APG Pertemuan 1 dan 2 (2)

ANALISIS PEUBAH GANDA
KOMPONEN BAHAN AJAR:
(I) ASPEK ANALISA MULTIVARIAT
(II) ALJABAR MATRIKS DAN VEKTOR RANDOM
MEDIA PEMBELAJARAN
MATERI
R A N I N O O R A E N I S . S T , M . S T A T | | A N A K A G A R I R A M A N | A R Y A D A M A R P R A K A S A | B U D H I F A T A N Z A W I R A T A M A | D E S Y T R I P U R Y A N I | L A I L A A M A L I A

DAFTAR ISI
ASPEK ANALISIS
MULTIVARIAT...........................
1
2ALJABAR MATRIKS DAN
VEKTOR RANDOM…………………………............
LATIHAN……………………………………………...
ESC UNTUK MENGAKHIRI
LEGENDA:
K L I K : P I L I H
S U B - B A B
1.3
K L I K : S L I D E
S E L A N J U T N Y
A
K L I K : S L I D E
S E B E L U M N Y A
Box-
Plot
K L I K : M E M B U K A
C O N T O H / D E F I N I S
I
Jawaba
n
K L I K : M E M B U K A
J A W A B A N S O A L
1 K L I K : P I L I H
B A B
K L I K : K E M B A L I
K E B E R A N D A
R A N I N O O R A E N I S . S T , M . S T A T | | A N A K A G A R I R A M A N | A R Y A D A M A R P R A K A S A | B U D H I F A T A N Z A
W I R A T A M A | D E S Y T R I P U R Y A N I | L A I L A A M A L I A F A D H I L A H | T I T A K A R T I K A

1.1 PENGENALAN
Multivariat meliputi beberapa aspek yaitu :
• Mereduksi data atau menstrukturisasi data
• Mengerutkan dan mengelompokan data
• Menginvestigasi keterkaita antar variabel
• Memprediksi
• Menguji hipotesis
1.21.3 1.4

1.3 ORGANISASI DATA
Maskud dari organisasi data lebih merujuk pada perhitungan/pengukuran suatu data. Salah satu contohnya
seperti grafik dan table yang memiliki peran penting dalam analisis suatu data. Dalam multivariate, kita akan
menggunakan vektor dan matriks.
1.41.1
Dimensi matriks sering ditunjukkan dalam
notasi m baris dan k kolom
𝐀(𝑛×𝑝) =
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑝
⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑝
Penulisan vektor dasar
𝒙 =
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑛
atau 𝑥′ = 𝑥1 𝑥2 ⋯ 𝑥 𝑛

1.3 ORGANISASI DATA
Dalam pengorganisasian data, matriks dapat digunakan untuk menggambarkan data observasi dari beberapa
variabel penelitian dan individu yang menjadi objek penelitian. Dimensi baris digunakan untuk individu
sementara dimensi kolom digunakan untuk variabel penelitian.
1.41.1
Dilakukan penelitian tentang jumlah gaji dan jumlah buku bacaan yang dimiliki oleh 4 orang siswa di kelas
kejar paket C. Diperoleh data bahwa orang pertama bergaji 4,2 juta dan memiliki 4 buku. Orang kedua
bergaji 5,2 juta dan memiliki 5 buku. Orang ketiga bergaji 4,8 juta dan memiliki 4 buku. Orang keempat
bergaji 5,8 juta dan memiliki 3 buku.
Maka kita dapat mengidentifikasi data observasi:
𝑎11 = 42, 𝑎12 = 4, 𝑎21 = 52, 𝑎22 = 5,
𝑎31 = 48, 𝑎32 = 4, 𝑎41 = 58, 𝑎42 = 3
Sehingga kita mempunyai
matriks data yaitu 𝐀(3×2) =
42 4
52 5
48
58
4
3
Contoh

