3 mtl matriks_1 print

MATRIKS
Matriks & Transformasi Linier
Universitas Budi Luhur
Purwanto,S.Si
Matriks & Transformasi Linier - Purwanto,S.Si
Pengertian Matriks
• Matriks adalah susunan sekelompok bilangan
dalam bentuk persegi panjang yang diatur
menurut baris dan kolom
• Contoh :
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
100
010
001
I
( )521 -=C
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=
23
61
A
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
=
4
1
7
3
D
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
100
870
591
V
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
=
12353
76321
10272
G
Bentuk Umum
• Matriks : Amxn = (aij)mxn
• dibaca : Matriks A dengan ordo m x n
• dengan :
– m menyatakan jumlah baris, m = 1,2,3,…
– n menyatakan jumlah kolom, n = 1,2,3,…
– aij menyatakan elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
==
mnmm
n
n
mxnijmxn
aaa
aaa
aaa
aA
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
)( m = jumlah baris
Bentuk Umum
• dengan :
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
==
mnmm
n
n
mxnijmxn
aaa
aaa
aaa
aA
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
)(
n = jumlah kolom

Bentuk Umum
• dengan :
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
==
mnmm
n
n
mxnijmxn
aaa
aaa
aaa
aA
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
)(
a11 : elemen matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1
Bentuk Umum
• dengan :
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
==
mnmm
n
n
mxnijmxn
aaa
aaa
aaa
aA
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
)(
Bentuk Umum
• dengan :
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
==
mnmm
n
n
mxnijmxn
aaa
aaa
aaa
aA
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
)(
Bentuk Umum
• dengan :
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
==
mnmm
n
n
mxnijmxn
aaa
aaa
aaa
aA
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
)(
amn : elemen matriks A pada baris ke-m dan kolom ke-n

Contoh
( )521 -=C÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=
23
61
A
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
100
870
591
V
Jumlah baris (m) = 2
Jumlah kolom (n) = 2
Matriks A2x2
Jumlah baris (m) = 1
Jumlah kolom (n) = 3
Matriks C1x3
Matriks V3x3
Elemen baris ke-1 kolom ke-1 = 1
Jenis Matriks
1) Matriks Baris
Matriks yang elemennya terdiri hanya satu baris
Contoh :
2) Matriks Kolom
Matriks yang elemennya terdiri hanya satu kolom
Contoh :
( )521 -=C
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
=
4
1
7
3
D
Jenis Matriks
3) Matriks Persegi
Matriks yang banyaknya baris = banyaknya kolom
Contoh :
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
100
870
591
V
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=
23
61
A
Jenis Matriks
4) Matriks Segitiga
Matriks persegi yang elemen-elemen di bawah atau di
atas diagonal utama semuanya = 0
Contoh :
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
200
740
231
M
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
397
041
002
N
Matriks Segitiga Atas Matriks Segitiga Bawah

Jenis Matriks
5) Matriks Diagonal
Matriks segitiga yang elemen-elemen di bawah dan di
atas diagonal utama semuanya = 0
Contoh :
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
200
040
001
M
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-=
100
030
002
N
Jenis Matriks
6) Matriks Identitas
Matriks diagonal dengan elemen-elemen pada diagonal
utama semuanya = 1
Contoh :
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
100
010
001
I
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
=
1000
0100
0010
0001
I
Kesamaan Dua Buah Matriks
• Dua buah matriks dikatakan sama, jhj kedua
matriks mempunyai ordo yang sama dan elemen
yang seletak sama.
• Contoh :
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
=
751
328
142
B
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
=
751
328
142
A
Latihan
• Misalkan matriks A = matriks B, tentukanlah nilai
x,y dan z nya.
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
--
=
721
398
144
B
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
--
=
71
338
142
z
y
x
A
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-=
152/1
329
431
B
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
--
-=
154/
73/29
231
z
y
x
A
1).
2).

