Matriks

37,062 views

Published on

1 Comment
21 Likes
Statistics
Notes
  • ijin download . makasih yaaaa
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
No Downloads
Views
Total views
37,062
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
17,757
Actions
Shares
0
Downloads
1,647
Comments
1
Likes
21
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matriks

  1. 1. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 M a t r i k sM E N U Pengertian Matriks Notasi Dan Ordo Matriks Macam Macam Matriks Transpos Matriks Kesamaan Dua Matriks Penjumlahan Matriks Pengurangan Matriks Perkalian skalar Matriks Perkalian Matriks Pemangkatan Matriks Soal dan solusi Determinan Matriks Ordo 2 Detrminan Maatriks Ordo 3 Invers Matriks Persamaan Matriks Penerapan Matriks
  2. 2. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Matriks A. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks 1. Pengertian Matriks Matriks adalah Susunan bilangan berbentuk persegipanjang yang diatur pada baris dan kolom dan ditulis di dalam tanda kurung baik kurung biasa ( ) maupun kurung siku [ ]. Contoh Matriks :               − −− 10498 0165 3095 6642 atau             − −− 10498 0165 3095 6642 next next
  3. 3. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 • Setiap bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks disebut elemen atau unsur matriks, dan setiap elemen matriks mempunyai tempat kedudukan masing-masing yang ditentukan oleh baris dan kolom. Baris ke-1 Baris ke-2 Baris ke-3 Baris ke-3 Kolom ke-1 Kolom ke-2 Kolom ke-4 Kolom ke-3 4 adalah elemen pada baris ke-1 kolom ke-2 0 adalah elemen pada baris ke-2 kolom ke-3 8 adalah elemen pada baris ke-1 kolom ke-4 elemen pada baris ke-i kolom ke-j ditulis eij               − −− 10498 0165 3095 6642 Perhatikanlah contoh pada matriks berikut : next next next
  4. 4. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 2. Notasi dan Ordo Matriks Sebuah matriks diberi nama menggunakan huruf besar dan elemennya dinyatakan dengan huruf kecil. Jika A adalah sebuah matriks maka elemennya dinyatakan dengan aij yang artinya elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan i = 1, 2, 3,..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n. Matriks A dapat dinotasikan dengan A = ( aij ). jika sebuah matriks A terdiri dari m baris dan n kolom maka m x n menyatakan ukuran atau ordo dari matriks A dan dinyatakan dengan A m x n. Bentuk umum matriks A berordo m x n dapat dinyatakan sebagai berikut : ( )               == mnmm n n ij aaa aaa aaa aAA ... ............ ... ... 21 22221 11211 Baris ke-1 Baris ke-2 Baris ke-m Kolom ke-1 Kolom ke-2 Kolom ke-n next next next
  5. 5. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh : Matriks A terdiri dari 4 baris dan 4 kolom, maka ordo matriks A adalah 4 x 4 ditulis A4x4. Elemen pada baris ke-3 kolom ke-2 = a32 = 6. Elemen pada baris ke-2 kolom ke-4 = a24 = 3 Elemen pada baris ke-1 kolom ke-3 = a13 = 6 Elemen pada baris ke-4 kolom ke-1 = a41 = 3 Catatan : a13 dibaca “ a satu-tiga” bukan dibaca “ a tiga belas “               − −− = 1243 0165 3095 6642 44 xA next
