Makalah ini membahas tentang determinan dan cara menghitung determinan dengan menggunakan beberapa metode seperti perkalian elementer, operasi baris elementer, ekspansi kofaktor, dan aturan Cramer. Determinan merupakan nilai penting dalam perhitungan matriks."

1. TUGAS MANDIRI
DETERMINAN
Mata Kuliah: Aljabar Linier
Nama Mahasiswa : Parningotan Panggabean
NPM : 110210225
Kode Kelas : 112-TI005-M1
Dosen : Neni Marlina br.Purba,S.pd
UNIVERSITAS PUTERA BATAM
2012

2. KATA PENGANTAR
Puji Syukur penulis senantiasa panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esa
yang telah melimpahkan rahmat-NYA sehingga penulis dapat menyusun makalah
ini dengan judul “Determinan”. Penulis sangat bersyukur sekali karena dapat
menyelesaikan makalah ini guna memenuhi sebagian persyaratan untuk
memperoleh nilai tugas mandiri Aljabar Linier pada Fakultas Teknik Informatika
Universitas Putera Batam.
Makalah ini membahas tentang bagaimana langkah-langkah meghitung
suatu determinan dengan menggunakan beberapa operasi hitung pada Aljabar
Linier sehingga dapat membantu para pembaca khususnya mahasiswa untuk
mengetahui cara menghitung suatu determinan dengan benar.
Saya menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna,untuk itu
kritik dan saran yang sifatnya membangun sangat saya harapkan dan di harapakan
sebagai umpan balik yang positif demi perbaikan di masa mendatang.Harapan
saya semoga Makalah ini bermanfaat bagi pengembangan ilmu pengetahuan
khusunya di bidang ilmu Aljabar Linier secara khusus di dalam memberikan cara-
cara menghitung suatu determinan dengan mudah.
Akhir kata,penulis berharap agar makalah ini bermanfaat bagi semua pihak
yang membutuhkan.
Batam, Mei 2012
Penulis

3. DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ii
BAB I PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
A. Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
B. Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1
BAB II ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1
DETERMINAN
1. Menghitung determinan dengan perkalian elementer . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Menghitung determinan dengan operasi baris elementer . . . . . . . . . . . 6
3. Sifat-sifat determinan suatu matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 8
4. Menghitung determinan dengan Expansi kofaktor . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5. Penyelesaian SPL dengan aturan cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12
BAB III PENUTUP
B. KESIMPULAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 14
A. SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 14
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 15

4. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar belakang
Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan
itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat
kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti
menggunakan Matematika. Oleh karena itu saya membuat makalah ini dengan
maksud membantu pemahaman mahasiswa agar mereka tidak menilai Matematika
adalah sesuatu yang buruk.Secara khusus dalam ilmu pengetahuan Aljabar Linear.
B. Tujuan
Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi Tugas Mandiri
mata kuliah Aljabar Linear, yang diberikan oleh dosen saya Ibu Neni Marlina.
Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang saya harapkan
bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.

5. BAB II
ISI
DETERMINAN
Determinan : Produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian
hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda,kemudian hasilnya di
jumlahkan.
A = a11 a12 det (A) = a11 a22 – a12 – a21
a21 a22
A. Fungsi Determinan
Definisi
Suatu permutasi dari bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3, …, n} adalah penyusunan
bilangan bilangan tersebut dengan urutan tanpa pengulangan.
Contoh:
Permutasi dari {1, 2, 3} adalah
(1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2)
(1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1)
Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2, …, n} akan mempunyai n!
permutasi.
Sub Bahasan Determinan
1. Menghitung determinan dengan perkalian elementer
2. Menghitung determinan dengan operasi baris elementer
3. Sifat-sifat determinan suatu matriks
4. Menghitung determinan dengan expansi kofaktor
5. Penyelesaian SPL dengan aturan cramer
1. Menghitung Determinan dengan Perkalian Elementer
Pada bagian ini kita akan membahas tentang determinan dan cara
mencarinya.Determinan merupakan nilai yang paling penting dalam perhitungan

