TS
Uploaded byTri Satya
PDF, PPTX2,820 views

Cal2 1 matriks

Dokumen ini menjelaskan pengertian dan konsep dasar matriks, termasuk elemen, ukuran, jenis-jenis matriks, dan operasi matriks seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Terdapat penjelasan tentang matriks bujur sangkar, matriks segitiga, dan sifat-sifat operasional matriks. Informasi ini adalah dasar untuk memahami bagaimana matriks berfungsi dalam matematika dan aplikasinya.

Embed presentation

Download as PDF, PPTX
Matriks Pengertian Tentang Matriks Operasi-Operasi Matriks Putaran Matriks
Pengertian Dasar Matriks Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan. Contoh:           123 421 302 baris kolom Nama matriks: huruf besar cetak tebal,           = 123 421 302 A       = 203 142 B Contoh: Notasi: Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks. Kita akan melihat matriks berisi bilangan nyata.
Pengertian Dasar Matriks Elemen Matriks Isi suatu matriks disebut elemen matriks Contoh:       = 203 142 B 2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenen matriks yang membentuk baris 2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom Ukuran Matriks Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari b×k elemen-elemen Ukuran matriks dinyatakan sebagai b×k Contoh:       = 203 142 B adalah matriks berukuran 2×3
          = 123 421 302 A b = k = 3 matriks bujur sangkar 3×3 Nama Khusus Pengertian Dasar Matriks Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar. Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom. Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris. Matriks dengan b ≠ k disebut matrik segi panjang Contoh:       = 203 142 B b = 2, k = 3 matriks segi panjang 2×3       = 4 2 p k = 1 vektor kolom [ ]423=q b = 1 vektor baris Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal
Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai [ ]bk mnmm n n a aaa aaa aaa =             =     21 22221 11211 A elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama Diagonal Utama Pengertian Dasar Matriks
Matriks Segitiga Contoh: Pengertian Dasar Matriks Matriks segitiga bawah :           −= 343 011 002 1T Matriks segitiga atas :           − = 300 310 122 2T Ada dua macam matriks segitiga yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Matriks Diagonal Pengertian Dasar Matriks Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh:           = 000 010 002 D
Matriks Satuan Pengertian Dasar Matriks Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan. Contoh: IA =           = 100 010 001 Matriks Nol Matriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang berukuran m×n dengan semua elemennya bernilai nol.
Anak matriks atau sub-matriks       = 203 142 B [ ]142 [ ]203- Dua anak matriks 1× 3 , yaitu:       3 2       0 4       2 1 - Tiga anak matriks 2× 1, yaitu: - Enam anak matriks 1× 1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2]; - Enam anak matriks 1× 2 yaitu: [ ]42 [ ]12 [ ]14 [ ]03 [ ]23 [ ]20       03 42       23 12       20 14- Tiga anak matriks 2×2 yaitu: Pengertian Dasar Matriks Contoh: Matriks B memiliki:
Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor           = 123 421 302 A           = 3 2 1 a a a Adapat kita pandang sebagai matriks dengan anak-anak matriks berupa vektor baris [ ]3021 =a [ ]4212 =a [ ]1233 =a dapat kita pandang sebagai matriks [ ]321 aaaA =           = 3 1 2 1a           = 2 2 0 2a           = 1 4 3 3a dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom Pengertian Dasar Matriks Contoh: Contoh yang lain:           = 123 421 302 A
Kesamaan Matriks Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. A = B       = 03 42 AJika       = 03 42 Bmaka haruslah . Operasi Matriks, Kesamaan, Matriks Nol, Matriks negatif Contoh:
Matriks Negatif Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1). . Operasi Matriks, Kesamaan, Matriks Nol, Matriks negatif Contoh:       = 03 42 A       − −− =− 03 42 A
Penjumlahan Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran m×n adalah sebuah matriks C berukuran m×n yang elemen- elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama ABBA +=+ ( ) ( )CBACBA ++=++       = 03 42 A       = 22 31 B Jika       =+ 25 73 BAmaka Sifat-sifat penjumlahan matriks: Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan Contoh:
Pengurangan Matriks Pengurangan matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif A0A =+ 0AAAA =−+=− )(       = 03 42 A       = 22 31 B       − =      −− −− +      =− 21 11 22 31 03 42 BA Contoh: Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan
Perkalian Matriks             = mnmm n n aaa aaa aaa     21 22221 11211 A               = pqmp q q aaa aaa aaa     21 22221 11211 B Jadi jika matriks A berukuran m×n dan B berukuran p×q maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p. Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan BAAB ≠ Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran m×q dengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan. Perkalian matriks tidak komutatif.
Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang seluruh elemennya bernilai a kali. aA = Aa           =×           =           × 646 462 244 2 323 231 122 323 231 122 2 Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut ( ) BABA aaa +=+ ( ) AAA baba +=+ [ ] ( )AA abba = Operasi Matriks, Perkalian Matriks Contoh:
Perkalian Internal Vektor (dot product) [ ]32=a       = 3 4 bvektor baris: vektor kolom: . Contoh: 2 kolom 2 baris Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris vektor b. Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan. [ ] [ ] [ ]173342 3 4 32 =×+×=      =•= bac Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, perkalian juga dapat dilakukan tetapi memberikan hasil yang berbeda [ ]       =      ×× ×× =      =•= 96 128 3323 3424 32 3 4 abd perkalian internal dapat dilakukan Perkalian matriks tidak komutatif. Operasi Matriks, Perkalian Matriks
