Definición de Conjuntos. Operaciones con conjuntos. Números Reales Desigualdades. Definición de Valor Absoluto Desigualdades con Valor Absoluto

1. NUMEROS REALES
Y
PLANO NUMERICO
Republica Bolivariana de Venezuela
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
PNF- Contaduría
Participante:
Saray Susana Alvarez Rojas
Cedula: 28716049
Seccion: 0105
Facilitador:
Elismar Suarez

2. Los números reales son cualquier número real que está
comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos
representarlo en la recta real. Esta recta recibe el nombre de recta
real dado que podemos representar en ella todos los números
reales.
Los números reales son también todos los números que encontramos
más frecuentemente, dado que los números complejos no se
encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse
expresamente.
Estos se representan mediante la letra R.
Números Reales

3.  Conjunto de los números Reales
El conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos
de números, a saber; los números racionales, los números irracionales.
A su vez, los números racionales se clasifican en:
• Números Naturales (N): Es el primer conjunto de números que
aprendemos de pequeños, los que usamos para contar sin incluir el 0.
Por ejemplo: 1,2,3,4,5,6,7,8…
• Números Enteros (Z): Son todos los números naturales, sus negativos
y el 0. Por ejemplo: -3,-2,-1 0 1,2,3…
• Números Irracionales (I): son números decimales que no pueden
expresarse ni de manera exacta ni de manera periódica.
• Números Racionales (Q): son aquellos números
que se pueden expresar como cociente de dos
números enteros, es decir, son números de la
forma a/b con a,b enteros y b≠0.

4. • Números Algebraicos: son aquellos que provienen de la solución de
alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de
radicales libres o anidados. Por ejemplo, 3
A simple vista parecen irracionales pero al observarlos con más
detenimiento notamos que las raíces son exactas y al calcularlas
llegamos a números racionales. En efecto, √25 = 5
 Operaciones con conjunto de números
reales
Propiedad: Conmutativa
Suma y Resta: El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el
resultado. a+b = b+a
Ejemplo:
2+8 = 8+2 5(-3) = (-3)5

5. Propiedad: Asociativa
Suma y Multiplicación: Puedes hacer diferentes asociaciones al
sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.
a+(b+c) = (a+b)+c a(bc) = (ab)c
Ejemplo:
7+(6+1) = (7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7
Propiedad: Identidad
Suma y Multiplicación: Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0
es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual;
el 1 es la identidad multiplicativa.
a+0= a ax1= a
Ejemplo:
-11+0= -11 17x1= 17

6. Propiedad: Inversos
Suma y Multiplicación: La suma de opuestos es 0. la suma de
recíprocos es 1.
a+(-a)= 0 (a)1/a= 1
Ejemplo:
15+(-15)= 0 1/4(4)= 1
Propiedad: Distributiva
Suma respecto a Multiplicación: El factor se distribuye a cada
sumando.
a(b+c) = ab+ac
Ejemplo:
2(x+8) = 2(x)+2(8)

7.  Desigualdades
una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores
cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es
una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto
ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser
comparados.
La notación a < b significa a es menor que b; (2x − 1 < 7)
La notación a > b significa a es mayor que b. (2x − 1 > 7)
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que
a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente
menor que" o "estrictamente mayor que".
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; (2x − 1 ≤ 7)
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; (2x − 1 ≥ 7)
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades
amplias (o no estrictas).

8.  Valor Absoluto
En matemáticas, el valor absoluto o módulo1 de un número real
x, denotado por|x|, es el valor no negativo de x sin importar el
signo, sea este positivo o negativo.
Así, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud,
distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y
físicos.
Si x es un número real, su valor absoluto es un número real no
negativo definido de las dos siguientes maneras:
1. |x|= √× 2
2. |x| es igual al máximo de (-x,x).

9.  Desigualdades con valor absoluto
Desigualdades con un solo valor absoluto y la variable sólo en el
argumento del valor absoluto. Ejemplos
| 3x+2 | >5
| 5x-4 | ≤ 7
Estas desigualdades o inecuaciones son resueltas de manera muy sencilla
al aplicar las siguientes propiedades del valor absoluto. Ellas las
recordamos de la interpretación geométrica del valor absoluto.
Proposición Para c>0 tenemos
1 |expresión|<c es equivalente a −c< expresión <c.
2 |expresión|>c es equivalente a expresión < −c o expresión > c
Se tiene una proposición similar para desigualdades con valor absoluto no
estrictas, ≤ y ≥ .