ORGANISASI DATA
Statistik Deskriptif
Dalam perhitungan satistik multivariate terdapat vektor sample means, matriks sample variances dan
covariances, serta matriks sample correlation. Statistik deskriptif dasar dalam multivariate dapat ditulis
dengan cara berikut:
1.3 ORGANISASI DATA
1.41.1
𝒙 =
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥3
Vektor sample
varians
𝑺 𝑛 =
𝑠11 𝑠12
… 𝑠1𝑝
𝑠21 𝑠22
… 𝑠2𝑝
⋮
𝑠 𝑛1
⋮
𝑠 𝑛2
⋱
…
⋮
𝑠 𝑛𝑝
Matriks sample varians-
covarians
𝑺 𝑛 =
1 𝑟12
… 𝑟1𝑝
𝑟21 1 … 𝑟2𝑝
⋮
𝑟𝑛1
⋮
𝑟𝑛2
⋱
…
⋮
1
Matriks sample correlation

ORGANISASI DATA
Teknik Grafik
Plotting suatu data sangat penting dalam analisis suatu
data, sehingga dari plot tersebut dapat kita ketahui
penyebaran data, korelasi data dsb. Teknik plotting data
dapat dilakukan dengan scatter plot data dan juga boxplot.
Scatter plot terdiri dari dua yaitu scatter plot 2 dimensi dan
scatter plot 3 dimensi.
Contoh:
1.3 ORGANISASI DATA
1.41.1
Variabel Observasi
𝑥1 3 4 2 6 8 2 5
𝑥2 5 5,5 4 7 10 5 7,5 Dot
Diagram
Scatter Plot 2-
Dimensi

ORGANISASI DATA
1.41.1
1.3 ORGANISASI DATA
Scatter Plot 3-
Dimensi
Box-Plot

1.4 TAMPILAN DATA
1.31.1
Kombinasi Scatter 2-
Dimensi
Grafik Kurva
Pertumbuhan
Grafik Bintang Wajah Chernoff

2.1 PENGENALAN
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
Metode multivariat dapan dijelaskan dengan baik melalui penggunaan Aljabar Matriks.

2.2 ALJABAR DASAR
MATRIKS DAN VEKTOR
Vektor
x :
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑛
Perkalian Skalar
Sebuah vektor dapat diperbesar/diperpanjang
dengan cara mengalikannya dengan konstanta c.
c x =
𝑐𝑥1
𝑐𝑥2
⋮
𝑐𝑥 𝑛
Contoh
Panjang Vektor
Panjang x ditulis sebagai Lx,
diartikan sebagai :
Lx = 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
= 𝑥′𝑥
Panjang dari x = (matriksnya)
dengan n komponen, maka Panjang
vektornya menjadi :
Lx = 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ ⋯ + 𝑥 𝑛
2
Panjang vektor dengan kelipatan
skala c menjadi :
Lcx = 𝑐2 𝑥1
2
+ 𝑐2 𝑥2
2
+ ⋯ + 𝑐2 𝑥 𝑛
2
= |c| 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ ⋯ + 𝑥 𝑛
2
= |c| Lx
2.1 2.3 2.4 2.5 2.6

2.2 ALJABAR DASAR
MATRIKS DAN VEKTOR
Penjumlahan Vektor
Dua vektor juga bisa dijumlahkan, sehingga menjadi:
x + y =
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑛
+
𝑦1
𝑦2
⋮
𝑦 𝑛
=
𝑥1 + 𝑦1
𝑥2 + 𝑦2
⋮
𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛
2.1 2.3 2.4 2.5 2.6
Contoh

2.2 ALJABAR DASAR
MATRIKS DAN VEKTOR Sudut Vektor dan Korelasi
cos(θ) =
𝒙 𝟏 𝒚 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐
𝐿 𝑥 𝐿 𝑦
=
𝑺 𝒙𝒚
𝑺 𝒙 𝑺 𝒚
= 𝑟𝑥𝑦
Proyeksi Vektor
Proyeksi vector x pada vector y =
(𝑥′ 𝑦)
𝐿 𝑦
2 y atau (x’y)y
Panjang Proyeksi
Panjang proyeksi =
𝒙′𝒚
𝐿 𝑦
= 𝐿 𝑥
𝒙′𝒚
𝐿 𝑥 𝐿 𝑦
= 𝐿 𝑥 |cos (𝜃)|
2.1 2.3 2.4 2.5 2.6

