Dokumen tersebut membahas tentang definisi matrik, bentuk-bentuk matrik seperti matrik bujur sangkar, matrik diagonal, matrik segitiga, dan operasi-operasi pada matrik seperti penjumlahan, perkalian, dan pemangkatan matrik.

1. Definisi Matrik :
susunan bilangan berbentuk segi empat atau bujur
sangkar yang diatur dalam baris dan kolom,
ditulis antara dua kurung, yaitu ( ) atau [ ]
Matrik dan operasi-operasinya

Jumlah baris : m
 Jumlah kolom : n
 Ukuran/ordo : m x n
 Elemen diagonal : a11, a22,….. ann

2. Suatu bagan transportasi yang menghubungkan 3
kota digambarkan sebagai berikut :
1
2 3
Kita buat tabel :
Kota 1 Kota 2 Kota 3
Dari kota 1 dapat pergi ke kota 1 1 0
Dari kota 2 dapat pergi ke kota 1 1 1
Dari kota 3 dapat pergi ke kota 0 0 1

3. Angka 1 dari tabel menyatakan bahwa kota pada baris
dapat pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat
ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen
aij = 1 ketika dapat pergi dari kota i ke kota j dan lainnya
nol.
Perhatikan : selalu dapat pergi dari kota i ke kota i
Dengan demikian aii = 1 untuk i = 1, 2, 3
1 1 0
A 1 1 1
0 0 1
 
 ÷
= ÷
 ÷
 

4. Kesamaan Matrik
Matrik A dan Matrik B dikatakan sama jika :
Ordonya sama
Elemen yang seletak sama
A = (aij )
A = B jika aij = bijuntuk i = 1,2,……..m
dan j = 1,2, …….n
B = (bij )

5. Contoh :
1)
Matrik A = B jika a = 2, b = 0, c = 5 dan d = 3.
Matrik A dan B tidak akan sama dengan matrik C
sebab ordo A dan B adalah 2 x 2, sedangkan ordo
C adalah 2 x 3.
2)
R C karena R berordo 1 x 3 dan C : 3 x 1
a b 2 0 2 0 x
A B C
c d 5 3 5 3 y
     
= = =     
     
≠
[ ]
1
R 1 4 3 C 4
3
 
 = = 
  

6. Bentuk-bentuk Matrik
a.Matrik Bujur sangkar : jumlah baris = jumlah
kolom (Ann n x n)
Contoh :

7. b. Matrik Diagonal :
matrik bujur sangkar yang elemen diagonal
utamanya tidak semua nol (tidak
disyaratkan elemen diagonal harus
tidak nol), sedangkan elemen yang
lain nol.
Contoh :

8. c. Matrik Segitiga
 Matrik segitiga atas :
matrik bujur sangkar yang setiap elemen di bawah
diagonal utama bernilai 0
 Matrik segitiga bawah :
matrik bujur sangkar yang setiap elemen di atas
diagonal utama bernilai 0
Catatan : tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal
harus bernilai tak nol

9. Contoh :
Matrik A adalah matrik segitiga atas,
matrik B adalah matrik segitiga bawah,
sedangkan matrik C merupakan matrik segitiga
atas dan juga matrik segitiga bawah

10. Ada tiga hal yang perlu diketahui tentang matrik
segitiga :
1. Transpose dari matrik segitiga atas akan
menghasilkan matrik segitiga bawah, demikian pula
sebaliknya.
Contoh :
T
1 0 0
A 4 2 0 (segitiga bawah)
5 3 4
1 4 5
A 0 2 3 (segitiga atas)
0 0 4
 
 =  
  
 
 =  
  

11. 2. Hasil kali antara matrik segitiga atas akan
menghasilkan matrik segitiga atas, demikian juga
sebaliknya.
1 2 1 2 1 3
A 0 3 2 (segitiga atas) B 0 4 2 (segitiga atas)
0 0 1 0 0 1
1 2 1 2 1 3 2 9 8
maka A B 0 3 2 0 4 2 0 12 8
0 0 1 0 0 1 0 0
x x
   
