Reski Aprilia, profile picture
Uploaded byReski Aprilia
PPT, PDF19,809 views

Matematika Teknik - Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Terdapat beberapa jenis matriks seperti matriks bujur sangkar, matriks diagonal, dan matriks identitas. Operasi yang dapat dilakukan pada matriks antara lain penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian matriks.

Embed presentation

Downloaded 202 times
Menu MATRIKS MATEMATIKA TEKNIK
Pengertian. Matriks adalah susunan yang berbentuk persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom dalam tanda kurung Bentuk Umum Matriks A m x n = a11 a12 a13 …. a1n a21 a22 a23 …. a2n …. …. …. …. am1 am2 am3 amn Baris ke-1 Baris ke - m Kolom ke-1 Kolom ke-n Menu MATRIKS
Catatan : a11,a12 ……amn merupakan elemen-elemen matriks Banyaknya baris pada matriks A ada m buah Banyaknya kolom pada matriks A ada n buah
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri atau elemen dalam matriks. Definisi
Contoh : Jawab : a21 berarti berada di baris ke- 2 dan kolom ke-1, jadi a21 = -3 Dengan cara yang sama, maka didapat a12 = 4, a32 = -1 dan a34 = 6 Diketahui matriks A = Tentukan a21, a12 dan a34 Menu 2 4 3 9 5 8 0 6-2-15 -3
Contoh :           −= 64 52 31 A             − − = 265 072 301 234 B           = 9 5 2 C [ ]3249 −=D [ ]6=E
Bentuk Umum Matriks : [ ] nmijnm mnmmm n n n nm ij a aaaa aaaa aaaa aaaa nm jia nm ××× =                 = × AA AA A atau :sebagaiditulisdanordomempunyaiMatriks.dari kolomdanbarisdalamditerdapatyangentriadalahNotasikan .kolomjumlahdanbarisjumlahmempunyaimatriksMisalkan 321 3333231 2232221 1131211     
ORDO MATRIKS Ordo suatu matriks adalah banyaknya elemen-elemen pada suatu matriks atau banyaknya baris diikuti banyaknya kolom Untuk memahaminya perhatikan matriks A dan B di bawah ini A = B =dan Matriks A mempunyai 2 baris dan 2 kolom, berordo 2x2 , ditulis A2x2, sedangkan matriks B mempunyai 2 baris dan 3 kolom, berordo 2x3 ditulis B2x3 -1 3 4 2 2 0 4 3-15
Contoh : 2x3ordomempunyaiMatriks 43 91 27 AA           −= 4x4ordomempunyaiMatriks 215 072 301 132 BB             − − =
a. Matriks Kolom. Matriks yang hanya terdiri satu kolom A = B = C = Contohnya : b. Matriks Baris. Matriks yang hanya terdiri satu baris Contohnya : A = B = C = Menu 1 3 1 0 2 1 -3 2 5 2 -3 1 -3 1 2-3-3 76 5 JENIS – JENIS MATRIKS
Matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama Matriks Bujur Sangkar
Bentuk Umum Matriks Bujur Sangkar :                 =× nnnnn n n n nn aaaa aaaa aaaa aaaa      321 3333231 2232221 1131211 A
Contohnya : A = B = d. Matriks Diagonal. Matriks persegi yang pada diagonal utamanya tidak nol, sedangkan elemen lainnya adalah nol Contohnya : A = B = C =2 0 0 1 1 0 0 0 -2 0 400 2 0 0 0 0 0-4 0 6 0 0 3 0 000 3 5 4 1 1 0 5 3 -2 -1 43-4 c. Matriks Bujursangkar (Persegi) Matriks yang memiliki banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom
Matriks diagonal yang semua entri diagonalnya adalah satu Matriks Identitas
Contoh matriks identitas
e. Matriks Identitas. Matriks persegi yang elemen pada diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainnya adalah nol Contohnya : A = B = C = 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0100 0 0 0 1 1
Matriks bujur sangkar yang entri-entri diagonal utama dan entri-entri di atas diagonal utama tidak semuanya sama dengan nol dan entri-entri di bawah entri diagonal utama sama dengan nol. Purnami E. Soewardi / June 08 Matriks Segitiga Atas
Bentuk Umum Matriks Segitiga Atas : jinjni a a aa aaa aaaa ij nn n n n nn ≤==                 =× ;,,3,2,1;,,3,2,1 nolsemuanyatidakdengan 000 00 0 333 22322 1131211       A
Matriks bujur sangkar yang entri-entri diagonal dan entri- entri di bawah diagonal tidak semuanya sama dengan nol dan entri-entri di atas entri diagonal adalah nol. Matriks Segitiga Bawah
Bentuk Umum Matriks Segitiga Bawah : jinjni a aaaa aaa aa a ij nnnnn nn ≥==                 =× ;,,3,2,1;,,3,2,1 nolsemuanyatidakdengan 0 00 000 321 333231 2221 11       A
Matriks bujur sangkar yang entri entri diagonal tidak semuanya nol, dan entri-entri yang lain adalah nol Matriks Diagonal
Matriks yang semua entrinya sama dengan nol Matriks NolMatriks Nol [ ]0 0 0 0 0 0000 0000 000 000 000 00 00 111442 =             =      =           =      = ××× 000 00
Bentuk Umum Matriks Diagonal: nia a a a a ii nn nn ,,3,2,1,nolsemuanyatidakdengan 000 000 000 000 33 22 11       =                 =×A
Kesamaan Matriks. Dua buah matriks A dan B dikatakan sama jika ordo kedua matriks sama dan elemen yang seletak dari kedua matriks juga sama Perhatikan contoh berikut : Diketahui matriks A = dan matriks B = Jika matriks A = B, tentukan nilai x dan y Karena A = B maka = Sehingga 3x = 6 dan 2y = -4 x = x = 2 y = y = -2 Jawab : Jadi x = 2 dan y = -2 1 3 2y3x 1 3 -46 6 3 -4 2 1 3 2y3x 1 3 -46 Menu
Transpose Matriks Transpose dari matriks A adalah suatu matriks baru yang ditulis dalam bentuk AT . Matriks baru ini diperoleh dengan cara mengubah baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks baru dan mengubah kolom pada matiks A menjadi baris pada matriks baru. Contoh : Tentukan transpose dari matriks A = dan B = Jawab : A = Maka AT = B = Maka BT = 4 2 3 -1 4 3 2 -1 4 7 5 8 7 9 4 3 2 -1 4 7 5 8 7 9 4 5 7 7 8 9 Menu
Operasi Matriks 1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks 2. Perkalian Skalar dengan Matriks 3. Perkalian Matriks dengan Matriks Slide 14 Menu
Definisi:Definisi: JikaJika AA dandan BB adalah sebarang dua matriks yangadalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlahukurannya sama, maka jumlah AA ++ BB adalah matriksadalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-yang diperoleh dengan menambahkan bersama- sama entri yang bersesuaian dalam kedua matrikssama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbedatersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan.tidak dapat ditambahkan. Penjumlahan MatriksPenjumlahan Matriks
