Definiciones matemáticas: Conjuntos Numero Reales Valor Absoluto Desigualdad de valor absoluto Planos cartesianos Representación gráfica de las cónicas

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL
“ANDRES ELOY BLANCO”
BARQUISIMETO ESTADO LARA
PARTICIPANTE:
Norneris Meléndez
CI: 17380599
Sección: 0401
BARQUISIMETO MARZO 2021

2. Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza,
es decir, elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas
propiedades o características, y que pueden tener entre ellos, o con los
elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las
operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y complemento.

3. Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para
formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que
queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un
conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B
será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con
todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El
símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el
siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para
representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que
se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la
operación de unión.
También se puede graficar
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la
unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

4. Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la
de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A
y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será
excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el
siguiente: ∩.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
intersección de estos conjuntos será A ∩ B={4,5}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Intersección de conjuntos.

5. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde
de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos
los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es
decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos
entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no
pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el
mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente:
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

6. .
.Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a
ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará
formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que
se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
diferencia simétrica de estos conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:

7. Ejemplo
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el
conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los
siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de
Venn se tendría lo siguiente:
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del
conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un
conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto
complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto
universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En
esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el
conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto
del cual se hace la operación de complemento.

8. A la unión del conjunto I de los números
irracionales con el conjunto Q de los números
racionales se le llama conjuntos de los números
reales y se denota con la letra 𝑅 = 𝑄 ∪ 𝐼
Los números Naturales (N) los numero entero (Z), todos
números enteros es un numero Racional (Q) y todo numero
racional es un numero real(R). Se puede escribir:
𝑁 ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄 ⊂ 𝑅
El conjunto I no tienen elementos comunes con Q. por lo
tanto, la intersección de ambos de ambos conjuntos es el
conjunto vacío, lo cual en símbolos se expresa así: Q ∩ 𝐼 =
⊘
Pero el conjunto I es subconjunto de R, es decir 𝐼 ⊂ 𝑅.
 Los subconjuntos notables de R son:
El conjunto de los números reales sin el cero, que se
denota así: 𝑅+ = 𝑅 − 0
El conjunto de los números reales positivos que se
denota así: 𝑅+
El conjunto de los números reales negativo que se
denota asi: 𝑅−

9.  𝑁 ∩ 𝑍− =⊘. el conjunto de los números naturales
no tienen elementos en común con el subconjunto
de los enteros negativos, por lo tanto, su
intersección es conjunto vacío.
 𝑄−
∪ 𝑄+
= 𝑄∗
. AL UNIR LOS subconjuntos 𝑄−
y 𝑄+
se
obtienen todos los racionales negativos y positivos sin el
cero, es decir , 𝑄∗.
 𝐼 ∩ 𝑅− = 𝐼−. Al intersectar los irracionales
con los reales negativos, los elementos
comunes a ambos son los irracionales
negativos.
 𝑁 ∪ 𝐼 = 𝑁 ∪ 𝐼. Como el conjunto 𝑁 no tiene
elementos en común con el conjunto
𝐼, su union no corresponde a ningun a ningún
conjunto o subconjunto notable y por ello el
resultado se expresa de esa forma.
 𝑅∗
∪ 0 = 𝑅. El conjunto de todos los
números reales sin el cero se denota
así: 𝑅∗
, por lo tanto al unirlo con el
cero se obtienen todo el conjunto

10. La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.
La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c = a+(b+c).
La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-a)=0
La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ.
La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso
multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)

11. El valor absoluto de un numero 𝑥 , es el valor no negativo
de x sin importar el signo, sea positivo o negativo. Asi, 7 es
el valor absoluto de +7 y de -7
El valor absoluto de un numero real a, denotado por 𝑎 , se como:
𝑎 =
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 < 0
O sea, el valor absoluto de un numero real es igual
al mismo numero si este es 0 ó positivo y es igual a
su inverso aditivo si es negativo
Sabemos que todo numero positivo x tiene dos raíces
cuadradas, una positiva y otra negativa. A la positiva
la denotamos con 𝑥 y a la negativa con - 𝑥.
Considerando que 𝑎2 es raíz cuadrada
positiva de 𝑎2
, se tiene que:
𝑎2 = 𝑎
De la definición obtenemos que:
1. 𝑎 ≥ 0; ⋁𝑎 ∈ 𝑅
2. − 𝑎 ≤ 𝑎 ≤ 𝑎 ;∨ 𝑎 ∈ 𝑅
3. 𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎 ó 𝑥 = −𝑎
-a a
0
Teorema
Para todo numero real 𝑎 > 0 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
1. 𝑥 < 𝑎 ⟺ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎
1. 𝑥 > 𝑎 ⟺ 𝑥 < −𝑎 ó 𝑥 > 𝑎
2. 𝑥 ≤ 𝑎 ⟺ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
3. 𝑥 ≥ 𝑎 ⟺ 𝑥 ≤ −𝑎 ó 𝑥 ≥ 𝑎
a
-a 0
-a a
0
-a a
0