   = =   
      
   
   = =   
       1
 
 
 
  

12. 3. Matrik segitiga mempunyai invers jika dan hanya
jika elemen pada diagonal utamanya tidak
memuat angka nol (0).
Contoh :
Matrik A di atas tidak mempunyai invers, karena
salah satu elemen pada diagonalnya bernilai nol
(0)
1 2 1
A 0 1 3
0 0 0
 
 =  
  

13. d. Matrik Nol : matrik dengan semua elemennya nol
(0)
e. Matrik satuan/identitas :
matrik bujur sangkar yang elemen diagonal
utamanya bernilai satu, sedangkan elemen yang
lain bernilai nol.
Contoh :
2 3
1 0 0
1 0
I I 0 1 0
0 1
0 0 1
 
   = =   
    

14. Sifat matrik identitas dan matrik nol
Jika A adalah matrik berukuran n x n, maka :
I . A = A . I = A
A + 0 = 0 + A = A
A . 0 = 0 . A = 0

15. f. Matrik singular : matrik bujur sangkar yang
tidak mempunyai invers
(determinannya = 0)
g. Matrik non singular : matrik bujur sangkar yang
mempunyai invers
(determinannya 0)≠

16. 2
2
2 -2 -4
A -1 3 4 Tentukan A !
1 -2 -3
2 -2 -4 2 -2 -4 2 -2 -4
A A.A -1 3 4 -1 3 4 -1 3 4 A
1 -2 -3 1 -2 -3 1 -2 -3
 
 =  
  
     
     = = = =     
          
h. Matrik Pangkat : Ar
As
= Ar + s
; (Ar
)s
= Ars
 Matrik Idempotent : matrik bujur
sangkar yang berlaku A2
= A atau An
=
A, dengan n = 2, 3, 4 …..
Contoh :
Jawab :

17.  Matrik Nilpotent :
matrik bujur sangkar yang berlaku A3
= 0 atau
An
= 0, dengan n = 3, 4 …..
Contoh :
3
1 1 3
A 5 2 6
-2 -1 -3
1 1 3 1 1 3 1 1 3 0 0 0
A A.A.A 5 2 6 5 2 6 5 2 6 0 0 0
-2 -1 -3 -2 -1 -3 -2 -1 -3 0 0 0
 
 =  
  
      
      = = =      
            
0

 =


18. 2 31 1
A Hitung A dan A
1 1
 
= 
 
2
3 2
1 1 1 1 2 2
A
1 1 1 1 2 2
2 2 1 1 4 4
A A A
2 2 1 1 4 4
    
= =    
    
    
= = =    
    
Jawab :
Contoh beberapa kasus pemangkatan matrik
1).

19. Untuk n = 1
1-1 1-1 0 0
1
1-1 1-1 0 0
2 2 2 2 1 1
A A
1 12 2 2 2
     
= = = =     
    
n-1 n-1
n
n-1 n-1
2 2
A untuk n 1
2 2
 
= ≥ 
 
Disimpulkan :

20. 2) 2 3 40 -1
B Tentukan: B , B dan B !
1 0
 
= 
 
2
3 2
4 3
0 -1 0 -1 -1 0
B
1 0 1 0 0 -1
-1 0 0 -1 0 1
B B B
0 -1 1 0 -1 0
0 1 0 -1 0 1
B B B
-1 0 1 0 1 0
     
= =     
     
    
= = =    
    
    
= = =    
    
Jawab :

21. Jadi B5
= B.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
pemangkatan B hingga Bn
merupakan
pengulangan dari B4
B B2
B3
B4
B5
= B
0 -1 -1 0 0 1 0 1 0 -1
, , , , ..............
1 0 0 -1 -1 0 1 0 1 0
         
