Diapositivas de clase Demostrativa Matemáticas

1. COLEGIO BACHILLERATO MACARÁ
DOCENTE EN FORMACIÓN:
EVELYN ORDOÑEZ
PRIMERO BGU:
MATEMÁTICAS

2. O La matemática como una expresión de la mente humana, refleja la voluntad activa, la
razón contemplativa y el deseo de perfección estética. Sus elementos básicos son:
O Lógica e intuición,
Análisis y construcción,
Generalidad y particularidad

3. NÚMEROS REALES _
Los números Reales(R) son todos aquellos que se representan
en la recta numérica
√-2 0.5
𝟓
𝟐
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-
𝟗
𝟐
π
La palabra real se usa para distinguir estos números del
número imaginario i

4. NÚMEROS REALES /ESQUEMA _

5. NÚMEROS REALES / CARACTERÍSTICAS
_
Orden
Todos los números reales tienen un orden:
En el caso de las fracciones y decimales:
Integral
La característica de integridad de los números reales es que
no hay espacios vacíos en este conjunto de números. Esto
significa que cada conjunto que tiene un límite superior, tiene
un límite más pequeño.
Expansión decimal
Un número real es una cantidad que puede ser expresada como una
expansión decimal infinita. Se usan en mediciones de cantidades continuas,
como la longitud y el tiempo.
Cada número real se puede escribir como un decimal. Los números
irracionales tienen cifras decimales interminables e irrepetibles, por el
ejemplo, el número pi π es aproximadamente

6. NÚMEROS REALES/ CLASIFICACIÓN _
Números irracionales
Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la división de
enteros en el que el denominador es distinto de cero. Se representa por la letra mayúscula I.
Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción que son
inconmensurables son también irracionales.
Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni fraccionario

7. NÚMEROS REALES/ CLASIFICACIÓN _
Números Racionales (Q)
EJEMPLO:
Cuántos compañeros tenemos en clases
Cantidad de flores que hay en un ramo
Número de libros que hay en una biblioteca.
Números naturales
De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números con
los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el infinito. El conjunto de los números
naturales se designa con la letra mayúscula N.

8. NÚMEROS REALES/ CLASIFICACIÓN _
Números racionales
Números enteros
El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números simétricos.
Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números negativos se
denotan con un signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z y se representa como:
Los enteros positivos son números mayores que cero, mientras que los números menores que cero
son los enteros negativos.
Los números enteros nos sirven para:
•representar números positivos: ganancias, grados sobre cero, distancias a la derecha;
•representar números negativos: deudas, pérdidas, grados bajo cero y distancias a la izquierda.

9. COLEGIO BACHILLERATO MACARÁ
DOCENTE EN FORMACIÓN:
EVELYN ORDOÑEZ
PRIMERO BGU:
MATEMÁTICAS

10. NÚMEROS REALES / PROPIEDADES
_
Como la adición y la multiplicación de números reales consisten
en sumar y multiplicar aproximaciones decimales, que son
números racionales, las propiedades en ℝ son las mismas que
en ℚ
Por cumplirse estas propiedades, decimos que el conjunto ℝ
con las operaciones de adición y multiplicación tiene estructura
de cuerpo conmutativo.
Sustracción y división de números reales
• La resta de dos números reales la obtenemos al sumar al
minuendo el opuesto del sustraendo.
• El cociente de dos números reales lo obtenemos al multiplicar
uno de ellos por el inverso del otro (siempre que éste sea diferente
de cero).
a - b = a + (-b)
a = a . 1/b ; (b = 0)

11. NÚMEROS REALES / PROPIEDADES DE ORDEN
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A partir de la relación <, podemos definir las restantes relaciones:
a ≤ b ↔ a < b o a = b a > b ↔ b < a a ≥ b ↔ b < a o b = a
• Propiedad reflexiva: a ≤ a
• Propiedad antisimétrica: a ≤ b y b ≤ a ↔ a = b
• Propiedad transitiva: a ≤ b y b ≤ c → a ≤ c
• Propiedad de orden total: a ≤ b o b ≤ a
Por último, enunciamos dos propiedades que tienen que ver con las operaciones y
las desigualdades: Si sumamos un mismo número a los dos miembros de una
desigualdad, esta se mantiene:
si a ≤ b ⇔ a ± c ≤ b ± c
Si se multiplican o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número real, se mantiene el
sentido de la desigualdad si el número es positivo, y se invierte el sentido si es negativo:
si a ≤ b y c ⇔ 0 1 c ⋅ a ≤ c ⋅ b
si a ≤ b y c ⇔0 1 c ⋅ a ≥ c ⋅ b

12. NÚMEROS REALES /POTENCIACIÓN POR ENTEROS_
Sabemos que el producto de varios números racionales iguales puede expresarse como una potencia de base
racional.
La potencia de base a, es un número real y su exponente es un número natural n, la potencia es el
producto del número a por sí mismo, n veces. Las operaciones con potencias de base real y
exponente natural tienen las mismas propiedades que las de base racional.
Las operaciones con potencias de base real y exponente natural tienen las mismas propiedades que las de base racional.