1. PENJUMLAHAN dan PENGURANGAN MATRIKS Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan dan kurangkan jika ordo kedua matriks itu sama. Proses penjumlahan dan pengurangan dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak. Contoh : Jika matriks A = dan B = Hitung : a. A + B b. A - B Jawab : a. A + B = + = = b. A – B = = =- Menu -1 2 3 -4 5 6 7 8 -1 2 3 -4 5 6 8 3 7+ 8 6 -4 2 + + 4 8 10 4 -1 + 7 -1 2 3 -4 5 6 87 3 7- 8 6 -4 2 - - -1 - 5 -6 -4 -4 -12 5 OPERASI MATRIKS
Contoh :
 Definisi:  Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka A – B didefinisikan sebagai jumlah A + (–B) = A + (–1)B. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan. Pengurangan MatriksPengurangan Matriks
Perhatikan bahwa A – B dapat diperoleh secara langsung dengan mengurangkan entri B dari entri A yang bersangkutan. Contoh:
Definisi: Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan. Purnami E. Soewardi / June 08 Perkalian Matriks :
Definisi: Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu skalar, maka hasil kali (product) c A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c. Perkalian Matriks dengan Skalar
Contoh:
2. Perkalian Skalar dengan Matriks. Bila A suatu matriks dan k adalah suatu bilangan real, maka k.A adalah suatu matriks yang diperoleh dari hasil perkalian dengan setiap elemen pada matriks A. Contoh : Diketahui : A = dan B = Tentukan : a. 2A c. 3Bb. -2B d. 3A + 2B Jawab : a. 2A = = b. -2B = = 3 -4 2 1 6 -7 -8 9 3 -4 2 1 6 -8 4 2 6 -7 -8 9 -12 14 16 -18 Slide 13 2 -2
c. 3B = 3 = d. 3A + 2B = 3 + 2 + = = 3 -4 12 9 -12 36 3 -4 12 9 -12 36 6 -7 9-8 12 -14 18-16 21 -26 21-10 3
3. Perkalian Matriks dengan Matriks Suatu matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B. Untuk mencari hasil perkalian matriks A dengan matriks B ialah mengalikan baris-baris pada matiks A dengan kolom-kolom pada matriks B dan kemudian jumlahkan hasil perkalian baris dan kolom itu. Dan hubungan ordonya didapat : Am x n . Bn x p = C m x p Contoh : 1. Diketahui matriks A = dan B = Tentukan : A x B Jawab : = Slide 13 y a b c d x y a b c d x + b.y A x B = x a.x c.x d.y+
2. Diketahui A = dan B = A x B = = B x A = Ternyata A x B ≠ B x A, jadi perkalian pada matriks tidak berlaku sifat komutatif 3 5 0 2 2 1 1 3 5 0 2 Tentukan : 1 1 3 = 6 3 2 5 3 + 15 0 + 2 0 + 6 + 1811 2 6 1 1 3 2 x 5 0 2 3 = 6 0 10 + 2 3 + 0 5 + 6 + = 126 3 11 2 18 2 3 x 1 0 x
Contoh:
Dst Lanjutan…
Ukuran matriks hasil perkalian A x B = AB m x r r x n m x n
Definisi: Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka transpose A dinyatakan dengan At dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A, dan seterusnya. Purnami E. Soewardi / June 08 Transpose MatriksTranspose Matriks
Contoh:             =           = 342414 332313 322212 312111 34 24 14 333231 232221 131211 aaa aaa aaa aaa a a a aaa aaa aaa t AA       − =⇔           −= 653 421 64 52 31 t BB
Contoh: [ ]952 9 5 2 =⇔           = t CC [ ] [ ]66 =⇔= t EE           − − =⇔           − − = 712 145 253 712 145 253 t DD
1. A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif untuk penjumlahan) 3. A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian) 4. A(B + C) = AB + AC (Hukum distributif) 5. (B + C)A = BA + CA (Hukum distributif) 6. A(B – C) = AB – AC 7. (B – C)A = BA – CA Aturan-aturan Ilmu Hitung MatriksAturan-aturan Ilmu Hitung Matriks
8. a(B + C) = aB + aC 9. a(B – C) = aB – aC 10. (a + b)C = aC + bC 11. (a – b)C = aC – bC 12. (ab)C = a(bC) 13. a(BC) = (aB)C = B(aC) Aturan-aturan Ilmu Hitung MatriksAturan-aturan Ilmu Hitung Matriks
Definisi: Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A. Invers MatriksInvers Matriks
Contoh: Matriks adalah invers dari karena dan
TeoremaTeorema Jika B dan C adalah invers dari matriks A, maka B = C. Selanjutnya, invers dari matriks A dilambangkan dengan A-1 . Jadi AA- 1 = I dan A-1 A = I.
Definisi : Jika A dan B adalah matriks bujursangkar berordo sama sedemikian sehingga AB = BA = I, maka B adalah invers A (B=A-1 ) dan A adalah invers B ( A = B-1 ) Contoh : Jika A = dan B = Jawab : Harus ditunjukkan bahwa AB = BA = I A B = Tunjukkan bahwa matriks A dan B saling invers satu sama lain ! = = B A = = = Karena AB = BA = I, maka A = B-1 dan B = A-1 Menu 7 2 3 1 -2 -3 7 7 2 3 1 1 -2 -3 7 1 0 0 1 1 1 -2 -3 7 7 2 3 1 10 017 + -6 -21 + -6 21 2 + -2-6 -6 + -6 + 7 I= = I 7 + -6 3 + -6 -3 -14 + 14-6 -14 -6 + -6 + 7 INVERS MATRIKS
Rumus Invers matriks bujursangkar ordo 2 x 2 Misal A = maka A-1 = Dimana det A = = ad Catatan : •Jika det A ≠ 0, maka A mempunyai invers, dan disebut matriks non singular •Jika det A = 0 maka A tidak mempunyai invers, dan A disebut matriks singular Atau A-1 = a b c d 1 Det A d -b a-c a b c d 1 ad - bc d -b a-c bc- a d
Pandang matriks 2 x 2 Jika det(A) = |A| = ad – bc ≠ 0, maka Mencari invers matriksMencari invers matriks
Contoh : Tentukan invers matriks : a. A = b. B = c. C = Jawab : a. A-1 = = = b. Det B = = (-3).4 – (-6).2 = (-12) + 12 = 0 Karena det B = 0, maka matriks B tidak mempunyai invers c. C-1 = = = 2 -5 -1 3 -3 -6 2 4 2 0 2 1 1 2.3–(-5)(-1) 2 5 1 31 6 - 5 3 5 1 2 3 5 1 2 -3 -6 2 4 1 2.1 – 2.0 1 0 -2 2 1 2 1 0 -2 2 1 2 0 -1 1
Contoh: det(A) = |A|= ad – bc = (2)(3) – (-1)(-5) = 6 – 5 = 1
Untuk matriks 3x3
Misalkan A dan B matriks-matriks yang mempunyai invers dan berukuran sama, k≠0 skalar. Sifat-sifat Matriks 1. AB invertible 2. (AB)-1 = B-1 A-1 3. A0 = I 4. An = A A ... A 5. A-n = (A-1 )n = A-1 A-1 ... A-1 6. (An )-1 = (A-1 )n untuk n = 0, 1, 2, ... n faktor n faktor
Sifat-sifat Matriks 1. Ar As = Ar+s 2. (Ar )s = Ars 3. (kA)-1 = (1/k) A-1 4. (At )t = A 5. (A + B)t = At + Bt 6. (kA)t = kAt 7. (AB)t = Bt At
Determinan
Determinan
Latihan
Sifat-sifat Determinan 1. det (A) = det (At ) 2. det (AB) = det(A)det(B) 3. A invertible ↔det(A)≠0 4. det(A-1 ) = 1/det(A)
