Matriks adalah susunan angka atau bilangan yang berbentuk empat persegi. Matriks memiliki baris dan kolom, serta elemen yang posisinya ditentukan oleh baris dan kolom. Terdapat berbagai jenis matriks seperti matriks persegi, diagonal, identitas, dan lainnya. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks, serta perkalian antar matriks.

1. Matriks adalah suatu susunan angka atau bilangan,
variabel, atau parameter yang berbentuk empat persegi
dan biasanya ditutup dengan tanda kurung. (JOSEP
BINTANG KALANGI, MATEMATIKA EKONOMI & BISNIS
buku 2, hal 113)

2. KONSEP MATRIKS
Setiap bilangan pada matriks disebut elemen (unsur)
matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukan oleh
baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.
Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C
,. . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks
dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan
seterusnya.
Contoh :
a b
c d
Kolom ke 1
Kolom ke 2
A =
baris ke 1 baris ke 2

3. a b
c d
Kolom ke 1
Kolom ke 2
A =
baris ke 1 baris ke 2
Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh
karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo 2 X 2
ditulis A2X2 atau (a22).
“Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris
dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.”

4. KESAMAAN MATRIKS Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau
berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom
pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan
banyaknya kolom pada matriks B.
Contoh :
a b c
d e f A = a b c
d e f dan B =
Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2 x 3
Definisi:
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika :
a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama.
b. Unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan matriks B sama.

5. MACAM-MACAM MATRIKS

6. MATRIKS BARIS
Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris.
Contoh : A = ( 4 3 2 4 )

7. MATRIKS KOLOM
Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu
kolom
Contoh : A = 4
5
-1

8. MATRIKS PERSEGI ATAU MATRIKS
BUJUR SANGKAR
Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah
matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah
kolom
Contoh :
Contoh : A = ,
4 5 -1
5 2 4
3 2 1
jumlah baris = jumlah kolom

9. MATRIKS NOL Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap
unsurnya 0 berordo m x n ,ditulis dengan huruf O
Contoh : O2X3 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0

10. MATRIKS SEGI TIGA Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar
yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal
utama semuanya 0 (nol).
Contoh : C = 2 0 0 0 , D =
3 7 0 0
-9 0 8 0
4 1 -3 5
8 2 1 -3
0 6 5 4
0 0 3 7
0 0 0 9

11. MATRIKS DIAGONAL Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar
yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada
diagonal utama adalah nol.
Contoh : E = 5 0 0 0
0 7 0 0
0 0 -2 0
0 0 0 8

12. MATRIKS SKALAR
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur
pada diagonal utama semuanya sama.
Contoh : F = 7 0 0 0
0 7 0 0
0 0 7 0
0 0 0 7

13. MATRIKS IDENTITAS ATAU MATRIKS
SAMTaUtrAikNs Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks
diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama
semuanya 1 (satu) ditulis dengan huruf I.
Contoh : I3 = , I4 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4

14. MATRIKS SIMETRIS
Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar
yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan
unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji.
Contoh : G =
1 3 2 5
3 4 6 9
2 6 7 8
5 9 10 2
Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur
pada baris ke-4 kolom ke-2 juga

15. MATRIKS MENDATAR
Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya
baris kurang dari banyaknya kolom.
Contoh : H2X3 = 3 2 1
4 5 1

16. MATRIKS TEGAK
Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya
baris lebih dari banyaknya kolom.
Contoh : K3x2 =
1 -8
4 1
9 1

17. MATRIKS TRANSPOS ( notasi At )
Transpos A adalah matriks baru dimana elemen
kolom pertama = elemen baris pertama
matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris
kedua matriks A, elemen kolom ketiga =
elemen baris ketiga matriks A.
Misal Matriks A =
1 -2 5 8
9 1 4 2
0 3 -2 -3
1 9 0
-2 1 3
5 4 -2
8 2 -3
Maka Transpos A adalah At =
Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah
4x3

18. SIFAT-SIFAT MATRIKS TRANSPOS
1) ( A + B )t = At + Bt
2) ( At )t = A
3) ( AB )t = Bt At

19. OPERASI MATRIKS

20. PENJUMLAHAN DAN
PENGURANGAN 2 MATRIKS
Dua matriks dapat dijumlahkan atau
dikurangkan jika ordonya sama.
Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x
3, maka keduanya dapat dijumlahkan atau
dikurangkan.