Perkalian Matriks Dengan Vektor       = 43 12 A       = 3 2 bMisalkan dan dapat dikalikan2 kolom 2 baris       =      ×+× ×+× =      • • =      == 18 7 3423 3122 2 1 2 1 ba ba b a a AbC Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukan karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris. Contoh: Operasi Matriks, Perkalian Matriks
Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar Operasi Matriks, Perkalian Matriks       = 43 12 A       = 35 24 Bdan Contoh: dapat dikalikan kolom = 2 baris = 2 Matriks A kita pandang sebagai       = 2 1 a a A Matriks B kita pandang sebagai [ ]21 bbB = [ ]       =      ×+××+× ×+××+× =       •• •• =      == 1832 713 34235443 31225142 2212 2111 21 2 1 baba baba bb a a ABC
Perkalian dua matriks persegi panjang Operasi Matriks, Perkalian Matriks       = 231 342 A           = 32 34 21 Bdan dapat dikalikankolom = 3 baris = 3       =       ×+×+××+×+× ×+×+××+×+× =                 == 1717 2525 323321224311 333422234412 32 34 21 231 342 ABC Contoh:
      = 2 1 a a A [ ]21 bbB = [ ]       •• •• =      == 2212 2111 21 2 1 baba baba bb a a ABC Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah , sehingga . Operasi Matriks, Perkalian Matriks Dalam operasi perkalian matriks: matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom
( ) ( ) ( )BAABBA aaa == ( ) ( )CABBCA = ( ) BCACCBA +=+ ( ) CBCABAC +=+ Sifat-sifat perkalian matriks b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠ BA a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0. c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku. Operasi Matriks, Perkalian Matriks
Putaran Matriks Putaran Matriks (Transposisi) Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolom- kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT [ ]bk mnmm n n a aaa aaa aaa =             =     21 22221 11211 A [ ]pq mnnn m m a aaa aaa aaa =             =     21 22212 12111 T A Jika maka
Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran Matriks Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris. [ ]           =⇒= 3 4 2 342 T aa [ ]345 3 4 5 T =⇒           = bb Contoh:
Putaran Jumlah Dua Vektor Baris Putaran Matriks Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor [ ] [ ]231dan342 == ba [ ]573=+ ba ( ) TTT 2 3 1 3 4 2 5 7 3 baba +=           +           =           =+ ( ) TTT baba +=+ Jika maka Secara umum : Contoh:
Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran Matriks Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan dibalik [ ]           == 2 3 1 dan342 ba [ ]233412 ×+×+×=ab Jika maka Contoh: [ ] [ ] TTT 3 4 2 231233412 abab =           =×+×+×=
Putaran Matriks Contoh: Jika [ ]231dan 3 4 2 =           = ba maka           ××× ××× ××× = 233313 243414 223212 ab ( ) [ ] TTT 342 2 3 1 232422 333432 131412 abab =           =           ××× ××× ××× = Secara umum : ( ) TTT abab =
Putaran Matriks Contoh: Putaran Matriks Persegi Panjang       = 231 342 A           = 23 34 12 T AJika maka           = ma a A  1 [ ]TT 1 T maaA = Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris maka [ ]maaaA 21= Jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom           = ma a A  1 T maka
Putaran Matriks Putaran Jumlah Matriks Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing- masing matriks. Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris. ( ) TTT BABA +=+ [ ]maaA 1= [ ]mbbB 1= [ ]mm babaBA ++=+ 11 Jika Dengan demikian dan maka ( ) ( ) ( ) TT T T 1 T T 1 TT T 1 T 1 T T 11 T BA b b a a ba ba ba ba BA +=             +             =             + + =             + + =+ mmmmmm 
Putaran Hasil Kali Matriks Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom. ( ) TTT ABAB =           = ma a A  1 [ ]nbbB 1=           •• •• = nmnm n baba baba AB    111 Jika dan maka [ ] TT 1 1111 T ABaa b b baba baba AB =           =           •• •• = m nnmnm n     Dengan demikian maka Putaran Matriks
Putaran Matriks Matriks Simetris Jika dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring. BB −=T Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila AA =T Karena dalam setiap putaran matriks nilai elemen-elemen diagonal utama tidak berubah, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen diagonal utamanya bernilai nol. Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata.
Determinan Matriks Determinan Matriks Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka kita mengaitkan A dengan suatu bilangan yang dinyatakan oleh △= 𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 ⋮ 𝑎22 ⋮ 𝑎23 ⋮ ⋯ 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 𝑎 𝑛𝑛 𝑎 𝑛𝑛 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 Yang dinamakan determinan dari A dengan ukuran n, ditulis det(A). Untuk mendefinisikan nilai suatu determinan, kita harus mengenal beberapa konsep berikut: 1. Minor. Diberikan suatu unsur 𝑎𝑗𝑗 dari △. Suatu determinan berukuran (𝑛 − 1) yang diperoleh dengan menghilangkan semua unsure di baris ke j dan kolom ke k dinamakan minor dari 𝑎𝑗𝑗 .
Determinan Matriks Contoh: Minor yang bersesuaian dengan unsur 5 dalam baris ke-2 kolom ke-3 dari determinan berukuran 4. 2 −1 𝟏 3 −𝟑 𝟐 𝟓 𝟎 1 4 0 −2 −𝟐 𝟑 2 1 adalah 2 −1 3 1 0 2 4 −2 1 Yang diperoleh dengan menghilangkan unsur-unsur yang berwarna gelap.
Determinan Matriks 2. Kofaktor. Jika minor dari 𝑎𝑗𝑗 dikalikan dengan (−1) 𝑗+𝑘 , maka hasilnya dinamakan kofaktor dari 𝑎𝑗𝑗 dan dinyatakan dengan 𝐴𝑗𝑗 . Contoh: Kofaktor yang bersesuaian dengan unsure 5 dalam determinan pada contoh di atas adalah (−1)2+3 dikalikan minornya, atau −1 2 −1 3 1 0 2 4 −2 1 Nilai determinan didefinisikan sebagai jumlah dari hasil kali unsur- unsur pada suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian, dan ini dinamakan uraian Laplace. Dalam lambang ditulis: det 𝐴 = � 𝑎𝑗𝑗 𝐴𝑗𝑗 𝑛 𝑘=1
Determinan Matriks Menghitung determinan berukuran 2 menggunakan uraian Laplace: 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 menggunakan unsur di baris pertama. Kofaktor yang berkaitan adalah 𝐴11 = (−1)1+1 𝑎22 = 𝑎22, 𝐴12 = (−1)1+2 𝑎21 = −𝑎21 Menurut uraian Laplace, determinannya bernilai 𝑎11 𝐴11 + 𝑎12 𝐴12 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21