6. matriks.Definisi-definisi maupun teorema yang penting yang berhubungan dengan
pencarian matriks.
Definisi 1.
Sebuah permutasi dari himpunan bilangan bulat positif {1,2,3, . . . .,n} adalah
susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut aturan tertentu “tanpa
menghilangkan” “tanpa mengurangi” bilangan bulat tersebut.
Contoh 1.
Permutasi dari {1,2} adalan (1,2) dan (2,1).
Permutasi dari {1,2,3} adalah
(1,2,3),(3,1,2),(2,3,1),(2,1,3),(1,3,2),dan (3,2,1).
Dari definisi permutasi,apabila ada 4 bagian,maka banyaknya permutasi adalah 24
buah.Hal ini dapat di hitung dari rumus n.
Dapat dilihat untuk n = 2,maka ada 2 permutasi.Untuk n = 3,maka ada 6 = 3.2.1
permutasi.Untuk n = 4,maka ada 24 = 4.3.2.1 permutasi.
Contoh 2.
Tentukan jumlah inversi dari permutasi berikut :
a. (6,5,3,1,4,2)
b. (2,4,1,3)
c. (1,2,3,4)
Penyelesaian :
Jumlah inversi/pembalik : 5 + 4 + 2 + 0 + 1 + = 12
Jumlah inversi/pembalik : 1 + +2 + 0 =3
Tidak ada inversi/pembalik dalam permutasi ini
Definisi 2.
Dalam permutasi,di katakan terjadi sebuah inversi apabila sebuah bilangan bulat
yang lebih besar mendahului sebuah bilangan yang lebih kecil.
Contoh :
Kita akan menghitung inversi dalam dalam permutasi (2,4,1,3).caranya
sebuah berikut :
Banyak nya bilangan bulat lebih kecil daripada j 1 = 2 dan mengikuti (yaitu j3 =
1),dapat di lihat pada permutasi (2,4,1,3).Dalam permutasi tersebut j1 = 2 , j2 = 4,
j3 = 1, dan j4 = 3.

7. Banyak nya bilangan bulat yang lebih kecil daripada j2 = 4 dan mengikutinya,ada
dua ( yaitu j3 = 1 dan j4 = 3).
Banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil daripada j3 = 1 dan mengikutinya
adalah nol.
Sehingga banyaknya inversi dalam permutasi ini adalah 1 + 2 + 0 = 3
Definisi 3.
Sebuah permutasi di namakan permutasi genap jika banyaknya inversi dalam
permutasi tersebut genap.Sebaliknya sebuah permutasi di namakan permutasi
ganjil jika banyaknya inversi dalam permutasi tersebut ganjil.
Contoh :
Permutasi (2,4,1,3) adalah permutasi ganjil karena banyaknya inversi
dalam permutasi tersebut ganjil.sementara itu ,permutasi (1,2,3,4,5,6) adalah
permutasi genap.
Contoh .Tabel berikut merupakan klasifikasi berbagai permutasi dari
{1,2,3} sebagai genap atau ganjil
Permutasi Jumlah Inversi klasifikasi
(1,2,3) 0 Genap
(1,3,2) 1 Ganjil
(2,1,3) 1 Ganjil
(2,3,1) 2 Genap
(3,1,2) 2 Genap
(3,2,1) 3 Ganjil
4. Definisi
Hasil perkalian elementer matriks A yang berukuran n x n adalah hasil perkalian
elemen-elemen tersebut berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama.
Contoh :
Hasil perkalian elemen matriks A yang berukuran 4 x 4 adalan a31 a22 a43
a14.

8. a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
Sementara itu ,a11,a12,a23,a34 adalah bukan hasil perkalian elementer sebab bentuk
a11,a12,a23,a34 mempunnyai elemen pada baris yang sama,yaitu elemen a11 dan a12
terletak pada baris yang sama.
Cara mencari seluruh hasil perkalian elementer dalam matriks A yang berukuran n
x n adalah sebagai berikut.
1. Tulislah bentuk a1.,a2.,a3.,....,an.
2. Tanda dalam bentuk tersebut di ganti dengan seluruh permutasi
(j1,j2,j3,....jn) maka tentulah di dapat n.
Hasil perkalian elementer.
Contoh : a11 a12 a13
Dipunyai matriks a = a21 a22 a23
a31 a32 a33
maka kita tuliskan a1.,a2.,a3. Dan permutasi-permutasi dari n = 3 adalah :
(1,2,3,) (2,1,3) (3,1,2)
(1,3,2) (2,3,1) (3,2,1)
Hasil perkalian elemennya adalah :
(1,2,3) a11 a22 a33
(2,1,3) a12 a21 a33
Definisi 5.
Sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari A adalah sebuah hasil perkalian
elementer (a1.,a2.,...an) yang di kalikan dengan + 1 jika permutasi nya genap dan
dikalikan dengan – 1 jika permutasinya ganjil.
Contoh :
Untuk matrisk A yang berukuran 3 x 3,maka hasil perkalian bertanda dari a11 a23 a
32 adalah – a11 a23 a32 (karena permutasi yang bersesuaian adalah (1,3,2) yang
merupakan permutasi ganjil.

