Downloaded 278 times
Uploaded byNeneng Khairani
Aplikasi matriks
Dokumen ini adalah makalah seminar oleh Neneng Khairani tentang menentukan persamaan garis dan lingkaran menggunakan determinan matriks. Penelitian ini memperlihatkan bagaimana metode determinan matriks efektif untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan tiga variabel atau lebih. Makalah ini juga menjelaskan aplikasinya dalam matematika serta memberikan contoh persamaan garis dan lingkaran yang melalui titik-titik tertentu.
More Related Content
Aplikasi matriks
- 1. 1 SEMINAR MATEMATIKA MENENTUKAN PERSAMAANGARIS MENGGUNAKAN DETERMINAN MATRIKS DAN APLIKASINYA PADA PERSAMAAN LINGKARAN Oleh: Nama : Neneng Khairani NIM : 06101008013 Program Studi : Pendidikan Matematika Dosen Pembimbing : Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SRIWIJAYA 2013
- 2. 2 MENENTUKAN PERSAMAAN GARISMENGGUNAKAN DETERMINAN MATRIKS DAN APLIKASINYA PADA PERSAMAAN LINGKARAN Oleh: Nama : Neneng Khairani NIM : 06101008013 Program Studi : Pendidikan Matematika Telah disetujui untuk diseminarkan pada akhir semester genap 2012/2013 Mengetahui Indralaya, Maret 2013 Koordinator Seminar Dosen Pembimbing, Dra. Nyimas Aisyah, M.Pd. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si. NIP. 196411101991022001 NIP. 196908141993022001
- 3. 3 MENENTUKAN PERSAMAAN GARISMENGGUNAKAN DETERMINAN MATRIKS DAN APLIKASINYA PADA PERSAMAAN LINGKARAN Neneng Khairani Mahasiswi Program Studi Pendidikan Matematika Abstrak Determinan matriks A didefinisikan sebagai jumlahan hasil kali bertanda elemen-elemen dari matriks A yang dibentuk dari elemen- elemen pada baris-baris yang berbeda dan kolom-kolom yang berbeda. Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Bentuk umum persamaan garis lurus dapat dinyatakan sebagai . Lingkaran ialah himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jaraknya dari suatu titik tertentu sama panjang. Makalah ini berisi penjelasan mengenai cara menentukan persamaan garis dan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik dengan menggunakan determinan matriks. Tujuan makalah ini adalah untuk memberi informasi mengenai cara penyelesaian sistem persamaan linear yang melibatkan tiga variabel atau lebih dengan menggunakan determinan matriks. Kata Kunci : Determinan Matriks, Persamaan Garis, Persamaan Lingkaran 1. Pendahuluan Persamaan garis adalah materi yang sering keluar di soal ujian nasional atau seleksi masuk PTN setiap tahunnya. Materi ini juga dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa soal bentuk lain. Persamaan garis ini disajikan dalam bentuk sistem persamaan linear. Banyak persoalan dalam matematika murni maupun terapan yang disajikan dalam sistem persamaan linear. Misalnya, penerapan Hukum Kirchhoff dalam rangkaian listrik biasanya akan menghasilkan sistem persamaan linear dengan variabel arus listrik. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua variabel biasanya digunakan metode substitusi atau eliminasi. ( Tim LBB UGAMA : 2009)
- 4. 4 Begitu pula denganpersamaan lingkaran, untuk menyelesaikan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik biasanya digunakan metode substitusi atau eliminasi. Akan tetapi, untuk sistem persamaan linear yang melibatkan tiga variabel atau lebih, metode ini ternyata tidak efisien. Oleh karena itu diperlukan suatu metode khusus untuk dapat menyelesaikan sistem persamaan linear yang melibatkan tiga varibel atau lebih, yaitu dengan mengaplikasikan determinan matriks. 2. Materi Pendukung a. Persamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Bentuk umum persamaan garis lurus dapat dinyatakan dalam dua bentuk berikut ini. 1. Bentuk Eksplisit Bentuk umum persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai , dengan x dan y variabel atau peubah, m dan c konstanta. Bentuk persamaan tersebut dinamakan bentuk eksplisit. Dalam hal ini m sering dinamakan koefisien arah atau gradien dari garis lurus. 2. Bentuk Implisit Bentuk umum yang lain untuk persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai , dengan x dan y peubah serta A, B, dan C konstanta. Bentuk tersebut dinamakan bentuk implisit. Gradien garis lurus yang melalui titik dan adalah atau Jika dua garis sejajar maka kedua garis tersebut mempunyai gradien yang sama, sedangkan jika dua garis saling tegak lurus maka hasil kali gradiennya adalah -1 Persamaan garis lurus yang melalui dua titik dan adalah (Dhohuri, Atmini dan Markaban: 2011)