  6. 6. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012           = 893 712 054 C Diagonal utama Diagonal samping 3. Macam-macam matriks ( )4532 −=A          − = 0 3 2 B Jenis Matriks Berdasarkan Banyak Baris dan Banyak Kolom 1) Matriks Baris adalah matriks yang hanya memiliki 1 buah baris tapi banyak kolom. Contoh : 2) Matriks Kolom adalah matriks yang memiliki banyak baris tetapi hanya memiliki 1 kolom. 3) Matriks Persegi adalah matriks yang memiliki banyak baris sama dengan banyak kolom. Matriks persegi berordo n x n disebut matriks persegi berordo n Contoh : Contoh : Matriks C adalah matriks persegi berordo 3 elemen pada diagonal utama adalah 4, 1, 8 elemen peda diagonal samping adalah 3, 1, 0 next next
  7. 7. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 b. Macam Macam Matriks Berdasarkan pada Pola Elemen 1. Matriks Nol (O) adalah matriks yang semua elemennya Nol (0). contoh : 2. Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya Nol, kecuali elemen pada diagonal utama. contoh : 3. Matriks Identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. contoh :           = 000 000 000 O Elemen pada diagonal utama tidak nol Semua elemennya bernilai 0 Semua elemen pada diagonal utama 1           = 500 020 003 D           = 100 010 001 I next next next
  8. 8. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 4) Matriks Segetiga Atas (U) adalah matriks persegi yang semua elemen dibawah diagonal utamanya adalah 0 (nol). Contoh : 5) Matriks Segetiga Atas (L) adalah matriks persegi yang semua elemen diatas diagonal utamanya adalah 0 (nol). Contoh : 4. Transpos Suatu Matriks Transpos dari matriks A adalah suatu matriks baru yang dinyatakan dengan At atau A/ dan elemen-elemennya adalah elemen matriks A dengan cara menukar elemen-elemen baris pada matriks A menjadi elemen-elemen pada metriks At . Contoh : Elemen dibawah diagonal utama adalah nol Elemen diatas diagonal utama adalah nol           = 8 4 5 7 3 4 6 2 3 5 1 2 B               = 8 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 t B           − = 200 050 131 U           − = 228 053 006 L next next next
  9. 9. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 5. Kesamaan dua Matriks Matriks A = ( aij ) dikatakan sama dengan matriks B = ( bij ) jika dan hanya jika : a. Matriks A dan matriks B memiliki ordo yang sama; dan b. Semua elemen yang seletak sama atau aij = bij untuk semua i dan j Matriks A sama dengan Matriks B dinotasikan dengan A = B. Contoh : Diketahui matriks Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B dan Semua elemen yang seletak dari matriks A dan B bernilai sama, sehinga A = B.       =      = 6252 3222 1210 64 xx xx BdanA next next
  10. 10. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 B. Operasi Hitung Matriks 1. Penjumlahan Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila ordo matrkis A sama dengan ordo matriks B. Hasil penjumlahan matriks A dan matriks B adalah matriks baru yang berordo sama baik dengan matriks A maupun dengan matriks B. Hasil penjumlahan matriks A dan matriks B diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B. Dua buah matriks yang ordonya tidak sama tidak dapat dijumlahkan. Contoh : Diketahui matriks           − − = 103 485 342 A           − −= 136 234 343 Bdan matriks A + B = + = =           − − 103 485 342           − − 136 234 343           −+++ +−+−+ +−++ )1(13063 24)3(845 334432           − 039 6119 085 next next next next