Definisi: Jika matriks A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)i+j Mij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij. Kofaktor
Contoh: Minor entri a11 adalah: Kofaktor a11 adalah: Minor entri a32 adalah: Kofaktor a32 adalah:
Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni untuk setiap 1≤i≤n dan1≤j≤n, maka det(A) = a1j C1j + a2j C2j + ... + anj Cnj (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j) dan det(A) = ai1 Ci1 + ai2 C2j + ... + ain Cin (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i) Teorema
Matriks Kofaktor Definisi: Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij , maka matriks Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A).
Teorema Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka
Latihan           − − = 042 361 123 A
Jika Maka bentuk persamaan ini dapat diubah menjadi persamaan matriks sebagai berikut : = Untuk menghitung nilai x dan y dapat menggunakan rumus : = ax + by = e cx + dy = f a b c d x y e f x y 1 ad -bc d -b -c a e f Menu MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINIER DENGAN MATRIKS
Contoh : Tentukan nilai x dan y dari sistem persamaan linier berikut : Jawab : Pernyataan itu dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut : = Atau = = = = 1 = = Jadi nilai x = 2 dan y = 1 3x + y = 7 5x + 2y = 12 3x y 5x 2y 7 12 3 1 5 2 x y 7 12 x y 2 -1 -5 3 7 12 1 3.2 – 1.5 1 6 - 5 2 -1 -5 3 7 12 2.7 – 1.12 -57 + 3.12 14 - 12 -35 + 36 2 1
Aturan Cramer ELIMINASI GAUSS Jika AX=B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A)≠0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah , , ... , Dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks
Contoh: Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan: Jawab: Maka:
EXAMPLE OF FINDING THE INVERSE OF A MATRIX A We must find the inverse of the matrix A at the right A = 1 2 -2 -1 1 -2 3 2 1
Purnami E. Soewardi / June 08 Below is the same matrix A, augmented by the 3x3 identity matrix. The first pivot encicled in red Below are the row operations required for the first pivoting Next pivot on "3" in the 2-2 position below, encircled in red The columns of the 3x3 identity matrix are colored blue as they re- appear on the left side
Below is the result of performing P1, so the pivot (2-2 position) is now "1". Next we perform P2 Row operations of P2 are below The result of the second pivoting is below. We now pivot on the element in the 3-3 position, encircled in red below
Below is the result of performing P1, so the pivot (3-3 position) is now "1". Next we perform P2. Below are the row operations of P2 The result of the third (and last) pivoting is below with 3x3 identity matrix in blue The matrix below is NOT A-1 (REDUCED) DIAGONAL FORM 
Thus, our final step is to separate the desired inverse from the above matrix: A-1 =
EXAMPLE OF FINDING THE INVERSE OF A MATRIX A We must find the inverse of the matrix A at the right A = 1 2 -2 -1 1 -2 3 2 1
Below is the same matrix A, augmented by the 3x3 identity matrix. The first pivot encicled in red Below are the row operations required for the first pivoting Next pivot on "3" in the 2-2 position below, encircled in red The columns of the 3x3 identity matrix are colored blue as they re- appear on the left side
Purnami E. Soewardi / June 08 Below is the result of performing P1, so the pivot (3-3 position) is now "1". Next we perform P2. Below are the row operations of P2 The result of the third (and last) pivoting is below with 3x3 identity matrix in blue The matrix below is NOT A-1 (REDUCED) DIAGONAL FORM 
Purnami E. Soewardi / June 08 Thus, our final step is to separate the desired inverse from the above matrix: A-1 =
Soal-soal latihan . 1. Diketahui matriks A =           −−− −− −−− 65432 09876 54322       − y x 32 32 a. Berapa banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A ? b. Sebutkan elemen baris ke- 2 ? c. Sebutkan elemen kolom ke- 4 ? d. Sebutkan elemen baris ke – 2 kolom ke – 4 ? 2. Tentukan nilai x dan y untuk setiap persamaan matriks berikut : a. =       − y x 32 32 b.       − 7 50 y x       − + 732 1030 y x = Menu
3. Diketahui matriks A = dan B = Tentukan : a. 2 A b. 3B c. -2 A d. 2 A + 3 B 4. Diketahui matriks B = C = D =A = Tentukan : a. B.A b. B.C b. C.D c. 2CD + 3C d. 3BA – 2A 4 3 2 -3 1 5 -1 -2 -3 4 3 -4 5 6 1 -2 3 -4 5 -6 3 2 -1 7 5 0 -4 35
5. Tentukan invers dari matriks berikut : a. b. c. d.A = B = C = D = 6. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut dengan menggunakan matriks : a. b. c. d. 4x + 3y = 13 x + y = 4 x + 2y = 9 -5x + 2y = 27 x + 3y = 4 -x + 2y = 1 2x - 3y = 7 3x + 2y = 4 1 2 43 8 -7 5-6 -4 3 -12 4 -1 23
Penggunaan Matriks  Langkah untuk menyelesaikan soal kehidupan sehari- hari: 1. Mengubah soal cerita dan menyusun sistem persamaannya 2. Menyelesaikan sistem persamaan dengan matriks E1=84 V R3 R1= 12 ohm R2=3 ohm E2=21 V Contoh:Contoh: Hitunglah iHitunglah i11 dan idan i22 dengan menggunakan matriksdengan menggunakan matriks ddariari rangkaian listrikrangkaian listrik berikut:berikut: 18i18i11 - 6i- 6i22 = 84= 84 -6i-6i11 + 9i+ 9i22 = -21= -21
Sistem Persamaan Linier ( SPL )  Metode Cramer : D Dy ydan D Dxx == ca ca ydan bc bc x; ba ba D 22 11 22 11 22 11 DD === Apabila berbentuk :Apabila berbentuk : aa11x + bx + b11yy == cc11 aa22x + bx + b22yy == cc22 mmaka :aka : dimana :dimana : Apabila berbentuk :Apabila berbentuk : aa11x + bx + b11y + cy + c11z = kz = k11 aa22x + bx + b22y + cy + c22z = kz = k22 aa33x + bx + b33y + cy + c33z = kz = k33 mmakaaka:: dimana :dimana : 333 222 111 333 222 111 333 222 111 333 222 111 kba kba kba z cka cka cka y; cbk cbk cbk x; cba cba cba D DDD dan ==== D Dzzdan D Dy y; D Dxx ===
DAFTAR PUSTAKA  PURNAMI.E.SOEWARDI,MEDIA PEMBELAJARAN MATEMATIKA,BANDUNG,2008  K.Astroud, Erwin Sucipto, Matematika Untuk Teknik,halaman141 sd 186, halaman 101 sd 117, PT. Gelora Aksara Pratama,1987.

