Numeros reales y plano numerico.

1. NUMEROS REALES
Y plano numerico
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Tecnológica
“Andrés Eloy Blanco”
Jonathan Gonzalez
CI: 30.025.667

2. Definición de Conjuntos
 Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que
guardan una serie de propiedades estructurales. El
sistema más usual en aritmética natural está formado por
el conjunto de los números naturales, con la suma, la
multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo

3. Propiedades con
Conjuntos
 Los sistemas numéricos también se caracterizan por tener
definidas operaciones que permiten realizar conteos
abreviados como son la adición y la multiplicación, y estas
operaciones están regidas por unas propiedades que se
cumplen para los distintos conjuntos numéricos:
- propiedad conmutativa
- propiedad asociativa
- propiedad distributiva

4. Operaciones con
Conjuntos Numéricos
 La conmutatividad consiste en la propiedad que tienen la
suma y la multiplicación de ser desarrollada con dos
elementos de un conjunto numérico sin que importe el
orden en el que se operan los dos números, para conducir
al mismo resultado. Si 𝑎 y 𝑏 son números Reales (Esto se
escribe en lenguaje matemático: 𝑎 ∈ 𝑅 𝑦 𝑏 ∈ 𝑅).
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
𝑎. 𝑏 = 𝑏.

5. Operaciones con
Conjuntos Numéricos
 La asociatividad consiste en la propiedad de la suma y la
multiplicación de conducir al mismo resultado
independientemente de la forma como se asocien tres
elementos, para operarse, teniendo presente que solo se
pueden operar dos números a la vez.
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐
𝑎(𝑏. 𝑐) = (𝑎. 𝑏)

6. Operaciones con
Conjuntos Numéricos
 La propiedad (o ley) distributiva consiste en la
posibilidad de multiplicar dos elementos asociados y
operados mediante adición, en forma independiente con
un número que opera al conjunto asociado, para conducir
al mismo resultado que si se operan inicialmente los dos
elementos sumados y luego se multiplica el resultado por
el elemento no asociado.
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐

7. Operaciones con
Conjuntos Numéricos
 En todos los conjuntos que se abordarán en este módulo existe
un número neutro, este número es aquel con el cual se obtiene
el mismo número al operarlo con otro del mismo conjunto.
Existe un neutro para cada operación: En los conjuntos de los
números Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales,
el neutro para la adición es el cero (0) y el neutro para la
multiplicación es el uno (1) porque, siendo “a” un número
perteneciente a cualquiera de estos conjuntos, se cumple que:
𝑎 + 0 = 𝑎
𝑎. 1 = 𝑎

8. Operaciones con
Conjuntos Numéricos
 Algunos conjuntos numéricos como los Racionales (Q) y los
Reales (R) tienen unos números asociados que se conocen
como “inversos”: Hay “inverso aditivo” e “inverso
multiplicativo”. La suma entre los inversos aditivos, da
como resultado el neutro del sistema para la operación de
adición El inverso aditivo de un número es también
conocido como el “simétrico” del número, Por ejemplo, si
𝑎 es un número entero, entonces −𝑎 es su simétrico o su
inverso aditivo, por lo tanto:
𝑎 + (−𝑎) = 0

9. Operaciones con
Conjuntos Numéricos
 Algunos conjuntos numéricos como los Racionales (Q) y los
Reales (R) tienen unos números asociados que se conocen
como “inversos”: Hay “inverso aditivo” e “inverso
multiplicativo”. La suma entre los inversos aditivos, da
como resultado el neutro del sistema para la operación de
adición El inverso aditivo de un número es también
conocido como el “simétrico” del número, Por ejemplo, si
𝑎 es un número entero, entonces −𝑎 es su simétrico o su
inverso aditivo, por lo tanto:
𝑎 + (−𝑎) = 0

10. Operaciones con
Conjuntos Numéricos
 La multiplicación entre los inversos multiplicativos, da
como resultado el neutro del sistema para la operación de
multiplicación. Si 𝑎 es un número Racional o Real,
entonces, 1 𝑎 es su inverso multiplicativo, que también se
puede representar como : 𝑎 −1 , por lo tanto:
𝑎. ( 1 𝑎 ) = 1
𝑎. ( 𝑎 −1 ) = 1

11. Números Reales
 El conjunto de los números Reales es el conjunto
compuesto por los números Racionales y los números
Irracionales. Los conjuntos numéricos estudiados hasta
ahora: Los Naturales, Los Enteros, Los Racionales y los
Irracionales están contenidos en los Reales.
 La palabra real se usa para distinguir estos números del
numero imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada de -1,
o −1. Esta expresión se usa para simplificar la
interpretación matemática de efectos como los
fenómenos eléctricos.