         
         

22. i. Transpose matrik
Transpose matrik A (dinotasikan AT
) , adalah
diubahnya baris menjadi kolom dan kolom menjadi
baris dari matrik A. Notasi matematik transpose
matrik ditulis sebagai berikut : (AT
)ij = (A)ji
[ ]
1 1
2 2 1 1 2 2
1
T
1 2 2
T
ij ji
Jika diketahui matrik U dan V berikut ini :
U V , maka UV .....
U V
(A) A
n n
n n
n
n
u v
u v u v u v u v
u v
v
u u u v
v
   
   = = = + +   
      
 
 = = 
  
= untuk semua i dan j

23. Sifat-sifat dari transpose suatu matrik :
T T
T T T
T T
T T T
1). (A ) A
2). (A B) A ± B
3). (kA) kA , dengan k adalah skalar
4). (AB) B A
=
± =
=
=

24. Pembuktian sifat matrik transpose :
Pembuktian sifat 1 :
T T
Jika diketahui matrik A dan B berikut ini :
2 3 3 1
A dan B
1 4 4 2
Maka :
2 1 3 4
A B
3 4 1 2
   
= =   
   
   
= =   
   
T
T T 2 1 2 3
(A ) A
3 4 1 4
   
= = =   
   

25. Pembuktian sifat 2 :
Pembuktian sifat 3 :
T
T T
T T T
2 3 3 1 5 4 5 5
A B , maka (A B)
1 4 4 2 5 6 4 6
2 1 3 4 5 5
A B
3 4 1 2 4 6
(A B) A B terbukti
       
+ = + = + =       
       
     
+ = + =     
     
+ = + →
T
T
T T
2 3 10 15 10 5
5A 5 , maka (5A)
1 4 5 20 15 20
2 1 10 5
5A 5
3 4 15 20
(5A) 5A terbukti
     
= = =     
     
   
= =   
   
= →

26. Pembuktian sifat 4 :
T
T T
2 3 3 1 6 12 2 6 18 8
A.B .
1 4 4 2 3 16 1 8 19 9
maka:
18 19
(A.B)
8 9
3 4 2 1 6 12 3 16
B .A .
1 2 3 4 2 6 1
+ +       
= = =       + +       
 
=  
 
+ +   
= =    + +   
T T T
18 19
8 8 9
(A.B) B A terbukti
   
=   
   
= →

27. Contoh Soal :
1) Tentukan AT
, BT
dan CT
dari matrik :
Jawab :
[ ]
1 3 2 a b
A B C 5 -1 2
5 0 1 c d
   
= = =   
   
T T T
1 5 5
a c
A 3 0 B C -1
b d
2 1 2
   
    = = =    
       

28. 2) Tentukan AT
, BT
dan CT
dari matrik :
Jawab :
[ ]
3 -2
1
A 1 4 B C 0 -1 2
-2
5 -3
 
  = = =  
   
[ ]T T T
0
3 1 5
A B 1 -2 C -1
-2 4 -3
2
 
   = = =   
    

29. j. Matrik simetri :
Sebuah matrik bujur sangkar dikatakan simetri
jika A = AT
.
Jika suatu matrik :
A = AT
Ditranspose menjadi :
Maka matrik A dikatakan simetri, karena
elemen yang terdapat pada A sama dengan
pada AT
1 4 8
A 4 7 3
8 3 2
 
 =  
  
T
1 4 8
A 4 7 3
8 3 2
 
 =  
  

30. Beberapa hal penting mengenai matrik
simetri :
1. Jika A simetri, maka AT
juga simetri
2. Jika A dan B simetri, maka A+B atau A-B juga
simetri
3. Jika a simetri yang mempunyai invers, maka
A-I
adalah simetri
4. Jika A memiliki invers, maka A.AT
danAT
.A
memiliki invers pula.