  11. 11. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Sifat-sifat Penjumlahan Matriks Untuk matriks A, B, C, D, dan O yang berordo sama berlaku sifat-sifat : a. Sifat Komutatif : A + B = B + A b. Sifat Assosiatif : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C c. Terdapat matriks identitas penjumlahan O sehingga A + O = O + A = A d. Untuk setiap matriks A terdapat lawan matriks A yang diberi notasi – A. Matriks lawan A (– A) adalah matriks yang semua elemennya sama dengan elemen matriks A, tapi berlainan tanda. Matriks – A disebut juga invers aditif atau invers penjumlahan sehingga berlaku A + (– A) = (– A) + A = O. Jika           − − = 103 485 342 A Maka invers aditif dari A adalah           −− −− −− =− 103 485 342 A Karena berlaku A + (– A) = (– A) + A = O e. Transpos jumlah dua matriks sama dengan jumlah transpos dua matriks : ( A + B )t = At + Bt next next next
  12. 12. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 2. Pengurangan Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dikurangkan apabila ordo matrkis A sama dengan ordo matriks B. Hasil pengurangan matriks A dan matriks B adalah matriks baru yang berordo sama baik dengan matriks A maupun dengan matriks B. Hasil pengurangan matriks A dan matriks B diperoleh dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B. Dua buah matriks yang ordonya tidak sama tidak dapat dikurangkan. Contoh 1 : Diketahui matriks           − − = 103 485 342 A           − −= 136 234 343 Bdan matriks A – B = – = =           − − 103 485 342           − − 136 234 343           −−−− −−−−− −−−− )1(13063 24)3(845 334432           −− − −− 233 251 601 next next next next next next
  13. 13. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh 2 : Diketahui matriks           − − = 103 485 342 A           − −= 136 234 343 Bdan matriks B – A = – = = Dari contoh 1 dan contoh 2 di atas terlihat bahwa A – B ≠ B – A, Pada pengurangan dua matriks tidak berlaku sifat kumutatif.           − − 136 234 343           − − 103 485 342 ( )           −−−− −−−−− −−−− 110336 42)8(354 334423           − −− 233 251 601 next next next next next next
  14. 14. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 3. Perkalian Skalar Matriks Jika B sebuah matriks dan k adalah bilangan real maka perkalian skalar matriks (kB) adalah matriks baru yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks B dengan bilangan real k. Contoh : Jika :           − − = 103 485 342 B           − − 103 485 342 3 Dan k = 3 =           − − 130333 43)8(353 )3(34323 xxx xxx xxx =           − − 309 122415 9126 Maka kB = Sifat-sifat Perkalian Skalar Matriks : Untuk matriks A dan B berordo sama, dan k, l є bilangan real, berlaku : a. ( k + l ) A = kA + lA b. k( A + B ) = kA + kB c. k(l B ) = klB next next next
  15. 15. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 5. Perkalian Matriks Perhatikan illustrasi berikut : A m x n B n x r = C m x r Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan dalam bentuk AB apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B yaitu n. Andaikan hasil kali AB adalah C maka ordo C adalah m x r. Untuk menentukan elemen matriks C yaitu cij perhatikan illustrasi berikut : Jika diketahui matriks A 3x3 dan matriks B 3x3 maka : AB = = C =           333231 232221 131211 aaa aaa aaa           333231 232221 131211 bbb bbb bbb           ++++++ ++++++ ++++++ 333323321331323322321231313321321131 332323221321322322221221312321221121 331323121311321322121211311321121111 bababababababababa bababababababababa bababababababababa next next next next
  16. 16. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks      a b e f g h       a.e + b.g a.f + b.h       1. Perkalian matriks ordo 1 x 2 dan matriks ordo 2 x 2 Perhatikanlah tayangan berikut ! Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri !       2 3 4 5 6 7       2.4 + 3.6 2.5 + 3.7       Contoh : = = 8+ 18 10+ 21      = 26 31       = next