9. Definisi 6.
A adalah matriks bujur sangkar.Determinan matriks A yang di simbolkan det (A)
dapat di definisikan sebagai jumlahan semua hasil perkalian elementer bertanda
dari matriks A.
Definisi di atas apabila di notasikan akan berbentuk :
Det(A) = ∑ ± a1j1 a2j2 a3j3 . . .an jn
(j1j2jn)
Contoh :
Hasil untuk pencarian determinan akan di jabarkan dalam bagian berikut ini :
Untuk n = 2
A = A11A12
permutasi A21 a22 invers hasil perkalian elementer
bertanda
(1,2) 0 a11 a22
(2,1) 1 -a12 a21
Jadi,det (A) = a11 a22 – a12 a21
2. Menghitung Determinan dengan Operasi Baris Elementer
Determinan suatu matriks dapat di hitung dengan menggunakan operasi baris
elementer yang telah di perkenalkan pada bab sebelumnya .Perhitungan
determinan suatu matriks dapat di lakukan dengan mudah apabila kita mengenal
sifat-sifat atau teorema yang berhubungan dengan determinan.
Teorema-teorema yang berhubungan denga determinan adalah sebagai berikut :
Teorema 1.
Apabila A adalah suatu matriks yang berukuran n x n dan memuat sebuah baris
(kolom) yang elemenya semua nol,maka det(A) = 0.
Contoh :
1 2 1 -1
det 3 -1 2 0 =0
0 0 0 0
-1 -1 2 1

10. Teorema 2.
Apabila A adalah suatu matriks yang berukuran n x n dan terdapat 2 baris (kolom)
yang sama maka,det A = 0.
Contoh :
1 -2 3 4
det -2 2 4 4 =0
1 1 -1 2
1 -2 3 4
Teorema 3.
Jika A adalah matriks segitiga (atas/bawah) yang berukuran n x n,maka det(A)
adalah hasil dari perkalian elemen-elemen di agonal utama,yaitu det (A) = a11 a22 a
33 ...ann.
Contoh :
1 0 0 0 0
1 1 -1 2 -1 -1 0 0 0
0 3 2 -2 = (1)(2)(-3)(2) = - 12 det -3 2 -1 0 0
0 0 -3 1 2 3 -1 2 0
0 0 0 2 7 6 4 2 1
= (1)(-1)(-1)(2)(1) =2
Teorema 4.
Apabila A1 adalah matriks sebagai hasil dari matriks A yang sebuah
baris/kolomnya di kalikan dengan konstanta k,maka det A1) = kdet(A).
Contoh :
1 1 1
Bila A 2 -1 2 ,maka kita dapat menghitung det(B)
1 -2 2

11. 1 1 1
Untuk B 4 -2 4
1 -2 -4
Jelas di hitung bahwa det (A) = 15,maka det (B) = 30 (sebab matriks B di peroleh
dari A dengan baris ke dua dari matriks A di kalikan 2).
Teorema 5.
Apabila B1 adalah matriks sebagai hasil dari matriks B ( bila dua baris matriks B
di pertukarkan letak tempatnya,maka det(B1) = -det (B).
Contoh :
Coba tunjukkan dengan perkalian elementer bertanda
apakah benar :
1 -2 -4 1 1 1
det 2 -1 2 = -det 2 -1 2 = 15
1 1 1 1 -2 -4
Teorema 6.
Jika C1 adalah matriks yang di hasilkan bila sebuah kelipatan suatu konstanta k ≠
0 dari 1 baris (kolom) matriks C yang di tambahkan ke baris atau (kolom) yang
lain,maka det (C1) = det (C).
Contoh :
1 1 1 1 1 1
det 0 -3 0 = det 2 -1 2 = 15
1 -2 -4 1 -2 -4
Sebab matriks di atas di hasilkan dari matriks A dengan operasi baris elementer
yang ke tiga,yaitu R2 R2 + (2) R1 atau perkalian konstanta (2) terhadap baris satu
yang di tambahkan ke baris 2.