31. Contoh Soal :
Apakah matrik A dan B berikut ini merupakan
matrik simetri ?
Jawab :
A merupakan matrik simetri karena AT
= A
B bukan matrik simetri karena ≠ B
1 3 2
1 2
A 3 5 0 B
-1 3
2 0 4
 
  = =  
   
T 1 -1
B
2 3
 
=  
 

32. k. Matrik Partisi :
sebuah matrik dapat dibagi menjadi bagian yang
lebih kecil dengan garis pemisah/partisi
mendatar dan vertikal.
1 0 0 2 -1
0 1 0 1 3
A 0 0 1 4 0
0 0 0 1 7
0 0 0 7 2
 
 
 
 =
 
 
  
1 0 0 2 -1
0 1 0 1 3
0 0 1 4 0
0 0 0 1 7
0 0 0 7 2
 
 
 
 
 
 
  

33. I adalah matrik identitas 3 x 3,
B adalah matrik 3 x 2
O adalah matrik nol 2 x 3
C adalah matrik 2 x 2
Dengan cara partisi tersebut, kita dapat lihat bahwa
matrik A adalah sebagai matrik 2 x 2
I B
O C
 
=  
 

34. Jika terdapat matrik A berukuran m x n dan
matrik B berukuran n x r, maka untuk
mendapatkan hasil perkaliannya (AB) kita dapat
membuat matrik partisi.
1. Kita partisi matrik B dalam bentuk vektor kolom
maka :
Bentuk akhir disebut perkalian matrik-kolom.
[ ] [ ]1 2 r 1 2 rAB A b b .... b Ab Ab .... Ab= =
[ ]1 2 rB b b .... b=

35. 2. Kita partisi matrik A dalam bentuk vektor baris
Bentuk akhir disebut perkalian matrik-baris
1
2
m
A
A
A
A
 
 
 =
 
 
  
1 1
2 2
m m
A A B
A A B
AB B
A A B
   
   
   = =
   
   
      

36. 3. Kita partisi matrik A dalam bentuk vektor baris dan
matrik B dalam bentuk vektor kolom. Bentuk akhir
disebut perkalian baris-kolom. Demikian pula
dapat dilakukan partisi sebaliknya (kolom-baris),
disebut perkalian kolom-baris.
[ ]
1
2
1 2 n
n
B
B
A a a .... a dan B
B
 
 
 = =
 
 
  

37. i ia B
1 1 2 2 n na B a B ..... a B+ + +
[ ]
1
2
1 2 n
n
1 1 2 2 n n
B
B
AB a a .... a
B
a B a B ..... a B
 
 
 =
 
 
  
= + + +
disebut perkalian bagian luar
disebut : ekspansi
perkalian bagian luar

38. Contoh soal :
Hitung ekspansi perkalian bagian luar AB jika
diketahui :
Jawab :
4 -1
1 3 2
A dan B 1 2
0 -1 1
3 0
 
   = =   
    
[ ]
1
1 2 3 2
3
B 4 -1
1 3 2
A a a a dan B B 1 2
0 -1 1
3 0B
   
     = = = =     
       

39. Perkalian bagian luar adalah :
[ ] [ ]
[ ]
1 1 2 2
3 3
1 4 -1 3 3 6
a B 4 -1 , a B 1 2
0 0 0 -1 -1 -2
2 6 0
dan a B 3 0
1 3 0
       
= = = =       
       
   
= =   
   
1 1 2 2 3 3
4 -1 3 6 6 0 13 5
a B a B a B AB
0 0 -1 -2 3 0 2 -2
       
+ + = + + = =       
       
Jadi ekspansi perkalian bagian luar AB :

40. Jika matrik A dipartisi menjadi beberapa submatrik,
maka bagian tersebut dinamakan blok.
Sehingga kita mempunyai struktur blok sebagai berikut:
1 0 0 2 -1 4 3 1 2 1
0 1 0 1 3 -1 2 2 1 1
A 0 0 1 4 0 dan B 1 -5 3 3 1
0 0 0 1 7 1 0 0 0 2
0 0 0 7 2 0 1 0
 