  17. 17. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012             Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks       a b c d e f g h       a.e + b.g a.f + b.h c.e + d.g c.f + d.h       2. Perkalian matriks ordo 2 x 2 dan matriks ordo 2 x 2 Perhatikanlah tayangan berikut ! Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri ! = Contoh -1.3 + 2.2 -1.-3 + 2.-4 -2.3 + 3.2 -2.-3 + 3.-4 =       -1 2 -2 3 3 -3 2 -4      1 -5 0 -6 = next next
  18. 18. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 3. Perkalian matriks ordo 3 x 2 dan matriks ordo 2 x 3 Perhatikanlah tayangan berikut ! a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23 a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23 a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22 a31b13 + a32b23 Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri ! a11 a12 a21 a22 a31 a32           b11 b12 b13 b21 b22 b23           Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks next next next next next next next next next next
  19. 19. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012           333231 232221 131211 aaa aaa aaa           333231 232221 131211 bbb bbb bbb 4. Perkalian matriks ordo 3 x 3 dan matriks ordo 3 x 3 Perhatikanlah tayangan berikut ! a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22+ a13b32 a11b13 + a12b23 + a13b33 a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22+ a23b32 a21b13 + a22b23 + a23b33 a31b11 + a32b21 + a33b31 a31b12 + a32b22+ a33b32 a31b13 + a32b23 + a33b33 Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri ! Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks next
  20. 20. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012           30238 463714 24197           +++ +++ +++ 62451826 30162512104 121210943 Contoh 1 : Diketahui matriks CD = =           = 1 5 2 6 4 3 C dan matriks Maka : = =       = 6 4 5 3 2 1 D       6 4 5 3 2 1           1 5 2 6 4 3           +++ +++ +++ )6)(1()4)(6()5)(1()3)(6()2)(1()1)(6( )6)(5()4)(4()5)(5()3)(4()2)(5()1)(4( )6)(2()4)(3()5)(2()3)(3()2)(2()1)(3( next
  21. 21. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012           − − 81515 5567 17134           −++++++ −+−++++−+ ++−+−+−++ )1(093012609 )4()16(1512242024)32(15 386)9()12(8)18(166 Contoh 2 : Diketahui matriks AB = =           − − = 103 485 342 A           − − 136 234 343 dan matriks Maka :           − − 103 485 342           −+++−+++ −+−++−−++−+ −−++−+−+−++ )1)(1()2)(0()3)(3()3)(1()3)(0()4)(3()6)(1()4)(0()3)(3( )1)(4()2)(8()3)(5()3)(4()3)(8()4)(5()6)(4()4)(8()3)(5( )1)(3()2)(4()3)(2()3)(3()3)(4()4)(2()6)(3()4)(4()3)(2( = =           − −= 136 234 343 B next
  22. 22. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Diketahui matriks       = 54 32 C dan matriks Tentukanlan hasil perkalian CD dan DC !       = 98 76 D Contoh 3 : Penyelesaian : CD =       54 32       98 76 =       ++ ++ 45284024 27142412 =       7364 4136 DC =       98 76       54 32 =       ++ ++ 45243616 35182812 =       6952 5340 Dari contoh di atas ternyata CD ≠ DC. Berarti perkalian dua matriks tidak bersifat komutatif. next