Determinan Matriks Contoh: Hitunglah uraian Laplace dari determinan 3 −2 2 1 2 −3 4 1 2 dengan menggunakan unsur baris pertama. Dengan menggunakan unsur baris pertama, uraiannya adalah 3 2 −3 1 2 — 2 1 −3 4 2 + 2 1 2 4 1 = 3 7 − −2 14 + 2 −7 = 35 Nilai determinan orde 3 juga dapat dihitung menggunakan cara di bawah ini: 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 = 𝑎1 𝑏2 𝑐3 + 𝑏1 𝑐2 𝑎3 + 𝑐1 𝑎2 𝑏3 − 𝑏1 𝑎2 𝑐3 + 𝑎1 𝑐2 𝑏3 + 𝑐1 𝑏2 𝑎3 Kemudian dengan mengambil jumlah hasil kali suku-suku yang ditunjukkan dengan anak panah bertanda + dan −.
Determinan Matriks : Teorema TEOREMA-TEOREMA DETERMINAN 1. Nilai suatu determinan tetap sama jika baris dan kolomnya ditukar. Dalam lambang det 𝐴 = det (𝐴 𝑇 ) . 2. Jika A dan B dua matriks bujursangkar yang berukuran sama, maka det 𝐴𝐴 = det 𝐴 det (𝐵). 3. Jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktor dari baris atau kolom lainnya adalah nol. Dalam lambang ditulis: � 𝑎 𝑞𝑞 𝐴 𝑝𝑝 = 0 atau 𝑛 𝑘=1 � 𝑎 𝑘𝑘 𝐴 𝑘𝑘 = 0 jika 𝑝 ≠ 𝑞 𝑛 𝑘=1 Jika 𝑝 = 𝑞 , jumlahnya sama dengan det 𝐴 = � 𝑎𝑗𝑗 𝐴𝑗𝑗 𝑛 𝑘=1
Determinan Matriks : Teorema 4. Misalkan 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 menyatakan vector baris atau vector kolom dari suatu matriks bujursangkar A yang berukuran n. Maka det (A) = 0 jika dan hanya jika ada konstanta (scalar) 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆 𝑛 yang tidak semua nol sehingga 𝜆1 𝑣1 + 𝜆2 𝑣2 + ⋯ + 𝜆 𝑛 𝑣 𝑛 = 𝑂 Di mana O adalah matriks baris nol. Jika syarat di atas dapat dipenuhi maka kita menyatakan bahwa vektor-vektor 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 bergantungan linear. Jika tidak demikian kita menyatakannya bebas linear. Suatu matriks A sehingga det (A) = 0 dinamakan matriks singular. Jika det (A) ≠ 0, maka A dinamakan matriks tak- singular.
Invers Matriks Jika untuk suatu matriks bujursangkar A terdapat suatu matrik B sehingga AB = I, maka dinamakan invers dari A dan dinyatakan dengan 𝐴−1 . Dasarnya adalah rumus berikut ini: Jika A suatu matriks tak singular berukuran n (det (A) ≠ 0) maka terdapat tepat satu invers 𝐴−1 sehingga 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 dan kita dapat menyatakan 𝐴−1 dalam bentuk 𝐴−1 = (𝐴𝑗𝑗) 𝑇 det 𝐴 Di mana (𝐴 𝑗𝑗) adalah matriks dari kofaktor 𝐴𝑗𝑗 dan (𝐴𝑗𝑗) 𝑇 = (𝐴 𝑘𝑘) adalah transposenya. Bentuk berikut ini menyatakan sifat invers matriks: (𝐴𝐴)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 , (𝐴−1 )−1 = 𝐴 Contoh: Tentukanlah invers matriks 𝐴 = 3 −2 2 1 2 −3 4 1 2
Invers Matriks MATRIKS TEGAK LURUS (ORTHOGONAL) Suatu matriks riil A dinamakan suatu matriks tegak lurus (orthogonal) jika trnsposenya sama dengan inversnya, yaitu jika 𝐴 𝑇 = 𝐴−1 atau 𝐴 𝑇 𝐴 = 𝐼.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan 𝐴 = 𝑎𝑗𝑗 adalah suatu matirks 𝑛 × 𝑛 dan X suatu vektor kolom. Persamaan 𝐴𝐴 = 𝜆𝜆 Di mana suatu bilangan dapat ditulis sebagai 𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 ⋮ 𝑎22 ⋮ 𝑎23 ⋮ ⋯ 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 𝑎 𝑛𝑛 𝑎 𝑛𝑛 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 = 𝜆 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 Atau 𝑎11 − 𝜆 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 0 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 − 𝜆 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 0 … … … … … … … … … … … … … … … … … 𝑎 𝑛𝑛 𝑥1 + 𝑎 𝑛𝑛 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛 − 𝜆 𝑥 𝑛 = 0
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Akan memiliki penyelesaian tak-trivial jika dan hanya jika 𝑎11 − 𝜆 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 − 𝜆 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 ⋯ ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 − 𝜆 = 0 Yang merupakan suatu persamaan suku banyak berderajat n dalam 𝜆. Akar dari persamaan suku banyak ini dinamakan nilai eigen atau nilai karakteristik (nilai ciri) dari matriks A. Bersesuaian dengan setiap nilai eigen aka nada penyelesaian 𝑋 ≠ 0 yang merupakan suatu penyelesaian tak-trivial, yang dinamakan suatu vektor eigen atau vektor karakteristik dari nilai eigennya. Persamaan juga dapat ditulis det 𝐴 − 𝜆𝜆 = 0 Dan persamaan dalam 𝜆 ini seringkali dinamakan persamaan karakteristik.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen TEOREMA PADA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Reduksi suatu matriks ke bentuk diagonal. Jika suatu matriks tak singular A mempunyai nilai eigen yang berbeda-beda 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, … … dengan vektor eigen yang berkaitan ditulis sebagai kolom dari matriks 𝐵 = 𝑏11 𝑏12 𝑏13 ⋯ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Maka 𝐵−1 𝐴𝐴 = 𝜆1 0 0 ⋯ 0 𝜆2 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 𝜆3 ⋯ ⋯ ⋯ Yaitu 𝐵−1 𝐴𝐴 dinamakan transformasi dari A oleh B, yang merupakan matriks diagonal yang memuat nilai eigen dari A dalam diagonal utamanya dan unsur lainnya nol. Kita mengatakan bahwa A telah ditransformasikan atau di direksikan ke bentuk diagonal.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen TEOREMA PADA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Contoh: Transformasikan matriks ke dalam bentuk diagonal 𝐵 = 2 1 −1 1 1 1 3 2 1
Nilai Eigen dan Vektor Eigen TEOREMA PADA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Reduksi bentuk kuadrat ke bentuk kanonik. Misalkan A suatu matriks riil setangkup, sebagai contoh 𝐴 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎12 = 𝑎21, 𝑎13 = 𝑎31, 𝑎23 = 𝑎32 Jika 𝑋 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 , maka kita memperoleh bentuk kuadrat 𝑋 𝑇 𝐴𝐴 = 𝑎11 𝑥1 2 + 𝑎22 𝑥2 2 + 𝑎33 2 𝑥3 2 + 2𝑎12 𝑥1 𝑥2 + 2𝑎13 𝑥1 𝑥3 + 2𝑎23 𝑥2 𝑥3 Suku-suku hasil kali silang dari bentuk kuadrat ini dapat dihilangkan dengan memisalkan 𝑋 = 𝐵𝐵 di mana U suatu vector kolom dengan unsure-unsur 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 dan B suatu matriks orthogonal yang membuat diagonal matriks A. bentuk kuadrat baru dalam 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 tanpa suku- suku hasil kali silang dinamakan bentuk kanonik.
TUGAS

