4. ANALISIS FAKTOR
Pendahuluan
DEFINISI
Analisis faktor merupakan
perluasan yang lebih mendetail
dari analisis komponen utama.
TUJUAN
Tujuan utamanya untuk mendeskripsikan
hubungan kovarian dari banyak variabel
dalam hubungannya dengan beberapa
kuantitas random (faktor) yang penting
namun unobservable.
5. Pendahuluan
Misal suatu set variabel dapat dikelompokkan ke dalam group tertentu
berdasarkan kovariannya.
Semua variabel dalam satu grup memiliki korelasi besar di antara mereka
namun memiliki korelasi yang kecil dengan variabel dari grup lain.
Maka dapat dibayangkan bahwa tiap grup variabel merepresentasikan suatu
konstruksi pokok (faktor) yang menyebabkan korelasi di antara variabelnya
demikian.
7. Random vektor X dengan p buah komponen
memiliki rata-rata μ dan kovarian Σ.
Model faktor mendalilkan bahwa :
X linearly dependent dengan variabel
random 𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑚 yang disebut common factors
dan p buah sumber varians 𝜀1, 𝜀2, … , 𝜀 𝑝 yang
disebut error atau specific factors.
Model
8. Model Faktor Orthogonal
Model analisis faktor Notasi Matrix :
𝑙𝑖𝑗 = loading variabel ke-i pada faktor ke-j
L = matrix of factor loading
9. ASUMSI
F dan ε independen sehingga :
Karena banyaknya
kuantitas yang tidak
terobservasi,
verifikasi langsung
dari model faktor
tidak dimungkinkan.
Untuk itu,
dibutuhkan asumsi
tambahan.
10. Model Faktor Orthogonal Dengan m Buah
Common Factors
Random vector F dan ε memenuhi kondisi berikut :
16. Ketika m = p
matrix Σ akan selalu berupa LL’
Sehingga matrix 𝜓 dapat berupa
matrix nol
Ketika m < p
Analisis faktor akan menjelaskan
kovarians X secara lebih sederhana
dengan jumlah parameter yang lebih
sedikit dibandingkan elemen matrix Σ
Contoh :
X terdiri dari 12 variabel dijelaskan dengan model 2-faktor
p = 12
m = 2
Banyak elemen dalam matric Σ = p (p+1)/2 = 12*13/2 = 78
Jumlah parameter (𝑙𝑖𝑗 𝑑𝑎𝑛 𝜓𝑖) = mp + p = 2*12 + 12 = 36
Model
17. Model
Saat m > 1, selalu ada keambiguan yang
dihubungkan dengan dengan model faktor.
Tmxm orthogonal matrix sehingga TT’=T’T=I
Dimana
Karena Dan
Walaupun L* dan L secara umum berbeda, keduanya menghasilkan matriks kovarians sama:
Keambiguan ini mendasari rotasi faktor.
18. • Analisis faktor diproses dengan kondisi estimasi L dan 𝜑
bersifat unik.
• Loading matrix L dirotasi berkali-kali oleh matriks orthogonal.
• Saat L dan 𝜑 yang spesifik didapat, faktor teridentifikasi dan
factor scores terbentuk.
Model
20. Metode Estimasi
Observasi x1, x2,..., xn pada p variabel-variabel yang secara
umum berkorelasi.
S adalah estimator dari matrik kovarian Σ populasi yang tidak
diketahui.
Jika elemen-elemen diagonal S bernilai kecil dan matriks korelasi
R bernilai nol, variabel-variabel tidak berhubungan dan analisis
faktor tidak dapat digunakan.