  23. 23. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Sifat-sifat Operasi Matriks Untuk setiap matriks A, B, dan C serta k ϵ R, dimana semua hasil kali dan jumlah terdefinisi. Maka berlaku sifat-sifat operasi matriks berikut : a. Antikomutatif : AB ≠ BA b. Assosiatif : A(BC) = (AB)C c. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC A(B – C) = AB – AC d. Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA (B – C)A = BA – CA e. Assosiatif : k(AB) = (kA)B = A(Kb) f. Terdapat matriks Identitas I, sehingga IA = AI = A g. Jika AB = O belum tentu A = O atau B = O h. Jika AB = AC belum tentu B = C i. Jika At adalah transpos dari A dan Bt adalah transpos dari B, maka berlaku (AB)t = Bt At next
  24. 24. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 5. Pemangkatan matriks Perhatikan bentuk berikut : A2 = A A A3 = A A A = A A2 A4 = A A A A = A A3 Dengan demikian pemangkatan matriks harus memenuhi syarat perkalian matriks, oleh karena itu pemangkatan matriks hanya berlaku pada matriks persegi. Contoh : . 54 32       =ADiketahui matriks Tentukanlah A2 dan A3 ! Penyelesaian : A2 = A A =       54 32       54 32 =       ++ ++ 2512208 156124 =       3728 2116 A3 = A A2 =       54 32       3728 2116 =       ++ ++ 1858414064 111428432 =       269204 153116 next
  25. 25. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Soal – soal dan pembahasan 1. Nilai a + b + c yang memenuhi persamaan matriks       − 32 21       ac ac 23 =       cb a 916 48       − cb a 52 6 – Adalah.... a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 (UN 2009/2010) Penyelesaian :       − 32 21       ac ac 23 =       cb a 916 48       − cb a 52 6 – = 5a = 10 → a = 2 7c = 7a → c = a = 2 14b = 7c → 2b = c → 2b = 2 → b = 1 Jadi nilai a + b + c = 2 + 1 + 2 = 5 ( d )       cb a 414 107       ac ac 47 57 next
  26. 26. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh soal penjumlahan dan pengurangan matriks: 1. Diketahui matriks , 15 3       − = y A , 63 5       − = x B dan . 9 13       −− = y C Jika A + B – C = , 4 58       −− x x Nilai x + 2xy + y adalah .... a. 8 b. 12 c. 18 d. 20 e. 22 ( UN 2008/2009) Penyelesaian : A + B – C = , 4 58       −− x x ↔       −15 3 y +       − 63 5x –       −− 9 13 y = , 4 58       −− x x ↔       −− ++ 42 46 y yx = , 4 58       −− x x 6 + x = 8 → x = 2 y + 6 = 5x → y + 6 = 5(2) → y = 10 – 6 = 4 atau y didapat dari 2 – y = - x → 2 – y = - 2 → 2 – y = - 2 → - y = - 4 → y = 4 Jadi nilai x + 2xy + y = 2 + 2.2. 4 + 4 = 22 (e) next
  27. 27. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh soal : 1. Diketahui matriks dan . Jika A = B maka a + b + c = .... a.-7 b.-5 c.-1 d.5 e.7 ( Ujian Nasional 2009/2010) Penyelesaian :           −−= 935 316 484 c b a A           −−= 95 316 4812 b aB 3a = - 3b ............................................ (2) Dari (1) didapat : 4a = 12 a = 3 Substitusi a = 3 ke (2) : 3(3) = - 3b 9 = - 3b b = - 3 Substitusi b = - 3 ke (3) : 3c = - 3 c = - 1 Jadi nilai a + b + c = 3 +(- 3) +(- 1) = - 1 ( C ) A = B Dari kesamaan matriks diatas diperoleh : 4a = 12 ........................................... (1) 3c = b ...............................................(3)           −− 935 316 484 c b a           −= 95 316 4812 b a next
  28. 28. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh soal perkalian skalar matriks: 1. Diketahui matriks , 32 42       = cb A dan , 7 1232       + +− = ba abc B Jika Bt adalah tranpos dari B maka nilai c yang memenuhi A = 2Bt adalah.... a.2 b. 3 c. 5 d. 8 e. 10 (UM-UI 2009) Penyelesaian , 32 42       = cb A , 7 1232       + +− = ba abc B , 712 32       ++ − = ba abc Bt A = 2Bt ↔       cb 32 42 = ,      ++ − 712 32 2 ba abc ↔ = 2a = 4 → a = 2 2b = 4a + 2 → 2b = 4.2 + 2 → 2b = 10 → b = 5 3c = 2b + 14 → 3c = 2.5 + 14 → 3c = 24 → c = 8 (d)       cb 32 42 , 14224 264       ++ − ba abc next
