Acacio Brayan Ad0102

1. Acacio Brayan
Sección: Ad0102

2. Definición
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta
real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y
más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado
que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que
buscarse expresamente. Los números reales se representan mediante la letra: R

3. Definición de los Conjuntos
Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números
naturales, enteros, racionales e irracionales.
• Números Naturales
Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños.
Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo
contrario (cero neutral).
Expresión: La letra N representa el conjunto de los números naturales.
Pista → Nos podemos acordar de los números naturales pensando en que son los
números que usamos “naturalmente” para contar. Cuando contamos con la mano
obviamos el cero, lo mismo para los números naturales.
Primeros elementos del conjunto de números naturales:

4. • Números Enteros
Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los
números negativos.
Expresión: La letra Z representa el conjunto de los números enteros.
Pista: → Nos podemos acordar de los números enteros pensando en que son todos los
números que usamos naturalmente para contar junto con sus opuestos e incluyendo el
cero (0). A diferencia de los racionales, los números enteros representan
“enteramente” su valor.
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros:

5. • Números racionales
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los
números enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números
enteros.
Expresión: La letra Q representa el conjunto de los números racionales.
Pista → Nos podemos acordar de los números racionales pensando en que siendo
fracciones de números enteros, es “racional” que el resultado sea un número entero o
un número decimal finito o semiperiódico.
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números racionales:

6. • Números irracionales
Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de
manera exacta ni de manera periódica.
Expresión: La letra I representa el conjunto de los números irracionales.
Pista → Nos podemos acordar de los números irracionales pensando en que son todos
los números que no encajan en las clasificaciones anteriores y que también pertenecen
a la recta real.
Ejemplo de algunos elementos del conjunto de números irracionales.

7. Operaciones con los Conjuntos
Propiedades de los reales en la suma o adición:
La suma de números reales, también llamada adición, es una operación que se efectúa
entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre
que se tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí.
La suma de números reales tiene las siguientes propiedades:
Propiedad Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
Propiedad Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

8. Propiedad Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
Propiedad del Elemento neutro:
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da
el mismo número.
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso:
Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el
número y su inverso, el resultado es 0 (cero): si a es un número real, entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un número es igual al mismo número.

9. Propiedades de los reales en la Diferencia (resta o sustracción)
La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el
opuesto del sustraendo.
a – b = a + (–b)
La resta es la operación inversa de la suma, es una operación entre dos números: el
minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar;
por ejemplo:
13,2 – 17,8 = –4,6
Minuendo – sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los números.
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los signos:
• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el
sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.

10. Por ejemplo:
27,8 – 12,1 = 15,7
• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se
efectúa la resta y el resultado es negativo.
Por ejemplo:
12,1 – 27,8 = –15,7
• Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y
al resultado se le pone el signo menos.
Por ejemplo:
–21,8 – 12,1 = –33,9
• Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.
Por ejemplo:
27,8 – 12,1 = 27,8 + (–12,1) = 15,7
• Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo.
Por ejemplo:
27,8 – (–12,1) = 27,8 + 12,1 = 33,9 –27,8 – (–12,1) = –27,8 + 12,1 = 12,1 – 27,8 = –15,7
Aunque la resta está muy emparentada con la suma, no tiene todas las
propiedades de la suma.

11. Por ejemplo, la resta no es una operación conmutativa:
54,2 – 33,1 = 21,1
y ese resultado es distinto de
33,1 – 54,2 = –21,1
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicación)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los números enteros y
racionales se sigue manteniendo con todos los números reales.
Entre las propiedades del producto o multiplicación con números reales tenemos:
Propiedad Interna:
El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

12. Propiedad Conmutativa:
La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el
producto". Si a y b son dos números reales, entonces:
Propiedad del Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por
él da el mismo número.
Propiedad del Elemento opuesto:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el
elemento unidad.
Propiedad Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si se tienen más de dos factores,
da igual cuál de las multiplicaciones se efectúe primero:
Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que

13. Propiedad Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
número por cada uno de los sumandos.
Propiedad que permite Sacar factor común (factorizar):
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor.
Propiedades de los reales en la División
La división es la operación inversa de la multiplicación, es una operación entre dos
números: el dividendo y el divisor . Con una excepción, siempre que se tengan dos
números reales, se pueden dividir; por ejemplo:
1,86 ÷ 3,1 = 0,6
Dividendo divisor cociente

14. La excepción es que el divisor no puede ser cero . Esto es, no se puede dividir entre
cero
Pero, ojo, que el dividendo sí puede ser cero , y cuando esto ocurre el resultado o
cociente siempre es cero.
Por ejemplo:
0 ÷ 5,41 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la
multiplicación:
• el cociente de dos números de igual signo siempre es positivo;
• el cociente de dos números de distinto signo siempre es negativo.
Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las
propiedades de la multiplicación.
Por ejemplo, la división no es una operación conmutativa:

15. Como vemos en:
6,24 ÷ 3 = 2,08
y ese resultado es distinto de
3 ÷ 6,24 ≈0,4807
La división no es una operación asociativa:
Como vemos en:
(8 ÷ 4) ÷ 2 = 1
mientras que
8 ÷ (4 ÷ 2) = 4

16. Desigualdades
Los enunciados a>b y a<b, junto con las expresiones a ≤ b (a < b o a = b) y a ≥ b (a > b
o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas
y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.
En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar
dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades se comportan
muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la división y
la multiplicación.
Ejemplos:
• Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.
• Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1
• Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30
• Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30

17. En los diferentes ejemplos se observa que:
• Al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la
misma se mantiene
• Al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la
misma se mantiene
• La multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad,
• La multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.
Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades. Sean
a, b y c números reales cualesquiera:
· Si a < b entonces a + c < b + c
· Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c
· Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c

18. Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En
símbolos a < b < c.
Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las desigualdades >,≤ y ≥ .
Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen uno o más valores
desconocidos. Resolverla es encontrar el conjunto de todos los números reales para los
cuales es verdadera.
Para resolver una inecuación se utilizan las propiedades de las desigualdades y de los
números reales que conducen a una desigualdad equivalente. Esto significa que la
nueva desigualdad tiene el mismo conjunto de soluciones que la dada.
Todos los números que satisfacen la desigualdad constituyen el conjunto solución.
Ejemplo:
Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad 2x + 4 < 5.

19. Para resolver la inecuación se debe transformarla paso a paso, aplicando
propiedades hasta obtener el conjunto solución.
• se suma - 4 a ambos miembros: 2x + 4 + (- 4) < 5 + (- 4)
2x < 1
• se multiplican ambos miembros por 1
2
: 𝑥 <
1
2
La solución es el conjunto de todos los valores reales de x menores que
1
2
. Por lo tanto,
el conjunto solución es S =
Gráficamente:

20. Valor Absoluto
En la recta numérica, el valor absoluto de un número o una expresión es la distancia
entre el valor y cero. Cuando usamos la recta numérica para explorar el valor absoluto,
éste siempre estará en cero o a la derecha del cero. Si el valor original es positivo o cero,
el valor absoluto estará sobre el original.
Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán en el mismo lugar. El
|3| es 3. En éste caso, el valor original y el valor absoluto se posicionan 3 unidades a la
derecha del cero en la recta numérica.
Si el valor original es negativo, el valor absoluto quedará a la misma distancia del cero
que el valor original, pero en el otro lado del origen. El |-4| es 4. Si graficamos el valor
original y el valor absoluto, ambos quedarán a la misma distancia del cero, pero en
direcciones opuestas.

21. Cuando utilizamos la recta numérica para mostrar el valor absoluto de una expresión,
debemos una vez más asegurarnos que llevamos a cabo todas las operaciones dentro de
las barras antes de graficar. El |4 − 6| se coloca en 2, no -2, 4, o 6.
El valor absoluto es un concepto útil cuando sólo estamos interesados en el tamaño de la
diferencia entre dos números. El valor absoluto nos da la distancia, pero descarta la
información con respecto a la dirección.
Como la dirección es ignorada, el valor absoluto de un número sólo puede ser positivo o
cero, nunca negativo. Cuando el valor de una expresión es positivo o cero, su valor
absoluto es el mismo que el valor original. Cuando el valor de una expresión es negativo,
su valor absoluto es el mismo valor pero sin el signo negativo. Ejemplo:
¿Cuál de los puntos en ésta recta numérica es |3 − 8|?
A) punto D B) punto A C) punto B D) punto C
La respuesta correcta es el punto C. Ya que |3 − 8| = |-5|. El valor absoluto
de -5 es 5.

22. Desigualdades con Valor Absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4
.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras,
para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .

23. Ejemplo 1 :
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:

24. Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b , entonces a
> b O a < - b .

25. Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:

26. Referencias Bibliográficas
Números reales - Qué es, definición y concepto _ Economipedia
https://economipedia.com/definiciones/numeros-reales.html
Operaciones con números reales y sus propiedades
https://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numeros_reales_propiedades.html
Números reales y la recta real
https://www.fca.unl.edu.ar/Limite/1.2%20Desigual.htm#:~:text=Una%20inecuaci%C3%B
3n%20es%20una%20desigualdad,para%20los%20cuales%20es%20verdadera.&text=Todos%20
los%20n%C3%BAmeros%20que%20satisfacen,Ejemplo.
Valor Absoluto
https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U02L2T1/TopicText/es/text.html
Desigualdades de valor absoluto
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value-
inequalities#:~:text=La%20desigualdad%20%7C%20x%20%7C%20%3C%204,0%20es%20menor
%20que%204.&text=Caso%202%3A%20La%20expresi%C3%B3n%20dentro,soluciones%20de%2
0estos%20dos%20casos.