2.2 ALJABAR DASAR
MATRIKS DAN VEKTOR
2.1 2.3 2.4 2.5 2.6
Vektor Orthogonal
• Dua vektor dikatakan orthogonal jika saling perpendicular (perkalian dot productnya=0).
• v1, …, vn dikatakan mutually orthogonal jika setiap pasangan vektor adalah orthogonal.
Vektor Orthonormal
• Vektor dapat dikatakan saling orthonormal jika panjang vektornya 1 dan saling tegak lurus.
• Dua vektor yang saling tegak lurus belum bisa dikatakan saling orthonormal jika ada vektor yang
panjang nya tidak sama dengan 1.
Sifat berdasarkan Sudut
Jika cos (𝜃) = 𝒓 𝒙𝒚 = 1 = vector berimpit
Jika cos (𝜃) = 𝒓 𝒙𝒚 = 0 = vector tegak lurus (orthogonal/independent

2.2 ALJABAR DASAR
MATRIKS DAN VEKTOR
2.1 2.3 2.4 2.5 2.6
Matriks
Yaitu sebuah persegi yang tersusun dari bilangan real.
Terdiri dari n baris dan p kolom.
𝐀n×p =
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑝
⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑝
Penjumlahan Matriks
𝒁n×p = 𝐀n×p + 𝐁n×p
𝑧𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗
di mana 𝑖 = 1 , 2 , … , n
j = 1 , 2 , … , p
Matriks Pengurangan
𝒀n×p = 𝐀n×p − 𝐁n×p
𝑦𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗
di mana 𝑖 = 1 , 2 , … , n
j = 1 , 2 , … , p
Contoh
Contoh
Perkalian Skalar
𝑐𝐀n×p = 𝐀n×p 𝑐 = 𝑩n×p = {𝑏𝑖𝑗}
di mana 𝑏𝑖𝑗 = 𝑐𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 𝑐,
𝑖 = 1 , 2 , … , 𝑚 ,
𝑗 = 1 , 2 , … , 𝑘.
Contoh

2.2 ALJABAR DASAR
MATRIKS DAN VEKTOR
2.1 2.3 2.4 2.5 2.6
Perkalian Matriks
Matriks 𝐀 𝑎×b dapat dikalikan
Matriks 𝐁c×d jika 𝑏 = 𝑐 dan
hasil matriks adalah 𝑪c×d
Sifat Matriks
Contoh
Transpose Matriks
𝐀2×3=
2 1 3
7 −4 6
𝐀3×2=
2 7
1 −4
3 6
• c(AB) = (cA)B
• (A(BC)) = (AB)C
• (A(B + C)) = AB + AC
• (AB)' = B'A‘

2.2 ALJABAR DASAR
MATRIKS DAN VEKTOR
2.1 2.3 2.4 2.5 2.6
Determinan
• Matriks 2x2
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
= 𝑎11 𝑎22(−1)2 + 𝑎12 𝑎21(−1)3= 𝑎11 𝑎22- 𝑎12 𝑎21
• Matriks 3x3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
= 𝑎11
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
(−1)2
+ 𝑎12
𝑎21 𝑎12
𝑎21 𝑎22
(−1)2
𝑎11
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
(−1)2
Contoh
Contoh
R A N I N O O R A E N I | | A N A K A G A R I R A M A N | A R Y A D A M A R P R A K A S A | B U D H I F A T A N Z A W I R A T A M A | D E S Y T R I P U R Y A N I | L A I L A A M A L I A F A D H I L A H |

