝑝𝑜𝑜𝑙𝑒𝑑 − 𝜆𝐈 =
2 − 𝜆 1
1 5 − 𝜆
= 𝜆2
− 7𝜆 + 9
Politeknik Statistika STIS

20. Contoh 6.3
• Berdasarkan hasil 6.2
•
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝑐2
=
1
50
+
1
50
98 2
97
𝐹2,97 0.5 = 0.25
• Karena 𝐹2,97 0.05 = 3.1
• Confidence ellipse
• 𝜆𝑖
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝑐2 = 𝜆𝑖 0.25
Figure 6.1 95% confidence ellipse untuk
𝜇1 − μ2
Politeknik Statistika STIS

21. Contoh 6.3
• Satuan sepanjang eigenvector ei, atau satuan 1.15 di arah e1 dan
satuan 0.65 di arah e2. Confidence elipse 95% diperlihatkan ddi
figure 6.1. 𝜇1 − 𝜇2 = 0 tidak masuk dalam ellipse. Dan kita dapat
menyimpulkan bahwa dua metode produksi sabun menghasilkan
hasil yang berbeda. Berdasarkan hailnya dua proses menghasilkan
batang sabun dengan kelembutan yang sama (X2), tapi yang dari
process kedua lebih memiliki busa (X1).
Politeknik Statistika STIS