Dua metode estimasi parameter:
1. Principal component (and principal factor) method
2. Maximum likelihood method
Metode Estimasi
21. The Principal Component (and Principal Factor) Method
Metode Estimasi
Σ mempunyai eigenvalue-eigenvector (λ𝑖, 𝑒𝑖 ) dengan λ1 λ2 ... λp 0
Model analisis faktor mempunyai jumlah faktor sama dengan jumlah variabel (m=p) dan 𝜑i = 0,
kolom ke-j loading matrix adalah λ𝑗 𝑒𝑗
22. Metode Estimasi
Pendekatan untuk memperoleh model analisis faktor dengan m < p yaitu dengan
menghilangkan kontribusi
pada Σ sehingga diperoleh
Jika mempertimbangkan faktor khusus, maka
The Principal Component (and Principal Factor) Method (2)
23. • Untuk menerapkan pendekatan ini ke data, langkah pertama perlu untuk
memusatkan observasi dengan mengurangkan rata-rata sampel.
The Principal Component (and Principal Factor) Method (3)
• Observasi terpusat
Mempunyai matriks kovarian S sama dengan aslinya.
Metode Estimasi
24. The Principal Component (and Principal Factor) Method (4)
Metode Estimasi
Jika unit variabel-variabel berbeda satuan maka perlu standardisasi.
Matriks kovarian sampel sama dengan matriks korelasi R.
25. Principal Component Solution of the Factor Model
Metode Estimasi
S mempunyai pasangan eigenvalue-eigenvector
Dimana
m < p
Komunaliti :
26. Metode Estimasi
Principal Component Solution of the Factor Model (2)
Kontribusi total varians sampel s11 + s22 + ... + spp = tr(S) dari faktor umum
pertama adalah
Karena 𝑒𝑖 mempunyai panjang unit.
36. Metode Estimasi
Contoh 9.5 Stock Price Data menggunakan Maximum Likelihood Method
Asumsi m=2
F1 disebut
market factor
karena (+)
semua
F2 disebut
industry
factor karena
ada sebagian
yang (-)
37. Metode Estimasi
Dari tabel tersebut untuk menghitung =
Sedangkan residual matrixnya :
Kalau dilihat dari pendekatan MLE lebih kecil daripada komponen
utama, oleh karena kita lebih baik menggunakan MLE.
=
Pada cumulative proportion sample varians yang dijelaskan juga demikian.
Matriks
Diagonal
38. Contoh 9.6 Analisis Faktor menggunakan Data Lomba Olympiade
Metode Estimasi
N=160
p = 10
m = 4
4 eigen value yang pertama = 3.78 ; 1.52 ; 1.11 ; 0.91
40. Metode Estimasi
Pada kasus tersebut menghasilkan hasil yang sangat berbeda.
Pada komponen utama :
F1 = mempunyai hasil yang besar semua kecuali 1500m-run (General athletic ability)
F2 = terdapat perbedaan yang mencolok antara running ablility and throwing ability
F3 = terdapat perbedaan yang mencolok antara running endurance and running speed
F4 = terdapat hal yang membingungkan pada factor ini.
Pada Maximum Likelihood :
F1 = mempunyai hasil yang paling besar di 1500m-run (Running endurance factor)
F2 = mempunyai hasil yang paling besar di shot put (strength factor)
F3 = mempunyai hasil yang paling besar di 400m-run dan 1500m-run (running endurance)
F4 = mempunyai hasil yang paling besar di high jup (Leg strength)
Dari contoh tersebut kita bisa tahu bahwa penamaan variabelnya
berdasarkan atas nilai estimasi loading yang paling besar.
42. Metode Estimasi
Matriks residual yang dihasilkan =
Dari kedua matriks residual yang ditampilkan, Maksimum Likelihood lebih bagus
dalam menghasilkan R daripada Komponen Utama
43. Tes sampel besar untuk jumlah faktor common
Dengan derajat bebas =½(p-m)²-p-m)
Apabila, diketahui bahwa :
Maka, hipotesis yang dapat dituliskan adalah :
Untuk menguji H0 menggunaka uji statistik ratio likelihood
Metode Estimasi
44. Sehingga, dengan menggunakah koreksi Bartlett’s kita dapat menolak H0 apabila :
Metode Estimasi
45. Example 9.7 (lanjutan dari example 9.5)
Ho : Ʃ=LL’+ψ , m=2 , α=0.05
Sehingga,
Metode Estimasi
