- Mean Vectors From Two Populations Independent - Mean Vectors From Two Populations Dependent - Experimental Design for Paired Comparison

1. Mean Vectors
From Two Populations
Multivariate Analysis
Lecturer: Rani Nooraeni, S.ST, M.Stat.

2. 5th Group of 3SK1
Yudi Dharma Jasmine Amalia N. Cristia Monica
Ni Luh Ayu Nova L. Shafiyah Asy Syahidah

3. CONTENT
Mean Vectors
From Two
Populations
Dependent
Mean Vectors
From Two
Populations
Independent
Experimental
Design for
Paired
Comparison
Applied Multivariate Statistical Analysis, Fifth Edition
Richard A. Johnson | Dean W. Wichern

4. Untuk menguji perbedaan rata-rata multivariate 2 populasi independen, terdapat 2 asumsi awal yang harus
diperhatikan
Mean Vectors From Two Populations Independent
Hipotesis yang diujikan adalah:
∑ diketahui ∑ tidak diketahui
𝐻0: 𝝁1 − 𝝁2 = 𝜹 𝟎
𝐻1: 𝝁1 − 𝝁2 < 𝜹 𝟎
𝐻0: 𝝁1 − 𝝁2 = 𝜹 𝟎
𝐻1: 𝝁1 − 𝝁2 > 𝜹 𝟎
2
3
𝐻0: 𝝁1 − 𝝁2 = 𝜹 𝟎
𝐻1: 𝝁1 − 𝝁2 ≠ 𝜹 𝟎
1
4

5. 2 Populasi Independen – Jika ∑ Diketahui
Ketika 𝜮 diketahui, ada asumsi lainnya yang perlu diperhatikan, yaitu kesamaan varians. Apakah 𝛴1 = 𝛴2
atau 𝛴1 ≠ 𝛴2?
1. Asumsi
𝑿 𝟏~𝑵 𝒑 𝝁 𝟏, 𝜮 𝟏
𝑿 𝟐~𝑵 𝒑 𝝁 𝟐, 𝜮 𝟐
𝜮 𝟏 = 𝜮 𝟐 = 𝜮
2. Asumsi
𝑿 𝟏~𝑵 𝒑 𝝁 𝟏, 𝜮 𝟏
𝑿 𝟐~𝑵 𝒑 𝝁 𝟐, 𝜮 𝟐
𝜮 𝟏 ≠ 𝜮 𝟐
Untuk 𝑛1 dan 𝑛2 besar atau pun kecil, statistik ujinya adalah:
𝒁 𝟐
= 𝑿1 − 𝑿2 − 𝜹 𝟎
′
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝜮
−𝟏
𝑿1 − 𝑿2 − 𝜹 𝟎 ~ 𝑿 𝒑
𝟐
𝑍2
= 𝑿1 − 𝑿2 − 𝜹 𝟎
′
1
𝑛1
𝜮 𝟏 +
1
𝑛2
𝜮2
−1
𝑿1 − 𝑿2 − 𝜹 𝟎 ~ 𝑋 𝑝
2
Untuk 𝑛1 dan 𝑛2 besar atau pun kecil, statistik ujinya
adalah:
5

6. Wilayah kritis untuk tiga hipotesis tadi adalah
Tolak 𝐻0 apabila 𝑍2 > 𝑋 𝑝
2(𝛼)
2 Populasi Independen – Jika ∑ Diketahui
Selang Kepercayaan Simultan dengan
nilai peluang 1 − 𝛼
Wilayah kritis untuk tiga hipotesis tadi
adalah
Tolak 𝐻0 apabila 𝑍2
> 𝑋 𝑝
2
(𝛼)
Selang Kepercayaan Simultan dengan nilai
peluang 1 − 𝛼
𝑿1𝑖 − 𝑿2𝑖 ± 𝑋 𝑝
2
(𝛼)
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝜮 𝑿1𝑖 − 𝑿2𝑖 ± 𝑋 𝑝
2
(𝛼)
𝜮 𝟏𝒊
𝑛1
+
𝜮 𝟐𝒊
𝑛2
6

