Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Materi Determinan (STIS)

6,713 views

Published on

semoga bermanfaat :)

Published in: Education

Materi Determinan (STIS)

  1. 1. DETERMINANMENGHITUNG DETERMINANSIFAT-SIFAT DETERMINAN
  2. 2. MenghitungDeterminan  Perkalian Elementer  Ekspansi Kofaktor  Reduksi Baris Matriks Segitiga
  3. 3. •Menghitung Determinan Dengan Perkalian Elementer
  4. 4. PERMUTASIDefinisi: Suatu permutasi bilangan bulat {1,2,…,n} adalah suatu susunan bilangan-bilangan bulat ini dalam suatu urutan tanpa penghilangan atau pengulanganContoh: 6 permutasi berbeda dari bilangan bulat {1,2,3} adalah: {1,2,3} {2,1,3} {3,1,2} {1,3,2} {2,3,1} {3,2,1}
  5. 5. PERMUTASI Dalam permutasi dikatakan terjadi sebuah inversi/ pembalikan bilamana suatu bilangan bulat yg lebih besar mendahului yang lebih kecil.Contoh:Tentukan jumlah inversi dari permutasi berikut:(a) (6,5,3,1,4,2) (b) (2,4,1,3) c (1,2,3,4)Penyelesaian Jumlah iversi/pembalikan: 5+4+2+0+1=12 Jumlah iversi/Pembalikan: 1+2+0=3 Tidak ada inversi/pembalikan dalam permutasi ini
  6. 6. PERMUTASIDefinisi: Suatu permutasi disebut genap jika total jumlah inversi merupakan suatu bilangan bulat genap dan disebut ganjil jika total jumlah inversi merupakan suatu bilangan bulat ganjil
  7. 7. PERMUTASIContoh. Tabel berikut merupakan klasifikasi berbagai permutasi dari {1,2,3} sebagai genap atau ganjil Permutasi Jumlah Inversi Klasifikasi (1,2,3) 0 genap (1,3,2) 1 Ganjil (2,1,3) 1 Ganjil (2,3,1) 2 Genap (3,1,2) 2 Genap (3,2,1) 3 Ganjil
  8. 8. DETERMINAN A adalah matriks bujursangkar. Determinan matriks A yang disimbolkan det(A) dapat didefinisikan sebgai jumlah semua hasil perkalian elementer bertanda dari matriks A.Contoh: Daftarkan semua hasil kali bertanda dari matriks-matriks berikut ini a11 a12 a13  a11 a12  a a a  a. a a 22  b.  21 22 23   21  a31 a32 a33   
  9. 9. DETERMINANPenyelesaian: Hasil Kali Permutasi Klasifikasi Hasil Kali Dasar Terkait Dasar Bertanda a11a22 (1,2) genap a11a22 a12a21 (2,1) Ganjil -a12a21
  10. 10. DETERMINANPenyelesaian: Hasil Kali Permutasi Klasifikasi Hasil Kali Dasar Terkait Dasar Bertanda a11a22a33 (1,2,3) genap a11a22a33 a11a23a32 (1,3,2) Ganjil -a11a23a32 a12a21a33 (2,1,3) Ganjil -a12a21a33 a12a23a31 (2,3,1) Genap a12a23a31 a13a21a32 (3,1,2) Genap a13a21a32 a13a22a31 (3,2,1) Ganjil -a13a22a31
  11. 11. DETERMINANSehingga diperoleh: a11 a12 a. det   = a11a22 - a12a21 a 21 a 22  a11 a12 a13  a a a   21 22 23 b. det a a a  = a11a22a33 +a12a23a31  31 32 33  +a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33 -a13a22a31
  12. 12. DETERMINANDengan menggunakan jembatan keledai (mnemonic) dapat dihitung: + - + + + - - - a11 a12  a11 a12 a13  a11 a12 a a  a a a  a a  21 22   21 22 23  21 22 a31 a32 a33  a31 a32  
  13. 13. Contoh : 1 2 3   4 8 12  0 1 4  1 2 3A = 0 1 4  , A1 =  0 1 4  , A2 = 1 2 3  , A3 =  −2 −3 −2          1 2 1    1 2 1    1 2 1    1 2 1  Diperoleh :det (A) = -2, det( A1) = -8, det( A2) = 2,det(A3) = -2