  29. 29. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 dc ba C. Determinan dan Invers Matriks 1. Determinan Matriks Sebuah matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilagan yang disebut determinan matriks. Determinan matriks A dinotasikan dengan det. (A) atau IAI. a. Determinan Matriks Berordo 2 x 2 jika ,      = dc ba A Maka determinan matriks A adalah Det. (A) = IAI = = a.d – b.c contoh : 1) jika , 74 32       =A maka det.(A) = IAI = 74 32 = 2.7 – 3.4 = 2 2) jika , 22 13       − =B maka det.(B) = IBI = 22 13 − = 6 + 2 = 8 next
  30. 30. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 b. Determinan Matriks Ordo 3 X 3 jika           = ihg fed cba A maka determinan matriks A dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut : Det. (A) = IAI = a b c a b d e f d e g h i g h = + a.e.i+ + b.f.g + + c.d.h+ – – c.e.g – – – b.d.i–a.f.h next
  31. 31. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 contoh : 1. Jika           −−= 935 316 484 A maka tentukanlah nilai dari det. (A) dan det. (B) ! Penyelesaian : Det. (A) = = 4.(- 1).9 + 8.(- 3).5 + 4.6.3 - 4.(- 1).5 - 4.(- 3).3 - 8.6.9 = - 36 - 120 + 72 + 20 + 36 - 432 = - 450 dan           − −− − = 230 312 201 B Det. (B) = 35 16 84 − = 2 + 0 – 12 – 0 + 9 – 0 = – 1 935 316 484 −− 230 312 201 − −− − 30 12 01 − next
  32. 32. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 c. Jenis – jenis Matriks Menurut Nilai Determinannya Berdasarkan pada nilai determinan, matriks persegi A ada 2 jenis yaitu : 1. Matriks Non singular, yaitu matriks yang nilai determinannya tidak sama dengan nol (det.A ≠ 0) 2. Matriks Singular, yaitu matriks yang nilai determinannya sama dengan nol (det.A = 0) d. Sifat- sifat Determinan Matriks Jika A dan B adalah matriks persegi, maka berlaku sifat- sifat berikut : 1. Det. (A) = det. (At ) 2. Det.(kA) = k2 det. (A) 3. Det.(AB) = det.(A) .det.(B) 4. Det.(An ) = (det.(A))n next
  33. 33. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh soal dan pembahasan sifat-sifat determinan matriks 1. Diketahui matriks , 21 13       − =A tentukanlah : a. Det (A2 ) b. (Det.A)2 c. Apakah Det (A2 ) = (det.A)2 penyelesaian : a. Det (A2 ) = 8.3 – ( - 5 ).5 = 24 + 25 = 49 A2 = A A =       − 21 13       − 21 13 =       +−+ −−− 4123 2319 =       − 35 58 , 21 13       − =A Maka det.A = 3.2 – (- 1 ).1 = 6 + 1 = 7 b. (Det (A))2 = 72 = 49 c. (Det (A))2 = Det (A2 ) = 49 next
  34. 34. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 2. Invers Matriks a. Pengertian Invers Matriks Misalkan matriks A dan matriks B adalah matriks persegi dengan ordo sama, serta memenuhi hubungan AB = BA = I maka dikatakan A dan B adalah dua matriks yang saling invers atau saling berkekebalikan. Matriks B disebut invers perkalian dari matriks A dan diberi lambang A–1 . Matriks A disebut invers perkalian dari matriks B dan diberi lambang B–1 . Contoh : Jika dan, 31 52       =A maka, 21 53       − − =B IAB =      =      − −       = 10 01 21 53 31 52 IBA =      =            − − = 10 01 31 52 21 53 dan Invers dari matriks A adalah A–1 =       − − = 21 53 B Dan Invers dari matriks B adalah B–1 =       = 31 52 A next
  35. 35. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 b. Rumus Invers Matriks       = dc ba AJika maka invers matriks A adalah 1. Rumus Invers Matriks Ordo 2 a. Jika det. (A) = 1 maka       − − =− ac bd A 1 b. Jika det. (A) = – 1 maka       − − =− ac bd A 1 c. Jika det. (A) = 0 maka A tidak memiliki invers. , ).(det 11       − − =− ac bd A A dengan det.(A) = ad – bc , dan secara khusus : Contoh 1 : Jika       = 75 43 A Maka det.(A) = 3.7 – 4.5 = 1 Sehingga       − − =− 35 471 A next