- 5. 5 b. Persamaan Lingkaran Lingkaranialah tempat kedudukan titik-titik (pada bidang datar) yang jaraknya dari suatu titik tertentu sama panjang. Selanjutnya titik tertentu itu dinamakan titik pusat lingkaran dan jarak yang sama tersebut dinamakan jari-jari lingkaran. Dalam bidang kartesius, tiap titik dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut (x,y), sehingga himpunan titik-titik yang terletak pada lingkaran tertentu memenuhi persamaan tertentu yang disebut persamaan lingkaran. 1. Persamaan Lingkaran yang Pusatnya (0,0) dan Jari-jari r Gambar 1. Lingkaran P(0,0) jari-jari r Misalkan A(x,y) terletak pada lingkaran denga pusat O(0,0) dan jari-jari r seperti terlihat pada gambar, maka 222 22 22 00 yxr yxr yxOA Jadi persamaan lingkaran yang berpusatu di (0,0) dan jari-jari r memiliki persamaan 222 ryx (Rawuh, dkk : 1958)
- 6. 6 2. Persamaan Lingkarandengan Pusat A(a,b) dan Jari-jari r Gambar 2. Lingkaran P(a,b) Jari-jari r Bila pusat lingkaran L tidak berimpit dengan titik pangkal O(0,0), tapi di titik A(a,b), maka untuk setiap titik P(x,y) yang terletak pada lingkaran L berdasarkan formula jarak antara dua titik diperoleh : 222 22 ),( ),( ),( rbyaxyxPL rAPyxPL rAPyxPL Persamaan 222 rbyax ini merupakan persamaan lingkaran yang titik pusatnya (a,b) dan jari-jarinya r 3. Persamaan Umum Lingkaran Persamaan lingkaran dengan titik pusat (a,b) dan jari-jari r adalah 222 rbyax Persamaan tersebut dapat juga diuraikan ke bentuk lain, yaitu: 022 22 22222 22222 222 rbabyaxyx rbbyyaaxx rbyax Bila CrbabBAa 222 ;2;2 ,
- 7. 7 maka persamaan 022 22222 rbabyaxyx dapatditulis sebagai : 0 22 CByAxyx yang merupakan persamaan umum lingkaran Perhatikan : A= -2a diperoleh 2 A a , B = -2b diperoleh 2 B b C BA r Cbar rbaC 22 222 222 22 (Sukino: 2007) c. Jenis Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Suatu SPL mungkin memiliki tepat satu penyelesaian, tidak memiliki penyelesaian, atau memiliki banyak (tak hingga) penyelesaian. SPL yang tidak memiliki penyelesaian disebut inconsistent. Contoh SPL yang memiliki tepat satu penyelesaian: 0563 1342 92 321 321 321 xxx xxx xxx Contoh SPL yang tidak memiliki penyelesaian: 5161112 2273 142 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx Contoh SPL yang memiliki banyak penyelesaian: 132 0625 321 321 xxx xxx
- 8. 8 SPL Homogen Bentuk umumSPL homogen dengan m persamaan dan n variabel adalah: 0... . . . 0... 0... 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa Jenis Penyelesaian SPL Homogen Ada dua kemungkinan jenis penyelesaian SPL homogen, yaitu penyelesaian trivial dan penyelesaian non-trivial. Tak ada satu pun SPL homogen yang inconsistent, karena minimal memiliki penyelesaian trivial. Contoh SPL homogen yang mempunyai penyelesaian trivial: 0 02 032 32 21 321 xx xx xxx Contoh SPL homogen yang mempunyai penyelesaian non-trivial: 05 03 4321 4321 xxxx xxxx d. Determinan Matriks Setiap matriks bujur sangkar A selalu mempunyai suatu besaran skalar yang disebut determinan. Sebaliknya, setiap matriks yang tidak bujur sangkar tidak mempunyai determinan. Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan nilai elemen-elemennya, menurut rumus tertentu yang ditulis dengan simbol det (A) atau . Jika nilai determinan itu nol, matriks bujur sangkar tersebut singular, artinya tidak memiliki invers. Jika nilai determinan suatu matriks tidak nol, berarti matriks A tersebut nonsingular, yaitu matriks tersebut mempunyai invers.