2.2 ALJABAR DASAR
MATRIKS DAN VEKTOR
2.1 2.3 2.4 2.5 2.6
Invers Matriks
• Invers matriks 2x2
A =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑨−𝟏 =
1
|𝐴|
𝑎22 −𝑎12
−𝑎21 𝑎11
• Invers matriks 3x3
𝑨 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑨−𝟏
=
1
|𝐴|
𝑎22 𝑎23
𝑎21 𝑎22
−
𝑎12 𝑎13
𝑎32 𝑎33
𝑎12 𝑎13
𝑎22 𝑎23
−
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
−
𝑎11 𝑎13
𝑎21 𝑎23
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
−
𝑎11 𝑎12
𝑎31 𝑎32
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
Contoh
• (𝐴−1)′= (𝐴′)−1
• (𝐴𝐵)−1
= 𝐵−1
𝐴−1
• |𝐴|= 𝐴′
• Jika setiap elemen dari baris (kolom) dari
matriks A adalah 0, maka |𝐴|=0
• Jika ada dua baris (kolom) dari A yangidentik,
maka |𝐴|=0
• Jika A nonsingular, maka |𝐴|=
1
|𝐴−1|
jadi
|𝐴||𝐴−1
|=1
• |𝐴𝐵|= 𝐴 𝐵
• |𝑐𝐴|= 𝑐 𝑘
|𝐴|, dimana c adalah skalar.
• tr (cA) = c tr (A)
• tr (A±𝐵) = tr (A) ± tr (B)
• tr (AB) = tr (BA)
• tr (𝐵−1
𝐴𝐵) = tr (A)
• tr (AA’) = 𝑖=1
𝑘
𝑗=1
𝑘
𝑎𝑖𝑗
2
• AA’ = A’A = I
Contoh

2.3 MATRIKS
DEFINIT POSITIF
2.4 2.5 2.62.22.1
Yaitu seluruh nilai eigennya positif. Matriks definit positif dapat diuraikan menjadi spectral dekomposisi.
𝐀 𝑘×k= 𝑖=1
𝑝
𝜆𝑖e’e
Nilai eigen (λ) diperoleh dari |A - λ𝐈| = 0
Setelah nilai eigen diperoleh, maka untuk mendapatkan vektor eigen diperoleh dari persamaan Axi = λixi
ei merupakan vector eigen yang sudah dinormalisasi kan
ei = (xi/Lx)

2.4 A SQUARE-ROOT
MATRIKS
Spectral decompotition memungkinkan kita untuk mengekspresikan kebalikan dari matriks persegi
dalam bentuk eigen value dan eigen vector.
Misalkan A adalah matriks definit positif berukuran k  k dengan spectral decompotition 𝐀 𝑘×k =
𝒊=𝟏
𝒌
𝝀𝒊eie’i. Vektor eigen yang dinormalisasi menjadi kolom dari matriks P = [e1, e2, . . . ., ek]. Maka:
𝐀 𝑘×k = 𝑖=1
𝑝
𝜆𝑖ee’ = 𝐏 𝑘×k Λ 𝑘×k 𝐏 𝑘×k
di mana PP’ = P’P = I dan 𝚲 adalah matriks yang diagonalnya adalah eigen value.
𝜆1 0 ⋯ 0
0 𝜆2 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯ 𝜆 𝑘
Λ 𝑘×k = dengan i > 0
2.5 2.62.22.1 2.3

2.4 A SQUARE-ROOT
MATRIKS
2.5 2.62.22.1 2.3
Sehingga,
A-1 = P 𝚲−𝟏
P’ = 𝒊=𝟏
𝒌 𝟏
𝝀 𝒊
ei e’i
dengan (P 𝚲−𝟏
P’) P 𝚲 P’ = P 𝚲 P’ (P 𝚲−𝟏
P’) = PP’ = I.
Kemudian, misalkan 𝚲 𝟏/𝟐
menunjukkan matriks diagonal dengan i sebagai elemen diagonal
ke-i. Matriks 𝒊=𝟏
𝒌
𝝀𝒊eie’i = P 𝚲 𝟏/𝟐
P’ dinamakan akar kuadrat dari A dan ditunjukkan oleh A1/2.
Matriks akar kuadrat dari matriks A definit positif adalah
A1/2 = 𝒊=𝟏
𝒌
𝝀𝒊eie’i = P 𝚲 𝟏/𝟐
P’
Sifat-sifatnya ada di buku Applied Multivariate Statistical Analysis 6th Edition halaman 66.

