Revision Blibliografica conjuntos

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad U.P.T.A.E.B
INTEGRANTE
EDILMAR HERNANDEZ
SECCION 0201

2. CONJUNTO:
Al conjunto de los números reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo numérico
a partir de los números naturales. Con los números naturales (N) se puede sumar y
multiplicar pero no se puede restar (a - b) si a ≤ b. Se definen así los números negativos o
enteros negativos que al unirse con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los
números enteros (Z). Con los números enteros (Z) se puede sumar, restar, multiplicar pero
no dividir 𝑎/𝑏 , si a no es múltiplo de b.
Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el conjunto de
los números racionales. Todo número racional se puede expresar como un número decimal
exacto
7
2
= 3.5 Ó como un número decimal periódico, es decir con infinitas cifras
decimales que se repiten
7
9
= 0.777
Con los números racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir ( 𝑎/𝑏 si b ≠ 0). Si
bien el conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para realizar las
diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de él
√2,√5 entre otros. Surgen los números irracionales para dar respuesta a estas instancias.
Los números irracionales se pueden expresar como números decimales de infinitas cifras
decimales no periódicas.
Los números irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los números
reales (R).
Los números reales cumplen propiedades comprendidas en tres categorías:
 Propiedades algebraicas.

3.  Propiedades de orden y de completitud.
Las propiedades algebraicas establecen que los números reales pueden ser sumados,
restados, multiplicados y divididos (excepto por cero) obteniéndose otro número real.
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los
números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los números
reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunívoca (uno a
uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta o eje.
A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta
o eje se le asocia un único número real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de
referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una
unidad de longitud para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta
a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto.
A cada número real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo
siguiente:
 se asocia al origen el número 0,
 se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades
del origen en la dirección positiva,se asocia a cada número negativo
 p el punto que está a p unidades de distancia del origen en la dirección negativa.
Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que
le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta
recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de los números
reales. También se la conoce como eje coordenado o eje real.
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".
Ejemplo.

4. Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes:
dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea
igual a b.
Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al número a está a
la izquierda del punto que representa al número b.
Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la derecha
del que representa a b.
Si a = b, los puntos se superponen.
La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al punto b
si el número real a es menor que el número real b (a < b).
Los enunciados a < b y a > b, junto con las expresiones a ≤b (a < b o a = b) y a ≥ b (a > b o
a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las
segundas, desigualdades no estrictas o amplias.
DESIGUALDADES
En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar dos
cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades se comportan muy bien
con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la división y la
multiplicación.
Ejemplos.
 Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.
 Como 8 > 3 entonces 8 - 4 >3 - 4, esto es, 4 > - 1

5. Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30
Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) 10.(-3), esto es - 21 > - 30
En los diferentes ejemplos se observa que:
 Al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido
de la misma se mantiene
 Al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de
la misma se mantiene
 La multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad,
 La multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.
Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades.
Sean a, b y c números reales cualesquiera:
 Si a < b entonces a + c < b + c
 Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c
 Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c
Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En
símbolos a < b < c.
Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las desigualdades >, ≤ y ≥.
INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen uno o más valores desconocidos.
Resolverla es encontrar el conjunto de todos los números reales para los cuales es
verdadera.
Para resolver una inecuación se utilizan las propiedades de las desigualdades y de los
números reales que conducen a una desigualdad equivalente. Esto significa que la nueva
desigualdad tiene el mismo conjunto de soluciones que la dada.
Todos los números que satisfacen la desigualdad constituyen el conjunto solución.
Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad 2x + 4 < 5.

6. Para resolver la inecuación se debe transformarla paso a paso, aplicando propiedades hasta
obtener el conjunto solución.
Se suma - 4 a ambos miembros: 2x + 4 + (- 4) < 5 + (- 4)
2x < 1
Se multiplican ambos miembros por 1/2 : x < 1/2
La solución es el conjunto de todos los valores reales de x menores que 1/2 . Por lo tanto,
el conjunto solución es S = {𝑥/𝑥 < 1/2}
. Gráficamente:
Ejemplo.
Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad -5 X +8 ≥ 3
La solución se obtiene de la siguiente manera:
se suma
8 a ambos miembros -5 X + 8 + (-8) ≥ 3 + (-8)
-5X < -5
Se multiplica a ambos miembros por 1/5
Como el número es negativo se invierte el sentido de la desigualdad: (−
1
5
) .(-
5x) ≤(−
1
5
) .(- 5) x ≤ 1
Gráficamente:

7. El conjunto solución es
S = {X/X≤1}
Nota. Si la representación gráfica del conjunto solución es:
x ≥ a x ≤ a
Esto indica que el extremo a está incluido en el mismo.
Si la representación gráfica del conjunto solución es:
x > a x < a
Esto indica que el extremo a no está incluido en el mismo.
Para representar el conjunto de soluciones se utilizan los intervalos. Se analizan a
continuación qué tipo de intervalos pueden definirse sobre la recta real.
Intervalo
Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales
que están comprendidos entre dos cualquiera de sus elementos.
Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma
recta real.
Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos, los
intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos.

8. Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semi abiertos.
Sean a y b dos números reales tales que a < b.
Intervalo cerrado
Es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos entre ambos.
[a, b] = { x / a ≤ x ≤ b}
Intervalo abierto
Es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.
(a, b) = {x / a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha)
Es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b.
(a, b] ={x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda)
Es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b.
[a, b) = { x / a ≤ x <b}
Intervalos infinitos

9. [a, +∞) ={ x / x ≥ a} (a, +∞) = { x / x > a}
(-∞, b] = { x / x ≤ b} (-∞, b) = { x / x < b}
(-∞, +∞ ) = R
Ejemplo.
Interprete gráficamente los intervalos:
a) [-2, 3]
b) b) (1, 4)
c) c) (0, 5]
d) d) [1, +∞ )
e) e) (-∞ , 3)
a) El intervalo [-2, 3] comprende todos los números reales entre -2 y 3. Como es cerrado
incluye los extremos. Su representación gráfica es:
b) El intervalo (1, 4) corresponde a todos los números reales entre 1 y 4. Es abierto pues no
incluye a los extremos. Gráficamente:
c) El intervalo (0, 5] comprende todos los números reales entre 0 y 5 incluyendo el extremo
5. Se trata de un intervalo semiabierto a izquierda o bien semicerrado a derecha. Su gráfica
es:
d) El intervalo [1, + ∞ ) es infinito y comprende todos los números reales mayores o iguales
a 1.

10. Gráficamente:
e) El intervalo (-∞, 3) es infinito y comprende todos los números reales menores que 3. Su
gráfica es:
VALOR ABSOLUTO
En la siguiente gráfica, los números -3 y 3 representan las coordenadas de dos puntos
distintos en la recta numérica. Sin embargo, ambos están situados a la misma distancia del
0.
El punto correspondiente a -
3 está situado a la izquierda del
0 a la misma distancia que el
punto correspondiente a 3 que se
encuentra situado a la derecha.
Esto se indica con la notación
valor absoluto:
- | 3| = 3: valor absoluto de -3 es
3.
| 3| = 3: valor absoluto de 3 es 3.
Si a es un número real entonces a es la coordenada o
abscisa del punto A sobre la recta real o numérica. El
símbolo | a| indica el número de unidades entre el punto A
y el origen. El número |a| , no negativo, se llama valor
absoluto de a.

11. Para un número positivo a resulta que su valor absoluto coincide con él mientras que si el
número es negativo su valor absoluto es el opuesto de a. Además como 0 es el origen es
evidente que | 0 | = 0.
Desde el punto de vista geométrico el valor absoluto de un número es la distancia entre el
punto y el origen.
Desde el punto de vista algebraico, se define el valor absoluto de un número de la siguiente
manera:
| a| =
El valor absoluto de todo número real es un número no negativo.
En símbolos:
Propiedades del valor absoluto
 | a.b| = | a| .| b| , ¥ a, ¥ b
 |a/b| =| a| / | b| , ¥ a, ¥ b ≠ 0
 | a + b| ≤ | a| +| b| , donde a, b € R (desigualdad triangular)
 ¥ a : | a| = |-a|
Distancia entre dos puntos
El concepto de valor absoluto permite definir la distancia entre dos puntos cualesquiera de
la recta real. Por ejemplo, la distancia entre los puntos de abscisas 3 y 8, es 5.
Esta distancia se obtiene al restar las coordenadas de los puntos: 8 - 3 = 5.

12. Utilizando valor absoluto | 8 - 3| = 5. Como |3 - 8| también es 5, se concluye que no importa
el orden en el que se realice la resta.
De la misma manera si se desea determinar la distancia entre los puntos de abscisas -2 y 5:
| 5 |(-2) = | 5 + 2| = 7
Para calcular la distancia entre dos puntos ubicados a la izquierda del origen, se obtiene:
|- 3|- (-2)= | - 3+2| = |-1| = 1
Definición. Sean a y b las coordenadas o abscisas de los puntos A y B sobre la recta real.
La distancia entre ellos está dada por:
d(A, B) |- a b| = | b - a|
Se puede observar que la distancia entre el origen O y el punto A está dada por:
d(A, 0) = |a - 0| = |0 - a| = | a|