- 9. 9 1. Determinan MatriksOrdo 2 x 2 Misalkan diketahui matriks Determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut : 2. Determinan Matriks Ordo 3 x 3 Misalkan diketahui matriks Untuk mencari determinan dari matriks berordo 3 x 3, digunakan metode Sarrus yang langkah-langkahnya sebagai berikut : 1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua kemudian tempatkan di sebelah kanan tanda determinan. 2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama, dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama. Nyatakan jumlah hasil kali tersebut A(+). 3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder, dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder. Nyatakan jumlah hasil kali tersebut A(-). Determinan matriks A adalah selisih antara A(+) dan A(-), yaitu :
- 10. 10 3. Minor danKofaktor Didefinisikan bahwa minor dari matriks adalah det dan kofaktornya adalah . Disini adalah matriks A dengan elemen-elemen baris ke-i dan elemen-elemen kolom ke-j dibuang. 4. Determinan Matriks Ordo n x n Determinan matriks ordo n x n dihitung menggunakan teorema Laplace. Teorema Laplace : Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen- elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Secara matematis ditulis sebagai berikut : )(....)(.)(. 2211 ininiiii AkoefaAkoefaAkoefa dengan i sembarang disebut ekspansi baris ke-i, atau )(....)(.)(. 2211 njnjjjjj AkoefaAkoefaAkoefa dengan j sembarang disebut ekspansi kolom ke-j. ij AKoef adalah kofaktor dari ij A 5. Sifat-sifat Determinan Beberapa sifat determinan : 1) Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan. Jadi, 2) det(AB) = det (A) det(B) 3) Jika dua baris/kolom dipertukarkan tempatnya, tanda determinan berubah. 4) Bila pada suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maka harga determinan itu = 0. n j ijij AkoefaA 1 )(.det n j ijij AkoefaA 1 )(.)det(
- 11. 11 5) Nilai determinantidak berubah, jika elemen-elemen sebuah baris/kolom ditambah atau dikurangi dengan suatu kelipatan nilai real dari elemen- elemen dari baris/kolom lain. 6) Besar determinan menjadi β kali, bila suatu baris/kolom dikalikan dengan skalar β. 7) Apabila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom = 0, maka harga determinan = 0. 8) Jika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah, maka hasil determinannya merupakan hasil kali dari elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya. 9) Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen- elemen pada diagonal utama. (Sutojo, dkk : 2010) 3. Materi Pokok 1. Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik yang Berbeda Misalkan diberikan dua buah titik yang berbeda di dalam bidang masing- masing dan maka ada sebuah garis lurus yang melalui titik dengan persamaan Ingat persamaan garis yang melalui dua buah titik dan adalah Sehingga diperoleh : 1 1 1 det 0 : 0 0 0 22 11 112222 11 11221221 111212111122 112112 112112 12 1 12 1 yx yx yx yx yx yx yx yx yx Sehingga yxxyyxxyyxyx yxxyyxxyyxyxyxyx xxyyyyxx xxyyyyxx xx xx yy yy