More Related Content

PPT
Bab 1-matriks
byMuhammad Martayuda
 
PPTX
Kuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi I
byMukhrizal Effendi
 
PPT
Materi Determinan (STIS)
byMoch Mifthachul M
 
PPT
Determinan es
byadamkusnendar
 
PPT
Determinan dan Invers
byridho1810
 
PPT
Matriks & Operasinya Matriks invers
byMuhammad Martayuda
 
PPTX
Modul 4 matrik dan determinan
byAchmad Sukmawijaya
 
PPTX
Determinan Matrik
bybagus222
 
Bab 1-matriks
byMuhammad Martayuda
 
Kuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi I
byMukhrizal Effendi
 
Materi Determinan (STIS)
byMoch Mifthachul M
 
Determinan es
byadamkusnendar
 
Determinan dan Invers
byridho1810
 
Matriks & Operasinya Matriks invers
byMuhammad Martayuda
 
Modul 4 matrik dan determinan
byAchmad Sukmawijaya
 
Determinan Matrik
bybagus222
 

What's hot

PPTX
Matriks kelas xii K-13
byapriana romansyah
 
PPT
Kelas xii bab 3
byHidayati Rusnedy
 
DOCX
Determinan matriks derajat dua, tiga, empat dan lebih tinggi
byradar radius
 
DOCX
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
byIpit Sabrina
 
DOCX
Matriks dan penerapannya dalam bidang ekonomi
byRohantizani
 
PPT
Ppt matriks
byAtikah Suryani Ulfah
 
PPTX
Bab 3(1) matriks
byCliquerz Javaneze
 
DOC
Matriks
byIqbal Aushee
 
PPTX
PPT MATRIKS
byMuhamadAlfarisi1
 
PDF
Persamaan linear dan matriks
byyulika usman
 
PPT
MATRIKS DAN DETERMINAN
byOng Lukman
 
PPTX
Bab 4 matriks
byEko Supriyadi
 
PPTX
PPT MATRIKS
bytrisno direction
 
PPT
Penjumlahan dan pengurangan matriks
byWina Ariyani
 
PPTX
Matriks
byDewi Ratnasari
 
PDF
Matriks dan Determinan
byAndari Ursulla
 
PPTX
Matriks
bya410080022
 
PPT
Materi matriks 3
byMegaYulia2
 
PPTX
Kel3 matriks
bySuci Indah Ricky Anjaya
 
DOCX
Makalah Determinan UPB
byParningotan Panggabean
 
Matriks kelas xii K-13
byapriana romansyah
 
Kelas xii bab 3
byHidayati Rusnedy
 
Determinan matriks derajat dua, tiga, empat dan lebih tinggi
byradar radius
 
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
byIpit Sabrina
 
Matriks dan penerapannya dalam bidang ekonomi
byRohantizani
 
Ppt matriks
byAtikah Suryani Ulfah
 
Bab 3(1) matriks
byCliquerz Javaneze
 
Matriks
byIqbal Aushee
 
PPT MATRIKS
byMuhamadAlfarisi1
 
Persamaan linear dan matriks
byyulika usman
 
MATRIKS DAN DETERMINAN
byOng Lukman
 
Bab 4 matriks
byEko Supriyadi
 
PPT MATRIKS
bytrisno direction
 
Penjumlahan dan pengurangan matriks
byWina Ariyani
 
Matriks
byDewi Ratnasari
 
Matriks dan Determinan
byAndari Ursulla
 
Matriks
bya410080022
 
Materi matriks 3
byMegaYulia2
 
Kel3 matriks
bySuci Indah Ricky Anjaya
 
Makalah Determinan UPB
byParningotan Panggabean
 

Viewers also liked

PPT
Matrik
byEko Supriyadi
 
PPTX
matriks elementer dan invers
byMuhammad Agung Pranoto
 
PPT
Vektor baru ortogonal1
bybadaibkt
 
PPT
Fisika Matematika I (1 - 2) Bil kompleks
byjayamartha
 
PPTX
matrik dan determinan
byRizky Wulansari
 
DOC
Num bab4
bySunaji Aji
 
PPT
Fisika Matematika I (3 - 4) Persamaan linier
byjayamartha
 
DOCX
Matriks
byKet Ket
 
PPTX
Sistem persamaan linear
byKi Rizki
 
PPT
Aljabar linier : Notasi Matriks
byMuhammad Martayuda
 
DOCX
Makalah numerik
byML Corporation
 
PPT
Bahasan matriks
bySlamet Wibowo Ws
 
PPTX
Determinan
byyayatsh
 
PDF
Nilai Egien Dan Vektor Eigen
byRizky Wulansari
 
PDF
Fismat 2
byEmanuel Manek
 
DOCX
Eliminasi gauss
byagung8463
 
PPTX
Kuliah 2 penerapan matriks dalam ekonomi
byMukhrizal Effendi
 
PDF
005 matrik kovarian
byleonardo onar
 
PPTX
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
byElemantking Daeva
 
PDF
Vektor, Aljabar Linier
bySartiniNuha
 
Matrik
byEko Supriyadi
 
matriks elementer dan invers
byMuhammad Agung Pranoto
 
Vektor baru ortogonal1
bybadaibkt
 
Fisika Matematika I (1 - 2) Bil kompleks
byjayamartha
 
matrik dan determinan
byRizky Wulansari
 
Num bab4
bySunaji Aji
 
Fisika Matematika I (3 - 4) Persamaan linier
byjayamartha
 
Matriks
byKet Ket
 
Sistem persamaan linear
byKi Rizki
 
Aljabar linier : Notasi Matriks
byMuhammad Martayuda
 
Makalah numerik
byML Corporation
 
Bahasan matriks
bySlamet Wibowo Ws
 
Determinan
byyayatsh
 
Nilai Egien Dan Vektor Eigen
byRizky Wulansari
 
Fismat 2
byEmanuel Manek
 
Eliminasi gauss
byagung8463
 
Kuliah 2 penerapan matriks dalam ekonomi
byMukhrizal Effendi
 
005 matrik kovarian
byleonardo onar
 
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
byElemantking Daeva
 
Vektor, Aljabar Linier
bySartiniNuha
 

Similar to Cal2 1 matriks

PPSX
matriks-dan-sistem-persamaan-linier-0812-ppsx.ppsx
byfachruddin07003
 
PPTX
P5 MATERI PRESENTASI TERKAIT MATRIKS 2025.pptx
byAgussalimAgussalim5
 
PPTX
P5 MATERI PRESENTASI TERKAIT MATRIKS 2025.pptx
byAgussalimAgussalim5
 
PDF
Matriks :)
byNita Maulina
 
PDF
Matriks Matematika By Ali Majid Wardana
byAli Must Can
 
PPT
Matematika Teknik - Matriks
byReski Aprilia
 
PDF
Makalah if3051-2012-098
bySatria Ady Pradana
 
PPTX
Ppt matriks
byplain_mutia
 
PPTX
Materi 1. matriks dan operasinya
byamrinarizta
 
PPTX
Matematika 2 - Slide week 6 Matriks
byBeny Nugraha
 
PPTX
Matriks
byJulius Nugroho
 
DOCX
Matriks
byAnnie Ariani
 
DOCX
Tugas kalkulus ii
byMuzz Lhieya
 
PPTX
Aljabar matriks
byMarhanlita
 
PPT
Ppt klmpk 6 alj liner
byFela Aziiza
 
PPTX
aljabar linier Slide-IST107-IST107-Slide-02.pptx
bydiyahruswanti
 
PPTX
Transpose matriks dan jenis jenis matriks aljabar linear dan matriks teknik i...
bydedyadit
 