13. NÚMEROS REALES /RAÍZ ÉNESIMA
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Las raíces cuadradas de un número real b son los números reales + a y – a si y solo si: (+a)² = b y (-a)² = b. Se
expresa: b = ± a. b debe ser un número real mayor o igual que 0, ya que es una potencia par de + a y de - a. De
este modo:
También conviene observar que si b es un número racional, su raíz cuadrada puede ser un número racional o
irracional.
A las raíces de índice diferente de 2 las definimos de forma parecida a las raíces cuadradas. Por ejemplo, el
número 125 es el resultado de elevar al cubo el número 5. Así, el número 5 es la raíz cúbica de 125. Y el número
-125 es el resultado de elevar al cubo el número -5. Así, el número -5 es la raíz cúbica
de -125.
b es la raíz enésima de a, es decir, n b= a , si y solo si 𝑏𝑛
= a, donde a, b son reales y
n es un natural mayor que 1

14. COLEGIO BACHILLERATO MACARÁ
DOCENTE EN FORMACIÓN:
EVELYN ORDOÑEZ
PRIMERO BGU:
MATEMÁTICAS

15. NÚMEROS REALES /INTERVALOS
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Podemos hablar de los números reales comprendidos entre dos
números reales determinados. Estos números se corresponden
con un segmento de la recta real y constituyen lo que
denominamos un intervalo.
• indica el extremo
contenido por el
intervalo y el símbolo
o el no contenido.
Según contengan o no los extremos, se tienen los siguientes tipos:
La distancia entre los extremos a y b y, en general, la distancia entre dos números reales a y b es el valor absoluto de
su diferencia: d (a, b) = |a-b|

16. NÚMEROS REALES/ INTERVALOS _
Intervalos infinitos A los intervalos que en uno de sus extremos tienen el símbolo ∞ los llamamos intervalos
infinitos, y los correspondemos con semirrectas de la recta real.
Los intervalos en la recta real son conjuntos de números, las operaciones entre ellos se realizan aplicando los
mismos procedimientos de operaciones entre conjuntos: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica,
complemento, leyes de Morgan, etc. Los resultados de las operaciones con intervalos se pueden expresar en
notación de intervalo, en notación de conjunto o gráficamente.

17. NÚMEROS REALES/ OPERACIÓN DE INTERVALOS
Unión e intersección de intervalos Puesto que los intervalos son conjuntos de números, podemos utilizar los
símbolos ∪ y ∩ para expresar el conjunto formado por varios intervalos (∪) o el conjunto de los puntos que son
comunes a varios intervalos (∩).
Llamamos unión de dos conjuntos A y B, y escribimos A ∪ B, al conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A o a B.
Llamamos intersección de dos conjuntos A y B, y escribimos A ∩ B, al conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A y a B.
Llamamos diferencia de dos conjuntos A y B, y escribimos A - B o A ∖ B, al conjunto formado por los elementos
de A que no pertenecen B.
Ejemplo: Si A = {1, 2 ,3} y B = {2, 4 ,6} entonces:

18. NÚMEROS REALES/ OPERACIÓN DE INTERVALOS
Dados los conjuntos A = {x ∈ ℝ / x < 4} y B = {x ∈ ℝ / x > -2}, expresamos, mediante intervalos,
A ∪ B, A ∩ B, B − {1} y A ∩ B − {1}.

19. NÚMEROS REALES/ OPERACIÓN DE INTERVALOS
La operación diferencia de dos intervalos es otro intervalo que contiene los elementos que pertenecen al primero
pero NO al segundo. Gráficamente, a la solución la encontramos localizando los intervalos en una recta real y
resaltando el primero con líneas inclinadas en un sentido y el segundo con líneas en sentido contrario. El
intervalo solución (Is ) corresponde a la parte «rayada» con la inclinación del primero.
Si A = (-1; 4] y B= (2; 5). Calculamos A - B
Calculemos el Is de: A - B (Leemos A diferencia B), si y A = [-3, 6] y B = (0,4)
Con rayas inclinadas como el primero está de -3 y de 4 a 6; por lo tanto, estos son los intervalos solución. Los
límites deben pertenecer al primero: -3 є A, 0 є A, 4 є A y 6 є A, Is en notación de intervalo: [-3;0] ∪ [4;6]

20. NÚMEROS REALES/ OPERACIÓN DE INTERVALOS
La operación complemento de un intervalo es otro intervalo que contiene los elementos que le faltan para
completar el conjunto universal, que en este caso es la recta real. Gráficamente, a la solución lo encontramos al
localizar el intervalo en una recta real y resaltar los faltantes con líneas en el mismo sentido. El intervalo
solución corresponde a la parte «rayada».
Si A = [-3; 2). Calculamos A´
Hallemos el A´ del intervalo: A = [2,5 )

21. NÚMEROS REALES
Valor absoluto y distancia
Todo número real a lleva asociado una magnitud que indica la amplitud del intervalo que tiene como extremos 0 y a.
El valor absoluto de a es igual al propio valor a si este es positivo, o a su opuesto, - a, si es negativo. Lo escribimos |a|.
El valor absoluto de 4 y - 4, por ejemplo, es 4.
Podemos extender el concepto de valor absoluto para definir la distancia entre dos números reales a y b cual quiera:
La distancia entre a y b es el valor absoluto de la diferencia entre ambos números: d (a, b) = |b − a|.
Por lo tanto, d (a, b) es la amplitud de un intervalo de extremos a y b, mientras que el valor absoluto de un número
corresponde a su distancia al número 0. Por ejemplo, la distancia entre -3 y 5 es: d (−3, 5) = |5 − (−3)| = |5 + 3| = 8