More Related Content

PPTX
Matriks dan Operasinya ( Aljabar Linear Elementer )
byKelinci Coklat
 
PPTX
Invers matriks
by5410meisa
 
PDF
Matematika Teknik 1: Matriks
byDadang Hamzah
 
PPTX
Modul 4 matrik dan determinan
byAchmad Sukmawijaya
 
PPTX
Aljabar matriks kofaktor
byDzikri Fauzi
 
PPTX
Materi ke-1 Aljabar Linier
byeka pandu cynthia
 
PDF
Aljabar linier dan matrik joko soebagyo et.al compressed
byEday Larva
 
PPTX
Materi Matriks
bynur alamsyah
 
Matriks dan Operasinya ( Aljabar Linear Elementer )
byKelinci Coklat
 
Invers matriks
by5410meisa
 
Matematika Teknik 1: Matriks
byDadang Hamzah
 
Modul 4 matrik dan determinan
byAchmad Sukmawijaya
 
Aljabar matriks kofaktor
byDzikri Fauzi
 
Materi ke-1 Aljabar Linier
byeka pandu cynthia
 
Aljabar linier dan matrik joko soebagyo et.al compressed
byEday Larva
 
Materi Matriks
bynur alamsyah
 

What's hot

PPT
Penjumlahan dan pengurangan matriks
byWina Ariyani
 
PPT
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
byFajar Istiqomah
 
PDF
Matematika Diskrit - 03 himpunan - 02
byKuliahKita
 
DOCX
Matriks elementer
bykartika amelia
 
PPTX
Power point - Barisan dan deret aritmatika
bywahyu adi negara
 
PDF
Modul persamaan diferensial 1
byMaya Umami
 
PPT
Bilangan kompleks lengkap
byagus_budiarto
 
PPTX
Barisan dan deret kelas 10
byMutiara A'yuni Ali
 
PPTX
Kuasa lingkaran, titik kuasa, garis kuasa ppt
bynursyamsiahhartanti
 
PDF
2. Slide Materi Bunga & Anuitas.pdf
byDEWIADITYAASTARINI
 
PDF
Vektor, Aljabar Linier
bySartiniNuha
 
PPT
Bilangan kompleks
byIrwandaniin
 
PPT
1. Matriks.ppt
byAdzkiaKhayraRafandaA
 
PDF
Soal matstat ngagel+jawabannya
byKana Outlier
 
PDF
Basis dan Dimensi
byRizky Wulansari
 
DOC
Basis Bilangan
byRisna Nilam Lutfia
 
PPTX
PPT Matriks
byUlfa Nur Afifah
 
PPT
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS 22.ppt
byAhmadOfficial4
 
PDF
Modul 4 kongruensi linier
byAcika Karunila
 
PPTX
Matriks SMK/SMA kelas XI
byRidho Pratama
 
Penjumlahan dan pengurangan matriks
byWina Ariyani
 
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
byFajar Istiqomah
 
Matematika Diskrit - 03 himpunan - 02
byKuliahKita
 
Matriks elementer
bykartika amelia
 
Power point - Barisan dan deret aritmatika
bywahyu adi negara
 
Modul persamaan diferensial 1
byMaya Umami
 
Bilangan kompleks lengkap
byagus_budiarto
 
Barisan dan deret kelas 10
byMutiara A'yuni Ali
 
Kuasa lingkaran, titik kuasa, garis kuasa ppt
bynursyamsiahhartanti
 
2. Slide Materi Bunga & Anuitas.pdf
byDEWIADITYAASTARINI
 
Vektor, Aljabar Linier
bySartiniNuha
 
Bilangan kompleks
byIrwandaniin
 
1. Matriks.ppt
byAdzkiaKhayraRafandaA
 
Soal matstat ngagel+jawabannya
byKana Outlier
 
Basis dan Dimensi
byRizky Wulansari
 
Basis Bilangan
byRisna Nilam Lutfia
 
PPT Matriks
byUlfa Nur Afifah
 
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS 22.ppt
byAhmadOfficial4
 
Modul 4 kongruensi linier
byAcika Karunila
 
Matriks SMK/SMA kelas XI
byRidho Pratama
 

Viewers also liked

PDF
Mat.01.matrik
byOkta Chandra RK
 
PDF
File pendukung powerpoint matriks
byTri Nopi Yanti TP
 
DOCX
Makalah Matriks dalam Struktur Data
byParningotan Panggabean
 
DOCX
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
byIpit Sabrina
 
PDF
Matematika matriks
byPatrick Morgan
 
DOC
Makalah kelompok 6
byRinisutopo
 
PPTX
Matematika matriks
byAmalia Rizka
 
PPTX
Bab 5 limit (1)
byDaud Sulaeman
 
PDF
KALKULUS
byWatowuan Tyno
 
DOC
Soal soal-matriks
byMuhamad Dzaki Albiruni
 
PDF
Manufacturing tech 2
byFaheen Ahmed
 
DOCX
Logaritma
byMikael Hardi Simalango
 
PDF
Vektor
byNASuprawoto Sunardjo
 
DOCX
Menentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsisten
byBAIDILAH Baidilah
 
PPT
Matriks
bywidi1966
 
PDF
Smart solution un matematika sma 2013 (skl 5.1 limit aljabar dan limit trigon...
byCatur Prasetyo
 
PPTX
Pembahasan Soal UN 2012 Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
byDarminto WS
 
DOCX
Kelebihan dan kekurangan metode pembelajaran
byLilis indah Kurniawati
 
PPT
QUIMICA CLASE 1
byguestc30e51
 
PDF
Smart solution persamaan kuadrat
bySulistiyo Wibowo
 
Mat.01.matrik
byOkta Chandra RK
 
File pendukung powerpoint matriks
byTri Nopi Yanti TP
 
Makalah Matriks dalam Struktur Data
byParningotan Panggabean
 
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
byIpit Sabrina
 
Matematika matriks
byPatrick Morgan
 
Makalah kelompok 6
byRinisutopo
 
Matematika matriks
byAmalia Rizka
 
Bab 5 limit (1)
byDaud Sulaeman
 
KALKULUS
byWatowuan Tyno
 
Soal soal-matriks
byMuhamad Dzaki Albiruni
 
Manufacturing tech 2
byFaheen Ahmed
 
Logaritma
byMikael Hardi Simalango
 
Vektor
byNASuprawoto Sunardjo
 
Menentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsisten
byBAIDILAH Baidilah
 
Matriks
bywidi1966
 
Smart solution un matematika sma 2013 (skl 5.1 limit aljabar dan limit trigon...
byCatur Prasetyo
 
Pembahasan Soal UN 2012 Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
byDarminto WS
 