10. Así que para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado
izquierdo y una constante positiva en el otro miembro, solo hay que
identificar con alguna de las dos formas, aplicar la equivalencia,
resolver las desigualdades de la equivalencia para pasar a determinar el
conjunto solución de la desigualdad en base a la condición de la
equivalencia. Veamos algunos ejemplos…

11. Ejemplo: Resolver la desigualdad | 5x-4 | ≤ 7.
Paso 1 El valor absoluto ya está despejado. Tiene la forma 1 de la
proposición
Paso 2 La desigualdad es equivalente a
−𝟕 ≤ 𝟓𝐱 − 𝟒 ≤ 𝟕
Paso 3 Se tiene una desigualdad doble, equivalente a dos
desigualdades. Se resuelven de manera simultánea. Lo que se hace
a un miembro se les hace a los otros dos miembros hasta aislar
la x en el miembro del medio.
−𝟕 ≤ 𝟓𝒙 − 𝟒 ≤ 𝟕
−𝟕 + 𝟒 ≤ 𝟓𝒙 − 𝟒 + 𝟒 ≤ 𝟕 + 𝟒 Sumar 4 a cada miembro
−𝟑 ≤ 𝟓𝒙 ≤ 𝟏𝟏
−
𝟑
𝟒
≤
𝟓𝒙
𝟓
≤
𝟏𝟏
𝟓
Dividir entre 5
−
𝟑
𝟓
≤ 𝒙 ≤
𝟏𝟏
𝟓

12. Paso 4 El conjunto solución es {−
𝟑
𝟓
≤ 𝒙 ≤
𝟏𝟏
𝟓
}, es decir las x en el
intervalo [−
𝟑
𝟓
,
𝟏𝟏
𝟓
].
Observación
Así como se resolvió una desigualdad con el valor absoluto de un
lado y un número negativo en el otro lado, desigualdades
como |x−3|>0, con el 0 en un lado de la desigualdad, pueden ser
resueltas usando el hecho que un valor absoluto es siempre mayor o
igual a cero y es cero si y sólo si el argumento del valor absoluto es
cero.
Así, en el caso de la desigualdad |x−3|>0 se quiere determinar todos
los x para los cuáles el valor absoluto es positivo: al conjunto de
todos los números reales hay que quitarle los puntos que hacen el
argumento del valor absoluto igual a 0. Hay que quitarle un sólo
valor: 3. En definitiva, el conjunto solución de la desigualdad
planteada es R−{3}.

13.  Ejercicios Resueltos
a. |2x − 1| ≤ 3 − x
Escribimos la inecuación como
− 3 − 𝑥 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 3 − 𝑥
Por tanto,
𝑥 − 3 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 3 − 𝑥
Resolvemos cada inecuación:
Por un lado, Por otro lado,
𝑥 − 3 ≤ 2𝑥 − 1
−3 ≤ 2𝑥 − 𝑥 − 1
−3 ≤ 𝑥 − 1
−2 ≤ 𝑥
2𝑥 − 1 ≤ 3 − 𝑥
2𝑥 + 𝑥 ≤ 3 + 1
3𝑥 ≤ 4
𝑥 ≤ 4/3
Luego la solución es
𝑥 ∈ −2,4/3

14. b. 𝑥 − 1 ≤ 3
Podemos escribir la inecuación como
−3 ≤ 𝑥 − 1 ≤ 3
Tenemos que resolver las dos inecuaciones.
Podemos hacerlo al mismo tiempo:
Sumamos 1:
−3 + 1 ≤ 𝑥 − 1 + 1 ≤ 3 + 1
−2 ≤ 𝑥 ≤ 4
O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado
−3 ≤ 𝑥 − 1 → −2 ≤ 𝑥
𝑥 − 1 ≤ 3 → 𝑥 ≤ 4
De ambas formas obtenemos la misma solución
𝑥 ∈ −2, 4

15.  Ejercicio para resolver
a. 𝟐 𝒙 + 𝟏 − 𝟑 𝒙 − 𝟐 < 𝒙 + 𝟔
b. −𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙 − 𝟕 < 𝟎

16. BIBLIOGRAFIA
•https://economipedia.com/definiciones/numeros-reales.html
•https://www.upaebvirtual.edu.ve/ead_cot/mod/book/view.p
hp?id=12058
•https://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica
•https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
•http://matematicatuya.com/DESIGUALDADES/S8.html
•https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/valor-absoluto-
inecuaciones-ejercicios-resueltos.html