21. CONTOH
Jika A = , dan B =
3 2 1
5 4 6
7 5 -3
-2 1 0
Maka A + B = =
3+7 2+5 1+(-3)
5+(-2) 4+1 6+0
A - B = =
10 7 -2
3 5 6
3-7 2-5 1-(-3)
5-(-2) 4-1 6-0
-4 -3 4
7 3 6

22. BEBERAPA SIFAT YANG BERLAKU PADA
PENJUMLAHAN MATRIKS
1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif)
2) (A + B) + C = A + ( B + C) (Sifat Asosiatif)
3) A + 0 = 0 + A = A (Sifat Identitas tambah)

23. PERKALIAN BILANGAN REAL DENGAN
MATRIKS
Jika k adalah suatu bilangan Real (skalar) dan Matriks A =
(aij), maka Matriks kA = (kaij) adalah suatu matriks yang di
peroleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
Jadi, jika A = , maka : kA =
Contoh : Misal A = ,
a11 a12
a21 a22
maka 3A = 3 = =
7 5 -3
-2 1 0
ka11 ka12
ka21 ka22
7 5 -3
-2 1 0
3.7 3.5 3.(-3)
3.(-
2)
3.1 3.0
21 15 -9
-6 3 0

24. SIFAT-SIFAT PERKALIAN MATRIKS
DENGAN BILANGAN REAL
Jika a dan b bilangan real, maka :
( a + b )A = aA + bA
a ( A + B ) = aA + aB
a( bA ) = (ab)A

25. PERKALIAN MATRIKS DENGAN
MATRIKS (PERKALIAN 2 MATRIKS)
Matriks A yang berordo mxp dengan suatu matriks B
yang berordo pxn adalah matriks C yang berordo mxn.
A mxp.Bpxn = C mxn
Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan
adalah : Banyaknya kolom pada matriks A harus
sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Jika
hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak
didefinisikan.

26. Secara umum jika A = >> ordo matriks 2x3
B = >> ordo matriks 3x2
C = A . B
= >> ordo matriks 2x2
Dimana
a11 a12 a13
a21 a22 a23
b11 b12
b21 b22
b31 b32
c11 c12
c21 c22
c11 = a11b11+a12b21+a13b31
c12 = a11b12+a12b22+a13b32
c21 = a21b11+a22b21+a23b31
c22 = a21b12+a22b22+a23b32

27. DETERMINAN MATRIKS
Determinan matriks 퐴 di definisikan sebagai
selisih antara perkalian elemen - elemen pada
diagonal utama dengan perkalian elemen -
elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari
matriks dinotasikan dengan det 퐴 atau |퐴|. Nilai
dari determinan suatu matriks berupa bilangan
real.

28. DETERMINAN MATRIKS ORDO 2x2
a b
c d
a b
c d
Jika Matriks A = maka det (A) = |A| = | |= ad –
bc
Contoh 2 :
1
P = -6 3
maka,
2 1
-6 3
det (P) = |P| = | | = (2.3) – (1.(-6)) = 6+6 = 12

29. DETERMINAN MATRIKS ORDO 3x3
Untuk mencari determinanmatriks berordod
apatdigunakan dua metode, sebagaiberikut:
MetodeSarrus
MetodeEkspansiKofaktor

30. MCaEraT inOi pDalEing S tAepRatR diUguSnakan untuk menentukan
determinan matriks ordo 3×3.
Cara sarrus :
i. Tuliskan kolom pertama dan kedua dari determinan
awal di sebelah kanan setelah kolom ketiga.
ii. Kalikan unsur – unsur pada keenam diagonal, yaitu
tiga kolom diagonal utama (dari kiri ke kanan) dan
tiga kolom diagonal pendamping (dari kanan ke kiri).
Hasil kali diagonal utama dijumlahkan dan hasil kali
pada diagonal pendamping dikurangkan.

31. Jika Matriks B =
maka det (B) = |B| =
p q r
s t u
v w x
p q r
s t u
v w x
p q
s t
v w
= ptx + quv + rsw – vtr –wup – xsq
Perlu diperhatikan bahwa Metode Sarrus tidak
berlaku bila matriks berordo 4x4 dan yang lebih
tinggi lagi.

32. METODE EKSPANSI KOFAKTOR
a. Pengertian Minor . Minor suatu matriks 퐴 dilambangkan
dengan 퐴퐴j adalah matriks bagian dari 퐴 yang diperoleh
dengan cara menghilangkan elemen - elemennya pada
baris ke-퐴 dan elemen elemen pada kolom ke-퐴.
Contoh : Q = maka,
M11 = , M12 = , M13 =
3 2 4
1 7 5
7 2 3
3 2
1 7
3 2
1 7
3 2
1 7
M11, M12 , M13 merupakan sub,matriks hasil ekspansi baris ke-1
dari matriks Q

33. b. Pengertian Kofaktor Kofaktor suatu elemen baris ke-퐴 dan
kolom ke-퐴dari matriks A dilambangkan dengan
퐴퐴j =(−1)퐴+퐴. |퐴퐴j| = (−1)퐴+퐴.det (퐴퐴.j)
Penentuan tanda dr determinan matriks persegi berodo
3x3 :
+ - +
- + -
+ - +
Untuk mencari det (A) dg metode ekspansi kofaktor cukup mengambil satu
ekspansi saja misal ekspansi bari ke -1