Kelebihan dan kekurangan metode pembelajaran
byLilis indah Kurniawati
 
QUIMICA CLASE 1
byguestc30e51
 
Smart solution persamaan kuadrat
bySulistiyo Wibowo
 

Similar to Matematika Teknik - Matriks

DOCX
Tugas kalkulus ii
byMuzz Lhieya
 
PPT
Ppt klmpk 6 alj liner
byFela Aziiza
 
PDF
Matriks :)
byNita Maulina
 
PDF
Matriks Matematika By Ali Majid Wardana
byAli Must Can
 
PPTX
Matriks
byRiRi Riyanti
 
PPTX
Penjelasan Detail Mengenai Matriks dan Rumus
byyutubtumbal028
 
PDF
Matriks1 2
byFaradila Amalia
 
PPTX
PERTEMUAN-PERTAMA-MATRIKS.pptx
byFitriYuliana13
 
PPT
matriks_2.ppt
byFaniFauzihanFebridia
 
PPTX
Ppt media it
byanggunoktari
 
PPT
Matriks bilangan anM1102-121075-879-12.ppt
byCherryaDhiaWennySTIE
 
PPT
Matriks 2
bybags07
 
PPTX
Transpose matriks dan jenis jenis matriks aljabar linear dan matriks teknik i...
bydedyadit
 
PPTX
Bab 3(1) matriks
byDaud Sulaeman
 
PPTX
Matriks Kelas X
bySungguh Ponten
 
PPTX
Matriks
byDiana PuspitaSari
 
PPT
Kelas xii bab 3
byarman11111
 
PPTX
Matriks
bya410080022
 
PPTX
aljabar linier Slide-IST107-IST107-Slide-02.pptx
bydiyahruswanti
 
PPTX
mata kuliah Aljabar linier Pertemuan 1 Matriks.pptx
byHusniHidayatMalikSPd
 
Tugas kalkulus ii
byMuzz Lhieya
 
Ppt klmpk 6 alj liner
byFela Aziiza
 
Matriks :)
byNita Maulina
 
Matriks Matematika By Ali Majid Wardana
byAli Must Can
 
Matriks
byRiRi Riyanti
 
Penjelasan Detail Mengenai Matriks dan Rumus
byyutubtumbal028
 
Matriks1 2
byFaradila Amalia
 
PERTEMUAN-PERTAMA-MATRIKS.pptx
byFitriYuliana13
 
matriks_2.ppt
byFaniFauzihanFebridia
 
Ppt media it
byanggunoktari
 
Matriks bilangan anM1102-121075-879-12.ppt
byCherryaDhiaWennySTIE
 
Matriks 2
bybags07
 
Transpose matriks dan jenis jenis matriks aljabar linear dan matriks teknik i...
bydedyadit
 
Bab 3(1) matriks
byDaud Sulaeman
 
Matriks Kelas X
bySungguh Ponten
 
Matriks
byDiana PuspitaSari
 
Kelas xii bab 3
byarman11111
 
Matriks
bya410080022
 
aljabar linier Slide-IST107-IST107-Slide-02.pptx
bydiyahruswanti
 
mata kuliah Aljabar linier Pertemuan 1 Matriks.pptx
byHusniHidayatMalikSPd
 

More from Reski Aprilia

PDF
Power point tgl 16 12-2014 (2)
byReski Aprilia
 
PDF
Laporan On the Job Training (OJT)
byReski Aprilia
 
PDF
TEKNIK PEMASANGAN TIANG PANCANG ULIN MENARA PENGAWAS MANGROVE DI MANGROVE CEN...
byReski Aprilia
 
PDF
TEKNIK PEMASANGAN TIANG PANCANG ULIN MENARA PENGAWAS MANGROVE DI MANGROVE CEN...
byReski Aprilia
 
PDF
Rencana Anggaran Biaya (RAB) Rumah Tinggal Tipe 193
byReski Aprilia
 
PDF
Perhitungan Volume Pekerjaan Rumah Tinggal Tipe 193
byReski Aprilia
 
PDF
Pelat Beton Bertulang
byReski Aprilia
 
PDF
Struktur Beton - Kolom
byReski Aprilia
 
PDF
Meranti putih
byReski Aprilia
 
PDF
Struktur Kayu - Meranti Putih
byReski Aprilia
 
PDF
Sistem Penerapan Drainase
byReski Aprilia
 
PDF
Sistem Penerapan Drainase
byReski Aprilia
 
PDF
SISTEM DAN MEKANISME PENGELOLAAN KESELAMATAN DAN KESEHATAN KERJA PADA PELAKSA...
byReski Aprilia
 
PDF
Sistem dan Mekanisme Pengelolaan Keselamatan dan Kesehatan Kerja pada Pelaksa...
byReski Aprilia
 
PPT
Matematika Teknik - Diferensial
byReski Aprilia
 
PDF
Pelat beton bertulang
byReski Aprilia
 
PPTX
Laboratorium Uji Tanah - CBR Lapangan
byReski Aprilia
 
PPTX
Laboratorium Uji Tanah - Percobaan Kerucut Pasir
byReski Aprilia
 
PPTX
Laboratorium Uji Tanah - Berat Jenis Tanah
byReski Aprilia
 
PPTX
Laboratorium Uji Tanah - Pemeriksaan Kadar Air dan Berat Isi Tanah
byReski Aprilia
 
Power point tgl 16 12-2014 (2)
byReski Aprilia
 
Laporan On the Job Training (OJT)
byReski Aprilia
 
TEKNIK PEMASANGAN TIANG PANCANG ULIN MENARA PENGAWAS MANGROVE DI MANGROVE CEN...
byReski Aprilia
 
TEKNIK PEMASANGAN TIANG PANCANG ULIN MENARA PENGAWAS MANGROVE DI MANGROVE CEN...
byReski Aprilia
 
Rencana Anggaran Biaya (RAB) Rumah Tinggal Tipe 193
byReski Aprilia
 
Perhitungan Volume Pekerjaan Rumah Tinggal Tipe 193
byReski Aprilia
 
Pelat Beton Bertulang
byReski Aprilia
 
Struktur Beton - Kolom
byReski Aprilia
 
Meranti putih
byReski Aprilia
 
Struktur Kayu - Meranti Putih
byReski Aprilia
 
Sistem Penerapan Drainase
byReski Aprilia
 
Sistem Penerapan Drainase
byReski Aprilia
 
SISTEM DAN MEKANISME PENGELOLAAN KESELAMATAN DAN KESEHATAN KERJA PADA PELAKSA...
byReski Aprilia
 
Sistem dan Mekanisme Pengelolaan Keselamatan dan Kesehatan Kerja pada Pelaksa...
byReski Aprilia
 
Matematika Teknik - Diferensial
byReski Aprilia
 
Pelat beton bertulang
byReski Aprilia
 
Laboratorium Uji Tanah - CBR Lapangan
byReski Aprilia
 
Laboratorium Uji Tanah - Percobaan Kerucut Pasir
byReski Aprilia
 
Laboratorium Uji Tanah - Berat Jenis Tanah
byReski Aprilia
 
Laboratorium Uji Tanah - Pemeriksaan Kadar Air dan Berat Isi Tanah
byReski Aprilia
 