12. Dan akhirnya dari teorema 1 sampai dengan teorema 6,kita akan dapat
menghitung determinan matriks dengan lebih cepat secara manual.
3. Sifat-Sifat Determinan Suatu Matriks
Pada bagian berikut ini akan di bahas beberapa sifat determinan sebagai
lanjutan dari ke enam sifat determinan yang telah di berikan pada bagian
sebelumnya.
Teorema 1.
Bila A adalah matriks yang berukuran n x n,maka :
Det (AT) = det (A)
Contoh :
Elemen matriks ini menggunakan perkalian elementer bertanda
1 2 3 1 -1 2
det -1 0 -1 dan det 2 0 1
2 1 -2 3 -1 -2
Teorema 2.
Misalkan A,A1 dan A2 adalah matriks yang berukuran n x n yang berbeda di
dalam sebuah baris/kolom saja (katankanlah baris/kolom b) dan baris/kolom b
dari A2 di peroleh dari penjumlahan elemen-elemen yang bersesuaian di dalam
baris/kolom b dari matriks A dan matriks A1,maka :
Det (A2) = det (A) + det (A1)
Contoh :
2 1 3 2 1 3 21 3
A= 1 1 4 A1= 1 -1 -3 A2= 2 01
2 1 1 2 1 1 2 1 1
Teorema 3.
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ukuran n x n,maka det(AB) =
det (A) + det (B).Contoh :
1 3 1 -1 3 1
A= -1 1 0 B= -1 0 0
0 -1 1 1 -1 2

13. Teorema 4.
Sebuah matriks A yang berukuran n x n merupakan matriks invertilbe jika dan
hanya jika det (A) ≠ 0.
Teorema 5.
Jika A merupakan matriks invertible,maka
det (A-1) = 1
det (A)
Teorema 6.
Diberikan E adalah matriks elementer yang berukuran n x n.
a) Jika E di hasilkan dari pertukaran 2 baris In,maka det (E) = -1.
b) Jika E di hasilkan dari mengalikan satu baris In dengan konstanta k,maka
det (E) = k.
c) Jika E di hasilkan dari penambahan k kali baris kepada baris yang lain dari
In,maka det (E) = 1.
4. Menghitung Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Nilai determinan suatu matriks dapat juga di hitung dengan menggunakan
ekspansi kofaktor sebeelum kita menghitung determinan suatu
matriks.Namun sebelum itu,perhatikan terlebih dahulu beberapa definisi dan
istilah-istilah yang berhubungan dengan kosep perhitungan tersebut.
Definisi 1.
Bila A adalah sebuah matriks bujur sangkar,maka minor elemen aij
(disimbolkan dengan Mij) di definisikan sebagai determinan dari submatriks
yang ada setelah baris ke –i dan kolom ke –j di coret dari A.
Nilai (-1)i+j di tuls sebagai Cij dan dinamakan kofaktor elemen aij.
Jadi,Cij = (-1)i+j Mij.
Contoh :
121
Diberikan A -13 -3 ,maka
2-21

14. 1 2 1
M32 = det -1 3 -3 = det 1 1 = (1)(-3)-(1)(-1) = -3 += -2
2 2 1 -1 -3
Dan C32 = (-1)3+2 M32 = (-1)(-2) = 2
Jadi, C32 = 2 dan M32 = -2.
Contoh lain :
Hitunglah determinan matriks A berikut ini :
1 2 1
A= 1 2 3
3 1 1
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor baris 1 ekspansi kofaktor baris 2.
Jawab :
Perhitungan determinan dengan ekspansi kofaktor baris 1 adalah sebagai berikut :
Det(A) = (1) 2 3 -2 1 3 +1 1 2
1 1 3 1 3 1
= (-2)(-8) + 2(-2) -1(2) = 16-4-2 =10
Definisi 2. (Matriks Kofaktor)
Jika A adalah sembarang matriks n x n dan Cik adalah kofaktor dari aij,maka
matriks dengan bentuk :
C11 C12 .... C1n
C21 C22 ....C2n
. . .
Cn1 Cn2 Cnn
Dinamakan matriks kofaktor dari matriks A.
Reduksi Baris
Determinan sebuah matriks dapat di hitung dengan mereduksi matriks
menggunakan operasi baris elementer sehingga matriks berada pada bentuk eselon
baris.