34. CONTOH 퐴 =
3 2 4
1 7 5
7 2 3
Untuk mendapatkan det(퐴) dengan metode kofaktor
adalah mencari terlebih dahulu determinan –
determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi
baris ke-1 diatas, yaitu :
M= 7 5
112 3
, det(퐴) = 11 ; M= , det(퐴) = -32 ;
111212M= , det(퐴)=− 47
13131 7
7 2
det(퐴)= 퐴11.퐴11+퐴12.퐴12+퐴13.퐴13
1 5
7 3
= (−1)1+1.|퐴11|.퐴11+ (−1)1+2.|퐴12|.퐴12 + (−1)1+3.|퐴13|.퐴13
=11.3 − (−32).2 + (−47).4 =33+64−188 = −91

35. ADJOIN MATRIKS
Adjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks
tersebut, dilambangkan dengan adj A = (k ij )T
3 2 4
1 7 5
7 2 3
3 2
1 7
CONTOH :
1 5
7 3
k11= (-1)1+1 | =11 ; k12= (-1)1+2 =32 ;
1 7
2 4
k13= (-1)1+3 7 2
=−47 ; k21= (-1)2+1 2 3
=2 ;
3 4
3 2
k22= (-1)2+2 | |=−19 ; k23 = (-1)2+3 =8 ;
7 3
7 2
3 4
k31= (-1)3+1 2 4
=−18 ; k32= (-1)3+2 1 5
=−11
7 5
k33= (-1)3+3 =18
3 2
1 7

36. k11 k12 k13
k21 k22 k23
k31 k32 k33
Adj Q = =
11 2 -18
32 -19 -11
-47 8 18
Jika A= a b
maka kofaktor-kofaktornya adalah
k11= d, k12 c = d
− c, k 21= − b dan k 22 = a.
Kemudian Adj A = k11 k12
=
d -b
k21 k22
-c a
Hal ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen
pada diagonal utamanya dan mengubah
tanda pada elemen-elemen pada diagonal lainnya.

37. INVERS MATRIKS
Invers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu
matriks dalam perkalian yang dilambangkan dengan A-1.
Definisi:
Jika matriks A dan B sedemikian sehingga A x B = B x A
= I , dimana I matriks identitas maka B disebut invers
dari A dan A invers dari B.
Karena invers matriks A dilambangkan dengan A-1 maka
berlaku: A x A-1 = A-1 x A= I
Dimana I adalah matrik identitas.

38. INVERS MATRIKS ORDO 2×2
Rumus Invers Matriks Berordo 2 × 2
Misalkan A = invers dari A adalah A-1, yaitu
2 1
-3 -2
A -1 = , dengan det A ≠ 0
ù
úû
d b
é
-
êë
-
c a
1
det A

39. Contoh :
Tentukan invers dari matriks D =
Jawab :
det D = = 3(11) – (–7)(–6) = 33 – 42 = –9
D -1=
=
=
=
ù
úû
3 6
é
-
êë
-
7 11
ù
úû
3 6
é
-
êë
-
7 11
ù
úû
11 6
é
7 3
êë
1
A
det
ù
úû
11 6
9
é
- 7 3
êë
1
ù
ú ú ú
û
é
ê ê ê
ë
11
- -
7
- -
6
3
9
9
9
9
ù
ú ú ú
û
é
ê ê ê
ë
11
- -
7
- -
2
1
3
9
3
9

40. INVERS MATRIKS ORDO 3×3
Contoh: B = , tentukan B-1!
1 2 3
0 4 5
0 0 6
Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis
adalah dengan metode kofaktor dengan mengekspansi
baris yang memuat nol terbanyak yaitu baris ke-3, maka :
Det(B) = |B| = k31 . b31 + k32 . b32 + k33 . B33
= (-1)3+1 .0+(-1)3+2 .0+(-1)3+3 .6
é
ù
= 0 + 0 + 4 24 5
= 24
úû
êë
2 3
1 3
é
0 5
ù
úû
êë
ù
úû
1 2
é
0 4
êë

43. MENYELESAIKAN
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
x =
y
1
ad - bc
d -b
-c -a
p
q

44. CONTOH
TENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIANSISTEM
PERSAMAAN LINIER BERIKUT
2x + y = 4
3x + 2y = 9
x
2 1 =
-3 -2
y
4
9

45. Persamaan Matriks diatas dapat ditulis menjadi
AX =B, A = , X = , B =
2 1
-3 -2
det A = | | = 1 dan A-1 = 1/1 =
Oleh karena itu, X =A-1B  = =
Jadi, HP adalah {(-1, 6)}
x
y
4
9
2 1
-3 -2
2 1
-3 -2
2 1
-3 -2
x
y
2 1
-3 -2
4
9
-1
6

46. METODE CRAMER
metode cramer didasarkan atas perhitungan
determinan matriks. Suatu sistem persamaan linier
Ax = b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat
di kerjakan dengan metode cramer, jika hasil
perhitungan menunjukkan bahwa det(A)≠0.