12. Una desigualdad de valor absoluto es una
desigualdad que tiene un signo de valor absoluto
con una variable dentro.
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia
entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es 𝑥 ∥ −4 < 𝑥 < 4 .
Cuando se resuelven desigualdades de valor
absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de
valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de
valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de
estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales
a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .

13. La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es
mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4.
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b , entonces a >
b O a < - b .
Desigualdades de valor absoluto

14. Es el conjunto ℝ2 formado por todos los pares
ordenados (a,b) de números reales. Estos es
ℝ2
= 𝑎, 𝑏 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ
EsTamos usando la misma notación para expresar tanto al par 𝑎, 𝑏 .
Debemos recordar que un par ordenados de números reales es una
pareja de números reales, en la cual se distingue un orden. Es decir, en
general, 𝑎, 𝑏 ≠ 𝑏, 𝑎 .
Dos pares ordenados 𝑎, 𝑏 , 𝑐, 𝑑 son iguales, si y solo si 𝑎 = 𝑐 𝑦 𝑏 = 𝑑.
Es de fundamental importancia tener una representación geométrica de ℝ2. Para esto
se toma un plano cualquiera al cual fijamos. Sobre este plano tomamos dos rectas
numéricas perpendiculares a la misma escala y cuyo orígenes coinciden.
Esta dos rectas nos permiten establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos P del
plano y los pares ordenados 𝑥, 𝑦 de números reales, así como se muestra en la figura a
continuación. A la recta X o eje e las abscisas. La recta Y es el eje Y o eje de las ordenadas.

15. El punto de intersección es el punto 0 de los ejes es el origen. Si al
punto P le corresponde el par 𝑥, 𝑦 , diremos que 𝑥 e 𝑦 son las
coordenadas de P, siendo 𝑥 su abscisa e 𝑦 su ordenada. Con el objeto de
abreviar, identificaremos el punto P con el par 𝑥, 𝑦 , y escribimos P =
𝑥, 𝑦 , así tenemos por ejemplo 𝐴 = 0, 0 . Esta correspondencia
biunívoca también nos permite identificar al plano con ℝ2
-1
-2
-3
-y
y
3
2
Y
1
1 2 X 3 4 x
-X -4 -3 -2 -1
𝑃 = 𝑥, 𝑦
Plano
Cartesiano
Se ha adoptado el nombre de “Cartesiano” en honor
al celebre matemático y filosofo Rene Descarte
(1.596 - 1650), a quien se le otorga la paternidad
de la geometría analítica. El plano, provisto con
este sistema de coordenadas recibe el nombre de
PLANO CARTESIANO .

16. Distancia
La distancia entre los puntos 𝑃1 = 𝑥1 , 𝑦1 𝑦 𝑝2 𝑥2 , 𝑦2 es
𝑑 𝑝1, 𝑝2 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
Tomemos el triangulo rectángulo que tiene por hipotenusa
el segmento que une 𝑃1 = 𝑥1 , 𝑦1 𝑦 𝑝2 𝑥2 , 𝑦2 y por
catetos, los segmentos paralelos a los ejes indicados en la
figura .
Las longitudes de los catetos son 𝑥2 − 𝑥1 y 𝑦2 − 𝑦1 . La
distancia 𝑑 𝑝1, 𝑝2 es la longitud de la hipotenusa. Luego,
aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:
𝑑 𝑝1, 𝑝2 = 𝑥2 − 𝑥1
2
+ 𝑦2 − 𝑦1
2
De donde obtenemos : 𝑑 𝑝1, 𝑝2 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
𝑥2 − 𝑥1
𝑦2 − 𝑦1
𝑃1 = 𝑥1 , 𝑦1
𝑝2 𝑥2 , 𝑦2
𝑥2
𝑥1
𝑦1
𝑦2