15. Defenisi 3.
Matriks adjoin A di simbolkan dengan Ajd(A) adalah transpose dari matriks
kofaktor A.
Definisi 5.
Jika A adalah matriks yang berukuran n x n dan A adalah matriks yang
invertibel,maka :
A-1 = 1 adj(A)
det(A)
Denga kata lain kita dapat mencari A-1 dengan menggunakan det (A) dan adj (A).
Contoh 1. 3 1 -4
Tentukan A-1,bila A = 6 9 -2 Dengan menggunakan Adj (A).
1 2 1
Jawab : 3 1 -4 maka
6 9 -2
1 2 1
Sedangkan apabila di hitung,maka di dapat det (A) = 43 sehingga :
13 -9 34 13/43 -9/43 34/43
A-1=1/43 -8 7 -18 = -8/43 7/43 -18/43
Contoh 2.
3 -5 21 3/43 -5/43 21/43
A= a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
Ekspansi melalui baris pertama :
Det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13
Atau ekspansi melalui baris ketiga :
Det(A) = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33

16. Atau ekspansi melalui kolom ke dua :
Det(A) = a12C12 + a22C22 + a32C32
5. Penyelesaian SPL dengan Aturan Cramer
Kita dapar menggunakan konsep determinan untuk mendapatkan penyelesaian
SPL.caranya adalah dengan menggunakan aturan Cramer.
Aturan Cramer :
Bila Ax = B adalah SPL yang terdiri dari n persaman linier dengan n variabel
yang tidak di ketahui dan det (A) ≠ 0,maka SP; tersebut mempunyai
penyelesaian tunggal dan penyelesaiaanya adalah :
x1 = det (A1) x2 = det (A2) x3 = det (An)
det (A) det(A) det(A)
Dengan matriks Aj,j = 1,2,4,. . . .,n adalah matriks yang di peroleh dengan
mengganti elemen kolom j dari matriks A dengan matriks : b1
b2
B= b3
bn
Contoh : Dipunyai SPL x + y -2z =1
SPL ini bersesuaian dengan SPL bentuk A x =B 2x – y + z = 2
x -2y – 4z = -4
1 1 -2 x1 1
Dengan A = 2 -1 1 x = x2 dan B = 2
1 -2 -4 x3 -4
1 1 -2
Det (A) = det 2 -1 1 =21 ;det(A1) = det 2 -2 1 = 26
1 -2 -4 -4 -2 -4
1 1 1 1 1 1

17. Det (A2)=det 2 2 1 =25 ;det(A3)=det 2 -4 2 = 15
1 -4 -4 1 -2 -4
Jadi dengan menggunakan aturan Cramer di dapat :
x = det(A1) = 26 y = det(A2) = 25 z = det(A3) = 15
det(A) 21 det(A) 21 det(A) 21

18. BAB III
PENUTUP
Bab ini berisi kesimpulan dan saran yang diambil dari keseluruhan isi
dari makalah ini yang telah di teliti dan di pelajari untuk di ambil kesimpulan dan
saran.
A. Kesimpulan
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu
bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.Determinan memiliki
penyelesaian, yaitu himpunan angka yang akan memenuhi suatu determinan
matriks.Ada beberapa macam penyelesaian determinan di antaranya dengan
Ekspansi Kofaktor,Adjoin,Matirks segi tiga,metode cramer dan metode –metode
lainnya,dan yang paling sering di gunakan yaitu dengan Ekspansi Kofaktor
B. Saran
Dalam menyusun makalah ini,penulis menyadari sepenuhnya bahwa isi
makalah ini belumlah sempurna dan masih kurang baik mengenai materi maupun
cara penulisannya.Oleh karena itu,penulis sangat mengharapkan kritik dan saran
yang sifatnya membangun dari pihak lain yang dapat menyempurnakan makalah
berikutnya.Dan alangkah baiknya juga apabila kita terus mengembangkan
berbagai makalah-makalah tentang Ilmu Pengetahuan Aljabar Linier di tengah-
tengah masyarakat luas secara khusus dalam mahasiswa agar lebih mengerti
bagaimana langkah-langkah yang lebih mudah dalam memecahkan suatu masalah
dalam suatu determinan pada Ilmu Aljabar Linier.

19. DAFTAR PUSTAKA
Buku :
Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1
Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 2
Sumber Lain :
www.wikipedia.com
www.google.co.id