Transpose Matriks
• Matriks baru yang diperoleh dengan mengubah
susunan elemen baris menjadi elemen kolom dari
matriks lama.
• Simbol :
– Jika M suatu matriks, maka M‘ mrp matriks transpose
Atau
– Jika M suatu matriks, maka MT mrp matriks transpose
• Contoh :
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=
23
61
A ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=
26
31
'A
Latihan
Tentukan matriks transpose dari matriks berikut ini :
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
=
142
413
231
D
( )521 -=B÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=
23
61
A
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
=
4
1
7
3
E
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
=
131
872
591
C
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
=
12353
76321
15272
F
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
--
=
5162
2042
3231
9521
G
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ-
=
4511
2332
5453
7123
H
Matriks Simetris
• Matriks persegi A dikatakan matriks simetris
jika A = AT
• Contoh :
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
=
142
413
231
A
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
=
142
413
231
T
A
Penjumlahan & Pengurangan Matriks
• Syarat :
a) Ordo matriks yang dijumlahkan harus sama
b) Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya
didapat dari penjumlahan atau pengurangan
elemen-elemen yang seletak
• Sifat :
1) A+B=B+A
2) (A+B)+C=A+(B+C)
3) A-B ¹ B-A

Contoh
Misal diketahui matriks
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-=
122
423
531
A
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
=
541
311
222
B
Maka nilai A + B adalah
1+2 3+(-2) 5+2
-3+(-1) 2+1 4+3
2+1 -2+4 1+5
3 1 7
-4 3 7
3 2 6
Contoh
Misal diketahui :
Tentukanlah matriks :
1) A+B
2) B+A
3) A+C
4) A-B
5) B-A
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
34
51
A ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
53
42
B ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
642
513
C ÷÷
ø
ö
çç
è
æ --
=
156
342
D
6) C+D
7) D+C
8) C-D
9) D-C
10) (D+C)+D
Perkalian Skalar Sebuah Matriks
• Notasi
B = k.A
dengan :
B = matriks hasil perkalian
k = kontanta bilangan real
A = matriks yang dikalikan
• Sifat
1) (a+b)A = aA+bA
2) a(A+B) = aA+aB
3) a(bA) = (ab)A
4) 1A = A
5) (-1)A = -A
Contoh
Misal diketahui matriks :
1) 2A
2) -3B
3) -2A+3C
4) B+2D
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
43
21
A ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
=
151
232
B ÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
=
24
13
C ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
532
614
D

Perkalian Dua Buah Matriks
• Syarat :
– Jumlah kolom matriks pertama = jumlah baris
matriks kedua
• Notasi
Amxn x Bpxq = Cmxq
dengan syarat : n = p
• Sifat :
1) AB≠BA
2) (AB)C=A(BC)
3) A(B+C)=AB+AC
4) AI = IA = A
Contoh
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
13
42
A ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
85
76
B
Maka nilai A.B adalah
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
13
42
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
85
76
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++
++
=
)8x1()7x3()5x1()6x3(
)8x4()7x2()5x4()6x2(2x6( )+ 4( )x5 2x7( )+ 4( )x8
3x6( )+ 1( )x5 3x7 + 1( )x8( )
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++
++
=
821518
32142012
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
2923
4632
Latihan
Misal diketahui :
Tentukanlah :
1. AB
2. BA
3. (AB)C
4. A(BC)
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
34
51
A ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
53
42
B ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
642
513
C ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
=
31
21
D ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
10
01
I
5. A(B+D)
6. AB+AD
7. AI
8. IA
Sifat Matriks Transpose
a) (AT)T = A
b) (aA)T = aAT , a = konstanta bilangan real
c) Jika A dan B adalah matriks dengan ordo m x n,
maka (A + B)T = AT + BT
d) Jika A matriks dengan ordo m x n, dan B
matriks dengan ordo n x r, maka (AB)T = BTAT

Contoh
Misal diketahui :
1) (CT)T
2) (2C)T
3) 2CT
4) (A + B)T
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
=
321
112
231
A
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-=
112
013
111
B
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
--=
13
21
12
C
5) AT + BT
6) (AB)T
7) BTAT
Determinan Matriks Ordo 2 x 2
• Misal matriks A berordo 2 x 2
mempunyai determinan
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
dc
ba
A
bcad
dc
ba
AA -===)det(
Contoh
Tentukanlah determinan matriks A
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
34
51
A
Jawab :
34
51
)det( == AA = (1)(3) - (5)(4)
= (3) - (20)
= -17
Latihan
1. Misal diketahui matriks
Tentukanlah determinan matriks A tersebut
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
=
35
24
A
Tentukanlah x jika determinan matriks A = 1.
÷÷
ø
ö
çç
è
æ-
=
x
A
3
12
Tentukanlah x jika determinan matriks P = -5.
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++
=
12
5
xx
x
P