  14. 14. MENGHITUNG DETERMINANDENGAN EKSPANSI KOFAKTOR
  15. 15. Ekspansi kofaktor Definisi: Bila A adalah sebuah matriks bujursangkar, maka minor elemen aij (disimbolkan dengan Mij) didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang ada setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Nilai (-1)i+j Mij ditulis sebagai Cij dan dinamakan sebagai kofaktor elemen aij. Jadi, Cij = (-1)i+jMij
  16. 16. Ekspansi kofaktorContoh: 1 2 1 − 1 3 − 3Diketahui A =   2 − 2  1 1 2 1  1 1 − 1 3 − 3Maka M32 = det   = det − 1 − 3   2 − 2  1  = (1)(-3) – (1)(-1) =-3+1 = -2 Jadi, C32 = (-1)3+2 M32 = (-1)(-2) = 2
  17. 17. Ekspansi kofaktorTeorema: Apabila diberikan matriks A yang berukuran nxn, maka determinan matriks A dapat dihitung dengan menggunakan: Expansi kofaktor sepanjang kolom j: det(A) = a1jC1j + a2jC2j +...+ anjCnj Expansi kofaktor sepanjang baris i: det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2+...+ ainCin
  18. 18. Ekspansi kofaktorContoh: 1 2 1 − 1 3 − 3Hitung Determinan matriks A =   2 − 2  1  Penghitungan det. ekspansi kofaktor baris 1: det (A) = 1 3 − 3 -2 − 1 − 3 +1 − 1 3 −2 1 2 1 2 −2 Penghitungan det. ekspansi kofaktor kolom 2 ?
  19. 19. Matriks KofaktorJika A adalah sembarang matriks nxn dan Cik adalah kofaktor dari aij, maka matriks kofaktor dari A adalah: C11 C12 ... C1n  C C ... C   21 22 2n  .    .  Cn1 Cn 2 ... Cnn   Matriks Adjoint A yg disimbolkan Adj (A) adalah Transpose dari matriks kofaktor A
  20. 20. REDUKSI BARISDeterminan sebuah matriks dapat dihitung denganmereduksi matriks menggunakan operasi bariselementer sehingga matriks berada pada bentukeselon baris.Teorema 2.1.Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yangmengandung sebaris bilangan nol, makadet(A) = 0
  21. 21. Teorema:Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama.Teorema: Misalkan A adalah sebarang matriks n x n.(e) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det (A’) = k det (A)(f) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila 2 baris A dipertukarkan, maka det(A’)=-det(A)(g) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan 1 baris A ditambahkan pada baris lain, maka det (A’) = det (A)
  22. 22. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkandari operasi baris elementer tertentu. Operasi det ( A ) det ( A’ ) (i) |A| k|A| ( ii ) |A| -|A| ( iii ) |A| |A|
  23. 23.  det(kA) = kndet(A) n : jumlah baris ka11 ka12 ka13 a11 a12 a13 ka21 ka22 ka23 = k 3 a21 a22 a23 ka31 ka32 ka33 a31 a32 a33 det(A+B) ≠ det(A) + det(B) det(AB) = det(A).det(B) det(A) = det(AT) implikasi : berlaku operasi kolom
  24. 24.  Teorema Anggap A, B, dan C adalah matriks nxn yang berbeda hanya pada salah satu barisnya, katakanlah beris ke –r, dan anggap baris ke-r dari C bisa diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota yang berpadanan pada baris ke-r dari A dan B. Maka: Det ( C ) = det (A) + det ( B ) Hasil yg sama berlaku untuk kolom
  25. 25.  Contoh: 1 7 5 1 7 5 1 7 5 2 0 3 =2 0 3+ 2 0 3 1+ 0 4 + 1 7 + 1 1 4 7 0 1 1

×