- 12. 12 Sekarang akan dibuktikanapakah yxxyyxxyyxyx yx yx yx 11221221 22 11 1 1 1 det Pembuktian : 1 1,2 22 11 22 11 1 1 1 1 1 1 det H yx yx yx yx yx yx = 0 0 1 1 0 1 22 11 1 1,3 22 11 yyxx yyxx yx H yx yyxx yx Dengan menggunakan aturan perluasan kofaktor di sepanjang kolom ketiga, diperoleh : yyxx yx yyxx yx yyxx yyxx yx yx yx 112222 11 22 11 00.1 1 1 1 det yxxyyxxyyxyx yxxyyxxyyxyx xyyxxyyxxyxyyxyx xxyyyyxx yyxx yyxx 11221221 21122121 21122121 2121 22 11 Jadi terbukti yxxyyxxyyxyx yx yx yx 11221221 22 11 1 1 1 det
- 13. 13 Contoh : Tentukan persamaangaris yang melalui titik (-1,2) dan (3,5) ! Jawab : - Cara biasa 01143 3384 1324 4 1 3 2 13 1 25 2 12 1 12 1 yx xy xy xy xy xx xx yy yy Jadi persamaan garis tersebut adalah 01143 yx - Menggunakan determinan matriks 153 121 1 det 1 1 1 det 22 11 yx yx yx yx 1143 25311 21 det 53 det 53 21 det yx yxxy yxyx Jadi persamaan garis tersebut adalah 01143 yx 2. Persamaan Lingkaran yang Melalui Tiga Titik Misalkan diberikan tiga titik yang berbeda di dalam bidang masing-masing , dan yang tidak semuanya terletak pada sebuah
- 14. 14 garis. Menurut ilmuanalitis, ada sebuah lingkaran yang melalui titik dengan persamaan Dimana a, b, c, dan d adalah konstanta. Untuk ketiga titik tersebut harus memenuhi persamaan berikut : 0y+x 0y+x 0y+x 0y+x 33 2 3 2 3 22 2 2 2 2 11 2 1 2 1 22 dcybxa dcybxa dcybxa dcybxa Persamaan di atas merupakan sistem persamaan linier homogen. Agar sistem mempunyai solusi nontrivial, maka determinan koefisien-koefisien matriksnya harus nol. 0 1 1 1 1 33 2 3 2 3 22 2 2 2 2 11 2 1 2 1 22 yxyx yxyx yxyx yxyx Contoh : Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik P(1,0), Q(0,1) dan T(2,2)! Jawab : - Cara biasa Misalkan persamaan lingkaran yang dicari adalah . Karena titik-titik P,Q dan R pada lingkaran ini, maka koordinat- koordinatnya masing-masing memenuhi persamaan tersebut. Sehingga dengan substitusi koordinat-koordinat dari titik tersebut diperoleh P(1,0) : 1 + 0 + A + 0.B + C = 0 Q(0,1) : 0 + 1 + 0.A + B + C = 0 R(2,2) : 4 + 4 + 2.A + 2.B + C = 0
- 15. 15 Kita memperoleh sistempersamaan yang terdiri atas 3 persamaan dengan variabel A, B dan C. Jika persamaan pertama pertama dikurangi kedua diperoleh A – B = 0, yaitu A = B. Jika persamaan ketiga dikurangi dengan persamaan kedua diperoleh 2A + B + 7 = 0. Selanjutnya karena A = B, maka Substitusi harga A ini pada persamaan pertama akan diperoleh Jadi persamaan lingkaran yang dicari adalah - Menggunakan determinan matriks Masukkan nilai setiap titik pada 0 1 1 1 1 33 2 3 2 3 22 2 2 2 2 11 2 1 2 1 22 yxyx yxyx yxyx yxyx Sehingga : 0 1228 1101 1011 1 22 yxyx Dengan mengekspansi determinan ini menurut kofaktor-kofaktor pada baris pertama, kita memperoleh : 047733 04773 0 228 101 011 1 128 101 111 128 111 101 122 110 101 22 22 22 yxyx yxyx yxyx