 
 
 = =
 
 
   0 3
 
 
 
 
 
 
  
11 12 1311 12
21 22 11 12 13
B B BA A
A dan B
A A B B B
  
= =   
   

41. l. Matrik dalam bentuk eselon baris dan eselon
baris tereduksi .
Matrik memiliki bentuk eselon baris tereduksi harus
memenuhi kriteria :
1. Dalam suatu baris yang semua elemennya bukan nol
(0), angka pertama pada baris tersebut haruslah 1
( disebut leading 1)
2. Jika suatu baris yang elemennya nol semua, maka
baris tersebut diletakkan pada baris paling bawah.

42. 3. Untuk sembarang dua baris yang berurutan,
leading 1 dari baris yang lebih bawah harus
berada disebelah kanan leading 1 baris di
atasnya.
4. Kolom yang memiliki leading 1 harus angka
nol untuk semua elemen pada kolom tersebut.

43. Contoh :
Syarat 1 : baris pertama disebut leading 1
Syarat 2 : baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
1 4 -2 5
0 -5 2 7
0 0 -3 9
0 0 -8 8
 
 
 
 
 
 
1 4 -2 5
0 -5 2 7
0 0 -3 9
0 0 0 0
 
 
 
 
 
 

44. Syarat 3 : baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
Syarat 4 : matrik di bawah ini memenuhi syarat ke 4
disebut eselon baris
1 4 -2 5
0 1 2 7
0 0 -3 9
0 0 0 0
 
 
 
 
 
 
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 2 5
0 0 1 0 0 0 3 0
0 0 0 1 0 0 0 6
   
   
   
   
   
   

45. Contoh matrik eselon baris tereduksi :

47. Matrik yang memenuhi kriteria 1 – 3 saja disebut :
matrik eselon baris
Contoh matrik eselon baris :

48. Operasi Aljabar Matrik

49. ,
Contoh Soal :
1)
Tentukan A+B, A+C dan B+C !
Sedangkan A+C dan B+C tidak dapat dikerjakan
karena ordo kedua matrik tidak sama

50. 1 4 0 -3 1 -1 4 3
A B C
-2 6 5 3 0 2 2 1
     
= = =     
     
2)
Tentukan A + B, A + C dan B + C
A + C dan B + C tidak dapat dijumlahkan karena
ordo-ordonya berbeda
-2 5 -1
A B
1 6 7
 
+ = 
 

51. Bagaimana dengan A – B ?
Perlu diingat bahwa :
A – B = A + (– B )
A + 0 = A = 0 + A
A – A = 0 = – A + A
4 3 1
A B
-5 6 3
 
− = 
 

52. b. Perkalian matrik dengan matrik
Operasi perkalian matrik dapat dilakukan pada dua
buah matrik (A dan B) jika jumlah kolom matrik
A = jumlah baris matrik B.
Aturan Perkalian
Jika Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dengan elemen-
elemen dari C(cij) merupakan penjumlahan dari
perkalian elemen-elemen A baris i dengan
elemen-elemen B kolom j.

53. Contoh Soal
1)
-4 0 3 -1
1 3 -1
A B 5 -2 -1 1 Tentukan AB
-2 -1 1
-1 2 0 6
 
   = =   
    
Notasi perkalian matrik dengan matrik :

54. Jawab :
c11=1(-4) + 3( 5) + (-1)(-1) = 12
c12=1( 0) + 3(-2) + (-1)( 2) = - 8
c13=1( 3) + 3(-1) + (-1)( 0) = 0
c14=1(-1) + 3( 1) + (-1)( 6) = - 4
c21=(-2)(-4) + (-1)( 5) + (1)(-1) = 2
c22=(-2)( 0) + (-1)(-2) + (1)( 2) = 4
c23=(-2)( 3) + (-1)(-1) + (1)( 0) = - 5
c24=(-2)(-1) + (-1)( 1) + (1)( 6) = 7
12 -8 0 -4
C AB
2 4 -5 7
 