2.5 VEKTOR DAN
MATRIKS RANDOM
2.62.22.1 2.3 2.4
Random vektor : vektor yang elemennya adalah variabel acak.
Random matriks : matriks yang elemennya adalah variabel acak.
Nilai harapan dari random matriks (atau random vektor) adalah matriks (vektor) yang terdiri dari nilai
harapan dari setiap elemen.
Misalkan X = {Xij} adalah random matriks berukuran n  p, maka nilai harapan dari X ditunjukkan oleh
E{X}, yang merupakan matriks angka (jika ada) berukuran n  p.
𝐸 𝑿 =
𝐸(𝑋11) 𝐸(𝑋12) ⋯ 𝐸(𝑋1𝑝)
𝐸(𝑋21) 𝐸(𝑋22) ⋯ 𝐸(𝑋2𝑝)
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝐸(𝑋 𝑛1) 𝐸(𝑋 𝑛2) ⋯ 𝐸(𝑋 𝑛𝑝)
Penjelasan lebih lanjut ada di buku Applied Multivariate Statistical Analysis 6th Edition halaman 67.
Contoh 2.12. (Menghitung nilai harapan untuk variabel random diskrit) di halaman 67.

2.6 VEKTOR RATA-RATA
DAN MATRIKS
KOVARIAN
2.22.1 2.3 2.4 2.5
Anggap X’ = [𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑝] adalah random vektor berukuran 𝑝 × 1. Tiap elemen dari X adalah variabel acak
dengan distribusi peluang marginal masing-masing. Rata-rata marginal 𝜇𝑖 dan varians 𝜎𝑖
2
didefinisikan sebagai
𝜇𝑖 = 𝐸(𝑋𝑖) dan 𝜎𝑖
2
= 𝐸 𝑋𝑖 − 𝜇𝑖
2
dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑝.
𝑝 variabel random kontinu 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑝 adalah saling independen secara statistik jika kerapatan gabungannya
dapat difaktorkan sebagai
𝑓12 … 𝑝 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑝 = 𝑓1 𝑥1 𝑓2 𝑥2 … 𝑓𝑝(𝑥 𝑝) untuk semua p 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑝 .
𝐸 𝑿 =
𝐸(𝑋1)
𝐸 𝑋2
⋮
𝐸(𝑋 𝑝)
=
𝜇1
𝜇2
⋮
𝜇 𝑝
= 𝝁 dan 𝚺 = E(𝐗 − 𝛍)(𝐗 − 𝛍)′
𝚺 = Cov 𝐗 =
𝜎11 𝜎12 ⋯ 𝜎1𝑝
𝜎21 𝜎22 ⋯ 𝜎2𝑝
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝜎 𝑝1 𝜎 𝑝2 ⋯ 𝜎 𝑝𝑝
Untuk pembuktiannya ada di buku halaman 69.