Matriks Singular & Nonsingular
Misal A adalah matriks berordo nxn :
• Matriks A disebut matriks nonsingular jika
det(A) ≠ 0
• Matriks A disebut matriks singular jika
det(A) = 0
• Setiap matriks nonsingular dapat
mempunyai invers matriks.
• Misal A matriks nonsingular berodo n x n,
maka invers matriks A dinyatakan dengan
A-1.
Contoh
Manakah dianatara matriks di bawah ini yang
termasuk matriks singular atau nonsingular?
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
54
21
A ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
21
21
B ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=
22
22
C
Invers Matriks Ordo 2 x 2
• Misal matriks A berordo 2 x 2 :
• Dengan determinan :
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
dc
ba
A
bcad
dc
ba
A)Adet( -===
• Maka Invers matriks A :
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
==-
ac
bd
)Adet(
1
)A(adj
)Adet(
1
A 1
• Dengan matriks adjoint : ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
=
ac
bd
)A(adj
Sifat Invers Matriks
Jika a merupakan kontanta tak nol, kemudian A dan B
matriks nonsingular m x m, maka :
a) (aA)-1=a-1A-1
b) (AT)-1=(A-1)T
c) (A-1)-1=A
d) |A-1|=|A|-1
e) If A=AT, then A-1=(A-1)T
f) (AB)-1=B-1A-1

Contoh
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
=-
31
24
10
1
C 1
Tentukanlah invers matriks C
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
41
23
C
Jawab :
===
41
23
C)Cdet(
Determinan
maka invers matriksnya (C-1)
10212)1)(2()4)(3( =-=-
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
=
103101
5152
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
=
103101
102104
Latihan
Tentukanlah invers matriks A
÷÷
ø
ö
çç
è
æ --
=
54
32
A
Tentukanlah invers matriks B
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
--
=
13
26
B
Tentukanlah invers matriks C
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
43
97
C
Latihan
Tentukanlah :
• A-1
• AA-1
• A-1A
• (A’)-1
• (A-1)’
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
52
31
A ÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
=
21
21
B
f) (AB)-1
g) B-1A-1
h) |A-1|
i) |A|-1
j) (A-1)-1
• Aturan Sarrus
– Untuk mentukan determinant matriks A ordo 3 × 3, tulis
kembali 2 kolom pertama matrik A di sebelah kanan
matriks A.
– Jumlah hasil kali elemen diag.utama & elemen yg sejajar
diag.utama dikurangi dgn jumlah hasil kali elemen
diag.samping & elemen yg sejajar diag. samping
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
=A

• Aturan Sarrus
matriks A.
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
aa
aa
aa
=A
• Aturan Sarrus
matriks A.
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
aa
aa
aa
=A
ÊÊ Ê
|A| = a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33
Contoh
Tentukanlah determinan matriks 3x3 berikut
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
012
101
532
A
Jawab :
012
101
532
A =
12
01
32
ÊÊ Ê
|A| = (2)(0)(0) + (3)(1)(2) + (5)(1)(1) – (5)(0)(2) – (2)(1)(1) – (3)(1)(0)
= (0) + (6) + (5) – (0) – (2) – 0)
= 11 – 2 = 9
Contoh
1). Tentukanlah determinan matriks berikut :
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-=
512
131
342
A
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
---
=
523
132
341
B
2).Tentukanlah nilai x
jika determinan
matriks P = 6. ÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-=
21x
301
143
P

Latihan
1. Tentukanlah determinan matriks di bawah ini
dengan menggunakan aturan Sarrus :
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-=
512
131
342
A
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
=
111
111
111
B
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
--
--
=
012
241
123
C
2).Tentukanlah nilai x
jika determinan
matriks S = -3. ÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
--
-
--
=
x211
1x1
221
S
3) Tentukanlah nilai x agar T
menjadi matriks nonsingular
(mempunyai invers) ÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-=
x111
1x11
111
T

3 mtl matriks_1 print

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to 3 mtl matriks_1 print

Similar to 3 mtl matriks_1 print (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

3 mtl matriks_1 print