= = 
 

55. 2)
Sedangkan B X A tidak dapat dikerjakan,
karena jumlah kolom matrik B tidak sama
dengan jumlah baris matrik A
Jawab:

56. 3)
Jawab :
Kesimpulan : AB ≠ BA
2 4 1 0
A B Tentukan AB dan BA
-1 -2 1 1
   
= =   
   
2 4 1 0 6 4
AB
-1 -2 1 1 -3 -2
1 0 2 4 2 4
BA
1 1 -1 -2 1 2
    
= =    
    
    
= =    
    

57. 4) Tuti dan Rina berencana berbelanja buah-buahan.
Mereka ingin membeli apel, anggur dan jeruk
dengan jumlah yang berlainan seperti tercantum
dalam tabel 1.
Ada dua toko buah yang saling berdekatan yaitu Tip
top dan Rezeki dengan harga jual masing-masing
diberikan pada tabel 2.
Berapakah uang yang harus disiapkan Tuti dan Rina
untuk berbelanja di kedua toko buah tersebut?

58. Tabel 1. Kebutuhan (dalam Kg)
Apel Anggur Jeruk
Tuti 6 3 10
Rina 4 8 5
Tabel 2. Daftar harga (dalam ribuan)
Tip top Rezeki
Apel 10 15
Anggur 40 30
Jeruk 10 20

59. Jawab :
Kita buat dua matrik yaitu matrik D untuk kebutuhan
dan matrik P untuk harga.
Dengan menghitung perkalian matrik D dan matrik
P, maka dapat menjawab jumlah uang yang harus
disiapkan Tuti dan Rina (tabel 3).
10 15
6 3 10
D P 40 30
4 8 5
10 20
 
   = =   
    

60. Tabel 3. Jumlah uang yang disiapkan (dalam
ribuan)
Tip top Rezeki
Tuti 280 380
Rina 410 400
10 15
6 3 10 280 380
DP 40 30
4 8 5 410 400
10 20
 
    = =    
     

61. Contoh :
Contoh soal:
1) Tentukan : 2A, (- 1A) dan ½ A1 4 0
A
-2 6 5
 
=  
 
1
2
5
2
2 8 0 -1 -4 0
2A ( 1A)
-4 12 10 2 -6 -5
2 01
A
2 -1 3
   
= − =   
   
 
=  
 
Jawab :
c. Perkalian matrik dengan skalar
Suatu matrik dapat dikalikan suatu skalar k dengan
aturan tiap-tiap elemen pada A dikalikan dengan k

62. 2) 4 -3 2 -1
1A 2 0 6 5 Tentukan 3A, A
2
1 3 4 -2
 
 = − 
  
Jawab :
12 -9 6 -3
3A 6 0 18 15
3 9 12 -6
 
 = 
  
3 1
2 2
-5
2
-31
2 2
-2 -1
1 A -1 0 -3
2
- -2 1
 
 
− = 
 
 

63. Sifat-sifat operasi Matrik :
* A B B A komutatif
* A (B C) (A B) C asosiatif
* k(A B) kA kB k sembarang bilangan
* A(B C) AB AC distributif
* (A B)C AC BC
+ = + ⇒
+ + = + + ⇒
+ = + ⇒ =
+ = + ⇒
+ = + distributif
* A(BC) (AB)C asosiatif
Pada umumnya :
AB BA
AB 0 tidak berakibat A 0 atau B 0
AB AC tidak berakibat B C
⇒
= ⇒
≠
= = =
= =

64. Latihan :

65. 3.
4.

66. 5.
6.

67. 7
8
9
10