17. Punto
Medio
El punto medio del segmento de rectas de extremos 𝑃1 = 𝑥1 , 𝑦1 𝑦 𝑝2 𝑥2 , 𝑦2 es el punto
𝑀 =
𝑥1 + 𝑥2
2
, 𝑦1 +𝑦2
2
Sea 𝑀 = 𝑥 , 𝑦 .
Proyectamos el segmento sobre los ejes .
Por ser Sea 𝑀 = 𝑥 , 𝑦 el punto medio de los intervalos
𝑥1 , 𝑥2 e 𝑦1 , 𝑦2 , respectivamente . Luego,
𝑥 − 𝑥1 = 𝑥2 − 𝑥 e 𝑦 − 𝑦1 = 𝑦2 − 𝑦 ⟹
2𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 e 2𝑦 = 𝑦1+𝑦2 ⇒ 𝑥 =
𝑥1+𝑥2
2
e 𝑦 =
𝑦1+𝑦2
2
𝑃1 = 𝑥1 , 𝑦1
𝑝2 𝑥2 , 𝑦2
𝑀 = 𝑥 , 𝑦 .
𝑥1 x 𝑥2
𝑦2
y
𝑦1

18. La
Circunferencias
La circunferencia de centro 𝑐 = ℎ , 𝑘
Y radio 𝑟 tiene por ecuación
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟
En particular, si el centro es el origen,
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
𝑃 = 𝑥 , 𝑦 esta en la circunferencia ⟺
𝑑 𝑃 , 𝐶 = 𝑟 ⟺ 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2= r
⟺ 𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟
Puede ser vista como la circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
a la cual le
hemos aplicado la traslación que lleva el origen 0,0 al punto .
𝑟
𝑘
ℎ
P= ℎ , 𝑘
0 x
𝑦

19. La
Parábola
Se le llama parábola al grafico de cualquiera de las dos ecuaciones siguientes
donde a, b y c son constantes con 𝑎 ≠ 0
1) 𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
2) 𝑥 = 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑐
Las parábolas mas simples, y de las cuales se pueden obtener todas las otras
mediante traslaciones y reflexiones en la diagonal principal, son parábolas que
tienen por ecuación.
3 𝑦 = 𝑎𝑥2
, 𝑎 ≠ 0
La parábola se abre hacia arriba o hacia abajo según 𝑎 > 0 𝑜 𝑎 < 0
𝑦 = 𝑎𝑥2
, 𝑎 > 0 𝑦 = 𝑎𝑥2
, 𝑎 < 0
y
y
x
0
1 , 𝑎
−1 , 𝑎
x
−1 , 𝑎 1 , 𝑎

20. La
Parábola
Si en la ecuación 𝑦 = 𝑎𝑦2
intercambiamos las variables x e y, obtenemos las parábolas
4 𝑥 = 𝑎𝑦2
Esta parábola, de acuerdo al criterio de inversión, se obtienen a partir de las
anteriores, reflejando en la diagonal principal.
La parábola es un curva simétrica. Se llama vértice de la parábola al punto
donde el eje de simetría corta a la parábola. En los casos anteriores, el vértice
es el origen O= 0 , 0
−𝑎 , 1
−𝑎 , −1
0
𝑦
x
𝑎 , 1
𝑎 , −1
0
𝑦
x
𝑥 = 𝑎𝑦2
, 𝑎 > 0 𝑥 = 𝑎𝑦2
, 𝑎 < 0

21. Llamaremos elipse en posición normal al grafico de las siguiente ecuación
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Donde a y b son dos números positivos. A esta ecuación la llamaremos ecuación normal de
la elipse con centro en origen.
Esta ecuación no se altera si cambiamos x por –x o por –y. Esto significa que la elipse es
simétrica respecto al eje x, al eje y por lo tanto, también al origen
hallemos la intersección con los ejes
𝑦 = 0 ⟹ 𝑥2
= 𝑎2
⟹ 𝑥 = 𝑎 ò 𝑥 = −𝑎
Luego, la curva intersecta al eje X en
𝑎, 0 𝑦 −𝑎, , 0
𝑥 = 0 ⟹ 𝑦2 = 𝑏2 ⟹ 𝑦 = 𝑏 ò 𝑦 = −𝑏
Luego, la curva intersecta al eje Y en 0, 𝑏 𝑦 0 − 𝑏 .
Por ser la elipse en posición normal simétrica respecto
al origen, diremos que este es su centro.
y
x
0
a
-a
-b
b