7. 2 Populasi Independen – Jika ∑ Tidak Diketahui
𝐻0: 𝝉1 = 𝝉2
𝐻1: 𝝉1 ≠ 𝝉2
Dimana
𝐖 = 𝑛1 − 1 𝑺1 + (𝑛2 − 1)𝑺2
𝑩 =
𝑙=1
2
𝑛𝑙 𝒙𝑙 − 𝒙 𝒙𝑙 − 𝒙 ′
𝒙 =
𝑛1 𝒙1 + 𝑛2 𝒙2
𝑛1 + 𝑛2
Statistik Uji:
∧∗
=
𝐖
𝐁 + 𝐖
Jika varians populasi
tidak diketahui, perlu
dilakukan uji kesamaan
varians terlebih dahulu.
Keputusan:
Tolak 𝐻0, jika
1 − ∧∗
∧∗
∑ 𝑛𝑙 − 𝑔 − 1
𝑔 − 1
> 𝐹2 𝑔−1 ,2 ∑ 𝑛 𝑙−𝑔−1 𝛼
7

8. 1. Asumsi
𝑿1~𝑁 𝑝 𝝁1, 𝜮1
𝑿2~𝑁 𝑝 𝝁2, 𝜮2
𝜮1 = 𝜮2 = 𝜮
∑ 𝑗−1
𝑛1
(𝑥1𝑗 − 𝑥1)(𝑥1𝑗 − 𝑥1)′ merupakan estimasi dari (𝑛1 − 1)𝜮 dan
∑ 𝑗−1
𝑛2
(𝑥2𝑗 − 𝑥2)(𝑥2𝑗 − 𝑥2)′ merupakan estimasi dari (𝑛2 − 1)𝜮.
Kita dapat menggabungkan informasi dari kedua sampel untuk mengestimasi
kovarians umum 𝚺.
𝐻0: 𝝁1 − 𝝁2 = 𝜹 𝟎
𝐻1: 𝝁1 − 𝝁2 ≠ 𝜹 𝟎
𝐻0: 𝝁1 − 𝝁2 = 𝜹 𝟎
𝐻1: 𝝁1 − 𝝁2 < 𝜹 𝟎
𝐻0: 𝝁1 − 𝝁2 = 𝜹 𝟎
𝐻1: 𝝁1 − 𝝁2 > 𝜹 𝟎
Hipotesis yang diujikan:
𝑺 𝑝𝑜𝑜𝑙𝑒𝑑 =
∑ 𝑗−1
𝑛1
(𝑥1𝑗 − 𝑥1)(𝑥1𝑗 − 𝑥1)′ + ∑ 𝑗−1
𝑛2
(𝑥2𝑗 − 𝑥2)(𝑥2𝑗 − 𝑥2)′
𝑛1 + 𝑛2 − 2
𝑺 𝑝𝑜𝑜𝑙𝑒𝑑 =
𝑛1 − 1
𝑛1 + 𝑛2 − 2
𝑺1 +
𝑛2 − 1
𝑛1 + 𝑛2 − 2
𝑺2
8
2 Populasi Independen – Jika ∑ Tidak Diketahui