- 16. 16 3. Aplikasi Laindari Determinan Matriks a. Menentukan Persamaan Bidang Datar yang Melewati Tiga Titik Misalkan tiga titik A1 = (x1, y1, z1), A2 = (x2, y2, z2), dan A3 = (x3, y3, z3) terletak pada bidang (tidak pada garis yang sama). Tentukan persamaan bidang yang melewati ketiga titik tersebut. Jawab : Persamaan bidang secara umum dapat ditulis sebagai berikut : Jika M = (x, y, z) titik pada bidang tersebut dan setelah ketiga titik disubstitusi ke persamaan bidang diperoleh sistem persamaan linier homogen berikut. 0 0 0 0 333 222 111 dczbyax dczbyax dczbyax dczbyax Agar persamaan tersebut mempunyai solusi, haruslah : 0 1 1 1 1 333 222 111 zyx zyx zyx zyx Contoh : Tentukan persamaan bidang yang melewati tiga titik (1, -1, 3), (0, 1, 7), dan (4, 0, -1). Jawab :
- 17. 17 0 1104 1710 1311 1zyx Setelah dihitung dandisederhanakan diperoleh persamaan bidang berikut : 0417812 zyx b. Menentukan Persamaan Umum Irisan Kerucut Dalam koordinat kartesius, persamaan umum irisan kerucut adalah Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Dimana tidak semua A, B, and C bernilai 0. Nilai diskriminan akan berpengaruh pada bentuk kurva, berbentuk hiperbola, parabola, elips, atau lingkaran. B2 - 4AC > 0, hiperbola B2 - 4AC = 0, parabola B2 - 4AC < 0, ellips atau lingkaran (lingkaran, jika B = 0 dan A = C) Menentukan Nilai A, B, C, D, E, dan F Misalkan koordinat dari lima poin (m, n), (p, q), (r, s), (u, v), dan (w, z). Persamaan irisan kerucut ditemukan dengan menghitung determinan matriks 6 x 6. Persamaan matriks adalah: Dimana
- 18. 18 dan seterusnya. Contoh : Tentukanpersamaan irisan kerucut melalui titik (3, 3), (2, -1), (1, -2), (-2, 1), dan (-3, - 3). Dengan menghitung determinan matriks diperoleh persamaan kerucut -1188x2 + 1404xy - 1188y2 + 0x + 0y + 8748 = 0. 4. Kesimpulan Determinan matriks dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik dan juga menentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik. Aplikasi lain dari determinan matriks adalah menentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik, dan juga menentukan persamaan umum irisan kerucut. 5. Daftar Pustaka Dhohuri, Atmini dan Markaban. 2011. Pembelajaran Persamaan Garis Lurus di SMP. http:// www.p4tkmatematika.org. Diakses tanggal 20 Maret 2013. Rawuh, dkk. 1958. Ilmu Ukur Analitis. Bandung : Tarate. Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta : Erlangga. Sutojo, dkk. 2010. Teori dan Aplikasi Aljabar Linier & Matriks. Semarang: Andi. Tim LBB UGAMA. 2009. Logic The Quickest and Easiest Solution. Yogyakarta : LBB UGAMA.
- 19. 19 LAMPIRAN Saran-saran : 1. Dra.TrimurtiSaleh, M.A. Menambahkan jenis penyelesaian SPL Homogen, yaitu trivial dan nontrivial pada materi penunjang. (Telah ditambahkan pada halaman 5) 2. Septy Sari Yukans, S.Pd.,M.Sc. Memperbaiki tampilan slide powerpoint (Telah diperbaiki) 3. Haris Kurniawan, M.Pd Memperbaiki kata-kata pada kesimpulan, dan menambahkan contoh lain penggunaan determinan matriks yang melibatkan lebih dari tiga variabel. (Telah ditambahkan pada halaman 14)