Matematika Teknik - Matriks

  • 1.
  • 2.
    Pengertian. Matriks adalah susunanyang berbentuk persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom dalam tanda kurung Bentuk Umum Matriks A m x n = a11 a12 a13 …. a1n a21 a22 a23 …. a2n …. …. …. …. am1 am2 am3 amn Baris ke-1 Baris ke - m Kolom ke-1 Kolom ke-n Menu MATRIKS
  • 3.
    Catatan : a11,a12 ……amnmerupakan elemen-elemen matriks Banyaknya baris pada matriks A ada m buah Banyaknya kolom pada matriks A ada n buah
  • 4.
    Matriks adalah susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri atau elemen dalam matriks. Definisi
  • 5.
    Contoh : Jawab : a21berarti berada di baris ke- 2 dan kolom ke-1, jadi a21 = -3 Dengan cara yang sama, maka didapat a12 = 4, a32 = -1 dan a34 = 6 Diketahui matriks A = Tentukan a21, a12 dan a34 Menu 2 4 3 9 5 8 0 6-2-15 -3
  • 6.
  • 7.
    Bentuk Umum Matriks: [ ] nmijnm mnmmm n n n nm ij a aaaa aaaa aaaa aaaa nm jia nm ××× =                 = × AA AA A atau :sebagaiditulisdanordomempunyaiMatriks.dari kolomdanbarisdalamditerdapatyangentriadalahNotasikan .kolomjumlahdanbarisjumlahmempunyaimatriksMisalkan 321 3333231 2232221 1131211     
  • 8.
    ORDO MATRIKS Ordo suatumatriks adalah banyaknya elemen-elemen pada suatu matriks atau banyaknya baris diikuti banyaknya kolom Untuk memahaminya perhatikan matriks A dan B di bawah ini A = B =dan Matriks A mempunyai 2 baris dan 2 kolom, berordo 2x2 , ditulis A2x2, sedangkan matriks B mempunyai 2 baris dan 3 kolom, berordo 2x3 ditulis B2x3 -1 3 4 2 2 0 4 3-15
  • 9.
  • 10.
    a. Matriks Kolom. Matriksyang hanya terdiri satu kolom A = B = C = Contohnya : b. Matriks Baris. Matriks yang hanya terdiri satu baris Contohnya : A = B = C = Menu 1 3 1 0 2 1 -3 2 5 2 -3 1 -3 1 2-3-3 76 5 JENIS – JENIS MATRIKS
  • 11.
    Matriks yang mempunyai jumlahbaris dan jumlah kolom yang sama Matriks Bujur Sangkar
  • 12.
    Bentuk Umum MatriksBujur Sangkar :                 =× nnnnn n n n nn aaaa aaaa aaaa aaaa      321 3333231 2232221 1131211 A
  • 13.
    Contohnya : A = B= d. Matriks Diagonal. Matriks persegi yang pada diagonal utamanya tidak nol, sedangkan elemen lainnya adalah nol Contohnya : A = B = C =2 0 0 1 1 0 0 0 -2 0 400 2 0 0 0 0 0-4 0 6 0 0 3 0 000 3 5 4 1 1 0 5 3 -2 -1 43-4 c. Matriks Bujursangkar (Persegi) Matriks yang memiliki banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom
  • 14.
    Matriks diagonal yang semuaentri diagonalnya adalah satu Matriks Identitas
  • 15.
  • 16.
    e. Matriks Identitas. Matrikspersegi yang elemen pada diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainnya adalah nol Contohnya : A = B = C = 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0100 0 0 0 1 1
  • 17.
    Matriks bujur sangkaryang entri-entri diagonal utama dan entri-entri di atas diagonal utama tidak semuanya sama dengan nol dan entri-entri di bawah entri diagonal utama sama dengan nol. Purnami E. Soewardi / June 08 Matriks Segitiga Atas
  • 18.
    Bentuk Umum MatriksSegitiga Atas : jinjni a a aa aaa aaaa ij nn n n n nn ≤==                 =× ;,,3,2,1;,,3,2,1 nolsemuanyatidakdengan 000 00 0 333 22322 1131211       A
  • 19.
    Matriks bujur sangkaryang entri-entri diagonal dan entri- entri di bawah diagonal tidak semuanya sama dengan nol dan entri-entri di atas entri diagonal adalah nol. Matriks Segitiga Bawah
  • 20.
    Bentuk Umum MatriksSegitiga Bawah : jinjni a aaaa aaa aa a ij nnnnn nn ≥==                 =× ;,,3,2,1;,,3,2,1 nolsemuanyatidakdengan 0 00 000 321 333231 2221 11       A
  • 21.
    Matriks bujur sangkar yangentri entri diagonal tidak semuanya nol, dan entri-entri yang lain adalah nol Matriks Diagonal
  • 22.
    Matriks yang semuaentrinya sama dengan nol Matriks NolMatriks Nol [ ]0 0 0 0 0 0000 0000 000 000 000 00 00 111442 =             =      =           =      = ××× 000 00
  • 23.
    Bentuk Umum MatriksDiagonal: nia a a a a ii nn nn ,,3,2,1,nolsemuanyatidakdengan 000 000 000 000 33 22 11       =                 =×A
  • 24.
    Kesamaan Matriks. Dua buahmatriks A dan B dikatakan sama jika ordo kedua matriks sama dan elemen yang seletak dari kedua matriks juga sama Perhatikan contoh berikut : Diketahui matriks A = dan matriks B = Jika matriks A = B, tentukan nilai x dan y Karena A = B maka = Sehingga 3x = 6 dan 2y = -4 x = x = 2 y = y = -2 Jawab : Jadi x = 2 dan y = -2 1 3 2y3x 1 3 -46 6 3 -4 2 1 3 2y3x 1 3 -46 Menu
  • 25.
    Transpose Matriks Transpose darimatriks A adalah suatu matriks baru yang ditulis dalam bentuk AT . Matriks baru ini diperoleh dengan cara mengubah baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks baru dan mengubah kolom pada matiks A menjadi baris pada matriks baru. Contoh : Tentukan transpose dari matriks A = dan B = Jawab : A = Maka AT = B = Maka BT = 4 2 3 -1 4 3 2 -1 4 7 5 8 7 9 4 3 2 -1 4 7 5 8 7 9 4 5 7 7 8 9 Menu
  • 26.
    Operasi Matriks 1. Penjumlahandan Pengurangan Matriks 2. Perkalian Skalar dengan Matriks 3. Perkalian Matriks dengan Matriks Slide 14 Menu
  • 27.
    Definisi:Definisi: JikaJika AA dandanBB adalah sebarang dua matriks yangadalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlahukurannya sama, maka jumlah AA ++ BB adalah matriksadalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-yang diperoleh dengan menambahkan bersama- sama entri yang bersesuaian dalam kedua matrikssama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbedatersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan.tidak dapat ditambahkan. Penjumlahan MatriksPenjumlahan Matriks
  • 28.
    1. PENJUMLAHAN danPENGURANGAN MATRIKS Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan dan kurangkan jika ordo kedua matriks itu sama. Proses penjumlahan dan pengurangan dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak. Contoh : Jika matriks A = dan B = Hitung : a. A + B b. A - B Jawab : a. A + B = + = = b. A – B = = =- Menu -1 2 3 -4 5 6 7 8 -1 2 3 -4 5 6 8 3 7+ 8 6 -4 2 + + 4 8 10 4 -1 + 7 -1 2 3 -4 5 6 87 3 7- 8 6 -4 2 - - -1 - 5 -6 -4 -4 -12 5 OPERASI MATRIKS