9. Jika 𝑛1 dan 𝑛2 besar, Statistik uji :
Selang Kepercayaan Simultan dengan nilai peluang
1 − 𝛼
Tolak 𝐻0, jika
𝑍2 > 𝑋 𝑝
2 𝛼
Jika 𝑛1 atau 𝑛2 kecil,
Statistik uji:
Tolak 𝐻0, jika
𝑇2 >
𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑝
𝑛1 + 𝑛2 − 𝑝 − 1
𝐹𝑝,𝑛1+𝑛1−𝑝−1(𝛼)
Selang Kepercayaan Simultan dengan nilai peluang
1 − 𝛼
𝒁 𝟐
= 𝑿1𝑖 − 𝑿2𝑖 − 𝜹 𝟎
′
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝑺 𝒑
−𝟏
𝑿1𝑖 − 𝑿2𝑖 − 𝜹 𝟎
𝒁 𝟐
~ 𝑿 𝒑
𝟐
𝑻 𝟐
= 𝒙1𝑖 − 𝒙2𝑖 − 𝜹 𝟎
′
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝑺 𝒑
−𝟏
𝒙1𝑖 − 𝒙2𝑖 − 𝜹 𝟎
𝑻 𝟐
~
𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑝
𝑛1 + 𝑛2 − 𝑝 − 1
𝐹𝑝,𝑛1+𝑛1−𝑝−1
𝑿1𝑖 − 𝑿2𝑖 ± 𝑋 𝑝
2
(𝛼)
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝒔𝒊𝒊.𝒑𝒐𝒐𝒍𝒆𝒅
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 1,2, … , 𝑝
𝒙1𝑖 − 𝒙2𝑖 ±
𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑝
𝑛1 + 𝑛2 − 𝑝 − 1
𝐹𝑝,𝑛1+𝑛1−𝑝−1(𝛼)
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝒔𝒊𝒊.𝒑𝒐𝒐𝒍𝒆𝒅
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 1,2, … , 𝑝
11
2 Populasi Independen – Jika ∑ Tidak Diketahui

10. Selang Kepercayaan Simultan dengan nilai peluang 1 − 𝛼
Misal 𝑐2 =
𝑛1+𝑛2−2 𝑝
𝑛1+𝑛2−𝑝−1
𝐹𝑝,𝑛1+𝑛1−𝑝−1(𝛼). Maka dengan nilai peluang
1 − 𝛼 ,
𝒂′
𝑿1 − 𝑿2 ± 𝒄 𝒂
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝑺 𝒑𝒐𝒐𝒍𝒆𝒅 𝒂
𝑿1𝑖 − 𝑿2𝑖 ±
𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑝
𝑛1 + 𝑛2 − 𝑝 − 1
𝐹𝑝,𝑛1+𝑛1−𝑝−1(𝛼)
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝒔𝒊𝒊.𝒑𝒐𝒐𝒍𝒆𝒅
Akan memuat 𝒂′
𝝁1 − 𝝁2 . Oleh karena itu, selang kepercayaan simultan
untuk 𝝁1𝑖 − 𝝁2𝑖
Selang Kepercayaan Simultan Bonferroni
100 1 − 𝛼 %
𝒙1𝑖 − 𝒙2𝑖 ± 𝑡 𝑛1+𝑛2−2
𝛼
2𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝒔𝒊𝒊.𝒑𝒐𝒐𝒍𝒆𝒅
Pembuktian ada
di halaman 287
Pembuktian ada
di halaman 290
12
2 Populasi Independen – Jika ∑ Tidak Diketahui

11. Contoh Soal
50 batang sabun dibuat dengan 2 cara. Setiap pembuatan 2
karakteristik sabun, yakni 𝑋1 = berbusa dan 𝑋2= lembut.
Yang memiliki rata-rata statistik tiap karakter sebagai
berikut:
𝒙1 =
8,3
4,1
𝑺1 =
2 1
1 6
𝒙2 =
10,2
3,9
𝑺2 =
2 1
1 4
Contoh soal 6.3 𝑺 𝑝𝑜𝑜𝑙𝑒𝑑 =
𝟒𝟗
𝟗𝟖
𝑺 𝟏 +
𝟒𝟗
𝟗𝟖
𝑺 𝟐 =
𝟐 𝟏
𝟏 𝟓
𝒙1 − 𝒙2 =
−𝟏, 𝟗
𝟎, 𝟐
𝟎 = 𝑺pooled − 𝝀𝑰 =
𝟐 − 𝝀 𝟏
𝟏 𝟓 − 𝝀
= 𝝀 𝟐
− 𝟕𝝀 + 𝟗
𝝀 𝟏= 𝟓, 𝟑𝟎𝟑
𝝀 𝟐 = 𝟏, 𝟔𝟗𝟕
𝑺 𝒑𝒐𝒐𝒍𝒆𝒅 𝒆𝒊 = 𝝀𝒊 𝒆𝒊 , 𝐢 = 𝟏, 𝟐, …
𝒆 𝟏 =
𝟎, 𝟐𝟗
𝟎, 𝟗𝟓𝟕
𝒆 𝟐 =
𝟎, 𝟗𝟓𝟕
−𝟎, 𝟐𝟗
𝟏
𝒏 𝟏
+
𝟏
𝒏 𝟐
𝒄 𝟐
=
𝟏
𝟓𝟎
+
𝟏
𝟓𝟎
+
𝟗𝟖 (𝟐)
(𝟗𝟕)
+ 𝑭 𝟐,𝟗𝟕 𝟎. 𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟐𝟓
𝑭 𝟐,𝟗𝟕 𝟎. 𝟎𝟓 = 𝟑. 𝟏
Jawaban
9

