Conjuntos y números reales

1. Conjuntos y Números
Reales
Luis Carlos Giménez
Cedula 13.436.100
Sección DL0300

2. Definición:
Un conjunto es la agrupación, de elementos que
pertenecen y responden a una propiedad determinada. Por
lo general los conjuntos están representados con letras
mayúsculas donde los elementos se escriben entre llaves.
Para indicar que un elemento “a” pertenece al conjunto A,
escribiremos, a ∈ A.
Algunas consideraciones básicas a tener en cuenta cuando
de conjuntos se trata es que los mismos se
pueden determinar de dos maneras:

3. Por extensión: cuando se describe uno a uno los componentes de un conjunto.
Ejemplo: A que contiene números naturales menores a 8
A = {1,2,3,4,5,6,7}.
Por comprensión: cuando solo se enumera una característica común que
reúnen todos los elementos que lo componen.
Ejemplo:
B = {a, e, i, o, u}.
Representación gráfica:
Para la representación gráfica, se utiliza el diagrama de Venn, en homenaje a su
creador, el británico John Venn, que son líneas circulares u ovoides cerradas,
donde se disponen los elementos, señalados mediante puntos.

4. El conjunto B mencionado en el ejemplo anterior quedaría representado así:
Subconjuntos:
Diremos que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, representado
por 𝐴 ⊂ 𝐵. Si todos los elementos de A están contenidos en el conjunto B.

5. Operaciones básicas con conjuntos:
Unión de conjuntos
Supongamos que tenemos los conjuntos M y N definidos como se muestra en la
siguiente figura:

6. El conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a M o a N, le
llamaremos unión de M y N , y lo notamos de la siguiente manera:
𝑀 ∪ 𝑁 = 𝑎, 𝑐, 𝑏, 𝑒, 𝑙, 𝑔 .
Representado gráficamente:

7. Intersección de conjuntos
Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos M y N definidos
anteriormente. Podemos determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos
que nuestros conjuntos M y N tienen en común.
A este nuevo conjunto le llamamos intersección de M y N , y lo notamos de la siguiente
manera:
𝑀 ∩ 𝑁 .
Para determinar que elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos M y N te
puedes preguntar qué elementos están en M “y” en N. En el diagrama de arriba se
puede ver la intersección de nuestros conjuntos M y N : 𝑀 ∩ 𝑁 = 𝑏 .

8. Diferencia de conjuntos
Para realizar diferencia entre conjuntos, se deben seleccionar los elementos de un
conjunto que no estén en el otro. Por ejemplo, si realizas la operación M
menos N, debes seleccionar los elementos de M que no están en N . Representamos la
diferencia M menos N así:
𝑀 − 𝑁 .
𝑀 − 𝑁 = 𝑎, 𝑐

9. Números Reales:
Los números reales son el conjunto que incluye los números
naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la
letra ℜ.
Clasificación de los números reales

10. Desigualdades: Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b
o a = b) y a ³ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las
primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas,
desigualdades no estrictas o amplias.
Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las
desigualdades.
Sean a, b y c números reales cualesquiera:
· Si a < b entonces a + c < b + c
· Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c
· Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c
Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En
símbolos a < b < c.
Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las
desigualdades >, £ y ³ .

11. Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen uno o más
valores desconocidos. Resolverla es encontrar el conjunto de todos
los números reales para los cuales es verdadera.
Para resolver una inecuación se utilizan las propiedades de las
desigualdades y de los números reales que conducen a una
desigualdad equivalente. Esto significa que la nueva desigualdad
tiene el mismo conjunto de soluciones que la dada.
Todos los números que satisfacen la desigualdad constituyen el
conjunto solución

12. Ejemplo
Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad 2x + 4 < 5.
Para resolver la inecuación se debe transformarla paso a paso, aplicando
propiedades hasta obtener el conjunto solución.
· se suma - 4 a ambos miembros:
2x + 4 + (- 4) < 5 + (- 4)
2x < 1
X<
1
2
· se multiplican ambos miembros por
La solución es el conjunto de todos los valores reales de x menores que
1
2
Por lo tanto, el conjunto solución es S=
Gráficamente:

13. Valor Absoluto
El Valor Absoluto de a ∈ ℜ, denotado por 𝑎 , se define como:
𝑎 =
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0
Ejemplo
𝑎 2𝑥 − 5 = 11
11 ≥ 0 𝑜𝑏𝑣𝑖𝑜 𝑦
2𝑥 − 5 = 11 ∨ 2𝑥 − 5 = −11
2𝑥 = 11 + 5 ∧ 2𝑥 = −11 + 5
2𝑥 = 16 ∨ 2𝑥 = −6
𝑥 =
16
2
∨ 𝑥 = −
6
2
𝑥 = 8 ∨ 𝑥 = −3

14. Gracias!...
Luis Carlos Giménez
Cedula 13.436.100
Sección DL0300