  • 29.
  • 30.
     Definisi:  JikaA dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka A – B didefinisikan sebagai jumlah A + (–B) = A + (–1)B. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan. Pengurangan MatriksPengurangan Matriks
  • 31.
    Perhatikan bahwa A– B dapat diperoleh secara langsung dengan mengurangkan entri B dari entri A yang bersangkutan. Contoh:
  • 32.
    Definisi: Jika A adalahmatriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan. Purnami E. Soewardi / June 08 Perkalian Matriks :
  • 33.
    Definisi: Jika A adalahsuatu matriks dan c adalah suatu skalar, maka hasil kali (product) c A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c. Perkalian Matriks dengan Skalar
  • 34.
  • 35.
    2. Perkalian Skalardengan Matriks. Bila A suatu matriks dan k adalah suatu bilangan real, maka k.A adalah suatu matriks yang diperoleh dari hasil perkalian dengan setiap elemen pada matriks A. Contoh : Diketahui : A = dan B = Tentukan : a. 2A c. 3Bb. -2B d. 3A + 2B Jawab : a. 2A = = b. -2B = = 3 -4 2 1 6 -7 -8 9 3 -4 2 1 6 -8 4 2 6 -7 -8 9 -12 14 16 -18 Slide 13 2 -2
  • 36.
    c. 3B =3 = d. 3A + 2B = 3 + 2 + = = 3 -4 12 9 -12 36 3 -4 12 9 -12 36 6 -7 9-8 12 -14 18-16 21 -26 21-10 3
  • 37.
    3. Perkalian Matriksdengan Matriks Suatu matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B. Untuk mencari hasil perkalian matriks A dengan matriks B ialah mengalikan baris-baris pada matiks A dengan kolom-kolom pada matriks B dan kemudian jumlahkan hasil perkalian baris dan kolom itu. Dan hubungan ordonya didapat : Am x n . Bn x p = C m x p Contoh : 1. Diketahui matriks A = dan B = Tentukan : A x B Jawab : = Slide 13 y a b c d x y a b c d x + b.y A x B = x a.x c.x d.y+
  • 38.
    2. Diketahui A= dan B = A x B = = B x A = Ternyata A x B ≠ B x A, jadi perkalian pada matriks tidak berlaku sifat komutatif 3 5 0 2 2 1 1 3 5 0 2 Tentukan : 1 1 3 = 6 3 2 5 3 + 15 0 + 2 0 + 6 + 1811 2 6 1 1 3 2 x 5 0 2 3 = 6 0 10 + 2 3 + 0 5 + 6 + = 126 3 11 2 18 2 3 x 1 0 x
  • 39.
  • 40.
  • 41.
    Ukuran matriks hasilperkalian A x B = AB m x r r x n m x n
  • 42.
    Definisi: Jika A adalahsebarang matriks m x n, maka transpose A dinyatakan dengan At dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A, dan seterusnya. Purnami E. Soewardi / June 08 Transpose MatriksTranspose Matriks
  • 43.
  • 44.
    Contoh: [ ]952 9 5 2 =⇔           = t CC [] [ ]66 =⇔= t EE           − − =⇔           − − = 712 145 253 712 145 253 t DD
  • 45.
    1. A +B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif untuk penjumlahan) 3. A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian) 4. A(B + C) = AB + AC (Hukum distributif) 5. (B + C)A = BA + CA (Hukum distributif) 6. A(B – C) = AB – AC 7. (B – C)A = BA – CA Aturan-aturan Ilmu Hitung MatriksAturan-aturan Ilmu Hitung Matriks
  • 46.
    8. a(B +C) = aB + aC 9. a(B – C) = aB – aC 10. (a + b)C = aC + bC 11. (a – b)C = aC – bC 12. (ab)C = a(bC) 13. a(BC) = (aB)C = B(aC) Aturan-aturan Ilmu Hitung MatriksAturan-aturan Ilmu Hitung Matriks
  • 47.
    Definisi: Jika A adalahmatriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A. Invers MatriksInvers Matriks
  • 48.
  • 49.
    TeoremaTeorema Jika B danC adalah invers dari matriks A, maka B = C. Selanjutnya, invers dari matriks A dilambangkan dengan A-1 . Jadi AA- 1 = I dan A-1 A = I.
  • 50.
    Definisi : Jika Adan B adalah matriks bujursangkar berordo sama sedemikian sehingga AB = BA = I, maka B adalah invers A (B=A-1 ) dan A adalah invers B ( A = B-1 ) Contoh : Jika A = dan B = Jawab : Harus ditunjukkan bahwa AB = BA = I A B = Tunjukkan bahwa matriks A dan B saling invers satu sama lain ! = = B A = = = Karena AB = BA = I, maka A = B-1 dan B = A-1 Menu 7 2 3 1 -2 -3 7 7 2 3 1 1 -2 -3 7 1 0 0 1 1 1 -2 -3 7 7 2 3 1 10 017 + -6 -21 + -6 21 2 + -2-6 -6 + -6 + 7 I= = I 7 + -6 3 + -6 -3 -14 + 14-6 -14 -6 + -6 + 7 INVERS MATRIKS
  • 51.
    Rumus Invers matriksbujursangkar ordo 2 x 2 Misal A = maka A-1 = Dimana det A = = ad Catatan : •Jika det A ≠ 0, maka A mempunyai invers, dan disebut matriks non singular •Jika det A = 0 maka A tidak mempunyai invers, dan A disebut matriks singular Atau A-1 = a b c d 1 Det A d -b a-c a b c d 1 ad - bc d -b a-c bc- a d
  • 52.
    Pandang matriks 2x 2 Jika det(A) = |A| = ad – bc ≠ 0, maka Mencari invers matriksMencari invers matriks
  • 53.
    Contoh : Tentukan inversmatriks : a. A = b. B = c. C = Jawab : a. A-1 = = = b. Det B = = (-3).4 – (-6).2 = (-12) + 12 = 0 Karena det B = 0, maka matriks B tidak mempunyai invers c. C-1 = = = 2 -5 -1 3 -3 -6 2 4 2 0 2 1 1 2.3–(-5)(-1) 2 5 1 31 6 - 5 3 5 1 2 3 5 1 2 -3 -6 2 4 1 2.1 – 2.0 1 0 -2 2 1 2 1 0 -2 2 1 2 0 -1 1
  • 54.
    Contoh: det(A) = |A|=ad – bc = (2)(3) – (-1)(-5) = 6 – 5 = 1
  • 55.
  • 56.
    Misalkan A danB matriks-matriks yang mempunyai invers dan berukuran sama, k≠0 skalar. Sifat-sifat Matriks 1. AB invertible 2. (AB)-1 = B-1 A-1 3. A0 = I 4. An = A A ... A 5. A-n = (A-1 )n = A-1 A-1 ... A-1 6. (An )-1 = (A-1 )n untuk n = 0, 1, 2, ... n faktor n faktor
  • 57.
    Sifat-sifat Matriks 1. Ar As =Ar+s 2. (Ar )s = Ars 3. (kA)-1 = (1/k) A-1 4. (At )t = A 5. (A + B)t = At + Bt 6. (kA)t = kAt 7. (AB)t = Bt At
  • 58.
  • 59.
  • 60.
  • 61.
    Sifat-sifat Determinan 1. det(A) = det (At ) 2. det (AB) = det(A)det(B) 3. A invertible ↔det(A)≠0 4. det(A-1 ) = 1/det(A)
  • 62.
    Definisi: Jika matriks Aadalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)i+j Mij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij. Kofaktor
  • 63.
    Contoh: Minor entri a11adalah: Kofaktor a11 adalah: Minor entri a32 adalah: Kofaktor a32 adalah:
  • 65.