12. Confidence ellipse extends
𝜆𝑖
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝑐2 = 𝜆𝑖 0.25
Berdasarkan gambar di samping, cukup jelas
bahwa 𝝁1 − 𝝁2 = 0 tidak berada di dalam elips
(melewati titik origin). Karena itu kita dapat
menyimpulkan bahwa terdapat perbedaan
metode pembuatan sabun.
Tampak seolah-olah kedua proses batang sabun
dengan kelembutan yang sama, tetapi mereka
dari proses kedua memiliki lebih banyak busa.
Pembahasan
Jawaban
10

13. Tolak 𝐻0, jika
𝑍2 > 𝑋 𝑝
2(𝛼)
𝑿1~𝑁 𝑝 𝝁1, 𝜮1
𝑿2~𝑁 𝑝 𝝁2, 𝜮2
𝜮1 ≠ 𝜮2
2. Asumsi
Jika 𝑛1 dan 𝑛2 besar,
Statistik uji:
𝑍2
= 𝑿1 − 𝑿2 − 𝜹 𝟎
′
1
𝑛1
𝑺1 +
1
𝑛2
𝑺2
−1
𝑿1 − 𝑿2 − 𝜹 𝟎 ~ 𝑋 𝑝
2
13
2 Populasi Independen – Jika ∑ Tidak Diketahui
Hipotesis yang diujikan:
Pembuktian ada
di halaman 291
𝐻0: 𝝁1 − 𝝁2 = 𝜹 𝟎
𝐻1: 𝝁1 − 𝝁2 ≠ 𝜹 𝟎
𝐻0: 𝝁1 − 𝝁2 = 𝜹 𝟎
𝐻1: 𝝁1 − 𝝁2 < 𝜹 𝟎
𝐻0: 𝝁1 − 𝝁2 = 𝜹 𝟎
𝐻1: 𝝁1 − 𝝁2 > 𝜹 𝟎
Jika 𝑛1 atau 𝑛2 kecil, maka
untuk kasus kali ini dias
umsikan langsung bahwa
𝜮1 = 𝜮2 = 𝜮
Pembuktian di halaman
284

14. Contoh Soal
Kita ingin menganalisis konsumsi barang
elektornik dari data contoh 6.4,
menggunakan pendekatan sampel besar
49
98
𝑆1 +
49
98
𝑆2=
1
45
138525,3 23823,4
23823,4 73107,4
+
1
55
8632 19616,7
19616,7 55964,5
=
464,17 886,08
886,08 2642,15
Contoh soal 6.5 𝑎’ μ1 − μ2 = 1,0
μ11 − μ21
μ12 − μ22
= μ11 − μ21
dan
𝑎’ μ1 − μ2 = 0,1
μ11 − μ21
μ12 − μ22
= μ12 − μ22
Statistik Uji
𝑇2
= 𝑥1 − 𝑥2
′
1
𝑛1
𝑠1 +
1
𝑛2
𝑠2
−1
𝑥1 − 𝑥2
𝑇2
=
204,4 −130
556,6 −355
′
464,17 886,08
886,08 2642,15
204,4 −130
556,6 −355
= 15.66
Keputusan
Tolak H0 𝑇2
= 15.66 > 𝑋2
2
0,05 = 5.99
Kesimpulan
Dengan tingkat signifikansi 5%, kita memiliki cukup bukti
untuk mengatakan bahwa terdapat perbedaan hasil antar
kedua populasi.
Jawaban
14