CONTOH SOAL
LATIHAN
Tentukan nilai dan vektor eigen dari matriks A =
1 −2
1 4
Jawaban
𝑨 − 𝝀𝐈 = 0
1 −2
1 4
− 𝜆
1 0
0 1
= 0
1 −2
1 4
−
𝜆 0
0 𝜆
= 0
1 − 𝜆 −2
1 4 − 𝜆
= 0
(1 − 𝜆)(4 − 𝜆) + 2 = 0
𝜆2
− 5𝜆 + 6 = 0
(𝜆 − 3)(𝜆 − 2) = 0
λ=2 atau λ=3
𝜆 = 2
𝑨 − 𝝀𝐈 X = 0
1 − 2 −2
1 4 − 2
𝑣1
𝑣2
=
0
0
−1 −2
1 2
𝑣1
𝑣2
=
0
0
−𝑣1 − 2𝑣2 = 0
𝑣1 + 2𝑣2 = 0
𝑣1 = −2𝑠
𝑣1
𝑣2
= 𝑠
−2
1
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣
1 −2
1 4
−2
1
= 2
−2
1
−4
2
= 2
−2
1
𝜆 = 2
𝑨 − 𝝀𝐈 X = 0
1 − 3 −2
1 4 − 3
𝑣1
𝑣2
=
0
0
−2 −2
1 1
𝑣1
𝑣2
=
0
0
−2𝑣1 − 2𝑣2 = 0
𝑣1 + 𝑣2 = 0
𝑣1 = −𝑠
𝑣1
𝑣2
= 𝑠
−1
1
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣
1 −2
1 4
−1
1
= 3
−1
1
−3
3
= 3
−1
1

LATIHAN 1
Diketahui matriks E =
−3 4 2
2 1 3
1 0 −1
Tentukan nilai determinan matriks E.
Det E =
−3 4 2
2 1 3
1 0 −1
−3 4
2 1
1 0
Det E = [(–3 × 1 × (–1)) + (4 × 3 × 1) + (2 × 2 × 0)] – [(1 × 1 × 2) + (0 × 3 × (–3)) + (–1 × 2 × 4)]
Det E = (3 + 12 + 0) – (2 + 0 – 8) = 21
Jawaban

LATIHAN 2
Tentukan invers dari matriks D =
3 −6
−7 11
Jawaban
det D =
3 −6
−7 11
= 3(11) – (–7)(–6) = 33 – 42 = –9
D -1 =
1
det 𝐷
11 6
7 3
D -1 =
1
−9
11 6
7 3
D -1 =
−
11
9
−
6
9
−
7
9
−
3
9

LATIHAN 3
Cari eigen-value(, eigen-vector dan bentuklah spectral decomposition dari
Matriks A
A =
2,2 0,4
0,4 2,8
𝑨 − 𝝀𝐈 = 0
2,2 0,4
0,4 2,8
− 𝜆
1 0
0 1
= 0
2,2 0,4
0,4 2,8
−
𝜆 0
0 𝜆
= 0
2,2 − 𝜆 0,4
0,4 2,8 − 𝜆
= 0
2,2 − 𝜆 × 2,8 − 𝜆 − 0,16 = 0
𝜆 2
− 5𝜆 + 6 = 0
(𝜆 − 3)(𝜆 − 2) = 0
𝜆 = 2
𝑨 − 𝝀𝐈 X = 0
−0,8 0,4
0,4 −0,2
𝑋1
𝑋2
=
0
0
−0,8X1 + 0,42X2 = 0
0,4X1 + (−0,2X2) = 0
X1 = ½X2; X2 = t
𝐿1 = 12 + 22 = 5
𝑒1 =
1
5
2
5
𝜆 = 3
𝑨 − 𝝀𝐈 X = 0
0,2 0,4
0,4 0,8
𝑋1
𝑋2
=
0
0
0,2X1 + 0,42X2 = 0
0,44X1 + 0,8X2 = 0
X1 = −2X2; X2 = t
𝐿2 = 12 + (1
2)2 = 1
2 5
𝑒2 =
2
5
− 1
5
𝐴 = 𝜆𝑖. 𝑒𝑖. 𝑒𝑖′
𝐴 = 3
1
5
2
5
1
5
2
5 +
2
2
5
−1
5
2
5
−1
5
𝐴 =
2,2 0,4
0,4 2,8
Jawaban

APG Pertemuan 1 dan 2 (2)

More Related Content

What's hot

Similar to APG Pertemuan 1 dan 2 (2)

More from Rani Nooraeni

APG Pertemuan 1 dan 2 (2)