    Determinan matriks Ayang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni untuk setiap 1≤i≤n dan1≤j≤n, maka det(A) = a1j C1j + a2j C2j + ... + anj Cnj (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j) dan det(A) = ai1 Ci1 + ai2 C2j + ... + ain Cin (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i) Teorema
  • 66.
    Matriks Kofaktor Definisi: Jika Aadalah sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij , maka matriks Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A).
  • 67.
    Teorema Jika A adalahmatriks yang dapat dibalik, maka
  • 68.
  • 69.
    Jika Maka bentuk persamaanini dapat diubah menjadi persamaan matriks sebagai berikut : = Untuk menghitung nilai x dan y dapat menggunakan rumus : = ax + by = e cx + dy = f a b c d x y e f x y 1 ad -bc d -b -c a e f Menu MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINIER DENGAN MATRIKS
  • 70.
    Contoh : Tentukan nilaix dan y dari sistem persamaan linier berikut : Jawab : Pernyataan itu dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut : = Atau = = = = 1 = = Jadi nilai x = 2 dan y = 1 3x + y = 7 5x + 2y = 12 3x y 5x 2y 7 12 3 1 5 2 x y 7 12 x y 2 -1 -5 3 7 12 1 3.2 – 1.5 1 6 - 5 2 -1 -5 3 7 12 2.7 – 1.12 -57 + 3.12 14 - 12 -35 + 36 2 1
  • 71.
    Aturan Cramer ELIMINASI GAUSS JikaAX=B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A)≠0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah , , ... , Dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks
  • 72.
    Contoh: Gunakan aturan Crameruntuk memecahkan: Jawab: Maka:
  • 73.
    EXAMPLE OF FINDINGTHE INVERSE OF A MATRIX A We must find the inverse of the matrix A at the right A = 1 2 -2 -1 1 -2 3 2 1
  • 74.
    Purnami E. Soewardi/ June 08 Below is the same matrix A, augmented by the 3x3 identity matrix. The first pivot encicled in red Below are the row operations required for the first pivoting Next pivot on "3" in the 2-2 position below, encircled in red The columns of the 3x3 identity matrix are colored blue as they re- appear on the left side
  • 75.
    Below is theresult of performing P1, so the pivot (2-2 position) is now "1". Next we perform P2 Row operations of P2 are below The result of the second pivoting is below. We now pivot on the element in the 3-3 position, encircled in red below
  • 76.
    Below is theresult of performing P1, so the pivot (3-3 position) is now "1". Next we perform P2. Below are the row operations of P2 The result of the third (and last) pivoting is below with 3x3 identity matrix in blue The matrix below is NOT A-1 (REDUCED) DIAGONAL FORM 
  • 77.
    Thus, our finalstep is to separate the desired inverse from the above matrix: A-1 =
  • 78.
    EXAMPLE OF FINDINGTHE INVERSE OF A MATRIX A We must find the inverse of the matrix A at the right A = 1 2 -2 -1 1 -2 3 2 1
  • 79.
    Below is thesame matrix A, augmented by the 3x3 identity matrix. The first pivot encicled in red Below are the row operations required for the first pivoting Next pivot on "3" in the 2-2 position below, encircled in red The columns of the 3x3 identity matrix are colored blue as they re- appear on the left side
  • 80.
    Purnami E. Soewardi/ June 08 Below is the result of performing P1, so the pivot (3-3 position) is now "1". Next we perform P2. Below are the row operations of P2 The result of the third (and last) pivoting is below with 3x3 identity matrix in blue The matrix below is NOT A-1 (REDUCED) DIAGONAL FORM 
  • 81.
    Purnami E. Soewardi/ June 08 Thus, our final step is to separate the desired inverse from the above matrix: A-1 =
  • 82.
    Soal-soal latihan . 1.Diketahui matriks A =           −−− −− −−− 65432 09876 54322       − y x 32 32 a. Berapa banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A ? b. Sebutkan elemen baris ke- 2 ? c. Sebutkan elemen kolom ke- 4 ? d. Sebutkan elemen baris ke – 2 kolom ke – 4 ? 2. Tentukan nilai x dan y untuk setiap persamaan matriks berikut : a. =       − y x 32 32 b.       − 7 50 y x       − + 732 1030 y x = Menu
  • 83.
    3. Diketahui matriksA = dan B = Tentukan : a. 2 A b. 3B c. -2 A d. 2 A + 3 B 4. Diketahui matriks B = C = D =A = Tentukan : a. B.A b. B.C b. C.D c. 2CD + 3C d. 3BA – 2A 4 3 2 -3 1 5 -1 -2 -3 4 3 -4 5 6 1 -2 3 -4 5 -6 3 2 -1 7 5 0 -4 35
  • 84.
    5. Tentukan inversdari matriks berikut : a. b. c. d.A = B = C = D = 6. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut dengan menggunakan matriks : a. b. c. d. 4x + 3y = 13 x + y = 4 x + 2y = 9 -5x + 2y = 27 x + 3y = 4 -x + 2y = 1 2x - 3y = 7 3x + 2y = 4 1 2 43 8 -7 5-6 -4 3 -12 4 -1 23
  • 85.
    Penggunaan Matriks  Langkahuntuk menyelesaikan soal kehidupan sehari- hari: 1. Mengubah soal cerita dan menyusun sistem persamaannya 2. Menyelesaikan sistem persamaan dengan matriks E1=84 V R3 R1= 12 ohm R2=3 ohm E2=21 V Contoh:Contoh: Hitunglah iHitunglah i11 dan idan i22 dengan menggunakan matriksdengan menggunakan matriks ddariari rangkaian listrikrangkaian listrik berikut:berikut: 18i18i11 - 6i- 6i22 = 84= 84 -6i-6i11 + 9i+ 9i22 = -21= -21
  • 86.
    Sistem Persamaan Linier( SPL )  Metode Cramer : D Dy ydan D Dxx == ca ca ydan bc bc x; ba ba D 22 11 22 11 22 11 DD === Apabila berbentuk :Apabila berbentuk : aa11x + bx + b11yy == cc11 aa22x + bx + b22yy == cc22 mmaka :aka : dimana :dimana : Apabila berbentuk :Apabila berbentuk : aa11x + bx + b11y + cy + c11z = kz = k11 aa22x + bx + b22y + cy + c22z = kz = k22 aa33x + bx + b33y + cy + c33z = kz = k33 mmakaaka:: dimana :dimana : 333 222 111 333 222 111 333 222 111 333 222 111 kba kba kba z cka cka cka y; cbk cbk cbk x; cba cba cba D DDD dan ==== D Dzzdan D Dy y; D Dxx ===
  • 87.
    DAFTAR PUSTAKA  PURNAMI.E.SOEWARDI,MEDIAPEMBELAJARAN MATEMATIKA,BANDUNG,2008  K.Astroud, Erwin Sucipto, Matematika Untuk Teknik,halaman141 sd 186, halaman 101 sd 117, PT. Gelora Aksara Pratama,1987.