15. Latihan Soal
Use the data for treatments 2 and 3 in Exercise 6.8
Treatment 2:
3
3
,
1
6
,
2
3
Treatment 3:
2
3
,
5
1
,
3
1
,
2
3
a. Calculate 𝑺 𝑝𝑜𝑜𝑙𝑒𝑑
b. Test 𝐻0: 𝝁2 − 𝝁3 = 𝟎 employing a two-
sample approach with 𝛼 = 0.01
c. Construct 99% simultaneous confidence
intervals for the differences 𝝁2𝑖 − 𝝁3𝑖, 𝑖 = 1,2
Exercise 6.6 p. 333
15

16. Mean Vectors From Two Populations Dependent
H0: δ = 𝟎.
H1: Minimal terdapat salah satu δ𝒊 ≠ 𝟎
Dimana,
𝐷 =
1
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝐷𝑗
𝑺 𝒅 =
1
𝑛 − 1
𝑗=1
(𝐷𝑗 − 𝐷)(𝐷𝑗 − 𝐷)′
Statistik Uji
Untuk 𝑛 dan 𝑛 − 𝑝 besar
𝑍2
= 𝑛 𝑫 − δ ′
𝑺 𝒅
−𝟏
( 𝑫 − δ) ~ 𝑋 𝑝
2
Tolak H0, jika
𝑇2 >
𝑛 − 1 𝑝
𝑛 − 𝑝
𝐹𝑝;𝑛−𝑝(𝛼)
Selang Kepercayaan Simultan
𝑑𝑖 ±
𝑛 − 1 𝑝
𝑛 − 𝑝
𝐹𝑝,𝑛−𝑝(𝛼)
𝑠 𝑑𝑖
2
𝑛
Selang Kepercayaan Simultan
Bonferroni
𝑑𝑖 ± 𝑡 𝑛−1
𝛼
2𝑝
𝑠 𝑑 𝑖
2
𝑛
16
Inferensia:
Untuk 𝑛 atau 𝑛 − 𝑝 kecil
𝑇2
= 𝑛 𝒅 − δ
′
𝑺 𝒅
−𝟏
( 𝒅 − δ)
𝑇2
~
𝑛 − 1 𝑝
𝑛 − 𝑝
𝐹𝑝,𝑛−𝑝
Asumsi:
𝑫1, 𝑫2, … , 𝑫 𝑛 independent
𝑫𝑗 ~ 𝑁𝑝 𝜹, 𝜮 𝑑

17. Sample j Commercial lab State lab of hygiene
X1j1(BOD) X1j2 (SS) X2j1(BOD) X2j2 (SS)
1 6 27 25 15
2 6 23 28 13
3 18 64 36 22
4 8 44 35 29
5 11 30 15 31
6 34 75 44 64
7 28 26 42 30
8 71 124 54 64
9 43 54 34 56
10 33 30 29 20
11 20 14 39 21
Table 1. Effluent Data
Source : Data courtesy of S. Weber
Contoh Soal
Johnson p. 275
Do the two
laboratories chemical
analyses agree? If
differences exist, what
is their nature?
17