13. El concepto de valor absoluto de un número se emplea en algunas definiciones importantes
en el estudio del Cálculo. Se resolverán ecuaciones e inecuaciones en las que interviene
dicho concepto.
Ejemplos. Determine él o los valores de x que verifican cada igualdad o desigualdad:
| x| = 3
Desde el punto de vista geométrico | x| = 3 significa que la distancia del o los valores de x
al cero debe ser tres. De aquí resulta que las soluciones de esta ecuación son x = 3 y x = -3.
S= {X/-3≤3}=[ -3,3 ]
En este ejemplo se deben considerar todos los números que distan del origen menos de tres
unidades. La solución de la inecuación son todos los números reales entre - 3 y 3, es decir, -
3 < x < 3. Resulta el intervalo abierto (-3, 3).
S = { x / -3 < x < 3}= (-3, 3)
| x| ≤ 3
Los valores de x que satisfacen la desigualdad son todos los que se encuentran a una
distancia del cero menor o igual a tres. Por lo tanto el conjunto solución está formado por –
3, 3 y todos los números reales comprendidos entre ellos. Resulta el intervalo cerrado [-3,
3].
S = {- x / -3 ≤ x ≤ 3} = [-3, 3]
| x| = 3
Realizando el mismo análisis que en los ejemplos anteriores, resulta que los valores de x
que verifican la desigualdad son aquellos que están a más de 3 unidades del origen. La
solución es el conjunto de los números reales mayores que 3 o menores que -3. La solución
se puede escribir como unión de dos intervalos abiertos: (-∞ , -3) U (3, +∞ ).

14. S = { x / x ≤ -3 ó x ≥ 3= (-∞ , -3) U (3, +∞ )
Resumiendo todas las situaciones en un mismo gráfico resulta:
DISTANCIA Y PINTO MEDIO:
La distancia entre dos puntos es el valor del módulo del vector director de esos
puntos.
Si conocemos las coordenadas de los vértices de un triángulo podemos calcular la
longitud de sus lados y la longitud de sus medianas.
Punto medio:
En una recta numérica, el número a la mitad entre x 1 y x 2 es
Ejemplo 1:
Encuentre el punto medio entre –1 y 4.
Use la fórmula. El punto medio es
(–1 + 4)/2 = 3/2 ó 1.5.

15. Ejemplo 2:
Si 0.5 es el punto medio de y la coordenada de P es -4, encuentre la coordenada de R .
Use la fórmula.
Para comenzar a resolver, multiplique ambos lados por 2.
Enseguida, sume 4 en ambos lados.
Así, la coordenada de R es 5.
En dos dimensiones
Suponga que se le dan dos puntos en el plano ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ), y se le pide encontrar
el punto a la mitad entre ellos. Las coordenadas de este punto medio serán:
Una forma fácil para pensar en esto es que la coordenada en x del punto medio es el
promedio de las coordenadas en x de los dos puntos, y de la misma forma con la
coordenada en y.

16. Ejemplo 1:
Encuentre el punto medio entre (–2, 5) y (7, 7).
Use la fórmula. Las coordenadas del punto medio son:
Simplifique.
Ejemplo 2:
Si Q (2, -2) es el punto medio de y P tiene las coordenadas (-6, -6), encuentre las
coordenadas de R .
Use la fórmula para escribir y resolver las dos ecuaciones para las coordenadas de R .
Primero, encuentre la coordenada en x .

17. Luego, encuentre la coordenada en y .
Así, las coordenadas de R son (10, 2).
En tres dimensiones
Es bastante fácil predecirlo basado en la fórmula para dos dimensiones!
En el espacio tridimensional, el punto medio entre ( x 1 , y 1 , z 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 ) es
Distancia de un punto a una recta
La fórmula de la distancia de un punto a una recta dada en forma general, la
usamos para calcular la medida de las alturas de un triángulo y la distancia entre
rectas paralelas.

18. Ejemplo
Calcula la distancia del punto a la recta de ecuación .
Distancia al origen de coordenadas
Ejemplo
Hallar la distancia al origen de la recta
.

19. Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, , de
una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.
Ejemplos
1 Hallar la distancia entre
y .
Primero comparamos las pendientes para verificar que sean paralelas
Buscamos un punto para alguna de las rectas
Sustituimos en la fórmula de distancia de un punto a una recta

20. 2 Hallar la distancia entre las rectas:
SUPERFICIES CÓNICAS:
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta , que llamamos generatriz,
alrededor de otra recta , eje, con el cual se corta en un punto , vértice.
 = la generatriz
 = el eje
 = el vértice

21. Elementos de las cónicas
 Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una
recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
 Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
 Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
 Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de
revolución.
 Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que
no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de
conicidad y la inclinación del plano respecto del eje del cono , pueden obtenerse
diferentes secciones cónicas.
ELIPSE
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano
oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo
mayor que el que forman eje y generatriz.
La elipse es una curva cerrada.

22. PARÁBOLA
La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano
oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.
HIPÉRBOLA

23. La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano
oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que
incide en las dos hojas de la superficie cónica.
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas
separadas.
Ejemplos:
Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la
excentricidad de las siguientes hipérbolas.
a) 1
De la ecuación de la hipérbola se obtiene

24. Encontramos el valor de
Conociendo , que la hipérbola se encuentra centrada en el origen y su eje real es
horizontal, ya podemos encontrar los vértices , los focos, y la
excentricidad
Con los datos anteriores, representamos gráficamente la hipérbola

25. b)
De la ecuación de la hipérbola se obtiene
Encontramos el valor de
Conociendo , que la hipérbola se encuentra centrada en el origen y su eje real es
vertical, ya podemos encontrar los vértices , los focos, y la
excentricidad
Con los datos anteriores, representamos gráficamente la hipérbola