PPTX
Penjelasan Detail Mengenai Matriks dan Rumus
byyutubtumbal028
 
PDF
Matematika Teknik 1: Matriks
byDadang Hamzah
 
PPTX
Ppt media it
byanggunoktari
 
matriks-dan-sistem-persamaan-linier-0812-ppsx.ppsx
byfachruddin07003
 
P5 MATERI PRESENTASI TERKAIT MATRIKS 2025.pptx
byAgussalimAgussalim5
 
P5 MATERI PRESENTASI TERKAIT MATRIKS 2025.pptx
byAgussalimAgussalim5
 
Matriks :)
byNita Maulina
 
Matriks Matematika By Ali Majid Wardana
byAli Must Can
 
Matematika Teknik - Matriks
byReski Aprilia
 
Makalah if3051-2012-098
bySatria Ady Pradana
 
Ppt matriks
byplain_mutia
 
Materi 1. matriks dan operasinya
byamrinarizta
 
Matematika 2 - Slide week 6 Matriks
byBeny Nugraha
 
Matriks
byJulius Nugroho
 
Matriks
byAnnie Ariani
 
Tugas kalkulus ii
byMuzz Lhieya
 
Aljabar matriks
byMarhanlita
 
Ppt klmpk 6 alj liner
byFela Aziiza
 
aljabar linier Slide-IST107-IST107-Slide-02.pptx
bydiyahruswanti
 
Transpose matriks dan jenis jenis matriks aljabar linear dan matriks teknik i...
bydedyadit
 
Penjelasan Detail Mengenai Matriks dan Rumus
byyutubtumbal028
 
Matematika Teknik 1: Matriks
byDadang Hamzah
 
Ppt media it
byanggunoktari
 

Recently uploaded

PDF
Modul Ajar Deep Learning Prakarya Kerajinan Kelas 12 Kurikulum Merdeka
byModul Guruku
 
PDF
Modul Ajar Deep Learning Prakarya Budidaya Kelas 12 Kurikulum Merdeka
byModul Guruku
 
PDF
Konsep Dasar Penulisan Ilmiah dan Karya Ilmiah
byNur Baharia Marasabessy
 
PDF
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 3 - KBC
byvisipintarClass
 
PDF
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 6 - KBC
byvisipintarClass
 
PDF
Komponen Komponen dalam Proses Penelitian
byNur Baharia Marasabessy
 
PDF
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 9 - KBC
byvisipintarClass
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning Bahasa Indonesia Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
PDF
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 2 - KBC
byvisipintarClass
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning SBK Seni Musik Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
PDF
Rancangan Pengajaran Tahunan (RPT) Bahasa Melayu (BM) Tingkatan 1 2026
byNURULSYAHIRAHBINTIMD
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning SBK Seni Teater Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
PDF
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 4 - KBC
byvisipintarClass
 
PDF
Peristiwa Isra' Mi'raj, dijelaskan mengenai latar belakang, dalil, pengertian...
bynailalmaghfiroh9
 
DOCX
PROGRAM KOKURIKULER KELAS 3. Semester 1 dan 2
byyuninahikmawati96
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning MTK Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning Biologi Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning Seni Musik Kelas 11 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
PPTX
STANDAR PROSES 1 2026 dilingkungan sekolah.pptx
byalyanurfadilah740
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning MTK Tindak Lanjut Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
Modul Ajar Deep Learning Prakarya Kerajinan Kelas 12 Kurikulum Merdeka
byModul Guruku
 
Modul Ajar Deep Learning Prakarya Budidaya Kelas 12 Kurikulum Merdeka
byModul Guruku
 
Konsep Dasar Penulisan Ilmiah dan Karya Ilmiah
byNur Baharia Marasabessy
 
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 3 - KBC
byvisipintarClass
 
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 6 - KBC
byvisipintarClass
 
Komponen Komponen dalam Proses Penelitian
byNur Baharia Marasabessy
 
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 9 - KBC
byvisipintarClass
 
Modul Ajar Deep Learning Bahasa Indonesia Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 2 - KBC
byvisipintarClass
 
Modul Ajar Deep Learning SBK Seni Musik Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
Rancangan Pengajaran Tahunan (RPT) Bahasa Melayu (BM) Tingkatan 1 2026
byNURULSYAHIRAHBINTIMD
 
Modul Ajar Deep Learning SBK Seni Teater Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 4 - KBC
byvisipintarClass
 
Peristiwa Isra' Mi'raj, dijelaskan mengenai latar belakang, dalil, pengertian...
bynailalmaghfiroh9
 
PROGRAM KOKURIKULER KELAS 3. Semester 1 dan 2
byyuninahikmawati96
 
Modul Ajar Deep Learning MTK Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
Modul Ajar Deep Learning Biologi Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
Modul Ajar Deep Learning Seni Musik Kelas 11 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
STANDAR PROSES 1 2026 dilingkungan sekolah.pptx
byalyanurfadilah740
 
Modul Ajar Deep Learning MTK Tindak Lanjut Kelas 12 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 