22. Se le llama hipérbola en posición normal al grafico de cualquiera de las dos
ecuaciones siguientes, donde a y b son dos constantes positivas. A estas
ecuaciones las llamaremos ecuaciones normales de la hipérbola con centro
en origen.
1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 2
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1
𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥 𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥
𝑣1 𝑣2
𝑏
−𝑏
𝑎
−𝑎 𝑥
𝑦
𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥 𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥
𝑣1
𝑣2
−𝑏 𝑏
𝑎
−𝑎
𝑥
𝑦
Análisis de cada una de las ecuaciones
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 no se altera si se cambia x
por –x ò y por –y
Luego, esta hipérbola es simétrica
respecto a los dos ejes y al origen.
Esta hipérbola intersecta al eje x. en
efecto 𝑦 = 0 ⟹ 𝑥 = 𝑎 ò 𝑥 = −𝑎.
Estos puntos de intersección:
𝑣1 = −𝑎 , 0 𝑦 𝑣2 = 𝑎 , 0 ,
Son los vértices de la hipérbola.
Esta hipérbola no intersecta al eje y. en efecto: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑦2 = −𝑏2, pero
esta ultima ecuación no tiene soluciones reales.

23. De (1) obtenemos
𝑥2
𝑎2 = 1 +
𝑦2
𝑏2 ≥ 1 ⇒ 𝑥2
≥ 𝑎2
⇒ 𝑥 ≥ 𝑎 ⇒ 𝑥 ≥ 𝑎 ò 𝑥 ≤ −𝑎
Esto quiere decir que la hipérbola se compone de dos partes, a las que se les llama
ramas.
Se llama asíntotas de esta hipérbola a las rectas
𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥, y = −
𝑏
𝑎
𝑥,
Esta recta se obtiene igualando a 0 el primer miembro de la izquierda de la
ecuación de la hipérbola. Así:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 0 ⇒
𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 0
𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏
= 0 ò
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 0 ⇒ 𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥 ò 𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥.
Las asíntotas tienen la particularidad de que ambas ramas de la hipérbola se van
aproximando cada vez mas a ellas, a medida que nos alejamos del origen.
Para graficar la hipérbola se recomienda trazar las asíntotas primero
2) Para la ecuación
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1, 𝑝𝑜𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑠
Esta se puede obtener de la (1) intercambiando la x por la y. esto significa que la
hipérbola corresponde a (2) se obtienen reflejando en la diagonal principal la
hipérbola correspondiente se tiene:
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: 𝑣1 = 0, −𝑎 , 𝑣2 = 0, 𝑎 . 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑦 =
𝑎
𝑏
, 𝑦 = −
𝑎
𝑏
𝑥

24. 1.)Ejercicios del Jorge Sáenz Calculo diferencial
Hallar una ecuación de la recta que satisface las condiciones dadas y llevarla a la forma 𝑦 =
𝑚𝑥 + 𝑏
Pasa por el punto 1 , 3 𝑦 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 5.
Ecuación del punto pendiente de la recta.
𝑝0= 𝑥0,𝑦0
⇒ 𝑝0 = 1 , 3
𝑚 = 5
Sustituimos los datos en la Ecuación
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
𝑦 − 3 = 5 𝑥 − 1
𝑦 − 3 = 5𝑥 − 5
𝑦 = 5𝑥 − 5 + 3
𝑦 = 5𝑥 − 2
1 , 3

25. Hallar una ecuación de la circunferencia que satisface las condiciones dadas
Centro 2, −1 ; 𝑟 = 5
La circunferencia de centro 𝐶 = ℎ , 𝑘 𝑦 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑟 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2
𝑥 − 2 2
+ 𝑦 − −1
2
= 52
𝑥 − 2 2 + 𝑦 + 1 2 = 25
𝑦
𝑥
5
2, −1
2.)Ejercicios del Jorge Sáenz Calculo diferencial