  36. 36. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh 2 : Jika       = 58 23 B maka det.(B) = 3.5 – 2.8 = –1, sehingga       − − =− 38 251 B       = 84 63 C Contoh 3 : Jika maka det.(C) = 3.8 – 4.6 = 0, sehingga 1− C tidak ada Contoh 4 : Jika       − − = 62 83 D maka det.(D) = 3.(–6) – (–8).2 = –18 + 16 = –2 , sehingga       − − =− ac bd D D ).(det 11       − − − =− 32 86 2 11 D       − − = 2 3 1 43 next
  37. 37. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 2. Rumus Invers Matriks Ordo 3 ( pengayaan )
  38. 38. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 c. Sifat-sifat Invers Matriks Jika A dan B adalah matriks persegi non singular yang berordo sama, maka berlaku sifat-sifat berikut : 1) AA–1 = A–1 A = I 2) (AB)–1 = B–1 A–1 3) (A–1 )–1 = A 4) (An )–1 = (A–1 )n dengan n = 0, 1, 2, 3, ... 5) (kA)–1 = 6) (At )–1 = (A–1 )t 7) ( kA–1 )n = kn (A–1 )n 11 − Ak next
  39. 39. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 d. Soal dan Pembahasan Jika diketahui matriks       = 31 52 A dan       − − = 52 21 B Tentukanlah : 1. A–1 2. B–1 3.(AB)–1 4. B–1 A–1 5. (kA)–1 6. 7.(At )–1 8. (A–1 )t serta k = 2 11 − Ak Penyelesaian : 1.       = 31 52 A det. (A) = 6 – 5 = 1, sehingga       − − =− 21 531 A 2.       − − = 52 21 B det. (B) = – 5 + 4 = –1 , sehingga       − − =− 12 251 B 3.       − − =      − −       = 177 2912 52 21 31 52 AB det.(AB) = –204 + 203 = –1, ( )       − − = − 127 29171 ABsehingga next
  40. 40. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012       − − =      − −       − − =−− 127 2917 21 53 12 2511 AB4. Dari no 3 dan 4, ternyata ( AB )–1 = 11 −− AB 5.       =      = 62 104 31 52 2kA det.(kA) = 24 – 20 = 4, sehingga       − − =      − − =− 21 53 2 1 42 106 4 1 )( 1 kA 6.       − − =− 21 53 2 111 Ak Dari no 5 dan 6, ternyata ( kA )–1 = 11 − Ak 7.       = 31 52 A →       = 35 12t A det.(At ) = 6 – 5 = 1→ ( )       − − = − 25 131t A       − − =− 21 531 A8. → ( )       − − =− 25 131 t A Dari no. 7 dan 8, ternyata ( At )–1 = (A–1 )t next
  41. 41. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 3. Persamaan Matriks Perhatikan bentuk persamaan matriks berikut : 1. AX = B, dan 2. XA = B Jika A adalah matriks persegi yang mempunyai invers yaitu A–1 maka berlaku hubungan sebagai berikut : 1. AX = B A–1 AX = A–1 B IX = A–1 B X = A–1 B 2. XA = B XA A–1 = BA–1 XI = BA–1 X = BA–1 RUMUS RUMUS next
  42. 42. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh 1 : Diketahui matriks       = 35 12 A dan       = 65 52 B Tentukanlah : a. Matriks X jika AX = B b. Matriks X jika XA = B Penyelesaian : a. AX = B → X = A–1 B       = 35 12 A → det. (A) = 6 – 5 = 1 →       − − =− 25 131 A X = A–1 B =       − − 25 13 =      65 52       130 91 b. XA = B → X = BA–1 X = BA–1 = =      − − 25 13       65 52       − − 1315 819 next
  43. 43. *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 D. Penggunaan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear 1. Sistem Persamaan linear dengan Dua Variabel Perhatikan sistem persamaan linear dengan dua variabel berikut ini : a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Dapat diubah menjadi persamaan matriks sebagai berikut : a1x + b1y a2x + b2y x y = c1 c2 ↔ a1 b1 a2 b2 = c1 c2 A X B A X = B ↔ X = A–1 B next

×