Cal2 1 matriks

  • 1.
  • 3.
    Pengertian Dasar Matriks Matrikadalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan. Contoh:           123 421 302 baris kolom Nama matriks: huruf besar cetak tebal,           = 123 421 302 A       = 203 142 B Contoh: Notasi: Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks. Kita akan melihat matriks berisi bilangan nyata.
  • 4.
    Pengertian Dasar Matriks ElemenMatriks Isi suatu matriks disebut elemen matriks Contoh:       = 203 142 B 2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenen matriks yang membentuk baris 2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom Ukuran Matriks Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari b×k elemen-elemen Ukuran matriks dinyatakan sebagai b×k Contoh:       = 203 142 B adalah matriks berukuran 2×3
  • 5.
              = 123 421 302 A b = k= 3 matriks bujur sangkar 3×3 Nama Khusus Pengertian Dasar Matriks Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar. Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom. Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris. Matriks dengan b ≠ k disebut matrik segi panjang Contoh:       = 203 142 B b = 2, k = 3 matriks segi panjang 2×3       = 4 2 p k = 1 vektor kolom [ ]423=q b = 1 vektor baris Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal
  • 6.
    Secara umum, matriksA dapat kita tuliskan sebagai [ ]bk mnmm n n a aaa aaa aaa =             =     21 22221 11211 A elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama Diagonal Utama Pengertian Dasar Matriks
  • 7.
    Matriks Segitiga Contoh: Pengertian DasarMatriks Matriks segitiga bawah :           −= 343 011 002 1T Matriks segitiga atas :           − = 300 310 122 2T Ada dua macam matriks segitiga yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
  • 8.
    Matriks Diagonal Pengertian DasarMatriks Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh:           = 000 010 002 D
  • 9.
    Matriks Satuan Pengertian DasarMatriks Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan. Contoh: IA =           = 100 010 001 Matriks Nol Matriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang berukuran m×n dengan semua elemennya bernilai nol.
  • 10.
    Anak matriks atausub-matriks       = 203 142 B [ ]142 [ ]203- Dua anak matriks 1× 3 , yaitu:       3 2       0 4       2 1 - Tiga anak matriks 2× 1, yaitu: - Enam anak matriks 1× 1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2]; - Enam anak matriks 1× 2 yaitu: [ ]42 [ ]12 [ ]14 [ ]03 [ ]23 [ ]20       03 42       23 12       20 14- Tiga anak matriks 2×2 yaitu: Pengertian Dasar Matriks Contoh: Matriks B memiliki:
  • 11.
    Matriks dapat dipandangsebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor           = 123 421 302 A           = 3 2 1 a a a Adapat kita pandang sebagai matriks dengan anak-anak matriks berupa vektor baris [ ]3021 =a [ ]4212 =a [ ]1233 =a dapat kita pandang sebagai matriks [ ]321 aaaA =           = 3 1 2 1a           = 2 2 0 2a           = 1 4 3 3a dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom Pengertian Dasar Matriks Contoh: Contoh yang lain:           = 123 421 302 A
  • 13.
    Kesamaan Matriks Dua matriksA dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. A = B       = 03 42 AJika       = 03 42 Bmaka haruslah . Operasi Matriks, Kesamaan, Matriks Nol, Matriks negatif Contoh:
  • 14.
    Matriks Negatif Negatif darimatriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1). . Operasi Matriks, Kesamaan, Matriks Nol, Matriks negatif Contoh:       = 03 42 A       − −− =− 03 42 A
  • 15.
    Penjumlahan Penjumlahan dua matrikshanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran m×n adalah sebuah matriks C berukuran m×n yang elemen- elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama ABBA +=+ ( ) ( )CBACBA ++=++       = 03 42 A       = 22 31 B Jika       =+ 25 73 BAmaka Sifat-sifat penjumlahan matriks: Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan Contoh:
  • 16.
    Pengurangan Matriks Pengurangan matriksdapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif A0A =+ 0AAAA =−+=− )(       = 03 42 A       = 22 31 B       − =      −− −− +      =− 21 11 22 31 03 42 BA Contoh: Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan
  • 17.
    Perkalian Matriks             = mnmm n n aaa aaa aaa     21 22221 11211 A               = pqmp q q aaa aaa aaa     21 22221 11211 B Jadi jikamatriks A berukuran m×n dan B berukuran p×q maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p. Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan BAAB ≠ Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran m×q dengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan. Perkalian matriks tidak komutatif.
  • 18.
    Perkalian Matriks denganBilangan Skalar Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang seluruh elemennya bernilai a kali. aA = Aa           =×           =           × 646 462 244 2 323 231 122 323 231 122 2 Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut ( ) BABA aaa +=+ ( ) AAA baba +=+ [ ] ( )AA abba = Operasi Matriks, Perkalian Matriks Contoh:
  • 19.
    Perkalian Internal Vektor(dot product) [ ]32=a       = 3 4 bvektor baris: vektor kolom: . Contoh: 2 kolom 2 baris Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris vektor b. Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan. [ ] [ ] [ ]173342 3 4 32 =×+×=      =•= bac Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, perkalian juga dapat dilakukan tetapi memberikan hasil yang berbeda [ ]       =      ×× ×× =      =•= 96 128 3323 3424 32 3 4 abd perkalian internal dapat dilakukan Perkalian matriks tidak komutatif. Operasi Matriks, Perkalian Matriks
  • 20.
    Perkalian Matriks DenganVektor       = 43 12 A       = 3 2 bMisalkan dan dapat dikalikan2 kolom 2 baris       =      ×+× ×+× =      • • =      == 18 7 3423 3122 2 1 2 1 ba ba b a a AbC Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukan karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris. Contoh: Operasi Matriks, Perkalian Matriks