18. dj1 = x1ji – x2j1 dj2 = x1j2 – x2j2
-19 12
-22 10
-18 42
-27 15
-4 -1
-10 11
-14 -4
17 60
9 -2
4 10
-19 -7
𝒅 =
𝑑1
𝑑2
=
−9.36
13.27
𝑺 𝒅 =
199.26 88.38
88.38 418.61
H0 : 𝜹′ = [𝛿1 , 𝛿2] = 0,0
H1 : Minimal terdapat salah satu δ𝒊 ≠ 𝟎
Tingkat signifikansi: 𝛼 = 0.05
Statistik Uji:
𝑇2 = 𝑛 𝑫 − δ ′ 𝑺 𝒅
−𝟏
( 𝑫 − δ)
𝑇2
= 11 −9.36 13.27
0.0055 −0.0012
−0.0012 0.0026
−9.36
13.27
= 13.6
Wilayah Kritis
𝑛 − 1 𝑝
(𝑛 − 𝑝)
𝐹𝑝,𝑛−𝑝(0.05) =
2(10)
9
𝐹2,9 0.05 = 9.47
Keputusan
𝑇2 = 13.6 > 9.47 → Tolak H0
∴ Dengan tingkat signifikansi 5%, kita memiliki cukup
bukti untuk mengatakan bahwa terdapat perbedaan
hasil uji antara kedua laboratorium tersebut.
Jawaban
18
Pembahasan

19. Pembahasan
𝛿1 : 𝑑1 ±
𝑛−1 𝑝
(𝑛−𝑝)
𝐹𝑝,𝑛−𝑝(𝛼)
𝑠 𝑑1
2
𝑛
= - 9.36 ± 9.47
199.26
11
= (-22.46 ; 3.74)
𝛿2 : 𝑑1 ±
𝑛−1 𝑝
(𝑛−𝑝)
𝐹𝑝,𝑛−𝑝(𝛼)
𝑠 𝑑1
2
𝑛
= - 13.27 ± 9.47
418.61
11
= (-5.71 ; 32.25)
Dari kedua selang tersebut nilai 0 masuk kedalam selang interval, sehingga dapat disimpulkan
bahwa hasil dari kedua laboratorium adalah sama.
Terdapat perbedaan kesimpulan dari kedua uji yaitu dari uji parsial dan uji simultan. Hal tersebut
bias saja terjadi karena daerah penolakan dan penerimaan hipotesis dari uji parsial dan simultan
memiliki bentuk yang berbeda.
Karena keputusan tolak H0, maka dilakukan Uji Parsial untuk melihat letak perbedaanya
19

20. Latihan Soal
Using the information in Example 6.1
construct the 95% Bonferroni
simultaneous intervals for the
components of the mean difference
vector 𝜹. Compare the lengths of these
intervals with those of the simultaneous
intervals constructed in the example.
Exercise 6.2 p. 332
20

21. Experimental Design for Paired Comparison
21
Dua populasi yang diberi 2 perlakuan
(treatment) yang berbeda, tetapi berasal
dari sumber yang sama.
H 𝟎: δ𝒊 = 𝟎, 𝒊 = 1, 2, …
H 𝟏: Minimal terdapat salah satu δ𝒊 ≠ 𝟎
𝒙′
= 𝑥11, 𝑥12, … . , 𝑥1𝑝, 𝑥21, 𝑥22, … . . 𝑥2𝑝
𝑺 =
𝑆11 (𝑝×𝑝) 𝑆12 (𝑝×𝑝)
𝑆21 (𝑝×𝑝) 𝑆22 (𝑝×𝑝)
𝑪(𝒑×𝟐𝒑) =
1 0 … 0
0 1 … 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 … 1
⋮ −1 0 … 0
⋮ 0 −1 … 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋮ 0 0 … −1
𝒅𝑗 = 𝑪𝒙𝑗 , j= 1, 2, …., n
𝒅 = 𝑪 𝒙 𝑑𝑎𝑛 𝑺 𝑑= CSC’
Statistik Uji:
𝑇2 = 𝑛 𝒙′ 𝑪′ 𝑪𝑺𝑪′ −𝟏 𝑪 𝒙
Setiap baris dari 𝒄𝑖
′
dari matriks 𝑪 disebut contrast vector,
karena jumlah elemen-elemenennta adalah 0. setiap contrast
tegak lurus dengan vector 𝟏′
= 1,1, … , 1 , karena 𝒄𝑖
′
𝟏 = 0.
komponen dari 𝟏′𝒙𝑗 merepresentasikan jumlah seluruh
treatment yang diabaikan oleh statistik uji 𝑇2
pada bagian ini.

22. TERIMAKASIH
Sampai Jumpa