12. Desigualdades
 Una desigualdad es una relación que existe entre dos
cantidades o expresiones y que nos indica que tiene un
valor diferente, en la desigualdad los términos por un
símbolo de ‘’Mayor que’’ (>) o ‘’Menor que’’ (<) También
existen otros derivados de estos dos. Conocidos como
‘’Mayor igual que’’ (≥) o ‘’Menor igual que’’ (≤).

13. Propiedades Basicas de las
Desigualdades
 Ley de la tricotomía: a = b, a < b o a > b
 Ley de transitividad: a < b y b < c entonces a < c
 Ley aditiva: a < b entonces a + c < b + c, ∀ c ϵ R
 Ley multiplicativa: a < b si solo si ac < bc, ∀ c > 0
a < b si solo si ac > bc, ∀ c < 01
 0 < a < b o a < b < 0 entonces
1
𝑎
>
1
𝑏

14. Intérvalos
 Un intervalo es un conjunto de números reales que se
encuentra que se encuentra comprendido entre dos
extremos, a y b, también puede llamarse subconjunto de
la recta real.

15. Intérvalos
 Intervalo Cerrado: Es aquel que incluye los extremos del
intervalo y todos los valores comprendidos entre estos. Se
representa con una expresión del tipo a ≤ x ≤ b o [a;b]
Si tenemos el intervalo cerrado [1;5] tendremos el
conjunto de números mayores o iguales a 1 y menores o
iguales a 1 y menores o iguales a 5. Incluyendo el 1 y el 5.
 Intervalo Abierto: Es aquel que no incluye los extremos
entre los cuales está comprendido, pero si todos los
valores ubicados entre estos. Se representa mediante una
expresión del tipo a < x < b o (a;b)
Si tenemos el intervalo abierto(1;5) tendremos el
conjunto de números mayores a 1 y menores que 5 . Sin
incluir el 1 y el 5.

16. Intérvalos
 Intervalo Semiabierto: Es aquel que incluye tan solo uno de los
extremos de los valores que están entre ellos, de modo que el
otro extremo queda excluido.
Pueden estar incluidos o excluidos tanto el extremo derecho
como el izquierdo.
Se representa con una expresión del tipo a ≤ x < b o a < x ≤ b,
lo que sería [a;b] o (a;b].
Si tenemos el intervalo semiabierto (1;5] tendremos un
conjunto de los números mayores a 1 y menores o iguales a 5.
Sin incluir el 1 pero si el 5.

17. Intérvalos
 Intervalo infinito: Es aquel que tiene un valor infinito en
uno o ambos extremos. El extremo que posea el infinito será
un extremo abierto. En caso de que ambos extremos sean
infinitos, será la recta real.
Se representa con una expresión del tipo a ≤ x o ≤ a, lo que
sería [a; ∞) o (-∞;a). Estos además pueden contener
intervalos cerrados, como [a; ∞).
Si tenemos el intervalo infinito [1; ∞) tendremos un conjunto
de números mayores o iguales a 1 en adelante.

18. Valor Absoluto
 El valor absoluto de un número real es igual al mismo
número si este es 0 o positivo y es igual a su inverso aditivo
si es negativo.
Sabemos que todo numero positivo x tiene dos raíces
cuadradas, una positiva y otra negativa. A la positiva la
denotamos con 𝑥 y a la negativa con − 𝑥 .

19. Valor Absoluto con
Desigualdades
 Desigualdades con un solo valor absoluto y la variable solo
en el argumento del valor absoluto.
│3x+2│ > 5
│5x-4│ ≤ 7
Estas desigualdades o inecuaciones son resueltas de manera
muy sencilla al aplicar las propiedades del valor absoluto.
Ellas las recordamos de la interpretación geométrica del
valor absoluto.

20. Valor Absoluto con
Desigualdades
 Para c > 0 tenemos
1)│Expresión│ < c es equivalente a –c < Expresión < c
2)│Expresión│ > c es equivalente a Expresión < -c o Expresión > c
Se tiene una proposición similar para las desigualdades con valor
absoluto no estrictas, ≤ y ≥.
Asi que para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado
izquierdo y una constante positiva en el otro miembro, solo hay
que identificar con alguna de las dos formas, aplicar la
equivalencia, resolver las desigualdades de la equivalencia para
pasar a determinar el conjunto solución de la desigualdad en base
a la condición de la equivalencia.

21. Valor Absoluto
 El valor absoluto de un número real es igual al mismo
número si este es 0 o positivo y es igual a su inverso aditivo
si es negativo.
Sabemos que todo numero positivo x tiene dos raíces
cuadradas, una positiva y otra negativa. A la positiva la
denotamos con 𝑥 y a la negativa con − 𝑥 .