  • 21.
    Perkalian Dua MatriksBujur Sangkar Operasi Matriks, Perkalian Matriks       = 43 12 A       = 35 24 Bdan Contoh: dapat dikalikan kolom = 2 baris = 2 Matriks A kita pandang sebagai       = 2 1 a a A Matriks B kita pandang sebagai [ ]21 bbB = [ ]       =      ×+××+× ×+××+× =       •• •• =      == 1832 713 34235443 31225142 2212 2111 21 2 1 baba baba bb a a ABC
  • 22.
    Perkalian dua matrikspersegi panjang Operasi Matriks, Perkalian Matriks       = 231 342 A           = 32 34 21 Bdan dapat dikalikankolom = 3 baris = 3       =       ×+×+××+×+× ×+×+××+×+× =                 == 1717 2525 323321224311 333422234412 32 34 21 231 342 ABC Contoh:
  • 23.
          = 2 1 a a A [ ]21bbB = [ ]       •• •• =      == 2212 2111 21 2 1 baba baba bb a a ABC Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah , sehingga . Operasi Matriks, Perkalian Matriks Dalam operasi perkalian matriks: matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom
  • 24.
    ( ) () ( )BAABBA aaa == ( ) ( )CABBCA = ( ) BCACCBA +=+ ( ) CBCABAC +=+ Sifat-sifat perkalian matriks b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠ BA a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0. c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku. Operasi Matriks, Perkalian Matriks
  • 26.
    Putaran Matriks Putaran Matriks(Transposisi) Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolom- kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT [ ]bk mnmm n n a aaa aaa aaa =             =     21 22221 11211 A [ ]pq mnnn m m a aaa aaa aaa =             =     21 22212 12111 T A Jika maka
  • 27.
    Putaran Vektor BarisDan Vektor Kolom Putaran Matriks Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris. [ ]           =⇒= 3 4 2 342 T aa [ ]345 3 4 5 T =⇒           = bb Contoh:
  • 28.
    Putaran Jumlah DuaVektor Baris Putaran Matriks Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor [ ] [ ]231dan342 == ba [ ]573=+ ba ( ) TTT 2 3 1 3 4 2 5 7 3 baba +=           +           =           =+ ( ) TTT baba +=+ Jika maka Secara umum : Contoh:
  • 29.
    Putaran Hasil KaliVektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran Matriks Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan dibalik [ ]           == 2 3 1 dan342 ba [ ]233412 ×+×+×=ab Jika maka Contoh: [ ] [ ] TTT 3 4 2 231233412 abab =           =×+×+×=
  • 30.
    Putaran Matriks Contoh: Jika []231dan 3 4 2 =           = ba maka           ××× ××× ××× = 233313 243414 223212 ab ( ) [ ] TTT 342 2 3 1 232422 333432 131412 abab =           =           ××× ××× ××× = Secara umum : ( ) TTT abab =
  • 31.
    Putaran Matriks Contoh: Putaran MatriksPersegi Panjang       = 231 342 A           = 23 34 12 T AJika maka           = ma a A  1 [ ]TT 1 T maaA = Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris maka [ ]maaaA 21= Jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom           = ma a A  1 T maka
  • 32.
    Putaran Matriks Putaran JumlahMatriks Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing- masing matriks. Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris. ( ) TTT BABA +=+ [ ]maaA 1= [ ]mbbB 1= [ ]mm babaBA ++=+ 11 Jika Dengan demikian dan maka ( ) ( ) ( ) TT T T 1 T T 1 TT T 1 T 1 T T 11 T BA b b a a ba ba ba ba BA +=             +             =             + + =             + + =+ mmmmmm 
  • 33.
    Putaran Hasil KaliMatriks Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom. ( ) TTT ABAB =           = ma a A  1 [ ]nbbB 1=           •• •• = nmnm n baba baba AB    111 Jika dan maka [ ] TT 1 1111 T ABaa b b baba baba AB =           =           •• •• = m nnmnm n     Dengan demikian maka Putaran Matriks
  • 34.
    Putaran Matriks Matriks Simetris Jika dikatakanbahwa matriks B adalah simetris miring. BB −=T Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila AA =T Karena dalam setiap putaran matriks nilai elemen-elemen diagonal utama tidak berubah, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen diagonal utamanya bernilai nol. Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata.
  • 36.
    Determinan Matriks Determinan Matriks JikaA adalah suatu matriks bujur sangkar, maka kita mengaitkan A dengan suatu bilangan yang dinyatakan oleh △= 𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 ⋮ 𝑎22 ⋮ 𝑎23 ⋮ ⋯ 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 𝑎 𝑛𝑛 𝑎 𝑛𝑛 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 Yang dinamakan determinan dari A dengan ukuran n, ditulis det(A). Untuk mendefinisikan nilai suatu determinan, kita harus mengenal beberapa konsep berikut: 1. Minor. Diberikan suatu unsur 𝑎𝑗𝑗 dari △. Suatu determinan berukuran (𝑛 − 1) yang diperoleh dengan menghilangkan semua unsure di baris ke j dan kolom ke k dinamakan minor dari 𝑎𝑗𝑗 .
  • 37.
    Determinan Matriks Contoh: Minor yangbersesuaian dengan unsur 5 dalam baris ke-2 kolom ke-3 dari determinan berukuran 4. 2 −1 𝟏 3 −𝟑 𝟐 𝟓 𝟎 1 4 0 −2 −𝟐 𝟑 2 1 adalah 2 −1 3 1 0 2 4 −2 1 Yang diperoleh dengan menghilangkan unsur-unsur yang berwarna gelap.
  • 38.
    Determinan Matriks 2. Kofaktor.Jika minor dari 𝑎𝑗𝑗 dikalikan dengan (−1) 𝑗+𝑘 , maka hasilnya dinamakan kofaktor dari 𝑎𝑗𝑗 dan dinyatakan dengan 𝐴𝑗𝑗 . Contoh: Kofaktor yang bersesuaian dengan unsure 5 dalam determinan pada contoh di atas adalah (−1)2+3 dikalikan minornya, atau −1 2 −1 3 1 0 2 4 −2 1 Nilai determinan didefinisikan sebagai jumlah dari hasil kali unsur- unsur pada suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian, dan ini dinamakan uraian Laplace. Dalam lambang ditulis: det 𝐴 = � 𝑎𝑗𝑗 𝐴𝑗𝑗 𝑛 𝑘=1
  • 39.
    Determinan Matriks Menghitung determinanberukuran 2 menggunakan uraian Laplace: 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 menggunakan unsur di baris pertama. Kofaktor yang berkaitan adalah 𝐴11 = (−1)1+1 𝑎22 = 𝑎22, 𝐴12 = (−1)1+2 𝑎21 = −𝑎21 Menurut uraian Laplace, determinannya bernilai 𝑎11 𝐴11 + 𝑎12 𝐴12 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21
  • 40.
    Determinan Matriks Contoh: Hitunglah uraianLaplace dari determinan 3 −2 2 1 2 −3 4 1 2 dengan menggunakan unsur baris pertama. Dengan menggunakan unsur baris pertama, uraiannya adalah 3 2 −3 1 2 — 2 1 −3 4 2 + 2 1 2 4 1 = 3 7 − −2 14 + 2 −7 = 35 Nilai determinan orde 3 juga dapat dihitung menggunakan cara di bawah ini: 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 = 𝑎1 𝑏2 𝑐3 + 𝑏1 𝑐2 𝑎3 + 𝑐1 𝑎2 𝑏3 − 𝑏1 𝑎2 𝑐3 + 𝑎1 𝑐2 𝑏3 + 𝑐1 𝑏2 𝑎3 Kemudian dengan mengambil jumlah hasil kali suku-suku yang ditunjukkan dengan anak panah bertanda + dan −.
  • 41.
    Determinan Matriks :Teorema TEOREMA-TEOREMA DETERMINAN 1. Nilai suatu determinan tetap sama jika baris dan kolomnya ditukar. Dalam lambang det 𝐴 = det (𝐴 𝑇 ) . 2. Jika A dan B dua matriks bujursangkar yang berukuran sama, maka det 𝐴𝐴 = det 𝐴 det (𝐵). 3. Jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktor dari baris atau kolom lainnya adalah nol. Dalam lambang ditulis: � 𝑎 𝑞𝑞 𝐴 𝑝𝑝 = 0 atau 𝑛 𝑘=1 � 𝑎 𝑘𝑘 𝐴 𝑘𝑘 = 0 jika 𝑝 ≠ 𝑞 𝑛 𝑘=1 Jika 𝑝 = 𝑞 , jumlahnya sama dengan det 𝐴 = � 𝑎𝑗𝑗 𝐴𝑗𝑗 𝑛 𝑘=1
  • 42.
    Determinan Matriks :Teorema 4. Misalkan 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 menyatakan vector baris atau vector kolom dari suatu matriks bujursangkar A yang berukuran n. Maka det (A) = 0 jika dan hanya jika ada konstanta (scalar) 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆 𝑛 yang tidak semua nol sehingga 𝜆1 𝑣1 + 𝜆2 𝑣2 + ⋯ + 𝜆 𝑛 𝑣 𝑛 = 𝑂 Di mana O adalah matriks baris nol. Jika syarat di atas dapat dipenuhi maka kita menyatakan bahwa vektor-vektor 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 bergantungan linear. Jika tidak demikian kita menyatakannya bebas linear. Suatu matriks A sehingga det (A) = 0 dinamakan matriks singular. Jika det (A) ≠ 0, maka A dinamakan matriks tak- singular.
  • 44.
    Invers Matriks Jika untuksuatu matriks bujursangkar A terdapat suatu matrik B sehingga AB = I, maka dinamakan invers dari A dan dinyatakan dengan 𝐴−1 . Dasarnya adalah rumus berikut ini: Jika A suatu matriks tak singular berukuran n (det (A) ≠ 0) maka terdapat tepat satu invers 𝐴−1 sehingga 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 dan kita dapat menyatakan 𝐴−1 dalam bentuk 𝐴−1 = (𝐴𝑗𝑗) 𝑇 det 𝐴 Di mana (𝐴 𝑗𝑗) adalah matriks dari kofaktor 𝐴𝑗𝑗 dan (𝐴𝑗𝑗) 𝑇 = (𝐴 𝑘𝑘) adalah transposenya. Bentuk berikut ini menyatakan sifat invers matriks: (𝐴𝐴)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 , (𝐴−1 )−1 = 𝐴 Contoh: Tentukanlah invers matriks 𝐴 = 3 −2 2 1 2 −3 4 1 2
  • 45.
    Invers Matriks MATRIKS TEGAKLURUS (ORTHOGONAL) Suatu matriks riil A dinamakan suatu matriks tegak lurus (orthogonal) jika trnsposenya sama dengan inversnya, yaitu jika 𝐴 𝑇 = 𝐴−1 atau 𝐴 𝑇 𝐴 = 𝐼.
  • 47.
    Nilai Eigen danVektor Eigen Misalkan 𝐴 = 𝑎𝑗𝑗 adalah suatu matirks 𝑛 × 𝑛 dan X suatu vektor kolom. Persamaan 𝐴𝐴 = 𝜆𝜆 Di mana suatu bilangan dapat ditulis sebagai 𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 ⋮ 𝑎22 ⋮ 𝑎23 ⋮ ⋯ 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 𝑎 𝑛𝑛 𝑎 𝑛𝑛 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 = 𝜆 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 Atau 𝑎11 − 𝜆 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 0 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 − 𝜆 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 0 … … … … … … … … … … … … … … … … … 𝑎 𝑛𝑛 𝑥1 + 𝑎 𝑛𝑛 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛 − 𝜆 𝑥 𝑛 = 0
  • 48.
    Nilai Eigen danVektor Eigen Akan memiliki penyelesaian tak-trivial jika dan hanya jika 𝑎11 − 𝜆 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 − 𝜆 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 ⋯ ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 − 𝜆 = 0 Yang merupakan suatu persamaan suku banyak berderajat n dalam 𝜆. Akar dari persamaan suku banyak ini dinamakan nilai eigen atau nilai karakteristik (nilai ciri) dari matriks A. Bersesuaian dengan setiap nilai eigen aka nada penyelesaian 𝑋 ≠ 0 yang merupakan suatu penyelesaian tak-trivial, yang dinamakan suatu vektor eigen atau vektor karakteristik dari nilai eigennya. Persamaan juga dapat ditulis det 𝐴 − 𝜆𝜆 = 0 Dan persamaan dalam 𝜆 ini seringkali dinamakan persamaan karakteristik.
  • 49.
    Nilai Eigen danVektor Eigen TEOREMA PADA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Reduksi suatu matriks ke bentuk diagonal. Jika suatu matriks tak singular A mempunyai nilai eigen yang berbeda-beda 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, … … dengan vektor eigen yang berkaitan ditulis sebagai kolom dari matriks 𝐵 = 𝑏11 𝑏12 𝑏13 ⋯ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Maka 𝐵−1 𝐴𝐴 = 𝜆1 0 0 ⋯ 0 𝜆2 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 𝜆3 ⋯ ⋯ ⋯ Yaitu 𝐵−1 𝐴𝐴 dinamakan transformasi dari A oleh B, yang merupakan matriks diagonal yang memuat nilai eigen dari A dalam diagonal utamanya dan unsur lainnya nol. Kita mengatakan bahwa A telah ditransformasikan atau di direksikan ke bentuk diagonal.
  • 50.
    Nilai Eigen danVektor Eigen TEOREMA PADA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Contoh: Transformasikan matriks ke dalam bentuk diagonal 𝐵 = 2 1 −1 1 1 1 3 2 1
  • 51.
    Nilai Eigen danVektor Eigen TEOREMA PADA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Reduksi bentuk kuadrat ke bentuk kanonik. Misalkan A suatu matriks riil setangkup, sebagai contoh 𝐴 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎12 = 𝑎21, 𝑎13 = 𝑎31, 𝑎23 = 𝑎32 Jika 𝑋 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 , maka kita memperoleh bentuk kuadrat 𝑋 𝑇 𝐴𝐴 = 𝑎11 𝑥1 2 + 𝑎22 𝑥2 2 + 𝑎33 2 𝑥3 2 + 2𝑎12 𝑥1 𝑥2 + 2𝑎13 𝑥1 𝑥3 + 2𝑎23 𝑥2 𝑥3 Suku-suku hasil kali silang dari bentuk kuadrat ini dapat dihilangkan dengan memisalkan 𝑋 = 𝐵𝐵 di mana U suatu vector kolom dengan unsure-unsur 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 dan B suatu matriks orthogonal yang membuat diagonal matriks A. bentuk kuadrat baru dalam 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 tanpa suku- suku hasil kali silang dinamakan bentuk kanonik.
  • 52.